Эта статья была написана мною несколько лет назад для одного репетиторского сайта. При размещении администратор сайта исказил не только мою фамилию, но и цель моей статьи. Я предназначал ее школьникам, а администратор того сайта переадресовал ее.... начинающим репетиторам, озаглавив "Какие вычисления производит репетитор по математике в уме?" При этом обозначенный им потолок устного счета в его статье на эту тему сводится только к вычислению в уме умножения двузначного числа на однозначное. Он пишет: "Допустим, это 29x7 . «Звуковая дорожка» от репетитора может быть следующей: «29 это двадцать и 9. Двадцать на 7 будет …. (ученик отвечает 14) , а 9 на 7 будет …. (ученик отвечает 63). Сто сорок и шестьдесят три будет …» " Мало того, что в этом тексте есть ошибка (Двадцать на семь будет 140, а не 14) - надо же проверять, считывать написанное (!!!), мало того, что гораздо удобнее тридцать умножить на семь и вычесть семь, так этот приём в статье того репетитора - единственный (????) в вопросе устного счета.
Что же получается? Навыки быстрого устного счета излишни для школьников и ими могут пользоваться только репетиторы? А вот и нет! На моих занятиях я всегда приветствую, когда ученик стремится считать в уме. Да, этому, как правило, не учат в школе. Но как показывает опыт, использовать навыки быстрого устного счета при желании может каждый школьник. И это само по себе полезно, поскольку позволяет "чувствовать" числа и понимать, сколько может получиться при умножении, а сколько не может. Важно только научиться мыслить немножко не так, как учат в школе. И ведь эти приемы могут пригодится школьнику в течение всей школьной программы, и на экзаменах, где, как известно, не разрешается пользоваться калькулятором.
Например, требуется из 11531 вычесть 9487. Как учат в школе? Надо написать столбик, при этом постоянно занимая, считая разность. Между тем, если несколько раз занять, то можно легко ошибиться, где занял, а где нет. А можно подсчитать это в уме совсем другим способом, даже не думая столбиком. Можно заметить, что в уменьшаемом цифры в основном маленькие, а в вычитаемом в основном большие. Тогда считаем таким образом: На сколько 11531 больше, чем 11000? - На 531. На сколько 9487 меньше, чем 10000? - На 513. Между 11000 и 10000 - одна тысяча.

11531 – 9487 = 11000 + 531 – (10000 – 513) = 11000 – 10000 + 531 + 513 = 2044
Этот приём удобнее всего запомнить с помощью рисунка:

А теперь разберём пример посложнее - умножение. Сколько будет 64 * 15? Что такое 15? 15 - это 1,5 * 10. Как число умножается на 1,5, т.е. на полтора? Для этого надо к этому числу прибавить половинку от него самого. Если в примере фигурирует не 1,5, а 15, или 150, то надо приписать ещё справа определённое количество нулей. Таким образом, 64 плюс половинка от этого числа, то есть 32 и ноль приписываем.
То есть 64 + 32 = 96; 96 * 10 = 960.

64 * 15 = 64 * 1,5 * 10 = (64 + 32) * 10 = 960

Теперь умножим 84 на 25. Аналогичный пример, но в этом случае можно подсчитать разными способами. Можно рассматривать 25 как 2,5 * 10. Иными словами, взять 84 два раза и прибавить к полученному результату 42, а потом умножить на 10.

84 * 25 = (84 + 84 + 42) * 10 = 2100
И приписываем ноль. А можно и по-другому. 84 * 0,25 * 100. То есть разбиваем 25 на 0,25 и 100. Зачем нам это надо? Дело в том, что 0,25 это ¼ (одна четвёртая). Иными словами, 84 делим на 4, получается 21, и приписываем два ноля. Получается те же 2100:

84 * 25 = 84 * 0,25 * 100 = 84: 4 * 100 = 2100
Может показаться, что подобные приемы едва ли могут понадобиться в школе, что в школьной программе встречаются только примеры типа 29x7. Между тем в некоторых учебниках полным полно примеров, которые подразумевают применение методов быстрого счета, важно только суметь распознать эти методы. Важно отметить в этой связи, что в учебниках 6-го класса нередко встречаются задания "Вычислить наиболее рациональным способом", а в учебниках следующих классов такие задания обычно отсутствуют. Это не означает, что такие методы надо забыть в старших классах. Вот, пример из реального занятия с учеником 8-го класса. Ему встретилось в одной задаче
375 * 48. Казалось бы, умножать трехзначные числа на двузначные можно только столбиком. Но результат умножения этих двух чисел легче получить в уме. Что такое 375?
- Это 125 * 3. Число 125 - это 0,125 * 1000 (одна восьмая умноженная на тысячу). Следовательно, превращаем 375 в 0,375 (три восьмых) * 1000. Получаем

48 * 375 = 48 * 0,375 * 1000 = 48 * 3: 8 * 1000 = 48: 8 * 3 * 1000 = 18000
Зная этот приём все действия получаются в уме автоматически и ученик может быть уверен, что он нигде не ошибся. Тогда как при подсчете столбиком, где фактически необходимо выполнить несколько действий, вероятность ошибки куда больше.
Для быстрого устного счета неплохо знать наизусть не только таблицу умножения, но и таблицу квадратов, хотя бы до тридцати. Практика показывает, что это относительно несложно, и есть школьники с такими знаниями. К тому же это знание порой позволяет не только возводить в квадрат, но и считать в уме примеры типа 39 * 26, применяя приём разложения на "известные" множители. Нетрудно заметить, что 39 это 13 * 3,
а 26 - это 13 * 2. Зная наизусть, что 13 * 13 = 169, осталось только 169 * 6. 170 * 6 будет 170 * 3 * 2 = 1020 и минус 6, получается 1014.

