Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников , являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

История

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии , около Падуи , в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости .

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии . О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца» . Евклид в предложении 17 книги XIII «Начал » строит додекаэдр на рёбрах куба :132-136 . Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях :318-319 .

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами , относящихся ко II-III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

Основные формулы

Если за длину ребра принять $a$, то площадь поверхности додекаэдра равна

$S=3a^2\backslash sqrt\{5(5+2\backslash sqrt\{5\})\}\backslash approx\; 20,65a^2$

Объём додекаэдра:

$V=\backslash frac\{a^3\}\{4\}(15+7\backslash sqrt\{5\})\backslash approx\; 7,66a^3$

$R=\backslash frac\{a\}\{4\}(1+\backslash sqrt\{5\})\backslash sqrt\{3\}\backslash approx\; 1,4a$

$r=\backslash frac\{a\}\{4\}\backslash sqrt\{10+\backslash frac\{22\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\}\backslash approx\; 1,11a$

Свойства

Элементы симметрии додекаэдра

• Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.
• Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

В культуре

• Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх , и обозначается при этом d12 (dice - кости).
• Изготавливаются настольные календари в форме додекаэдра из бумаги, где каждый из двенадцати месяцев расположен на одной из граней .
• В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры [ ] .
• В играх «Sonic the Hedgehog 3» и «Sonic & Knuckles» серии Sonic the Hedgehog вид додекаэдра имеют Изумруды Хаоса [ ] .
• В игре «Destiny» форму додекаэдра имеют энграммы [ ] .

См. также

• Пентагондодекаэдр - неправильный додекаэдр

Напишите отзыв о статье "Додекаэдр"

Примечания

1. Селиванов Д. Ф. ,. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.
2. Stefano De" Stefani (1885-86). «». Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti : 1437-1459. См. также изображение этого предмета в конце тома,
3. Amelia Carolina Sparavigna An Etruscan Dodecahedron. - arXiv :1205.0706 .
4. Платон . «Тимей »
5. .
6. . - М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. - Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
7. Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык : Liber III. Propos. 58 // . - 1876. - Vol. I. - P. 156-163.
8. Roger Herz-Fischler. . - Courier Dover Publications, 2013. - P. 117-118.
9. Доказательство приведено в: Cobb, John W. (англ.) (2005-2007). Проверено 1 июня 2014.
10. В четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
11. (англ.) .
12. (англ.) .
13. Jeffrey Weeks. (англ.) . .
14. A. T. White. . - Elsevier , 2001. - P. 45. - 378 p. - ISBN 0-080-50758-1 , 978-0-080-50758-3.

Ссылки

Правильные Правильные невыпуклые Выпуклые Формулы , теоремы , теории Прочее

Многоугольники Звёздчатые многоугольники Паркеты на плоскости Правильные многогранники и

