Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Теория чисел1

1. Основные понятия теории делимости

Î п р е д е л е н и е. Число a делится на ненулевое числоb , если найдется такое целое числоc , что выполняется равенствоa =b · c .

Обозначения:

1) a .b a делится наb ;

2) b | a b делит a;

3) a кратно (кратное)b ,b делительa .

Деление с остатком

Пусть даны два числа a èb ,a Z ,b N , ãäåZ множество целых чисел, аN множество натуральных чисел. Разделимa íàb с остаткомa =b · q +r , ãäår лежит в промежутке 0≤ r < b ,q неполное частное,r остаток. Например, 7 = 2· 3 + 1.

Теорема 1. Для любого целого a и натуральногоb представление

a = b · q+ r,0 ≤ r < b

единственно.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. Существование.

Рассмотрим бесконечное множество чисел {a − tb} , ãäåa ,b фиксированные числа,t любое число,t Z . Из него мы выберем наименьшее неотрицательное числоr =a − q · b . Докажем, чтоr лежит в пределах

0 ≤ r < b.

Пусть это число не принадлежит данному промежутку. Тогда оно больше или равно b . Построим новое числоr ′ =r−b =a−q·b−b =a−b (q +1).

Отсюда видно следующее:

1) r ′ {a − tb};

2) r ′ неотрицательное;

1 С.В.Федоренко. Сентябрь 2012. Курс лекций и задачи. Распространяется свободно. Курс читался в СПбГУАП (1997 1999; 2008 2011) и СПбГПУ (2002 2005).

3) r ′ < r .

Следовательно, не r , a r ′ является наименьшим неотрицательным числом из множества{a − tb} , тогда предположениеr ≥ b ложно.

Существование доказано.

2. Единственность.

Пусть существует другое представление a =bq ′ +r ′ , при условии, что 0≤ r ′ < b ;a ,b фиксированные числа,q Z . Т.е., мы можем разделить числоa íàb двумя способами, тогдаbq +r =bq ′ +r ′ . Перенося слагаемые ñq в одну сторону, а сr в другую, получаемb (q − q ′ ) =r ′ − r . Видно,

÷òî (r ′ − r ) .b . Каждый из остатков меньшеb è

(r′ − r) . b. |r′ − r| < b

Следовательно, r ′ − r = 0, а значитr ′ =r èq =q ′ . Итак, доказали,

что одно число можно разделить на другое единственным способом. Теорема доказана.

Теорема 2. Если a .b èb .c , òîa .c , ãäåb, c ≠ 0. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a = b · q. b= c · t

Следовательно, a =c · qt . По определению видно, чтоa .c .

Теорема 3. Пусть выполняется равенство a 1 +a 2 =b 1 +b 2 и числа a 1 , a 2 , b 1 .d , тогдаb 2 .d .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a 1 =d · t 1 ,a 2 =d · t 2 ,b 1 =d · t 3 . Выразимb 2 из условия теоремыb 2 = a 1 +a 2 − b 1 =d (t 1 +t 2 − t 3 ). По определению делимости видно, чтоb 2 .d .

2. Наибольший общий делитель

Î п р е д е л е н и е. Если число c является делителем чиселa èb , то числоc называется общим делителем чиселa èb .

О п р е д е л е н и е. Наибольший из общих делителей чисел a èb называется наибольшим общим делителем (НОД) чиселa èb .

Обозначение: (a, b ) =d , ãäåa èb числа, аd наибольший общий

делитель этих чисел.

Рассмотрим пример для чисел 12 и 9. Выпишем все делители 12 и все делители 9. Для 12: 1, 2, 3, 4, 6 и 12; для 9: 1, 3 и 9; видно, что у них есть общие делители 1 и 3. Выберем наибольший из них это 3. Таким образом, (12, 9) = 3.

О п р е д е л е н и е. Два числа a èb называются взаимно простыми, если их НОД равен 1.

Пример. Т.к. (10,9)=1, то 10 и 9 взаимно простые числа.

Это определение можно распространить на любое количество чисел. Если (a, b, c, . . . ) = 1, то числаa, b, c, . . . взаимно простые. Например:

Î ï ð å ä å ë å í è å. (a 1 , a 2 , ...a n ) попарно взаимно простые числа, если НОД любой пары равен единице (a i , a j ) = 1,i ≠ j .