39 * 26 = 3 * 13 * 2 * 13 = 169 * 6 = 170 * 6 – 6 = 1014

Кстати, о таблице квадратов. Да, таблица квадратов публикуется на форзаце учебников, она публикуется в сборниках для подготовки к экзаменам, ею разрешают пользоваться на экзамене. Получается, что знать таблицу квадратов наизусть необязательно. Однако до революции, когда не было калькуляторов и компьютеров, школьники, по крайней мере, в школе Рачинского (у художника Н.П. Богданова-Бельского есть картина "Устный счёт", напоминающая об этом), умели возводить в квадрат числа до 100 в уме. Не столбиком, а именно в уме. Как они это делали? Казалось бы, процесс достаточно трудоёмкий, даже если применять, например, формулы сокращённого умножения. Действительно, возьмем, например, число 96 и возведём его в квадрат по формуле квадрата суммы (90 + 6) 2 . Получатся три слагаемых, складывать которые подчас неудобно. Еще менее удобно, если взять формулу квадрата разности (100 – 4) 2 . Однако есть приём попроще, но пока стоит сделать отступление и поговорить о формулах сокращённого умножения. Любопытно, но в школьной программе эти формулы используются в самых разных разделах математики - от алгебраической дроби до тригонометрических преобразований, но только не для быстрого умножения чисел. Только при непосредственном изучении темы приводится несколько примеров на счёт с помощью этих формул, да такого рода задания встречаются на вступительных экзаменах в лицеи. Почему? Да потому что производить вычисления в уме с помощью этих формул не слишком удобно, да и методы не универсальны. Конечно в некоторых случаях эти формулы можно использовать для быстрого счёта. Особенно это относится к формуле разность квадратов. Действительно, если надо умножить 37 на 43, 26 на 32, 35 на 25 и т.д. (если разница между числами чётная), то формулой разность квадратов можно добиться быстрого результата, хотя для этого требуется опять-таки знать ещё и таблицу квадратов (37 * 43 = (40 – 3) * (40 + 3) = 1600 – 9 = 1591; 26 * 32 = (29 – 3) * (29 + 3) = 841 – 9 = 832;
35 * 25 = (30 + 5) * (30 – 5) = 900 – 25 = 875). Более удобен другой способ возведения в квадрат, чем применение формул сокращённого умножения. Для примера возьмем то же самое число 96 в квадрате.
Для начала разберёмся с правилом быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Например, 25 в квадрате, 35 в квадрате, 45 в квадрате, 95 в квадрате. Правило такое. Для этого, количество десятков возводимого в квадрат числа (например, 9 в числе 95) умножить на число, которое на единицу больше (то есть на 10 в случае 95) и приписать 25. Получается 9025. Подсчитаем таким способом, например 85 2:

85 2 = 8 * 9 * 100 + 25 = 7225
(на 100 умножаем потому что произведение 8 * 9 даёт нам первые две цифры конечного результата).
Почему так получается комментировать в рамках данной статьи не буду, отмечу лишь, что это правило действует и для трехзначных чисел, что стало встречаться, например, на ОГЭ, причем и в обратную сторону - в виде извлечения арифметического квадратного корня из пятизначного числа, оканчивающегося на...25. По всей вероятности, составители заданий стали учитывать, что публикуемая везде таблица квадратов включает в себя возведение в квадрат только двузначных чисел, и надо проверить школьников чем-нибудь выходящим за рамки этой таблицы. Справедливости ради надо сказать, что и в школах некоторые учителя знакомят учеников с этим приёмом. Хотя обычно не говорится, что с его помощью можно легко получить результат возведения в квадрат любого числа из таблицы. Как это делается? Среди чисел, которые возводятся квадрат, есть т.н. «опорные» числа. Это, во-первых, 10, 20, 30, 40, ….90 и, во-вторых, 15, 25, 35… 95. Это те числа, возвести которые в квадрат очень просто. Теперь берём число 96 и возводим его в квадрат. Для этого к 9025 надо прибавить 95 и 96. Прибавляем 200 и отнимаем (5 + 4 – числа, дополняющие 95 и 96 до 100). Пишем результат – 9216. Почему так?

96 * 96 = (95 + 1) * 96 = 95 * 96 + 1 * 96 = 95 * (95 + 1) + 1 * 96 = 95 * 95 + 95 + 96 = 9216.
Аналогичным способом при соответствующей тренировке можно возводить в квадрат любое число из таблицы квадратов, вплоть до того, чтобы показывать фокусы быстрого счета или феноменальной памяти перед одноклассниками. Для тех, кто всё еще побаивается столь больших чисел, принцип действий можно объяснить на простом примере. 4 в квадрате. Это будет 16. Теперь возведём в квадрат 5. Это будет 25. Зная 4 в квадрате, результат следующего числа в квадрате получается прибавлением к предыдущему суммы возводимых в квадрат чисел. Например, 5 в квадрате это 4 в квадрате + 5 + 4 (т.е. 16 + 9).
Ученик, поднаторевший в применении этих приемов быстрого устного счета вполне может придумать свои приемы, внимательно вглядываясь в числа и находить в них свои закономерности. Как показывает опыт, это стремление приучает его не ошибаться в счете, а поиск своих приемов прививает ему интерес к предмету, позволяет творчески подходить к его изучению и находить в нем что-то свое. Некоторые школьники стремятся блеснуть такими своими умениями перед одноклассниками, а то и вовсе про-демон-стри-ро-вать "фокус" по подсчёту в уме больших чисел. Это надо только приветствовать, хотя и не во всех школах учителя верят, что школьники могут считать что-то в уме, а не на калькуляторе. На моей памяти есть и вовсе анекдотический случай из серии "нарочно не придумаешь", когда ученик в 5-м классе написал: 22 + 33 = 55. Казалось бы, что здесь неправильно? Но ему это учительница зачеркнула, предложив переписать то же самое... столбиком. Вместо того, чтобы учить детей считать в уме, порой встречаются "недоверчивые" учителя, которые полагают, что если столбик не написан, то значит, ученик считал калькулятором.
На индивидуальных занятиях с репетитором по математике бывает полезно уделять внимание изучению приёмов быстрого устного счёта.

© Александр Миров, репетитор по математике, Москва

В системе учебных предметов математике принадлежит особая роль. Она вооружает учеников необходимыми знаниями, умениями и навыками, которые используются при изучении других школьных дисциплин, особенно при изучении геометрии, алгебры, физики и информатики. При изучении данного предмета от учащихся требуется немало волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания, математика развивает личность учащегося. Кроме того, изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников.

Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Именно поэтому учителю необходимо развивать у детей интерес к этой науке, предмету. На мой взгляд, развивать познавательный интерес к математике возможно с помощью использования различных видов устного счета, и привлечения учащихся в подготовке и проведении данного этапа урока и урока в целом.

Устный счет на уроках математики может быть представлен разнообразными формами работы с классом, учениками (математический, арифметический и графический диктанты, математическое лото, ребусы, кроссворды, тесты, беседы, опрос, разминка, «круговые» примеры и многое другое). В него входит алгебраический и геометрический материал, решение простых задач и задач на смекалку, рассматриваются свойства действий над числами и величинами и другие вопросы, с помощью устного счета можно создать проблемную ситуацию и др.

Устный счет это не случайный этап урока, он находится в методической связи с основной темой и носит проблемный характер.

