МАТЕМАТИКА

5 КЛАСС

ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

План - конспект урока «Деление натуральных чисел».

Предмет: математика

Класс : 5

Тема урока : Деление натуральных чисел.

Номер урока в теме : 4 урок из 7

Базовый учебник : Математика. 5 класс: учебник для

общеобразовательных учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – 25-еизд., стер. – М. : Мнемозина,2009

Цель урока: создать условия для воспроизведения и корректировки необходимых знаний и умений, анализа заданий и способов их выполнения; самостоятельного выполнения заданий; внешнего и внутреннего контроля.

В результате чего учащиеся должны:

уметь выполнять деление натуральных чисел;

уметь решать уравнения и текстовые задачи;

уметь делать выводы;

уметь разрабатывать алгоритм действий;

использовать математически грамотную речь;

отображать в речи содержание совершаемых действий;

оценивать себя и товарищей.

Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, учебники по математике, раздаточный материал (для устного счета, для работы на уроке, для домашнего задания), электронная презентация, выполненная в программе Power Point .

Технологическая карта урока.

Описание процессуальной части урока.

Литература:

Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – 25-еизд., стер. – М. : Мнемозина,2009;

Контрольно-измерительные материалы. Математика: 5класс/ Составитель Л.В.Попова.-М.: ВАКО,2011;

Чесноков А.С., Нешков К.И. Дидактические материалы по математике для 5 класса.М.:Классикс Стиль, 2007.

Деление столбиком (также можно встретить название деление уголком) — стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно число, называемое делимым , делится на другое, называемое делителем , производя результат, называемый частным .

Столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел с остатком.

Правила записи при делении столбиком.

Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой - так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.

Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида .

Например , если делимым является число 6105, а делителем 55, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:

Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.

Деление столбиком натурального числа на однозначное натуральное число, алгоритм деления столбиком.

Как делить в столбик лучше всего объяснить на примере. Вычислить :

512:8=?

Для начала запишем делимое и делитель в столбик. Выглядеть это будет так:

Их частное (результат) будем записывать под делителем. У нас это цифра 8.

1. Определяем неполное частное. Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.

2. Берём 5. Цифра 5 меньше 8, значит нужно взять еще одну цифру из делимого. 51 больше 8. Значит. это неполное частное. Ставим точку в частном (под уголком делителя).

После 51 стоит только одно цифра 2. Значит и добавляем в результат ещё одну точку.

3. Теперь, вспоминая таблицу умножения на 8, находим ближайшее к 51 произведение → 6 х 8 = 48 → записываем цифру 6 в частное:

Записываем 48 под 51 (если умножить 6 из частного на 8 из делителя, получим 48).

Внимание! При записи под неполным частным самая правая цифра неполного частного должна стоять над самой правой цифрой произведения .

4. Между 51 и 48 слева поставим «-» (минус). Вычтем по правилам вычитания в столбик 48 и под чертой запишем результат.

Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком).

В остатке получилось 3. Сравним остаток с делителем. 3 меньше 8.

Внимание! Если остаток получился больше делителя, значит мы ошиблись в расчете и есть произведение более близкое, чем то, которое взяли мы.

5. Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается.

Число 32 больше 8. И опять по таблице умножения на 8, найдем ближайшее произведение → 8 x 4 = 32:

В остатке получился ноль. Значит, числа разделились нацело (без остатка). Если после последнего вычитания получается ноль, а цифр больше не осталось, то это остаток. Его дописываем к частному в скобках (например, 64(2)).

Деление столбиком многозначных натуральных чисел.

Деление на натуральное многозначное число производится аналогично. При этом, в первое «промежуточное» делимое включается столько старших разрядов, чтобы оно получилось больше делителя.

Например , 1976 разделим на 26.

• Число 1 в старшем разряде меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр двух старших разрядов - 19.
• Число 19 также меньше 26, поэтому рассмотрим число, составленное из цифр трех старших разрядов - 197.
• Число 197 больше 26, делим 197 десятков на 26: 197: 26 = 7 (15 десятков осталось).
• Переводим 15 десятков в единицы, добавляем 6 единиц из разряда единиц, получаем 156.
• 156 делим на 26, получаем 6.

Значит, 1976: 26 = 76.