Например: 12,17,11 не только взаимно простые, но и попарно взаимно простые.

Теорема 1. Если a .b , òî (a, b ) =b .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Число b не может делиться на число больше самого себя. Следовательно,b является НОДомa èb .

Теорема 2. Пусть имеется представление a =bq +r (r не обязательно остаток), тогда (a, b ) = (b, r ).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. Рассмотрим любой общий делитель a èb c . Åñëèa .c èb .c , òî

по теореме 1.3 r .c , ò.å.c является также общим делителемb èr . Любой общий делительa èb является общим делителемb èr .

2. Любой общий делитель b èr является делителемa . Значит, общие делителиa, b èb, r совпадают. Это верно и для НОД.

3. Алгоритм Евклида

Для любых чисел a èb с помощью алгоритма Евклида можно найти

Пусть a ,b N входные данные алгоритма, а (a, b ) =d N выходные.

Шаг 1. Делим a íàb с остаткомa =bq 0 +r 1 , ãäå 0< r 1 < b . По теореме 2.2 (a, b ) = (b, r 1 ).

Шаг 2. Делим b íàr 1 с остаткомb =r 1 q 1 +r 2 , ãäå 0< r 2 < r 1 . Ïî теореме 2.2 (b, r 1 ) = (r 1 , r 2 ).

И так до тех пор, пока не разделится нацело. Из цепочки равенств

(a, b ) = (b, r 1 ) = (r 1 , r 2 ) = (r 2 , r 3 ) =... = (r n− 2 , r n− 1 ) = (r n− 1 , r n ) =r n

следует, что последний ненулевой остаток r n будет наибольшим общим делителемd =r n = (a, b ). Т.к. остатки убывают, то алгоритм завершится за конечное число шагов.

Теоремы, связанные с алгоритмом Евклида

Теорема 1. НОД двух чисел делится на любой общий делитель этих

Åñëè (a, b ) =d , òî (a c , c b ) =d c , ãäå c общий делительa èb .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

 записи алгоритма Евклида a, b è âñår i разделим наc . Получим

запись алгоритма Евклида с входными данными a b

Теорема 2. Если два числа разделить на их НОД, то получим взаимно простые числа (a d , d b ) = 1.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Теорема 3. Если

Вместо c (из теоремы 1) подставимd .

(a, b ) = 1 , òîc .b .ac . b

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Для взаимно простых чисел a èb по теореме 7.1 существует представлениеax +by = 1. Умножая это равенство наc , имеемac ·x +byc =c ,

íî ac =bq ,bqx +byc =c ,b (qx +yc ) =c . Следовательно,c .b .

НОД нескольких чисел

(a1 , a2 , . . . , an ) = dn (a1 , a2 ) = d2

(d 2 , a 3 ) =d 3

(d n− 1 , a n ) =d n

4. Наименьшее общее кратное

Î п р е д е л е н и е. Общее кратное двух чисел a èb это такое число, которое делится на оба этих числаa èb .

Î п р е д е л е н и е. Наименьшее из общих кратных чисел a èb называется наименьшим общим кратным (НОК) чиселa èb .

Пусть M .a èM .b , тогдаM общее кратноеa èb . Наименьшее общее кратное чиселa èb обозначим как .

Теорема 1. НОК двух чисел равен отношению их произведения к

=(a, ab b ) .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Обозначим некоторое общее кратное чисел a èb черезM , тогдаM .

a èM .b . Кроме того,d = (a, b ),a =a ′ d ,b =b ′ d , причем (a ′ , b ′ ) = 1. По определению делимостиM =a · k , ãäåk Z

a ′ не делится наb ′ , т.к. они взаимно простые, следовательноk .b ′ ïî теореме 3.3

вид любого общего кратного чисел a èb . Ïðèt = 1M является НОК чиселa èb .

НОК нескольких чисел

[ a1 , a2 , . . . , an ] = Mn [ a1 , a2 ] = M2

M 3 =M 4

Åñëè (a, b ) = 1, òî =ab . Ïðè (a i , a j ) = 1,i ≠ j ,M =a 1 a 2 · . . . · a n .

5. Простые и составные числа

Любое число делится на 1 и на само себя. Назовем эти делители тривиальными.