Для достижения правильности и беглости устных вычислений на каждом уроке математики отводится 5-10 минут для проведения упражнений в устных вычислениях.
Устный счет активизирует мыслительную деятельность учащихся. При их выполнении активизируется, развиваются память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции.

Данный этап является неотъемлемой частью в структуре урока математики. Он помогает учителю, во-первых, переключить ученика с одной деятельности на другую, во-вторых, подготовить учащихся к изучению новой темы, в-третьих, в устный счет можно включить задания на повторение и обобщение пройденного материала, в-четвертых, он повышает интеллект учеников.

Целями данного этапа урока можно определить следующее:

1) достижение поставленных целей урока;
2) развитие вычислительных навыков;
3) развитие математической культуры, речи;
4) умение обобщать и систематизировать, переносить полученные знания на новые задания.

Так как устные упражнения или устный счёт это этап урока, то он имеет своизадачи:

1. Воспроизводство и корректировка определённых знаний, умений и навыков учащихся, необходимых для их самостоятельной деятельности на уроке или осознанного восприятия объяснения учителя.
2. Контроль учителя за состоянием знаний учащихся.
3. Психологическая подготовка учащихся к восприятию нового материала.
4. Повышение познавательного интереса.

При проведении устного счета каждый учитель придерживается следующих требований :

• Упражнения для устного счета выбираются не случайно, а целенаправленно.
• Задания должны быть разнообразными, предлагаемые задачи не должны быть легкими, но и не должны быть «громоздкими».
• Тексты упражнений, чертежей и записей, если требуется, должны быть приготовлены заранее.
• К устному счету должны привлекаться все ученики.
• При проведении устного счета должны быть продуманы критерии оценки (поощрение).

Устный счет может быть построен в следующей форме:

• Задания на развитие и совершенствование внимания. Такие как: найди закономерность и реши пример, продолжи ряд.
• Задания на развитие восприятия, пространственного воображения. Например, нарисуйте орнамент, узор; посчитайте сколько линий.
• Задания на развитие наблюдательности (найдите закономерность, что лишнее?)
• Устные упражнения с использованием дидактических игр.

Навыки устных вычислений формируются в процессе выполнения учащимися разнообразных упражнений. Рассмотрим основные их виды:

1) Нахождение значений математических выражений.

Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение. Эти упражнения имеют много вариантов. Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные (выражение с переменной), при этом буквам придают числовые значения и находят числовое значение полученного выражения.

2) Сравнение математических выражений.

Эти упражнения имеют ряд вариантов. Могут быть даны два выражения, а надо установить, равны ли их значения, а если не равны, то какое из них больше или меньше.
Могут предлагаться упражнения, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить: 8 · (10 + 2) = 8 · 10 + …
Выражения таких упражнений могут включать различный числовой материал: однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины. Выражения могут быть с разными действиями.

Главная роль таких упражнений – способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических действиях, их свойствах, о равенствах, о неравенствах и др. Также они помогают выработке вычислительных навыков.

3) Решение уравнений.

Это, прежде всего простейшие уравнения (х + 2 = 10) и более сложные (15 · х – 9 = 51)

Уравнение можно предлагать в разных формах:

• из какого числа надо вычесть 18, чтобы получить 40?
• решение уравнения х · 8 = 72;
• найдите неизвестное число: 77 + х = 77 + 25
• Николай задумал число, умножил его на 5 и получил 125. Какое число задумал Николай?

Назначение таких упражнений – выработать умение решать уравнение, помочь учащимся усвоить связи между компонентами и результатами арифметических действий.

4) Решение задач.

Для устной работы предлагаются и простые и составные задачи.

Эти упражнения включаются с целью выработки умений решать задачи, они помогают усвоению теоретических знаний и выработке вычислительных навыков.
Разнообразие упражнений и возбуждает интерес у детей, активизирует их мыслительную деятельность.

Формы восприятия устного счета

1) Беглый слуховой (читается учителем, учеником, аудиозапись) – при восприятии задания на слух большая нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: они развивают слуховую память.

2) Зрительный (таблицы, плакаты, карточки, записи на доске, компьютере) – запись задания облегчает вычисления (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно и даже невозможно выполнить задание. Например, надо выполнить действие с величинами, выраженными в единицах двух наименований, заполнить таблицу или выполнить действия при сравнении выражений.

3) Комбинированный.

• обратная связь (показ ответов с помощью карточек, взаимопроверка, угадывание ключевых слов, проверка с помощью компьютерной программы Microsoft Power Point).
• задания по вариантам (обеспечивают самостоятельность).
• упражнения в форме игры (“Диалог”, “Математический поединок”, “Магические квадраты”, “Лабиринт сомножителей”, “Викторина”, “Волшебное число”, “Индивидуальное лото”, “Лучший счетчик”, “Кодированные упражнения”, “Фишка”, “Кто быстрее”, “Цветок, солнышко”, “Числовая мельница”, “Числовой фейерверк”, “Математический феномен”, “Молчанка”, “Математическая эстафета”). Пути и формы использования перечисленных игр на уроках математики рассмотрены в работе В. П. Коваленко “Дидактические игры на уроках математики”.

Организация занятий по устному счету

При подготовке к уроку учитель должен четко определить (исходя из целей урока) объем и содержание устных заданий. Если цель урока – изложение новой темы, то в начале занятий можно провести устные вычисления по пройденному материалу, также можно организовать работу так, чтобы был плавный переход к новой теме. После изложения новой темы уместно предложить учащимся устные задания на выработку умений и навыков по этой теме. Если цель урока – повторение, то к устным вычислениям в классе должны готовиться и учитель, и учащиеся. Учащиеся, с консультацией учителя, могут проводить устный счет сами на каждом уроке.
Устный счет можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать при опросе, а также специально отводить 5-7 минут на уроке для устного счёта. Материал для этого можно подобрать из учебника специальных сборников, математических энциклопедий или книг, можно предложить учащимся самим придумать задания.
Устные упражнения должны соответствовать теме и цели урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. В зависимости от этого учитель определяет место устного счета на уроке. Если устные упражнения предназначаются для повторения материала, формированию вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то лучше их провести в начале урока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения нового материала.
При подборе упражнений для урока следует учитывать, что подготовительные упражнения и первые упражнения для закрепления, как правило, должны формироваться проще и прямолинейнее. Здесь ненужно стремиться к особенному разнообразию в формулировках и приёмах работы. Упражнения для отработки знаний и навыков и, особенно для применения их в различных условиях, наоборот должны быть однообразнее. Формулировки заданий, по возможности должны быть рассчитаны на то, чтобы они легко воспринимались на слух. Для этого они должны быть чёткими и лаконичными, сформулированы легко и определённо, не допускать различного толкования.
Помимо того, что устный счет на уроках математики способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыков и умений, он также играет немаловажную роль в привитии и повышении у детей познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, развития логического мышления, и развития личностных качеств ребенка. На мой взгляд, вызывая интерес и прививая любовь к математике с помощью различных видов устных упражнений, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждать у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными. А это - важнейшее условие сознательного усвоения материала.
Если ученику нравится предмет, то он будет всегда с интересом, увлеченно осваивать все больше знаний, а повышение интереса на уроках математики может достигаться следующим образом:

1) Обогащение содержания материалом по истории науки, который часто встречается на страницах учебника.
2) Решение задач повышенной трудности и нестандартных задач. Подбор заданий осуществляется из рабочих тетрадей, дидактических материалов.
3) Подчеркивание силы и изящества, рациональность методов вычислений, доказательств, преобразований и исследований.
4) Разнообразием уроков, нестандартным их построением, включением в уроки элементов придающих каждому уроку своеобразный характер, решение проблемных ситуаций, использование технические средства обучения (интерактивная доска, компьютер и др.), наглядных пособий, разнообразием устного счета.
5) Активизация познавательной деятельности учащихся на уроке с использованием форм самостоятельной и творческой работы.
6) Используя различные формы обратной связи: систематическим проведением опроса, кратковременных устных и письменных контрольных работ, различных тестов, математических диктантов, зачетов наряду с контрольными работами, предусмотренными планом.
7) Разнообразие домашнего задания. Например, предложить ученикам написать сказку о геометрической фигуре, стихотворение о дроби, степени.
8) Установление внутренних и межпредметных связей, показом и разъяснением применения математики в жизни и в производстве.

Например, при изучении треугольников, можно рассказать, что треугольники используются в игре бильярд, боулинг; при строительстве железных конструкций (Шуховская башня на Шаболовке); железнодорожных мостов; высоковольтных линий электропередач; познакомить легендами о Бермудском треугольнике, с треугольником Паскаля, Пенроуза и многое другое.

Ученикам нравится принимать участие в подготовке к уроку, поэтому дополнительно к домашнему заданию по желанию можно дать задание самостоятельно подготовить устный счет к уроку в соответствии с тематикой, и провести самому на следующем уроке (побывать в роли учителя). Также можно дать задание учащимся подготовить реферат, доклад, придумать головоломку, ребус, игру (см. Приложение 1 ).

Ребята очень ответственно и старательно готовят и проводят устную работу на уроках. При выполнении этого задания они прикладывают не мало усилий, так как нужно придумать такие задания, чтобы классу было интересно, чтобы задания соответствовали теме урока.

Насыщение уроков разнообразными, занимательными и полезными вычислительными заданиями при большой плотности текущего теоретического материала по изучаемым темам возможно лишь через совершенствование системы устных упражнений на уроках. Это позволит, прежде всего, научить учащихся учиться, вникать на каждом шагу обучения в смысл изучаемого настолько, чтобы получить возможность самостоятельно решать возникающие задачи.
Это придает им уверенность в себе и подвигает их на улучшение достигнутых результатов, дети начинают активно работать на уроке и им начинает нравиться этот предмет.
Еще важно заметить следующее, то, что учащиеся начальных и средних классов быстро считают, вычисляют в уме, устно, но почему-то в старших классах устный счет производится с помощью калькулятора или с большим трудом без калькулятора. Мне кажется, нужно стремиться к тому, чтобы этого не происходило. И этого конечно можно достичь с применением устного счета как важного и нужного элемента урока.
Устный счет как обязательный этап урока должен проводиться на уроках математики как начальных классах, так в средних и старших классах.

Список литературы:

1. Беримец В.И. “Использование различных видов устных упражнений, как средство повышения познавательного интереса к уроку математики”.
2. В. П. Коваленко “Дидактические игры на уроках математики”.
3. Зайцева О.П. Роль устного счёта в формировании вычислительных навыков и в развитии личности ребёнка // Начальная школа, 2001 г. № 1
4. Н.К. Винокурова : «Подумаем вместе», М. «Рост».

Управление образования городского округа «Охинский»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 1 г. Охи

Приёмы

устного счёта

Работу выполнили:

Учащиеся 5 класса «А»

Турбоевская Ева

Безинский Станислав

Руководитель проекта:

учитель математики

Кравчук Мария Аркадьевна

2017г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………...

Глава 1. ИСТОРИЯ СЧЁТА ………………………………………………….....

Глава 2. ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ НА ПАЛЬЦАХ …………………………

2.1 Таблица умножение на 9

2.2 Умножение чисел от 6 до 9

Глава 3. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ ……………………….....

3.1 Умножение числа на 9

3.2 Умножение двузначных чисел на 11

3.3 Умножение двузначных чисел на 111, 1111 и т. д.

3.4 Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д.

3.5 Умножение на 5; 25; 125

3.7 Умножение на 37

3.8 Умножение числа на 1,5

Глава 4. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА …………...

4.1 Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5

4.2 Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………….....

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………………

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ………………………………………………………………..

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ………………………………………………………………..

ВВЕДЕНИЕ

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.

Актуальность нашего проекта состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно.

А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека.

Цель проекта: изучить приемы устного счета, показать необходимость их применения для упрощения вычислений.

В соответствии с поставленной целью были определены задачи:

Исследовать, применяют ли школьники приемы устного счета.

Изучить приемы устного счета, которые можно использовать, упрощая вычисления.

Составить памятку для учащихся 5 - 6 классов для применения приемов быстрого устного счета.

Объект исследования: приемы устного счета.

Предмет исследования : процесс вычислений.

Гипотеза: если показать, что применение приемов быстрого устного счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и им будет легче решать практические задачи.

При выполнении работы были использованы следующие приемы и методы : опрос (анкетирование), анализ (статистическая обработка данных), работа с источниками информации, практическая работа.

Для начала, мы провели анкетирование в 5-х и 6-х классах нашей школы. Задавали ребятам простые вопросы. Зачем нужно уметь считать? При изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать? Знаешь ли ты приемы устного счета? Хотели бы вы узнать приемы быстрого устного счета, чтобы быстро считать? Приложение 1

В опросе приняли участие 105 человек. Проанализировав результаты, мы сделали вывод, что большинство учеников полагают , что умение считать пригодится в жизни и чтобы быть грамотным, особенно при изучении математики (100%), физики (68%), химии (50%), информатики (63%). Приемы устного счета знает небольшое количество учащихся и почти все хотели бы научиться быстрому устному счёту (63%). Приложение 2

Изучив ряд статей, мы открыли для себя очень интересные исторические факты о необычных способах устного счёта, а также много закономерностей и неожиданных результатов. Поэтому в своей работе мы покажем, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения этих действий может быть не только полезным, но и интересным занятием.