Отрывок, характеризующий Додекаэдр

С конца 1811 го года началось усиленное вооружение и сосредоточение сил Западной Европы, и в 1812 году силы эти – миллионы людей (считая тех, которые перевозили и кормили армию) двинулись с Запада на Восток, к границам России, к которым точно так же с 1811 го года стягивались силы России. 12 июня силы Западной Европы перешли границы России, и началась война, то есть совершилось противное человеческому разуму и всей человеческой природе событие. Миллионы людей совершали друг, против друга такое бесчисленное количество злодеяний, обманов, измен, воровства, подделок и выпуска фальшивых ассигнаций, грабежей, поджогов и убийств, которого в целые века не соберет летопись всех судов мира и на которые, в этот период времени, люди, совершавшие их, не смотрели как на преступления.
Что произвело это необычайное событие? Какие были причины его? Историки с наивной уверенностью говорят, что причинами этого события были обида, нанесенная герцогу Ольденбургскому, несоблюдение континентальной системы, властолюбие Наполеона, твердость Александра, ошибки дипломатов и т. п.
Следовательно, стоило только Меттерниху, Румянцеву или Талейрану, между выходом и раутом, хорошенько постараться и написать поискуснее бумажку или Наполеону написать к Александру: Monsieur mon frere, je consens a rendre le duche au duc d"Oldenbourg, [Государь брат мой, я соглашаюсь возвратить герцогство Ольденбургскому герцогу.] – и войны бы не было.
Понятно, что таким представлялось дело современникам. Понятно, что Наполеону казалось, что причиной войны были интриги Англии (как он и говорил это на острове Св. Елены); понятно, что членам английской палаты казалось, что причиной войны было властолюбие Наполеона; что принцу Ольденбургскому казалось, что причиной войны было совершенное против него насилие; что купцам казалось, что причиной войны была континентальная система, разорявшая Европу, что старым солдатам и генералам казалось, что главной причиной была необходимость употребить их в дело; легитимистам того времени то, что необходимо было восстановить les bons principes [хорошие принципы], а дипломатам того времени то, что все произошло оттого, что союз России с Австрией в 1809 году не был достаточно искусно скрыт от Наполеона и что неловко был написан memorandum за № 178. Понятно, что эти и еще бесчисленное, бесконечное количество причин, количество которых зависит от бесчисленного различия точек зрения, представлялось современникам; но для нас – потомков, созерцающих во всем его объеме громадность совершившегося события и вникающих в его простой и страшный смысл, причины эти представляются недостаточными. Для нас непонятно, чтобы миллионы людей христиан убивали и мучили друг друга, потому что Наполеон был властолюбив, Александр тверд, политика Англии хитра и герцог Ольденбургский обижен. Нельзя понять, какую связь имеют эти обстоятельства с самым фактом убийства и насилия; почему вследствие того, что герцог обижен, тысячи людей с другого края Европы убивали и разоряли людей Смоленской и Московской губерний и были убиваемы ими.
Для нас, потомков, – не историков, не увлеченных процессом изыскания и потому с незатемненным здравым смыслом созерцающих событие, причины его представляются в неисчислимом количестве. Чем больше мы углубляемся в изыскание причин, тем больше нам их открывается, и всякая отдельно взятая причина или целый ряд причин представляются нам одинаково справедливыми сами по себе, и одинаково ложными по своей ничтожности в сравнении с громадностью события, и одинаково ложными по недействительности своей (без участия всех других совпавших причин) произвести совершившееся событие. Такой же причиной, как отказ Наполеона отвести свои войска за Вислу и отдать назад герцогство Ольденбургское, представляется нам и желание или нежелание первого французского капрала поступить на вторичную службу: ибо, ежели бы он не захотел идти на службу и не захотел бы другой, и третий, и тысячный капрал и солдат, настолько менее людей было бы в войске Наполеона, и войны не могло бы быть.
Ежели бы Наполеон не оскорбился требованием отступить за Вислу и не велел наступать войскам, не было бы войны; но ежели бы все сержанты не пожелали поступить на вторичную службу, тоже войны не могло бы быть. Тоже не могло бы быть войны, ежели бы не было интриг Англии, и не было бы принца Ольденбургского и чувства оскорбления в Александре, и не было бы самодержавной власти в России, и не было бы французской революции и последовавших диктаторства и империи, и всего того, что произвело французскую революцию, и так далее. Без одной из этих причин ничего не могло бы быть. Стало быть, причины эти все – миллиарды причин – совпали для того, чтобы произвести то, что было. И, следовательно, ничто не было исключительной причиной события, а событие должно было совершиться только потому, что оно должно было совершиться. Должны были миллионы людей, отрекшись от своих человеческих чувств и своего разума, идти на Восток с Запада и убивать себе подобных, точно так же, как несколько веков тому назад с Востока на Запад шли толпы людей, убивая себе подобных.
Действия Наполеона и Александра, от слова которых зависело, казалось, чтобы событие совершилось или не совершилось, – были так же мало произвольны, как и действие каждого солдата, шедшего в поход по жребию или по набору. Это не могло быть иначе потому, что для того, чтобы воля Наполеона и Александра (тех людей, от которых, казалось, зависело событие) была исполнена, необходимо было совпадение бесчисленных обстоятельств, без одного из которых событие не могло бы совершиться. Необходимо было, чтобы миллионы людей, в руках которых была действительная сила, солдаты, которые стреляли, везли провиант и пушки, надо было, чтобы они согласились исполнить эту волю единичных и слабых людей и были приведены к этому бесчисленным количеством сложных, разнообразных причин.
Фатализм в истории неизбежен для объяснения неразумных явлений (то есть тех, разумность которых мы не понимаем). Чем более мы стараемся разумно объяснить эти явления в истории, тем они становятся для нас неразумнее и непонятнее.
Каждый человек живет для себя, пользуется свободой для достижения своих личных целей и чувствует всем существом своим, что он может сейчас сделать или не сделать такое то действие; но как скоро он сделает его, так действие это, совершенное в известный момент времени, становится невозвратимым и делается достоянием истории, в которой оно имеет не свободное, а предопределенное значение.
Есть две стороны жизни в каждом человеке: жизнь личная, которая тем более свободна, чем отвлеченнее ее интересы, и жизнь стихийная, роевая, где человек неизбежно исполняет предписанные ему законы.

Додекаэдр

Древние мудрецы говорили: "Чтобы познать невидимое, смотри внимательно на видимое". В плане сакральных сил додекаэдр самый мощный многогранник. Не зря Сальвадор Дали для своей "Тайной вечере" выбрал эту фигуру. В ней от двенадацати пятиугольников - тоже сильной фигуре, силы концентрируются в одной точке - на Иисусе Христе.

Название “додекаэдр” происходит от греческих слов δωδεχα (додека) - “двенадцать” и έδρα (эдра) - “основание”. Додекаэдр это правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Впервые додекаэдр построил древнегреческий учёный Теэтет (4 век до н.э.).

Додекаэдр имеет 12 граней - пятиугольники, 30 рёбер и 20 вершин, в каждой из них сходится 3 ребра. Каждая вершина является вершиной 3 пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 0 .

Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер. Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

а - длина ребра додекаэдра.

Площадь поверхности додекаэдра :

Объём додекаэдра:

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, простейших микроорганизмов.

Кристаллы - тела, имеющие многогранную форму. Вот один из примеров таких тел: кристалл пирита (сернистый колчедан FeS) - природная модель додекаэдра.

Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов.