Если на каком-то шаге деления «промежуточное» делимое оказалось меньше делителя, то в частном записывается 0, а число из данного разряда переводится в следующий, более младший разряд.

Деление с десятичной дробью в частном.

Десятичные дроби онлайн. Перевод десятичных дробей в обычные и обычных дробей в десятичные.

Если натуральное число не делится нацело на однозначное натуральное число, можно продолжить поразрядное деление и получить в частном десятичную дробь.

Например , 64 разделим на 5.

• 6 десятков делим на 5, получаем 1 десяток и 1 десяток в остатке.
• Оставшийся десяток переводим в единицы, добавляем 4 из разряда единиц, получаем 14.
• 14 единиц делим на 5, получаем 2 единицы и 4 единицы в остатке.
• 4 единицы переводим в десятые, получаем 40 десятых.
• 40 десятых делим на 5, получаем 8 десятых.

Значит, 64: 5 = 12,8

Таким образом, если при делении натурального числа на натуральное однозначное или многозначное число получается остаток, то можно поставить в частном запятую, остаток перевести в единицы следующего, меньшего разряда и продолжать деление.

Отношение делимости. Если при делении с остатком натурального числа а на натуральное число b остаток равен 0, то говорят что а делится на b. В этом случае а называют кратным числа b, b называют делителем числа а.

Обозначение а:b

Запись символами (а,bN) (а:b)(сN) (а=вс).

Простое число. Натуральное число называют простым, если оно делится только на себя и на единицу, т.е если у него только два делителя.

Составное число. Натуральное число называют составным, если у него более двух делителей.

• 1 не является ни простым, ни составным числом, т.к имеет только один делитель - себя.
• 2 - единственное четное простое число.

Свойства отношения делимости:

• 1. если а делится на b, то а?b.
• 2. рефлексивность, т.е. каждое натуральное число делится само на себя.
• 3. антисимметричность, т.е. если два числа не равны, и первое из них делится на второе, то второе не делится на первое.
• 4. транзитивность, т.е. если первое число делится на второе число, второе число делится на третье число, то первое число делится на третье число.

Отношение делимости на N - это отношение частичного нестрогого порядка. Порядок частичный, т.к. есть такие пары разных натуральных чисел, ни одно из которых не делится на другое.

Признак делимости суммы на число. Если каждое слагаемое суммы делится на число, то вся сумма делится на это число (для того чтобы сумма делилась на число, достаточно, чтобы каждое слагаемое делилось на это число). Этот признак не является необходимым, т.е. если каждое слагаемое не делится на число, то вся сумма может делиться на это число.

Признак делимости разности на число. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число и уменьшаемое больше вычитаемого, то разность делится на это число (для того чтобы разность делилась на число, достаточно, чтобы уменьшаемое и вычитаемое делились на это число, при условии, что эта разность положительна). Этот признак не является необходимым, т.е. уменьшаемое и вычитаемое могут не делиться на число, а их разность может делиться на это число.

Признак неделимости суммы на число. Если все слагаемые суммы, кроме одного, делятся на число, то сумма не делится на это число.

Признак делимости произведения на число. Если хотя бы один множитель в произведении делится на число, то произведение делится на это число (для того чтобы произведение делилось на число, достаточно, чтобы один множитель в произведении делился на это число). Этот признак не является необходимым, т.е. если ни один множитель в произведении не делится на число, то произведение может делиться на это число.

Признак делимости произведения на произведение. Если число а делится на число b, число с делится на число d, то произведение чисел а и с делится на произведение чисел b и d. Этот признак не является необходимым.

Признак делимости натуральных чисел на 2. Чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на одну из цифр 0, 2, 4, 6 или 8.

Признак делимости натуральных чисел на 5. Чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на 0 или на 5.

Признак делимости натуральных чисел на 4. Чтобы натуральное число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на 00 или две последние цифры в десятичной записи этого числа образовывали двузначное число, кратное 4.

Признак делимости натуральных чисел на 3. Чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма всех цифр десятичной записи этого числа делилась на 3.

Признак делимости натуральных чисел на 9. Чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма всех цифр десятичной записи этого числа делилась на 9.

Общий делитель натуральных чисел а и в - это натуральное число, которое является делителем каждого из этих чисел.