Глава 1. ИСТОРИЯ СЧЁТА

Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал–энэа», 4 «петчевал–петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньших: 4=«булан–булан», 5=«булан–гулиба», 6=«гулиба–гулиба» и т.д.

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине у берегах Амура нивхи. Ещё в XIX веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.

Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

До сих пор я рассказывал об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни – Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25 000 лет назад.

Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.

За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами–числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).

Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в VI веке индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.

При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале XV в. самаркандский математик и астроном аль–Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.

Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.

Глава 2. ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ НА ПАЛЬЦАХ

2.1 Таблица умножение на 9.

Движение пальца – это один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо загнуть тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять. Число пальцев, лежащих слева от загнутого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа, обозначает число единиц полученного произведения.

3 · 9= 27

Попробуйте сами умножить с помощью этого способа: 6 · 9, 9 · 7.

2.2 Умножение чисел от 6 до 9.

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета ).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример: 8 ∙ 9 = 72

Таким образом, 7 · 7 = 49.

Глава 3. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ

3.1 Умножение числа на 9.

Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать 0 и отнять исходное число.

Например: 72 · 9 = 720 – 72 = 648.

3.2 Умножение двухзначных чисел на 11.

Чтобы умножить число на 11 надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.

45 ∙ 11 = 495

53 ∙ 11 = 583

«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и третью цифру оставить без изменения.

87 ∙ 11 = 957

94 ∙ 11 = 1024

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел

3.3 Умножение двухзначных чисел на 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.

Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить данные цифры и записать их сумму между раздвинутыми цифрами соответствующее количество раз. Заметьте, количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

Пример:

24 · 111=2 (2+4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов - 2)

24 · 1111=2 (2+4) (2+4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов - 3)

42 · 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. (количество шагов – 5)

Если единиц 6, то шагов будет 1 меньше, то есть 5.

Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

Примеры:

86 · 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

3.4 Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д..

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:

32 · 101 = 3232;

47 · 101 = 4747;

324 · 1001 = 324 324;

675 · 1001 = 675 675;

6478 · 10001 = 64786478;

846932 · 1000001 = 846932846932.

3.5 Умножение на 5; 25; 125.

Сначала умножить на 10, 100, 1000 и результат разделить на 2, 4, 8

32 · 5 = 32 · 10: 2 = 320: 2 = 160

84· 25 = 84 · 100: 4 = 8400: 4 = 2100

24 ·125 = 24 · 1000: 8 = 24000: 8 = 3000

Можно иначе: 32 · 5 = 32: 2 ·10 = 160

3.6 Умножение на 22, 33, … , 99

Чтобы двузначное число умножить на 22,33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Примеры:

18 · 44 = 18 · 4 · 11 = 72 · 11 = 792;

42 · 22 = 42 · 2 · 11 = 84 · 11 = 924;

13 · 55 = 13 · 5 · 11 = 65 · 11 = 715;

24 · 99 = 24 · 9 · 11 = 216 · 11 = 2376.

3.7 Умножение на 37

Прежде чем научиться устно умножать на 37,надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

Примеры:

24 · 37 = (24: 3) · 37 · 3 = 8 · 111 = 888;

· 37 = (18: 3) · 111 = 6 · 111 = 666.

3.8 Умножение числа на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например:

34 · 1,5 = 34 + 17 = 51;

146 · 1,5 = 146 + 73 = 219.

Глава 4. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА

4.1 Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25.

25 · 25 = 625

2 · (2 + 1) = 2 · 3 = 6, пишем 6; 5 · 5 = 25, записываем 25.

35 · 35 = 1225

3 · (3 + 1) = 3 · 4 = 12, пишем 12; 5 · 5 = 25, записываем 25.

4.2 Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Например:
52 2 = 2704, т.к. 25 +2 = 27 и 2 2 = 04;
58 2 = 3364, т.к. 25 + 8 = 33 и 8 2 = 64.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как мы видим, быстрый устный счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.

Все рассмотренные нами методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.

Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.

Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.

В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого устного счета будет очень полезной для учащихся 5-6 классов.

Мы выбрали тему «Приемы устного счета» потому, что любим математику и хотели бы научиться считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом «Фёдоров», 1999г.

Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.

Устный счет, Камаев П. М. 2007г.

«Устный счёт – гимнастика ума» Г.А.Филиппов

«Устный счет». Э.Л.Струнников

Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер», Минск, Попурри, 2009г.

Приложение 1

АНКЕТА

1 . Зачем нужно уметь считать?

а) пригодится в жизни, например, считать деньги;

б) чтобы хорошо учиться в школе; в) чтобы быстро решать;

г) чтобы быть грамотным; д) не обязательно уметь считать.

2. Перечисли, при изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

а) математика; б) физика; в) химия; г) технология; д) музыка; е) физическая культура;

ж) ОБЖ; з) информатика; и) география; к) русский язык; л) литература.

3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?

а) да, много; б) да, несколько; в) нет, не знаю.

4. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?

а) да; б) нет.

Приложение 2

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

1) Зачем нужно уметь считать?

Пригодится в жизни

Чтобы хорошо учиться в школе

Чтобы быстро решать

Чтобы быть грамотным

Не обязательно уметь считать

Количество учащихся

65

32

36

60

0

%

62%

30%

34%

57%

0%

2) При изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

Математика

Физика

Химия

Технология

Музыка

Физическая культура

ОБЖ

Информатика

География

Русский язык

Литература

Количество учащихся

105

71

55

37

5

26

7

66

39

18

12

%

100%

68%

52%

35%

5%

25%

7%

63%

Нет,

не знаю

Количество учащихся

18

21

66

%

17%

20%

63%

4) Хотели бы вы узнать приёмы быстрого счёта, чтобы быстро решать?

Да

Нет

Количество учащихся

91

9

%

91%

9%

И является одной из главных задач обучения математике на этом этапе . Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции .

Феноменальные счётчики

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс . Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте . Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова .

Среди известных российских «супер счётчиков»:

Среди зарубежных:

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях , другие аргументировано доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы .

Истина, как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто следуя Трофиму Лысенко уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приёмами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями как устный счёт, шахматы вслепую и т. п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжёлых случаях - и к шизофрении). С другой стороны и одарённые люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области как устный счёт быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения.