В алхимии обычно говорится только об этих элементах: огонь, земля, воздух и вода; редко упоминается эфир,потому что это настолько священно. В Пифагорейской школе, стоило бы вам только лишь упомянуть за стенами школы слово «додекаэдр», как вас убили бы на месте. Настолько священной считалась эта фигура. О ней даже не говорили. Спустя двести лет, при жизни Платона, о ней говорили, но только очень осторожно. Почему? Потому, что додекаэдр расположен у внешнего края вашего энергетического поля и является высшей формой сознания. Когда вы достигаете 55-футового предела своего энергетического поля, то оно будет иметь форму сферы. Но самая близкая к сфере внутренняя фигура – это додекаэдр (в действительности, додекаэдро-икосаэдральная взаимосвязь).

Вдобавок к этому, мы живём внутри большого додекаэдра, который содержит в себе вселенную. Когда ваш ум достигает предела пространства космоса – а предел тут есть – то он натыкается на додекаэдр, замкнутый в сфере. Додекаэдр есть завершающая фигура геометрии и она очень важна.

Штайнер составил несколько моделей Вселенной и решил проверить, как в них формируются волны плотности микроволнового фона. Физик уверяет, что наибольшее совпадение с наблюдающимся реликтовым излучением дает Вселенная-"бублик". Он смог даже посчитал его диаметр – 56 миллиардов световых лет в поперечнике.

Комментаторы гипотезы Штайнера высказались, что она не доказывает полностью, что Вселенная – это "многомерный бублик", но лишь свидетельствует, что такая форма – одна из возможных. Тем не менее, кто-то из физиков все еще убежден, что додекаэдр – "убедительный кандидат".

На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру.
Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК.
В основе структуры ДНК лежит священная геометрия, хотя, могут обнаружиться ещё и другие скрытые взаимосвязи.
В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.

Додекаэдр и двойственный ему икосаэдр занимают особое место среди Платоновых тел. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотой пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра (Рис.1-д) являются пентагоны, т.е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции.

Существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих замечательный факт, что именно золотая пропорция является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой «додекаэдро-икосаэдрической доктрины»

А теперь взгляните да додекаэдр и осознайте, что число 5 формирует КРИСТАЛЛ СИЛЫ.

И ПОКА ТАКОЙ КРИСТАЛЛ СУЩЕСТВУЕТ-СУЩЕСТВУЕТ ЖИЗНЬ (И ДВИЖЕНИЕ), ПОРОЖДАЮЩЕЕ ЕДИНОЕ САМОСОГЛАСОВАННОЕ ТОРСИОННОЕ ПОЛЕ НА ВСЕХ УРОВНЯХ ИЕРАРХИИ.

С большим интересом я ознакомился с книгой С.И. Сухоноса «Масштабная Гармония Вселенной», опубликованной на сайте Академии Тринитаризма, а также статьей «Арифметика Вселенной», написанной С.И. Сухоносом в соавторстве с Н.П. Третьяковым (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0223/001a/02230001.htm, http://www.trinitas.ru/rus/doc/0223/001a/02230002.htm). Имея постоянную привычку во всем искать связь с Золотым Сечением, я задался вопросом: «Имеют ли исследования Сергея Сухоноса отношение к Золотому Сечению?». После ознакомления со статьей «Арифметика Вселенной» мне показалось, что я такую связь нашел. Этому и посвящена настоящая заметка.

Числовая структура масштабной иерархии Вселенной

Начнем с ключевой математической идеи «Масштабной Гармонии Природы». Она изложена в статье «Арифметика Вселенной». Сухонос и Третьяков утверждают:

«Волна Устойчивости на масштабной оси (в случае выбора десятичных логарифмов) состоит из 12 классов по 5 порядков каждый. Весь масштабный интервал Вселенной содержит 60 порядков, если не брать во внимание «хвостик» в еще один порядок… На первый взгляд структура масштабного порядка, содержащая 12 классов по 5 порядков каждый, целиком зависит лишь от конкретной специфики масштабного устройства материи во Вселенной. Однако нетрудно заметить, что подобные же числовые пропорции распространены и в других областях. Так, например, шестидесятеричное исчисление, введенное еще древними шумерами, используется для шкалы времени: 60 минут и 60 секунд. Год разделен на 12 месяцев. Наиболее распространенный вариант циферблата часов – это 12 интервалов по 5 минут каждый. В приведенных примерах фигурируют все те же цифры: 60, 12, 5. В связи с этим встает вопрос: случайно ли такое совпадение или за ним стоит некоторая глубинная общность числовой структуры 12 х 5 = 60?»

В дополнение к вопросам, поставленным в этой цитате из статьи «Арифметика Вселенной», можно задать еще несколько «детских» вопросов. Почему Египетский календарный год имел следующую числовую структуру: 1 год = 360 дней = 12х 30? Почему имеется ровно 12 знаков Зодиака? Почему 1 день = 24 часа = 2х 12? Почему 1 час = 60 минутам, а 1 минута = 60 секундам? Почему 360 град. = 12х 30 град.? Почему 1 град. = 60 угловых минут?

Платоновы тела

Издавна ученые интересовались идеальными или правильными геометрическими фигурами, в частности правильными многоугольниками и многогранниками. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд, ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так.

В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Теории многогранников посвящено много книг. Одной из наиболее известных является книга английского математика М. Венниджера «Модели многогранников». В русском переводе эта книга опубликована издательством «Мир» в 1974 г. Эпиграфом к книге выбрано высказывание Бертрана Рассела: «Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства» .