Наибольший общий делитель натуральных чисел а и в- это наибольшее натуральное число из всех общих делителей этих чисел.

Обозначение НОД (а, в)

Свойства НОД (а, в):

• 1. всегда существует и только один.
• 2. не превосходит меньшего из а и в.
• 3. делится на любой общий делитель а и в.

Общее кратное натуральных чисел а и в - это натуральное число, кратное каждому из этих чисел.

Наименьшее общее кратное натуральных чисел а и в - это наименьшее натуральное число из всех общих кратных этих чисел.

Обозначение НОК (а, в)

Свойства НОК (а, в):

• 1. всегда существует и только одно.
• 2. не меньше большего из а и в.
• 3. любое общее кратное а и в делится на него.

Взаимно простые числа. Натуральные числа а и в называют взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме 1, т.е. НОД (а, в)=1.

Признак делимости на составное число. Чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы число а делилось на каждое из них.

• 1. Чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.
• 2. Чтобы число делилось на 18, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 9.

Разложение числа на простые множители- это представление этого числа в виде произведения простых множителей.

Основная теорема арифметики. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Алгоритм нахождения НОД:

Записать произведение общих для данных чисел простых множителей, причем каждый множитель записать с наименьшим показателем, с каким он входит во все разложения.

Найти значение полученного произведения. Это и будет НОД данных чисел.

Алгоритм нахождения НОК:

Разложить каждое число на простые множители.

Записать произведение всех простых множителей из разложений, причем каждый из них записать с наибольшим показателем, с каким он входит во все разложения.

Найти значение полученного произведения. Это и будет НОК данных чисел.

Множество положительных рациональных чисел

Дробь. Пусть даны отрезок а и единичный отрезок е , который состоит из n отрезков, равных e .

Если отрезок а состоит из m отрезков, равных e . то его длина может быть представлена в виде

Символ называют дробью ; m, n - натуральные числа; m - числитель дроби, n - знаменатель дроби. n показывает, на сколько равных частей разделена единица измерения; m показывает, сколько таких частей содержится в отрезке a.

Равные дроби. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка в одной единице измерения, называют равными.

Признак равенства дробей.

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Сокращение дроби - это замена данной дроби другой, равной ей, но с меньшим числителем и знаменателем.

Несократимая дробь - это дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа, т.е. их НОД равен единице.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей другими, равными им с равными знаменателями.

Положительное рациональное число - это бесконечное множество разных по написанию, но равных между собой дробей; каждая дробь этого множества есть форма записи этого положительного рационального числа.

Равные положительные рациональные числа - это числа, которые могут быть записаны равными дробями.

Сумма положительных рациональных чисел. Если положительное рациональное число a b представлено дробью, то их суммой с , представленное дробью.

Переместительное свойство сложения. От перемены мест слагаемых, значение суммы не меняется.

Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Существование суммы и её единственность. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b их сумма всегда существует и причем единственна.

Правильная дробь - дробь. числитель которой меньше знаменателя.

Неправильная дробь - дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему.

Неправильную дробь можно записать в виде натурального числа или в виде смешанной дроби.

Смешанная дробь - это сумма натурального числа и правильной дроби (принято записывать без знака сложения).

Отношение «меньше» на Q . Положительное рациональное число b меньше положительного рационального числа a, если существует положительное рациональное число c , которое в сумме с b дает a .

Свойства отношения «меньше».

• 1. Антирефлексивность. Ни одно число не может быть меньше самого себя.
• 2. Антисимметричность. Если первое число меньше второго, то второе не может быть меньше первого.
• 3. Транзитивность. Если первое число меньше второго, а второе меньше третьего, то первое число меньше третьего.
• 4. Связанность. Если два числа не равны, то либо первое меньше второго, либо второе меньше первого.

Отношение «меньше» на Q - это отношение строгого линейного порядка.

Разность положительных рациональных чисел. Разностью положительных рациональных чисел a и b называется положительное рациональное число c , которое в сумме с b дает a .

Существование разности. Разность чисел a и b существует тогда и только тогда, когда b меньше a .

Если разность существует, то она единственная.

Произведение положительных рациональных чисел. Если положительное рациональное число a представлено дробью, положительное рациональное число b представлено дробью, то их произведением называется положительное рациональное число с , представленное дробью.