О п р е д е л е н и е. Число называется простым, если оно не имеет нетривиальных делителей. Число называется составным, если оно имеет нетривиальный делитель. Число 1 не является ни простым ни составным.

Теорема 1. Для любого натурального числа a и простого числаp

выполняется или (a, p ) = 1 èëèa .p .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Ó простого числа p имеются два тривиальных делителя. Возможны

два варианта: a .p èëèa ̸ .p . Åñëèa ̸ .p , то НОДомa èp является 1. Следовательно, (a, p ) = 1.

Теорема 2. Наименьший отличный от единицы делитель целого, большего единицы, есть простое число.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Åñëè a ≠ 1, òîa =p·q , ãäåp наименьший нетривиальный делитель. Предположим, чтоp составное число. Это означает, что существует

такое число s , ÷òîp .s , но тогдаa .s èp не является наименьшим делителем, что противоречит условию. Т.о.p простое число.

Теорема 3. Наименьший нетривиальный делитель составного числа не превосходит его корня.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a = q · b, q ≤ b, q2 ≤ bq= a, q ≤ a.

Решето Эратосфена

Запишем множество натуральных чисел

1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ,16 ,17 ,18 , . . .

Единица это особое число. С остальными числами поступаем следующим образом: берем число, объявляем его простым и вычеркиваем числа, кратные ему.

Например, 2 простое число, вычеркиваем числа, кратные двойке, следовательно, четных чисел не останется. Аналогично поступим и с тройкой. Нужно вычеркнуть 6, 9, 12, 15, 18, и т.д. Все оставшиеся числа являются простыми.

Теорема 4. Множество простых чисел бесконечно. Д о к а з а т е л ь с т в о

Пусть { 2, 3, 5, . . . , P } конечное множество простых чисел иN = 2· 3· 5·. . .·P +1.N не делится ни на одно из простых чисел, т.к. при делении в остатке получается 1. Но наименьший нетривиальный делительN по теореме 2 является простым числом̸ 2{, 3, 5, . . . , P } . Следовательно, простых чисел не конечное множество, а бесконечное.

6. Каноническая форма числа

Теорема 1 (Основная теорема арифметики). Любое число, отличное от 1, единственным способом представляется в виде произведения простых чисел.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. Существование.

Число n по теореме 5.2 имеет простой делительp 1

n n 1 = p 1 .

Аналогичные рассуждения справедливы и для числа n 1

n2 = n 1 ,p 2

ãäå p 2 простой делитель n 1 . И так будем продолжать до тех пор, пока не получимn i = 1.

2. Единственность.

Пусть число n имеет два разложения на простые числа

n = p1 · p2 · . . . · pl = q1 · q2 · . . . · qs .

Без ограничения общности примем l ≤ s . Если левая часть равенства делится наp 1 , то и правая тоже делится наp 1 . Значит, некотороеq i =p 1 . Пусть этоq 1 =p 1 . Разделим обе части равенства наp 1

Аналогично, примем q 2 = p 2 . Будем продолжать эту процедуру, пока выражение не примет вид

1 = ql +1 · . . . · qs .

Åñëè l < s , то произведение простых чисел не может быть равно 1. Следовательно, предположение о двух различных разложениях числаn невер-

íî. Åñëè s =l , òîp i =q i äëÿi и два разложения совпадают. Теорема доказана.

Любое число n N можно записать в канонической форме

n = p1 s 1 · . . . · pl s l ,

ãäå p i простые числа,s i N .

Каноническое представление позволяет выписать все делители числа и определить НОД и НОК.

Все делители c числаn имеют вид

c = p1 i 1 · p2 i 2 . . . pl i l ,ãäå ij .

Нахождение НОД и НОК

Пусть числа a èb представлены в виде

a = p1 s 1 · p2 s 2 · . . . · pl s l b= p1 t 1 · p2 t 2 · . . . · pl t l .

Это представление отличается от канонического тем, что некоторые s i è t i могут быть равны 0.

Тогда наибольший общий делитель a èb

(a, b) = p1 min (s 1 ,t 1 ) · p2 min (s 2 ,t 2 ) · . . . · pl min (s l ,t l ) ,

а наименьшее общее кратное:

[ a, b] = p1 max (s 1 ,t 1 ) · p2 max (s 2 ,t 2 ) · . . . · pl max (s l ,t l ) .