Книга начинается с описания так называемых правильных многогранников, то есть многогранников, образованных простейшими правильными многоугольниками одного типа. Эти многогранники принято называть Платоновыми телами, названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал правильные многогранники в своей космологии. Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники. Первый из них – это тетраэдр (см. Рис.1). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

Рис. 1. Платоновы тела: тетраэдр («Огонь»), гексаэдр или куб («Земля»), октаэдр («Воздух»), икосаэдр («Вода»), додекаэдр («Вселенский разум»)

Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром (см. Рис.1). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр. Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр (см. Рис.1).

Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (см. Рис.1).

Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона. Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (см. Рис.1).

Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим поверхность, то есть из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше пятиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

Существуют удивительные геометрические связи между всеми правильными многогранниками (см. Рис. 1). Так, например, куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба могут быть получены все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен - ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Числовые характеристики Платоновых тел

Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является: число сторон грани m , число граней n , сходящихся в каждой вершине, число граней Г , число вершин В , число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника. Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу

В — Р + Г = 2 ,

связывающую числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника. Указанные выше числовые характеристики приведены в Табл.1.

Таблица 1. Числовые характеристики Платоновых тел

Многогранник	Число сторон грани, m	Число граней, сходящихся в вершине, n	Число граней	Число вершин	Число ребер	Число плоских углов на поверхности
Тетраэдр
Гексаэдр (куб)
Икосаэдр
Додекаэдр

Золотая пропорция в додекаэдре и икосаэдре

Додекаэдр и двойственный ему икосаэдр (см. Рис. 1) занимают особое место среди Платоновых тел. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотой пропорцией.

Действительно, гранями додекаэдра (см. Рис.1) являются пентагоны, т.е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр (см. Рис.1), то можно увидеть, что в каждой его вершине сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотая пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел.

Но существуют более глубокие математические подтверждения фундаментальной роли, которую играет золотая пропорция в икосаэдре и додекаэдре. Известно, что эти тела имеют три специфические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через Ri. Вторая или средняя сфера касается ее ребер. Обозначим радиус этой сферы через Rm . Наконец, третья (внешняя) сфера описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозначим ее радиус через Rc . В геометрии доказано, что значения радиусов указанных сфер для додекаэдра и икосаэдра, имеющего ребро единичной длины, выражается через золотую пропорцию t (Табл. 2).

Таблица 2. Золотая пропорция в сферах додекаэдра и икосаэдра

	R c	R m	R i
Икосаэдр
Додекаэдр

Заметим, что отношение радиусов одинаково, как для икосаэдра, так и для додекаэдра.

Таким образом, если додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые вписанные сферы, то их описанные сферы также равны между собой. Доказательство этого математического результата дано в Началах Евклида.

В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра, подтверждающие их связь с золотой пропорцией. Например, если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной единице, и вычислить их внешнюю площадь и объем, то они выражаются через золотую пропорцию (Табл.3).

Таблица 3. Золотая пропорция во внешней площади и объеме додекаэдра и икосаэдра

	Икосаэдр	Додекаэдр
Внешняя площадь

Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих замечательный факт, что именно золотая пропорция является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой «додекаэдро-икосаэдрической доктрины» , которую мы рассмотрим ниже.

Космология Платона

Рассмотренные выше правильные многогранники получили название Платоновых тел, так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве Мироздания.

Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр - Воду, так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб - Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр - Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал все Мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания.

Гармоничные отношения древние греки считали основой Мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь . Атомы «стихий» настраивались в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомним, что консонансом называется приятное созвучие.

В связи с этими телами уместно будет сказать, что такая система элементов, включавшая четыре элемента - землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями Мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их, с известными нам четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.

Таким образом, представление о «сквозной» гармонии бытия древние греки связывали с ее воплощением в Платоновых телах. Влияние знаменитого греческого мыслителя Платона сказалось и на Началах Евклида. В этой книге, которая на протяжении веков была единственным учебником геометрии, дано описание «идеальных» линий и «идеальных» фигур. Самая «идеальная» линия – прямая, а самый «идеальный» многоугольник – правильный многоугольник, имеющий равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником является равносторонний треугольник. Интересно, что Начала Евклида начинаются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти Платоновых тел. Заметим, что Платоновым телам посвящена заключительная, то есть, 13-я книга Начал Евклида. Кстати, этот факт, то есть размещение теории правильных многогранников в заключительной (то есть как бы самой главной) книге Начал Евклида, дало основание древнегреческому математику Проклу, который был комментатором Евклида, выдвинуть интересную гипотезу об истинных целях, которые преследовал Евклид, создавая свои Начала. Согласно Проклу, Евклид создавал Начала не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения «идеальных» фигур, в частности пяти Платоновых тел, попутно осветив некоторые новейшие достижения математики!

Не случайно, что один из авторов открытия фуллеренов, Нобелевский лауреат Гарольд Крото в свой Нобелевской лекции начинает свой рассказ о симметрии как «основе нашего восприятия физического мира» и ее «роли в попытках его всестороннего объяснения» именно с Платоновых тел как «элементов всего сущего»: «Понятие структурной симметрии восходит к античной древности… Наиболее известные примеры можно, конечно, обнаружить в диалоге «Тимей» Платона, где в разделе 53, относящемся к «Элементам», он пишет: «Во-первых, каждому (!), разумеется, ясно, что огонь и земля, вода и воздух суть тела, а всякое тело - сплошное» (!!) Платон обсуждает проблемы химии на языке этих четырех элементов и связывает их с четырьмя Платоновыми телами (в то время только четырьмя, пока Гиппарх не открыл пятый - додекаэдр). Хотя на первый взгляд такая философия может показаться несколько наивной, она указывает на глубокое понимание того, каким образом в действительности функционирует Природа» .