Существование произведения и его единственность. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b их произведение всегда существует и причем единственно.

Переместительное свойство умножения. От перемены мест сомножителей значение произведения не меняется.

Сочетательное свойство умножения. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Распределительное свойство умножения относительно сложения. Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.

Частное положительных рациональных чисел. Частным положительных рациональных чисел a и b называется положительное рациональное число c, которое при умножении на b дает a .

Существование частного. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b , их частное всегда существует и причем единственное.

Множество Q и его свойства.

• 1. Q линейно упорядоченно с помощью отношения «меньше».
• 2. В Q нет наименьшего числа.
• 3. В Q нет наибольшего числа.
• 4. Q бесконечное множество.
• 5. Q плотно в себе, т.е. меду любыми двумя разными положительными рациональными числами заключено бесконечное множество положительных рациональных чисел.

Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Десятичная дробь - это дробь вида m/n , где m и n - натуральные числа.

Виды десятичных дробей. Конечные, бесконечные, периодические (чисто периодические и смешанно периодические), непериодические.

Конечная десятичная дробь - это дробь. в которой после запятой стоит конечное число цифр.

Бесконечная периодическая десятичная дробь - это дробь, которая получается бесконечным повторением одной и той же группой цифр, начиная с некоторого номера, а повторяющаяся группа цифр называется её периодом.

Чисто периодические и смешанно периодические дроби. Если период дроби начинается сразу после запятой, то эта дробь называется чисто периодической. Если между запятой и началом периода есть несколько цифр, то дробь называется смешано периодической.

Теорема. Любое положительное рациональное число может быть представлено либо в виде конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической десятичной дроби.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную. Для перевода надо числитель делить на знаменатель в столбик. При делении получится либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая.

Перевод конечной десятичной дроби в обыкновенную. Отбросить запятую, полученное число записать в числитель, а в знаменатель записать столько нулей после единицы, сколько цифр было после запятой.

Перевод чисто периодической дроби в обыкновенную. Период дроби записать в числитель, а в знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде.

Перевод смешанно периодической дроби в обыкновенную. В числитель записать разность между числом, стоящим между запятой и второй скобкой, и числом, стоящим между запятой и первой скобкой; в знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей после них, сколько цифр между запятой и первой скобкой.

Теорема. Чтобы несократимую дробь можно было записать в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаменателя на простые множители входили лишь числа 2 и 5.

Делимость чисел. Простые и составные числа.

Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся.

Тема «Делимость чисел. Простые и составные числа» – одна из таких тем, которые, начиная с 5 класса, позволяют в большей степени развивать математические способности детей. Работая в школе с углубленным изучением математики, физики и информатики, где обучение ведется с 7 класса, кафедра математики нашей школы заинтересована в том, чтобы ученики уже в 5-7 классах более подробно знакомились с данной темой. Мы стараемся это реализовать на занятиях в школе юных математиков (ШЮМ), а также в региональном летнем математическом лагере, где вместе с учителями нашей школы преподаю и я. Я постаралась подобрать такие задачи, которые интересны учащимся с 5 по 11 класс. Ведь ученики нашей школы изучают данную тему по программе. А выпускники школы последние 2 года встречаются с задачами по этой теме на ЕГЭ (в задачах типа С6). Теоретический материал в различных случаях рассматриваю в разном объеме.

Делимость натуральных чисел.

Некоторые определения:

Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b, если существует такое натуральное число c, что a=bc. При этом пишут: a b . В этом

случае b называют делителем числа a, а a- кратным числа b. Натуральное число называется простым , если у него нет делителей,

отличных от него самого и от единицы (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.). Число называетсясоставным , если оно не является простым. Единица не является ни простым, ни составным.

Число n делится на простое число p в том и только в том случае, если p встречается среди простых множителей, на которые разлагается n.

Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, одновременно являющееся делителем a и делителем b, обозначается НОД (a;b) или D (a;b).

Наименьшим общим кратным называют наименьшее число, делящееся и на a, и на b, обозначается НОК (a;b) или K (a;b).

Числа a и b называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен единице.