Отсюда также видно, что (a, b ) делится на любой общий делительa èb .

7. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными

Î п р е д е л е н и е. Линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида

ax + by= c,

где коэффициенты a, b, c и неизвестныеx, y целые числа, аa èb не равны нулю одновременно.

Теорема 1 (О линейном представлении НОД). Для любой пары чисел (a, b ) ((a, b ) ≠ (0, 0)) существуют такиеx, y Z , ÷òîax +by =(a, b ).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Рассмотрим множество чисел {ax +by} и из него выберем минимальное положительное числоd =ax 0 +by 0 .

Докажем, что d является делителемb .

Пусть d не делительb , следовательно,b =d · q +r , ãäå 0< r < d ,

r = b − dq= b −(ax0 + by0 ) q= a(−x0 q) + b(1 − y0 q). Видно, что:

1) число r {ax +by} ;

2) r положительное;

3) r < d .

Но мы предположили, что d наименьшее положительное число из этого множества, следовательно, наше предположение, чтоr < d неверно, значитd делительb .

Аналогично можно доказать, что a .d .

Из всего этого следует, что d является общим делителемa èb .

a . (a, b)

Èòàê, b . (a, b ) d . (a, b ), íîd общий делительa èb , следова-тельно, d ÍÎÄ a è b .

Теорема 2. Уравнение ax +by =c имеет решение тогда и только тогда, когдаc делится на (a, b ).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1. Пусть c . (a, b ), тогда по теореме 1ax +by = (a, b ). Умножим уравнение наc

( a,b)

a · (a, xc b ) + b ·(a, yc b ) = c.

Пара чисел (x 0 , y 0 ) будет решением исходного уравнения

{ x 0 = (a,b xc )y 0 = (a,b yc ).

2. Докажем, что если уравнение имеет решение, то c . (a, b ).

a . (a, b ) , следовательно,c тоже должно делиться на (a, b ).

b . ( a, b)

Существует несколько определений понятия «теория чисел». Одно из них гласит, что это специальный раздел математики (или высшей арифметики), которая подробно изучает целые числа и объекты, сходные с ними.

Другое определение уточняет, что этот раздел математики изучает свойства чисел и их поведение в различных ситуациях.

Некоторые ученые считают, что теория настолько обширна, что дать ее точное определение невозможно, а достаточно лишь разделить на несколько менее объемных теорий.

Установить достоверно, когда зародилась теория чисел, не представляется возможным. Однако точно установлено: на сегодня древнейшим, но не единственным документом, свидетельствующим об интересе древних к теории чисел, является небольшой обломок глиняной таблички 1800 годов до нашей эры. В нем - целый ряд так называемых Пифагоровых троек (натуральных чисел), многие из которых состоят из пяти знаков. Огромное количество таких троек исключает их механический подбор. Это свидетельствует о том, что интерес к теории чисел возник, видимо, намного раньше, чем изначально предполагали ученые.

Самыми заметными лицами в разработке теории считаются пифагорейцы Евклид и Диофант, жившие в Средние века индийцы Ариабхата, Брахмагупта и Бхаскары, а еще позже - Ферма, Эйлер, Лагранж.

В начале ХХ века теория чисел привлекла внимание таких математических гениев, как А. Н. Коркин, Е. И. Золотарёв, Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеев, И. М. Виноградов, Г.Вейль, А. Сельберг.

Разрабатывая и углубляя выкладки и исследования древних математиков, они вывели теорию на новый, значительно более высокий уровень, охватывающий множество областей. Глубокие исследования и поиски новых доказательств привели и к открытию новых проблем, некоторые из которых не изучены до сих пор. Открытыми остаются: гипотеза Артина о бесконечности множества простых чисел, вопрос о бесконечности количества простых чисел, множество других теорий.

На сегодня основными составляющими, на которые делится теория чисел, являются теории: элементарная, больших чисел, случайных чисел, аналитическая, алгебраическая.

Элементарная теория чисел занимается изучением целых чисел, не привлекая методы и понятия из других разделов математики. малая - вот самые распространенные, известные даже школьникам понятия из этой теории.

Теория больших чисел (или Закон больших чисел) - подраздел теории вероятностей, стремящийся доказать, что среднее арифметическое (по другому - среднее эмпирическое) большой выборки приближается к математическому ожиданию (которое еще называют теоретическим средним) этой выборки при условии фиксированного распределения.