Что такое календарь?

Русская пословица гласит: «Время – око истории». Все, что существует во Вселенной: Солнце, Земля, звезды, планеты, известные и неизвестные миры, и все, что есть в природе живого и неживого, все имеет пространственно-временное измерение. Время измеряется путем наблюдения периодически повторяющихся процессов определенной длительности.

В основу измерения времени астрономия положила движение небесных тел, которое отражает три фактора: вращение Земли вокруг своей оси, обращение Луны вокруг Земли и движение Земли вокруг Солнца. От того, на каком из этих явлений основывается измерение времени, зависят и разные понятия времени. Астрономия знает звездное время, солнечное время, местное время, поясное время, декретное время, атомное время и т.д.

Солнце, как и все остальные светила, участвует в движении по небосводу. Кроме суточного движения, Солнце обладает так называемым годичным движением, а весь путь годичного движения Солнца по небосводу называется эклиптикой. Если, например, заметить расположение созвездий в какой-нибудь определенный вечерний час, а затем повторять это наблюдение через каждый месяц, то перед нами предстанет иная картина неба. Вид звездного неба изменяется непрерывно: каждому времени года свойственна своя картина вечерних созвездий и каждая такая картина через год повторяется. Следовательно, по истечении года Солнце относительно звезд возвращается на прежнее место.

Для удобства ориентировки в звездном мире астрономы разделили весь небосвод на 88 созвездий. Каждое из них имеет свое наименование. Из 88 созвездий особое место в астрономии занимают те, через которые проходит эклиптика. Эти созвездия, кроме собственных имен, имеют еще обобщенное название – зодиакальные (от греческого слова «zoop» - животное). Они представляют собой широко известные во всем мире символы (знаки) и аллегорические изображения, вошедшие в календарные системы.

Известно, что в процессе перемещения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий. Однако астрономы сочли нужным разделить путь Солнца не на 13, а на 12 частей, объединив созвездия Скорпион и Змееносец в единое - под общим названием Скорпион (почему?).

Проблемами измерения времени занимается специальная наука, называемая хронологией. Она лежит в основе всех календарных систем, созданных человечеством. Создание календарей в древности являлось одной из важнейших задач астрономии.

Что же такое «календарь» и какие существуют системы календарей? Слово календарь происходит от латинского слова calendarium, что буквально означает «долговая книга»; в таких книгах указывались первые дни каждого месяца –календы, в которые в Древнем Риме должники платили проценты.

С древнейших времен в странах Восточной и Юго-Восточной Азии при составлении календарей большое значение придавали периодичности движения Солнца, Луны, а также Юпитера и Сатурна, двух гигантских планет Солнечной системы. Есть основание предполагать, что идея создания юпитерианского календаря с небесной символикой 12-летнего животного цикла связана с вращением Юпитера вокруг Солнца, который делает полный оборот вокруг Солнца примерно за 12 лет (11,862 года). С другой стороны вторая гигантская планета Солнечной системы – Сатурн делает полный оборот вокруг Солнца примерно за 30 лет (29, 458 года). Желая согласовать циклы движения гигантских планет, древние китайцы пришли к идее введения 60-летнего цикла Солнечной системы. В течение этого цикла Сатурн делает 2 полных обороты вокруг Солнца, а Юпитер - 5 оборотов.

При создании годичных календарей используются астрономические явления: смена дня и ночи, изменение лунных фаз и смена времен года. Использование различных астрономических явлений привело к созданию у различных народов трех типов календарей: лунные, основанные на движении Луны, солнечные, основанные на движении Солнца, и лунно-солнечные.

Структура египетского календаря

Одним из первых солнечных календарей был египетский, созданный в 4-м тысячелетии до н.э. Первоначально египетский календарный год состоял из 360 дней. Год делился на 12 месяцев ровно по 30 дней в каждом. Однако позже было обнаружено, что такая длительность календарного года не соответствует астрономическому. И тогда египтяне добавили к календарному году «хвостик» из 5 дней, которые, однако, не входили в состав месяцев. Это были 5 праздничных дней, соединявших соседние календарные годы. Таким образом, египетский календарный год имел следующую числовую структуру: 365 = 12х 30 + 5 . Заметим, что именно египетский календарь является прообразом современного календаря.