Соревнования по устному счёту

Метод Трахтенберга

Среди практикующихся в устном счёте пользуется популярностью книга «Системы быстрого счёта» цюрихского профессора математики Якова Трахтенберга . История её создания необычна . В 1941 году немцы бросили будущего автора в концлагерь . Чтобы сохранить ясность ума и выжить в этих условиях, учёный стал разрабатывать систему ускоренного счёта. За четыре года ему удалось создать стройную систему для взрослых и детей, которую впоследствии он изложил в книге. После войны учёный создал и возглавил Цюрихский математический институт .

Устный счёт в искусстве

В России хорошо известна картина русского художника Николая Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского », написанная в 1895 году. Приведённая на доске задача, над которой размышляют ученики, требует достаточно высоких навыков устного счёта и смекалки. Вот её условие:

Феномен быстрого счёта больного аутизмом раскрывается в фильме «Человек дождя » Барри Левинсона и в фильме «Пи » Даррена Аронофски .

Некоторые приёмы устного счёта

Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34*9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30*9=270, 4*9=36, 270+36=306) .

Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19*9. В этом случае умножение 147*8 выполняется в уме так: 147*8=140*8+7*8= 1120 + 56= 1176 . Однако, не зная таблицу умножения до 19*9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры как 147*8=(150-3)*8=150*8-3*8=1200-24=1176

Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225*6=225*2*3=450*3=1350 . Также, проще может оказаться 225*6=(200+25)*6=200*6+25*6=1200+150=1350.

Существует ещё несколько способов устного счета, например при умножении на 1,5 умножаемое нужно разделить пополам и прибавить к умножаемому, например 48*1,5= 48/2+48=72

Также есть особенности при умножение на 9. для того чтобы умножить число на 9 надо к множимому приписать 0 и к получаемому числу отнять множимое, например 45*9=450-45=405

Умножать на 5 удобнее так: сначала умножить на 10, а потом разделить на 2

Возведение числа вида X5 (оканчивающегося пятеркой) в квадрат производится по схеме: умножаем X на X+1 и приписываем 25 справа, т.е. (X5)² = (X*(X+1))*100 + 25. Например, 65² = 6*7 и приписываем справа 25 = 4225 или 95² = 9025 (9*10 и приписать 25 справа). Доказательство: (X*10+5)² = X²*100 + 2*X*10*5 + 25 = X*100*(X+1) + 25.

См. также

Примечания

Литература

• Бантова М. А. Система формирования вычислительных навыков. //Нач. шк - 1993.-№ 11.-с. 38-43.
• Белошистая А. В. Приём формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. - 2001.- № 7
• Берман Г. Н. Приемы счёта, изд. 6-е, М.: Физматгиз, 1959.
• Боротьбенко Е И. Контроль навыков устных вычислений. //Нач. шк. - 1972. - № 7.- с. 32-34.
• Воздвиженский А. Умственные вычисления. Правила и упрощённые примеры действий с числами. - 1908.
• Волкова СИ., Моро М. И. Сложение и вычитание многозначных чисел. //Нач. шк.- 1998.-№ 8.-с.46-50
• Воскресенский М. П. Приёмы сокращённых вычислений. - М.Д905.-148с.
• Вроблевский . Как научится легко и быстро считать. - М.-1932.-132с.
• Гольдштейн Д. Н. Курс упрощённых вычислений. М.: Гос. учебно-пед. изд., 1931.
• Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948.
• Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры // В сб. Устный счёт и память. Донецк:Сталкер, 1997 г.
• Демидова Т. Е., Тонких А. П. Приёмы рациональных вычислений в начальном курсе математики // Начальная школа. - 2002. - № 2. - С. 94-103.
• Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. - М.: Учпедгиз.- 1967. −150с.
• Липатникова И. Г. Роль устных упражнений на уроках математики //Начальная школа. - 1998. - № 2.
• Мартель Ф. Приемы быстрого счёта. - Пб. −1913. −34с.
• Мартынов И. И. Устный счёт для школьника, что гаммы для музыканта. // Начальная школа. - 2003. - № 10. - С. 59-61.
• Мелентьев П. В. «Быстрые и устные вычисления.» М.: «Гостехиздат», 1930.
• Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1945.
• Пекелис В. Д. «Твои возможности, человек!» М.: «Знание», 1973.
• Робер Токэ «2 + 2 = 4» (1957) (англоязычное издание: «Магия чисел» (1960)).
• Сорокин А. С. Техника счёта. М.: «Знание», 1976.
• Сухорукова А. Ф. Больше внимания устным вычислениям. //Нач. шк. - 1975.-№ 10.-с. 59-62.
• Фаддейчева Т. И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. - 2003. - № 10.
• Фаермарк Д. С. «Задача пришла с картины.» М.: «Наука».

Ссылки

• В. Пекелис. Чудо-счётчики // Техника-молодёжи , № 7, 1974 г.
• С. Транковский. Устный счёт // Наука и жизнь , № 7, 2006 год.
• 1001 задача для умственного счёта С.А. Рачинского .

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Устный счёт" в других словарях:

устный - устный … Русский орфографический словарь

Произносимый, словесный, вербальный, изустный. Ant. письменный Словарь русских синонимов. устный изустный, словесный; вербальный (спец.) Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011 … Словарь синонимов

- [сн], устная, устное. 1. Произносимый, письменно не закрепленный. Устная речь. Устная традиция. Устный зачет. Устно (нареч.) передать ответ. 2. прил. к уста, ротовой (анат.). Устные мышцы. ❖ Устная словесность (филол.) то же, что фольклор.… … Толковый словарь Ушакова

УСТНЫЙ, см. уста. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

МОУ «Брёховская основная общеобразовательная школа»

Устный счёт на уроках математики.

Из опыта работы В.,

с. Брёхово 2010

Ну-ка, в сторону карандаши!

Ни костяшек, ни ручек, ни мела.

Устный счёт! Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Числа сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица.

Устный счёт! Мы считаем в уме.

В начале каждого урока математики я провожу устный счёт, во время которого учу детей рассуждать, мыслить, анализировать, сравнивать, обобщать, выявлять закономерности, учу быстрым и рациональным приёмам устных вычислений. Работаю над развитием таких психических качеств, как восприятие, внимание, воображение, память, мышление. Кроме этого развиваю умение быстро переключаться с одного вида деятельности на другой.

К организации устного счёта я предъявляю следующие требования:

Занимательность

Оригинальность

Разнообразие

Систематичность

Познавательность

Последовательность.

Во время устного счёта использую занимательные задачи, ребусы, головоломки, игры, магические квадраты, загадки, разные виды устного народного творчества. Применяя самые разнообразные задания, создавая атмосферу интереса, творчества, сотрудничества воспитываю у детей самостоятельность, любознательность, стремление к творчеству, интерес к математике.