Основная теорема арифметики

Всякое натуральное число n единственным образом (с точностью до порядка множителей) раскладывается в произведение степеней простых сомножителей:

n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m

здесь p1, p2 ,…pm - различные простыеделители числа n, а k1 , k2 , …km - степени вхождения (степени кратности) этих делителей.

Признаки делимости

∙ Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2 (то есть четная).

∙ Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

∙ Число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, составленное из двух последних цифр, делится на 4.

∙ Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

∙ Чтобы узнать, делится ли число на 7 (на 13), надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по 3 цифры в каждой (самая левая группа может содержать 1 или 2 цифры), после чего взять группы с нечетными номерами со знаком «минус», а с четными номерами - со знаком «плюс». Если полученное выражение делится на 7 (на 13), то и заданное число делится на 7 (на 13).

∙ Число делится на 8 тогда и только тогда, когда трехзначное число, составленное из трех последних цифр, делится на 8.

∙ Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.

∙ Число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра - ноль.

∙ Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на четных местах в десятичной записи, и сумма его цифр, стоящих на нечетных местах в десятичной записи, дают одинаковые остатки при делении на 11.

Утверждения, связанные с делимостью чисел.

∙ Еслиa b иb c , тоa c .

∙ Если a m , то и ab m.

∙ Если a m и b m, то a+b m

∙ Если a+.b m и a m, то и b m

∙ Если a m и a k, причем m и kвзаимно просты, то a mk

∙ Если ab m и a взаимно просто с m, то b m

∙ На занятиях по данной теме в зависимости от возраста учеников, места и времени проведения занятий, я рассматриваю различные задачи. Подбираю эти задачи, в основном, из источников, которые указаны в конце работы, в том числе и из материалов Пермского регионального турнира юных математиков прошлых лет и материалов II и III этапов Российской олимпиады школьников по математике прошлых лет.

Следующие задачи использую для проведения занятий в 5, 6, 7 классах в ШЮМ1 е при прохождении темы «Делимость чисел. Простые и составные числа. Признаки делимости».

Устные задачи.

1. К числу 15 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 15.

Ответ: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.

2. К числу 10 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 72.

Ответ: 4104.

3. Некоторое число делится на 6 и на 4. Обязательно ли оно делится на 24?

Ответ: нет, например, 12.

4. Найдите наибольшее натуральное число, кратное 36, в записи которого участвуют все цифры по 1 разу.

Ответ: 9876543120.

5. Дано число 645*7235. Замените * цифрой так, чтобы полученное число стало кратно 3. Ответ: 1, 4, 7.

6. Дано число 72*3*. Замените * цифрами так, чтобы полученное число стало кратно 45. Ответ: 72630, 72135.

«Полуустные» задачи.

1. Сколько воскресений может быть в году?

2. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели был 7 числа этого месяца?

3. Начнем считать пальцы рук следующим образом: первым пусть будет большой палец, вторым – указательный, третьим – средний, четвертым – безымянный, пятым – мизинец, шестым – снова безымянный, седьмым – средний, восьмым – указательный, девятым – большой, десятым – указательный палец и т.д. Какой палец будет 2000-м?

1 ШЮМ – Школа Юных Математиков – субботняя школа при ФМШ №146

При каких n число1111...111 делится на 7?

При каких n число1111...111 делится на 999 999 999?

6. Дробь b a – сократима. Будет ли сократима дробьa a + − b b ?

7. В стране Анчурии в обращении имеются купюры достоинством 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать 1 000 000 анчуров с помощью 500 000 купюр?

8. Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.

1. В году может быть 365 или 366 дней, каждый седьмой день – воскресенье, значит, 365=52× 7+1 или 366=52× 7+2, их может быть 52, или 53, если воскресенье пришлось на 1 число.

2. Эти 3 воскресенья пришлись на 2, 16 и 30 числа. Значит, 7 число этого месяца будет пятницей.

3. Количество пальцев при счете будут повторяться с периодом 8, значит, достаточно посчитать остаток от деления 2000 на 8. Он равен 0. Т.к. восьмым идет указательный палец, то и 2000-ым будет указательный палец.

нацело на 7, а 111111=7× 15873. Отсюда следует, что если в записи данного числа больше 6 единиц, то после каждой 6 единицы очередной остаток равен 0. Т.о.,

число вида 1111...111 делится на 7 тогда и только тогда, когда количество его

цифр делится на 6 , т.е. n=7× t, где tÎ Z.