Возникает вопрос: почему египтяне разделили календарный год на 12 месяцев? Ведь существовали календари с другим количеством месяцев в году. Например, в календаре майя год состоял из 18 месяцев по 20 дней в месяце. Следующий вопрос, касающийся египетского календаря: почему каждый месяц имел ровно 30 дней (точнее суток)? Можно поставить некоторые вопросы и по поводу египетской системы измерения времени, в частности по поводу выбора таких единиц времени, как час, минута, секунда. В частности, возникает вопрос: почему единица часа была выбрана таким образом, чтобы она ровно 24 раза укладывалась в сутки, то есть, почему 1 сутки = 24 (2х 12) часа? Далее: почему 1 час = 60 минут, а 1 минута = 60 секунд? Эти же вопросы относятся и к выбору единиц угловых величин, в частности: почему окружность разбита на 360 град., то есть, почему 2пи =360 град. =12х 30 град. ? К этим вопросам добавляются и другие, в частности: почему астрономы признали целесообразным считать, что существует 12 зодиакальных знаков, хотя на самом деле в процессе своего движения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий? И еще один «странный» вопрос: почему вавилонская система счисления имела весьма необычное основание – число 60?

Связь египетского календаря с числовыми характеристиками додекаэдра

Анализируя египетский календарь, а также египетские системы измерения времени и угловых величин, мы обнаруживаем, что в них с удивительным постоянством повторяются четыре числа: 12, 30, 60 и производное от них число 360 = 12х 30. Возникает вопрос: не существует ли какой-то фундаментальной научной идеи, которая могла бы дать простое и логичное объяснение использованию этих чисел в египетских системах?

Для ответа на это вопрос еще раз обратимся к додекаэдру, изображенному на Рис.1 Напомним, что все геометрические соотношения додекаэдра основаны на золотой пропорции.

Знали ли египтяне додекаэдр? Историки математики признают, что древние египтяне обладали сведениями о правильных многогранниках. Но знали ли они все пять правильных многогранников, в частности додекаэдр и икосаэдр, как наиболее сложные из них? Древнегреческий математик Прокл приписывает построение правильных многогранников Пифагору. Но ведь многие математические теоремы и результаты (в частности Теорему Пифагора) Пифагор позаимствовал у древних египтян в период своей весьма длительной «командировки» в Египет (по некоторым сведениям Пифагор прожил в Египте в течение 22 лет!). Поэтому мы можем предположить, что знание о правильных многогранниках Пифагор, возможно, также позаимствовал у древних египтян (а возможно, у древних вавилонян, потому что согласно легенде Пифагор прожил в древнем Вавилоне 12 лет). Но существуют и другие, более веские доказательства того, что египтяне владели информацией о всех пяти правильных многогранниках. В частности, в Британском Музее хранится игральная кость эпохи Птоломеев, имеющая форму икосаэдра, то есть «Платонового тела», дуального додекаэдру. Все эти факты дают нам право выдвинуть гипотезу о том, что египтянам был известен додекаэдр. И если это так, то из этой гипотезы вытекает весьма стройная система, позволяющая дать объяснение происхождению египетского календаря, а заодно и происхождению египетской системы измерения временных интервалов и геометрических углов.

Гармония циклов Солнечной Системы

Ранее мы установили, что додекаэдр имеет 12 граней (петагонов), 30 ребер и 60 плоских углов на своей поверхности (Табл.1). Если исходить из гипотезы, что египтяне знали додекаэдр и его числовые характеристики 5, 12, 30. 60 , то, каково же было их удивление, когда они обнаружили, что этими же числами выражаются циклы Солнечной системы, а именно, 12-летний цикл Юпитера, 30-летний цикл Сатурна и, наконец, 60-летний цикл Солнечной системы. При этом главный цикл Солнечной системы и цикл Юпитера связаны следующим числовым соотношением: 60 = 12х 5 (которое, кстати, совпадает с числовой структурой масштабной иерархии Вселенной!). Таким образом, между такой совершенной пространственной фигурой, как додекаэдр, и Солнечной системой, существует глубокая математическая связь! Такой вывод сделали античные ученые. Это и привело к тому, что додекаэдр был принят в качестве «главной фигуры», которая символизировала Гармонию Мироздания . И тогда египтяне решили, что все их главные системы (календарная система, система измерения времени, система измерения углов) должны соответствовать числовым параметрам додекаэдра! Поскольку по представлению древних движение Солнца по эклиптике имело строго круговой характер, то, выбрав 12 знаков Зодиака, дуговое расстояние между которыми равнялось ровно 30 град., египтяне удивительно красиво согласовали годичное движение Солнца по эклиптике со структурой своего календарного года: один месяц соответствовал перемещению Солнца по эклиптике между двумя соседними знаками Зодиака! Более того, перемещение Солнца на один градус соответствовало одному дню в египетском календарном году! При этом эклиптика автоматически получалась разделенной на 360 град. Разделив каждые сутки на две части, следуя додекаэдру, египтяне затем каждую половину суток разделили на 12 частей (12 граней додекаэдра) и тем самым ввели час – важнейшую единицу времени. Разделив один час на 60 минут (60 плоских углов на поверхности додекаэдра), египтяне таким путем ввели минуту – следующую важную единицу времени. Точно также они ввели секунду – наиболее мелкую на тот период единицу времени.

Таким образом, выбрав додекаэдр в качестве главной «гармонической» фигуры мироздания, и строго следуя числовым характеристикам додекаэдра 12, 30, 60, египтянам удалось построить чрезвычайно стройный календарь, а также системы измерения времени и угловых величин, которые существуют до настоящего времени! Эти системы полностью согласовывалась с их «Теорией Гармонии», которая, по некоторым сведениям, существовала у древних египтян. Эта теория была основана на золотой пропорции и возникла задолго до возникновения греческой науки и математики.