Теория случайных чисел, разделяя все события на неопределенные, детерминированные и случайные, пытается определить по вероятности простых событий вероятность сложных. В этот раздел входят свойства и теорема их умножения, Теорема гипотез (которую часто называют формулой Байеса) и пр.

Аналитическая теория чисел, как это понятно из ее названия, для изучения математических величин и числовых свойств применяет методы и приемы Одно из главных направлений этой теории - доказательство теоремы (при помощи комплексного анализа) о распределении простых чисел.

Алгебраическая теория чисел работает непосредственно с числами, их аналогами (например, алгебраическими числами), изучает теорию дивизоров, когомологии групп, функции Дирихле и т.п.

К появлению и развитию этой теории привели многовековые попытки доказать теорему Ферма.

До ХХ века теория чисел считалась отвлеченной наукой, "чистым искусством от математики", не имеющим абсолютно никакого практического или утилитарного применения. Сегодня ее выкладки используют в криптографических протоколах, при расчете траекторий спутников и космических зондов, в программировании. Экономика, финансы, информатика, геология - все эти науки сегодня невозможны без теории чисел.

Теория чисел или высшая арифметика - раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты.

Теория чисел занимается изучением свойств целых чисел. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натурах чисел.

В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, множество рациональных чисел, множество алгебраических чисел. Для современной теории чисел характерно применение весьма разнообразных методов исследований. В современной теории чисел широко пользуются методами математического анализа.

Современную теорию чисел можно разбить на следующие разделы:

1) Элементарная теория чисел. К этому разделу относят вопросы теории чисел, являющиеся непосредственным развитием теории делимости и вопросы о представимости чисел в определенной форме. Более общей является задача решения систем диофантовых уравнений, то есть уравнений, в которых значения неизвестных должны быть обязательно целыми числами.

2) Алгебраическая теория чисел. К этому разделу относят вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел.

3) Диофантовы приближения. К этому разделу относят вопросы, связанные с изучением приближения действительных чисел рациональными дробями. К диофантовым приближениям примыкают тесно связанные с этим же кругом идей вопросы изучения арифметической природы различных классов чисел.

4) Аналитическая теория чисел. К этому разделу относят вопросы теории чисел, для изучения которых приходится применять методы математического анализа.

Основные понятия:

1) Дели?мость - одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Если для некоторого целого числа a и целого числа b существует такое целое число q, что bq = a, то говорят, что число a делится нацело на b или, что b делит a. При этом число b называется делителем числа a, делимое a будет кратным числа b, а число q называется частным от деления a на b.

2) Просто?е число? - это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными.

3) Совершенное число? (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) - натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого? числа).

Первое совершенное число - 6 (1 + 2 + 3 = 6), следующее - 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

4) Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей. Пример: для чисел 70 и 105 наибольший общий делитель равен 35.

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел m или n не ноль.

5) Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n - это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n.

6) Числа m и n называются взаимно-простыми, если у них нет общих делителей, кроме единицы. Для таких чисел НОД(m,n) = 1. Обратно, если НОД(m,n) = 1, то числа взаимно просты.

7) Алгори?тм Евкли?да - алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел или наибольшей общей меры двух однородных величин.

Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме №17. Основные понятия теории чисел.:

1. 2.Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия и теоремы теории вероятностей.
2. 6. Различные подходы к формированию понятия натурального числа и нуля. Методика изучения нумерации чисел в пределах 10. Виды, процессы, формы мышления младших школьников. Педагогический смысл понятия «подход»; основные компоненты подхода.
3. Рассмотрим известные из школьного курса математики понятия наименьшего общего кратного и наибольшего обще­го делителя натуральных чисел, сформулируем их основные свойства, опустив все доказательства.
4. При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция обратная сложению.

Название: Теория чисел. 2008.

Основу учебника составляют результаты элементарной теории чисел, сформировавшейся в трудах классиков - Ферма, Эйлера, Гаусса и др. Рассматриваются такие вопросы как простые и составные числа, арифметические функции, теория сравнений, первообразные корни и индексы, цепные дроби, алгебраические и трансцендентные числа. Обзорно освещены свойства простых чисел, теория диофантовых уравнений, алгоритмические аспекты теории чисел с применениями в криптографии (проверка больших простых чисел на простоту, разложение больших чисел на множители, дискретное логарифмирование) и с использованием ЭВМ.
Для студентов высших учебных заведений.