Часто начинаю уроки с интеллектуальной разминки.

Интеллектуальные разминки.

· Ты да я, да мы с тобой. Сколько нас всего? (2)

· Ехал по морю купец, ел с Алёной огурец. Половину съел сам, половину кому отдал? (Алёне)

· Мой приятель шёл, пятак нашёл. Вдвоём пойдём, сколько найдём? (Не предскажешь).

· Шёл человек в город, а навстречу ему шли четверо его знакомых. Сколько человек шло в город? (один)

· Что можно приготовить, но невозможно съесть? (уроки)

· Горело семь свечей, две погасли. Сколько свечей осталось? (2)

· Собака была привязана на 10-метровую верёвку, а ушла на 300 метров. Как это так? (Ушла вместе с верёвкой)

· Что не имеет длины, ширины, глубины, высоты и тем не менее можно измерить? (возраст)

· Как число 86 увеличить на 12 без вычислений? (Перевернуть.)

· По небу летели воробей, ворона, стрекоза, ласточка и шмель. Сколько птиц летело? (3 птицы)

· Возле ёлок и иголок

Летним днём построен дом,

За травой не виден он,

А жильцов в нём миллион. (Муравейник.)

· Летела стая гусей, а навстречу им гусак.

Здравствуйте, десять гусей!

Нет, нас не десять. Если бы ты был с нами да ещё двое гусей, то тогда было

бы десять.

Сколько в стае гусей?

Найди закономерности.

С первого класса включаем в устный счёт задания на выявление закономерностей.

Продолжи ряд чисел, используя для этого выявленную закономерность.

2, 4, 6, 8, …, …, … .

2, 5, 8, …, …, … .

Найди закономерности, по которым составлены ряды чисел, продолжи их.

Числа четвёртой колонки таблицы получены в результате выполнения действий над числами первых двух колонок. По результатам первых строк установи правило, по которому получаются числа четвёртой колонки. Какие числа должны быть в пустых клетках четвёртой колонки?

Продолжите столбики:

36: 4 = 6 * 5 = □ : 6 = 3

32: 4 = 5 * 5 = □: 6 = 4

28: 4 = 4 * 5 = □: 6 = 5

……….. ………. ……….

………… ……….. ……….

Предполагается, что учащиеся определят закономерность в составлении каждого столбика и продолжат его.

Задачи для развития логического мышления.

· В трёх коробках лежат скрепки, кнопки и спички. Известно, что все три надписи неверные. Определите, где что лежит.

https://pandia.ru/text/78/123/images/image002_63.gif" width="612" height="96">

· В будках живут сторожевые собаки. Алый терпеть не может Полкана, поэтому их будки не рядом. Полкан не переносит Рекса – их домики стоят врозь. Рекс недолюбливает Мухтара, поэтому их домики не соседние. Крайняя слева будка Рекса. В какой будке живёт Мухтар?

https://pandia.ru/text/78/123/images/image004_20.jpg" width="540" height="236 src=">

Ребус – это загадка. Его особенность состоит в том, что вместо слов в нём поставлены знаки, фигуры и даже рисунки – их надо разгадать.

Разгадайте следующие ребусы:

https://pandia.ru/text/78/123/images/image006_23.gif" width="612" height="144">

Поставьте вместо вопросительных знаков названия цифр так, чтобы получились имена существительные.

Формирование навыков устного счёта.

Навыки устного счёта формирую в играх «Молчанка», «Цепочка», которые можно проводить во всех классах начальной школы, постепенно усложняя. Эти игры хороши прежде всего тем, что проходят быстро и занимательно.

https://pandia.ru/text/78/123/images/image010_16.gif" alt="Овал: 300: 5 " width="102" height="100">
.gif" alt="8-конечная звезда: 8 +" width="104" height="114 src="> 9 7

Много игр провожу для формирования навыков табличного умножения и деления.

Ученики по очереди встают и воспроизводят таблицу умножения. Например, на 2: первый ученик – 2*2 = 4, второй – 2 *3 = 6 и т. д..Ученик, который правильно назвал пример из таблицы и его ответ, садится на место. А тот, кто ошибся, стоит, т. е. остаётся «в решете».

Ролевая игра.

Первый ученик первого ряда встаёт и называет делимое, первый ученик второго ряда – делитель, первый ученик третьего ряда – частное. Затем встают вторые ученики каждого ряда и продолжают игру.

В устный счёт включаю задания, способствующие развитию самостоятельности в проявлении вариативности .

Какие числа можно вставить, чтобы равенства были верными? («Окошки» обозначают числа, которые нужно подставить вместо них.)

700: 10 = □ + □

5 * □ = □ - 400

□ + 8 = □ : 50

630: □ = 70 - □

Составьте примеры по схемам, где это возможно. Вычислите. Где невозможно составить пример? Объясните почему.

а) □□ + □ = □□□

б) □□ - □ = □□□

в) □□ - □ = □□

г) □□□ - □□ = □□

д) □ + □ + □ = □□□

е) □□□ - □ - □ = □

Нравится детям решать задачи в стихах.

Задача с яблоками. Л. Пантелеев

Ящик яблок прислала.

В этом ящике яблок

Было, в общем, немало.

Помогали мне сёстры,

Помогали мне братья.

И пока мы считали,

Мы ужасно устали,

Мы устали, присели

И по яблоку съели.

И осталось их – сколько?

А осталось их столько,

Что пока мы считали –

Восемь раз мы сидели,

Восемь раз отдыхали

И по яблоку ели.

И осталось их – сколько?

Ох, осталось их столько,

Что, когда в этот ящик

Мы опять поглядели,

Там на дне его чистом

Только стружки белели….

Только стружки-пеструшки,

Только стружки белели.

Вот прошу угадать я

Всех ребят и девчонок:

Сколько было нас, братьев?

Сколько было сестрёнок?

Поделили мы яблоки

Все без остатка.

А всего-то их было

Пятьдесят без десятка.

Приёмы быстрого счёта.

С первого класса учу детей быстрым и рациональным приёмам устных вычислений. Если одно из слагаемых 9, увеличь его на 1, при этом второе слагаемое надо уменьшить на 1. если одно из слагаемых 8, увеличь его на 2, при этом второе слагаемое надо уменьшить на 2.

9 + 5 = (9 + 1) + (5 – 1) = 10 + 4 = 14

8 + 4 = (8 + 2) + (4 – 2) = 10 + 2 = 12

Во втором классе находим значение выражений, в которых нужно к двузначному числу прибавить 9. Для этого нужно количество десятков увеличить на 1, а количество единиц уменьшить на 1.