Вот такие удивительные выводы вытекают из сопоставления додекаэдра с Солнечной системой. И если наша гипотеза правильна (пусть кто-нибудь попытается ее опровергнуть), то отсюда следует, что вот уже много тысячелетий человечество живет под знаком золотого сечения! И каждый раз, когда мы смотрим на циферблат наших часов, который также построен на использовании числовых характеристик додекаэдра 5,12, 30 и 60, мы прикасаемся к главной «Тайне Мироздания» - золотому сечению, сами того не подозревая!

О календаре и системе счисления майя

Известно, что календарный год в календаре майя имел следующую числовую структуру: 1 год = 360 + 5 = 20х 18 + 5 дней, откуда вытекает, что год майя разделили на 18 месяцев по 20 дней в каждом. Числа 20 и 360 были использованы майя в качестве «узловых» чисел своей системы счисления. Однако по своей структуре календарный год майя был подобен структуре египетского календарного года: 1 год = 360 + 5 = 12х 30 + 5 дней, в котором числа 12 и 30 были числами додекаэдра. Но что такое число 20 в календаре майя? Обратимся снова к икосаэдру и додекаэдру. В этих «сакральных» фигурах имеется еще одна «священная» числовая характеристика – число вершин, которое одно и то же для додекаэдра и икосаэдра и равно числу 20! Таким образом, древние майя, несомненно, использовали эту числовую характеристику додекаэдра и икосаэдра в своем календаре (разделив год на 20 месяцев) и в своей системе счисления (выбрав числа 20 и 360 в качестве «узловых» чисел своей системы счисления).

Додекаэдро-икосаэдрическая доктрина

Согласно замечанию комментатора последнего издания сочинений Платона, у него «вся космическая пропорциональность покоится на принципе золотого деления, или гармонической пропорции». Как упоминалось, космология Платона основывается на правильных многогранниках, называемых телами Платона. Представление о «сквозной» гармонии мироздания неизменно ассоциировалось с ее воплощением в этих пяти правильных многогранниках, выражавших идею повсеместного совершенства мира. И то, что главная «космическая» фигура - додекаэдр, символизировавший тело мира и вселенской души, был основан на золотом сечении, придавало последнему особый смысл, смысл главной пропорции мироздания .

Космология Платона стала основой, так называемой икосаэдро-додекаэдрической доктрины , которая с тех пор красной нитью проходит через всю человеческую науку. Суть этой доктрины состоит в том, что додекаэдр и икосаэдр есть типичные формы природы во всех ее проявлениях, начиная с космоса и заканчивая микромиром.

Вопрос о форме Земли постоянно занимал умы ученых античных времен. И когда гипотеза о шарообразной форме Земли получила подтверждение, возникла идея о том, что по своей форме Земля представляет собой додекаэдр. Так, уже Сократ писал: «Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи».

Эта гипотеза Сократа нашла дальнейшее научное развитие в трудах физиков, математиков и геологов. Так, французский геолог де Бимон и известный математик Пуанкаре считали, что форма Земли представляет собой деформированный додекаэдр.

Российский геолог С. Кислицин, также разделял мнение о додекаэдрической форме Земли. Он высказал гипотезу о том, что 400-500 млн. лет назад геосфера додекаэдрической формы превратилась в гео-икосаэдр. Однако такой переход оказался неполным и незавершенным, в результате чего гео-додекаэдр оказался вписанным в структуру икосаэдра.

Недавно московские инженеры В. Макаров и В. Морозов выдвинули еще одну интересную гипотезу, касающуюся формы Земли. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины ребер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления.

В последние годы гипотеза об икосаэдро-додекаэдрической форме Земли была подвергнута проверке. Для этого ученые совместили ось додекаэдра с осью глобуса и, вращая вокруг нее этот многогранник, обратили внимание на то, что его ребра совпадают с гигантскими нарушениями земной коры (например, с Срединно-Атлантическим подводным хребтом). Взяв затем икосаэдр в качестве многогранника, они установили, что его ребра совпадают с более мелкими членениями земной коры (хребты, разломы и т.д.). Эти наблюдения подтверждают гипотезу о близости тектонического строения земной коры с формами додекаэдра и икосаэдра. Узлы гипотетического гео-кристалла являются как бы центрами определенных аномалий на планете: в них расположены все мировые центры экстремального атмосферного давления, районы зарождения ураганов; в одном из узлов икосаэдра (в Габоне) обнаружен «природный атомный реактор», еще работавший 1,7 млрд. лет назад. Ко многим узлам многогранников приурочены гигантские месторождения полезных ископаемых (например, Тюменское месторождение нефти), аномалии животного мира (оз. Байкал), центры развития культур человечества (Древний Египет, протоиндийская цивилизация Мохенджо-Даро, Северная Монгольская и т.п.). Все эти примеры подтверждают удивительную прозорливость интуиции Сократа.

Квинтэссенцией геометрических представлений о всем сущем стали работы американского исследователя Д. Винтера, возглавляющего группу «Планетарные сердцебиения». Он является проповедником идеала формы, унитарного «золотого сечения», которое подобно «золотой цепи» соединяют ген и Вселенную.