одновременно. В данном числе количество единиц кратно 9. Однако первое и второе такие числа 111 111 111 и 111 111 111 111 111 111 не делятся на 999 999 999. А число, в котором 18 единиц, делится на 999 999 999. При этом, начиная с 18-го, каждое 18-ое число делится на 999 999 999, т.е. n=18× t, где tÎ N.

7. Пусть было a купюр достоинством в 1 анчур, b – достоинством в 10 анчуров, c достоинством в 100 анчуров и d достоинством в 1000 анчуров. Получим

1. Свойство деления двух равных натуральных чисел:

если натуральное число разделить на равное ему число, то в результате получится единица.

Осталось привести пару примеров. Частное от деления натурального числа 405 на равное ему число 405 равно 1; результат деления 73 на 73 также равен 1.

2. Свойство деления натурального числа на единицу:

результатом деления данного натурального числа на единицу является это натуральное число.

Запишем сформулированное свойство деления в буквенном виде: a: 1 = a.

Приведем примеры. Частным от деления натурального числа 23 на 1 является число 23, а результатом деления натурального числа 10 388 на единицу является число 10 388.

3. Деление натуральных чисел не обладает переместительным свойством.

Если делимое и делитель являются равными натуральными числами, то в силу свойства деления равных натуральных чисел, рассмотренного в первом пункте этой статьи, мы можем поменять их местами. При этом результатом деления будет все то же натуральное число 1.

Иными словами, если делимое и делитель являются равными натуральными числами, то в этом случае деление обладает переместительным свойством. 5: 5 = 1 и 5 : 5 = 1

В остальных случаях, когда делимое и делитель не являются равными натуральными числами, переместительное свойство деления не имеет места.

Итак, в общем случае деление натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством .

С помощью букв последнее утверждение записывается как a: b ≠ b: a , где a и b – некоторые натуральные числа, причем a ≠ b .

4. Свойство деления суммы двух натуральных чисел на натуральное число :

разделить сумму двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что сложить частные от деления каждого слагаемого на данное натуральное число.

Запишем это свойство деления с помощью букв. Пусть a, b и c – такие натуральные числа, что a можно разделить на c и b можно разделить на c, тогда (a + b) : c = a: c + b: c. В правой части записанного равенства в первую очередь выполняется деление, после чего – сложение.

Приведем пример, подтверждающий справедливость свойства деления суммы двух натуральных чисел на данное натуральное число. Покажем, что равенство (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 верное. Сначала вычислим значение выражения из левой части равенства. Так как 18 + 36 = 54, то (18 + 36) : 6 = 54: 6. Из таблицы умножения натуральных чисел находим 54: 6 = 9. Переходим к вычислению значения выражения 18:6+36:6. Из таблицы умножения имеем 18: 6 = 3 и 36: 6 = 6, поэтому 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9. Следовательно, равенство (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 верное.

5. Свойство деления разности двух натуральных чисел на натуральное число:

разделить разность двух чисел на данное число – это все равно, что отнять от частного уменьшаемого и данного числа частное вычитаемого и данного числа.

С помощью букв это свойство деление можно записать так: (a - b) : c = a: c - b: c , где a, b и c – такие натуральные числа, что a больше или равно b, а также и a и b можно разделить на c.

В качестве примера, подтверждающего рассматриваемое свойство деления, покажем справедливость равенства (45 - 25) :5 = 45: 5 - 25: 5. Так как 45 - 25 = 20 (при необходимости изучите материал статьи вычитание натуральных чисел), то (45 - 25) : 5 = 20: 5. По таблице умножения находим, что полученное частное равно 4. Теперь вычислим значение выражения 45: 5 - 25: 5, стоящего в правой части равенства. Из таблицы умножения имеем 45: 5 = 9 и 25: 5 = 5, тогда 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. Следовательно, равенство (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 верно.

6. Свойство деления произведения двух натуральных чисел на натуральное число:

результат деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, которое равно одному из множителей, равен другому множителю.

Приведем буквенный вид этого свойства деления: (a · b) : a = b или (a · b) : b = a , где a и b – некоторые натуральные числа.