Предмет изучения теории чисел - числа и их свойства, т. е. числа выступают здесь не как средство или инструмент, а как объект исследования. Натуральный ряд
1,2,3,4, ...,9,10,11, ...,99,100,101, ...
- множество натуральных чисел - является важнейшей областью исследований, необычайно содержательной, важной и интересной.
Изучение натуральных чисел было начато в Древней Греции. Евклид и Эратосфен открыли свойства делимости чисел, доказали бесконечность множества простых чисел и нашли способы их построения. Задачи, связанные с решением неопределенных уравнений в целых числах, были предметом исследований Диофанта, а также ученых Древней Индии и Древнего Китая, стран Средней Азии.

Оглавление
Введение
Глава 1. О делимости чисел
1.1. Свойства делимости целых чисел
1.2. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
1.3. Алгоритм Евклида
1.4. Решение в целых числах линейных уравнений

Глава 2. Простые и составные числа
2.1. Простые числа. Решето Эратосфена. Бесконечность множества простых чисел
2.2. Основная теорема арифметики
2.3. Теоремы Чебышева
2.4. Дзета-функция Римана и свойства простых чисел
Задачи для самостоятельного решения
Глава 3. Арифметические функции
3.1. Мультипликативные функции и их свойства
3.2. Функция Мёбиуса и формулы обращения
3.3. Функция Эйлера
3.4. Сумма делителей и число делителей натурального числа
3.5. Оценки среднего значения арифметических функций
Задачи для самостоятельного решения
Глава 4. Числовые сравнения
4.1. Сравнения и их основные свойства
4.2. Классы вычетов. Кольцо классов вычетов по данному модулю
4.3. Полная и приведенная системы вычетов
4.4. Теорема Вильсона
4.5. Теоремы Эйлера и Ферма
4.6. Представление рациональных чисел бесконечными десятичными дробями
4.7. Проверка на простоту и построение больших простых чисел
4.8. Разложение целых чисел на множители и криптографические применения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 5. Сравнения с одним неизвестным
5.1.Основные определения
5.2.Сравнения первой степени
5.3.Китайская теорема об остатках
5.4. Полиномиальные сравнения по простому модулю
5.5. Полиномиальные сравнения по составному модулюЗадачи для самостоятельного решения
Глава 6. Сравнения второй степени
6.1. Сравнения второй степени по простому модулю
6.2. Символ Лежандра и его свойства
6.3. Квадратичный закон взаимности
6.4.Символ Якоби и его свойства
6.5.Суммы двух и четырех квадратов
6.6. Представление нуля квадратичными формами от трех переменных
Задачи для самостоятельного решения
Глава 7. Первообразные корни и индексы
7.1. Показатель числа по заданному модулю
7.2. Существование первообразных корней по простому модулю
7.3. Построение первообразных корней по модулям рк и 2рк
7.4. Теорема об отсутствии первообразных корней по модулям, отличным от 2, 4, рк и 2рк
7.5. Индексы и их свойства
7.6. Дискретное логарифмирование
7.7. Двучленные сравнения
Задачи для самостоятельного решения
Глава 8. Цепные дроби
8.1. Теорема Дирихле о приближении действительных чисел рациональными
8.2. Конечные цепные дроби
8.3. Цепная дробь действительного числа
8.4. Наилучшие приближения
8.5. Эквивалентные числа
8.6. Квадратичные иррациональности и цепные дроби
8.7. Использование цепных дробей для решения некоторых диофантовых уравнений
8.8.Разложение числа е в цепную дробь
Задачи для самостоятельного решения
Глава 9. Алгебраические и трансцендентные числа
9.1.Поле алгебраических чисел
9.2. Приближения алгебраических чисел рациональными. Существование трансцендентных чисел
9.3. Иррациональность чисел ег и п
9.4. Трансцендентность числа е
9.5. Трансцендентность числа п
9.6.Невозможность квадратуры круга
Задачи для самостоятельного решения
Ответы и указания
Список литературы

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Теория чисел - Нестеренко Ю.В. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.