13 + 9 =+ 9 =+ 9 = 98

Как быстро от числа отнять 9? Нужно количество десятков уменьшить на 1, а количество единиц увеличить на 1.

34 – 9 =– 9 =– 9 = 33

Как быстро найти разность многозначных чисел? Разность не изменяется от увеличения или уменьшения уменьшаемого и вычитаемого на одно и тоже число. Можно легко эти примеры решать на основе округления вычитаемого.

572 – 395 = 572 – 400 +5 = 172 + 5 = 177 (Учащиеся поймут, если из уменьшаемого вычитается лишняя пятёрка, то её надо прибавить к разности.)

25 406 – 4 991 =

Как быстро умножить на 5 двузначное, трёхзначное, многозначное число?

Например: 2648 * 5

А приём такой: в уме разделить 2648 на 2, а потом приписать справа 0.

13240 – результат.

А если число не делится на 2?

При делении на 2 в остатке может получиться только 1. а если 1 умножить на 5, будет 5. Значит, вместо нуля на конце надо поставить 5.

Например, 125 * 5, 125: 5 = 62 (ост. 1), значит, 125 * 5 = 625

Как быстро умножить на 25?

48 * 25 = (48: 4) * 100 =1200

Если число разделить на 4, а потом умножить на 100, так оно умножится на 25. Если же множимое не делится на 4, то в остатке может получится или 1, или 2. или 3. Если в остатке получится 1, то вместо двух нулей ставим 25, если в остатке 2, то 50, если 3, то 75.

37 * 25, 37: 4 = 9 (ост. 1), значит, 37 * 25 = 925

38 * 25, 38: 4 = 9 (ост. 2), значит, 38 * 25 = 950

39 * 25, 39: 4 = 9 (ост. 3), значит 39 * 25 = 975

Устное народное творчество.

Разные виды устного народного творчества во время устного счёта помогают

не только снять напряжение, но и развивают речь ребёнка, обогащают словарный запас, тренируют внимание, память, закладывают основы творчества.

Дети, знаете ли вы загадки с числами? Загадайте, а мы отгадаем.

А сейчас отгадайте следующие загадки:

· Пять ступенек – лесенка, на ступеньках – песенка. (ноты)

· Приказало солнце: «Стой,

Семицветный мост крутой!» (радуга)

· Под крышей четыре ножки,

А на крыше суп да ложки. (стол)

· У него глаза цветные,

Не глаза, а три огня.

Он по очереди ими

Сверху смотрит на меня. (светофор)

Какие числа встречались в загадках?

Знаете ли вы пословицы с числами? Можно провести игру «Закончи пословицу».

Кто скоро помог, тот дважды помог.

Одна пчела немного мёду натаскает.

Одно дерево срубишь – десять посади.

Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

Трус умирает сто раз, а герой – один раз.

Чтобы научиться трудолюбию, нужно три года,

Чтобы научиться лени – только три дня.

Семь раз примерь, один раз отрежь.

Семеро одного не ждут.

Игра «Пересадки».

Для закрепления теоретических знаний по математике провожу игру «Пересадки». Задаю вопрос. Ученик, ответивший правильно на данный вопрос, пересаживается на отдельный стул. Ученик, ответивший правильно на второй вопрос, занимает место первого ученика и т. д.. В конце игры подвожу итог. Спрашиваю: «Кто пересаживался? Молодцы! Садитесь на свои места».

Вопросы могут быть следующие:

Как называются числа при делении? При умножении? При вычитании? При сложении?

Что такое периметр?

Как найти периметр прямоугольника? Квадрата?

Как найти площадь прямоугольника?

Какой остаток может быть при делении?

Как найти неизвестное слагаемое? Вычитаемое? Неизвестный множитель?

Что получится при умножении числа на нуль? И другие.

Геометрический материал.

Включаю в устный счёт задания геометрического характера.

Каких фигур больше: треугольников или четырёхугольников?

https://pandia.ru/text/78/123/images/image015_8.gif" width="432" height="132">

Подсчитайте, сколько треугольников.

https://pandia.ru/text/78/123/images/image017_8.gif" width="612" height="120">

Сколько отрезков?

644 " style="width:483.35pt;border-collapse:collapse;border:none">

Плюс и минус.

Сказочные герои.

Найди лишнее слово.

Плюс и минус.

Расставьте в подходящих местах знаки «плюс» и «минус».

Сказочные герои.

10. Волк и заяц пошли покупать мороженое. Волк говорит: «Я большой и куплю три порции, а ты маленький, так что попроси две». Заяц согласился. Съел Волк мороженое, глянул на Зайца, да как крикнет: «Ну, Заяц, погоди!»

Почему рассердился Волк? (Заяц купил два раза по две порции.)

Сколько всего порций мороженого купили Волк и Заяц?

20. Около избушки на курьих ножках стоят две бочки с водой. В одной бочке 20 вёдер воды, а в другой – 15 вёдер. Из одной бочки Баба-Яга взяла 5 вёдер воды. Сколько вёдер воды осталось в бочках? (30вёдер)

30. Незнайка заметил, что яйцо всмятку сварилось за 3 минуты. Тогда он решил, что 2 яйца будут вариться всмятку вдвое дольше, то есть 6 минут. Прав ли Незнайка? (нет)

40. Незнайка посадил 50 семян гороха. Из каждого десятка не взошло 2 семени. Сколько всего семян не взошло? (10 семян)

50. Ослик пригласил к себе на день рождения гостей, в том числе и Пятачка, к 9 часам. Чтобы не опоздать, Пятачок вышел из дома в 8 часов, взяв в подарок воздушный шар . Первую половину пути Пятачок преодолел за 10 минут. Ещё 5 минут он летел на воздушном шаре, после чего шар лопн минут горько плакал и 10 минут брёл до жилья Ослика. Не опоздал ли Пятачок на день рождения? (Не опоздал, так как на дорогу он потратил 45 минут.)

Найди лишнее.

Понедельник условие 3, 6, 9 год выше

Среда ответ 5, 8, 11 сантиметр дороже

Февраль треугольник 10, 13, 16 месяц тоньше

Пятница вопрос 2, 4, 6 неделя старше

Воскресенье решение 14, 17, 20 сутки длиннее

https://pandia.ru/text/78/123/images/image020_7.gif" width="98" height="2 src=">20.

30. сес 3 цы

на-тя-нули)

Закончить устный счёт можно следующим заданием: соберите слова, которые кроются под следующими номерами.

С п а с и б о в с е м!