Принимая концепцию икосаэдрически-додекаэдрической формы Земли, Винтер развивает ее дальше. Он обращает внимание на то, что угол, описываемый осью вращения Земли в ходе ее прецессии за 26 000 лет, составляет 23 град. Это в точности равно тому углу, под которым можно наклонить куб, чтобы, вращая его затем вокруг оси (с пятью остановками), получить додекаэдр. По мнению Винтера, энергетический каркас Земли представляет собой додекаэдр, вставленный в икосаэдр, который, в свою очередь, вставлен во второй додекаэдр. Геометрические отношения между указанными многогранниками представляет собой золотое сечение.

Додекаэдрическая структура, по мнению Винтера, присуща не только энергетическому каркасу Земли, но и строению живого вещества. И самое, пожалуй, главное, что структура ДНК генетического кода жизни представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная – от Метагалактики и до живой клетки – построена по одному принципу – бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции золотого сечения!

Роль икосаэдра в развитии математики

Имя выдающегося геометра Феликса Клейна широко известно в науке. Основные работы Клейна посвящены неевклидовой геометрии, теории непрерывных групп, теории алгебраических уравнений, теории эллиптических функций, теории автоморфных функций. Свои идеи в области геометрии Клейн изложил в работе «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» (1872), известной под названием Эрлангенская программа. Кроме Эрлангенской программы и других выдающихся математических достижений, гениальность Феликса Клейна проявилась также в том, что 100 лет назад он сумел предсказать выдающуюся роль Платоновых тел, в частности, икосаэдра, в будущем развитии науки, в частности, математики. В 1884 г. (запомним этот год) Феликс Клейн опубликовал еще одну книгу «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени», посвященную геометрической теории икосаэдра.

Как известно, икосаэдр (а вместе с ним двойственный к нему додекаэдр) занимают особое место в «живой» природе; форму икосаэдра имеют некоторые вирусы и радиолярии, то есть, икосаэдральная форма и пентагональная симметрия являются фундаментальными в организации живого вещества.

В первой части книги определено и объяснено место икосаэдра в математике. Согласно Ф. Клейну, ткань математики широко и свободно разбегается листами отдельных теорий. Но есть объекты, в которых сходятся несколько листов, - своеобразные точки ветвления. Их геометрия связывает листы и позволяет охватить общематематический смысл разных теорий. Именно таким математическим объектом, по мнению Клейна, является икосаэдр. Клейн трактует икосаэдр как математический объект, из которого расходятся ветви пяти математических теорий: геометрия, теория Галуа, теория групп, теория инвариантов и дифференциальные уравнения .

Таким образом, главная идея Клейна чрезвычайно проста: «каждый уникальный геометрический объект, так или иначе, связан со свойствами икосаэдра» .

В чем же состоит значение идей выдающегося математика с точки зрения теории гармонии? Прежде всего, в качестве объекта, объединяющего «главные листы» математики выбрано «тело Платона» - икосаэдр, основанный на золотом сечении. Отсюда естественным образом вытекает мысль, что именно Золотое Сечение и является той главной геометрической идеей, которая, согласно Клейну, может объединить всю математику.

Современники Клейна не сумели по достоинству понять и оценить революционный характер «икосаэдрической» идеи Клейна. Ее значение было понято ровно через 100 лет, то есть только в 1984 г., когда израильский физик Дан Шехтман опубликовал заметку, подтверждающую существование специальных сплавов (названных квазикристаллами), обладающих так называемой «икосаэдрической» симметрией, то есть симметрией 5-го порядка, что строго запрещено классической кристаллографией.

Таким образом, еще в 19-м веке гениальная интуиция Феликса Клейна привела его к мысли о том, что одна из древнейших геометрических фигур – икосаэдр – является главной геометрической фигурой математики. Тем самым Клейн в 19 в. вдохнул новую жизнь в развитие «додекаэдро-икосаэдрического представления» о структуре Вселенной, приверженцами которого были великие ученые и философы: Платон, построивший свою космологию на основе правильных многогранников, Евклид, посвятивший свои «Начала» изложению теории Платоновых тел, Иоганн Кеплер, использовавший Платоновы тела при создании своего Космического кубка, весьма оригинальной геометрической модели Солнечной системы.

Заключение

Снова обращаясь к «Масштабной Гармонии Вселенной» (Сухонос С.И) и «Арифметике Вселенной» (Сухонос С.И. и Третьяков Н.П.), мы можем констатировать, что гипотеза о том, что Вселенная имеет числовую структуру 60=12х 5, имеет глубокие исторические и научные корни и восходит к Космологии Платона и Платоновым телам, в частности, додекаэдру, главному Платоновому телу, который выражал в космологии Платона Гармонию Мироздания. А поскольку главной пропорцией додекаэдра является Золотое Сечение, то отсюда вытекает, что «Числовая структура масштабной иерархии Вселенной» 60=12х 5 непосредственно связаны с Золотым Сечением через додекаэдр и его главные числовые характеристики 5, 12 и 60!

Стахов А.П. Додекаэдр, тайна Египетского календаря, циклы Солнечной Системы и «Арифметика Вселенной» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13065, 10.03.2006 г.

додекаэдр развертка, додекаэдр из бумаги
Додека́эдр (от др.-греч. δώδεκα - «двенадцать» и εδρον - «грань») - один из пяти возможных правильных многогранников. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Развёртка додекаэдра Додекаэдр и его описанная сфера

• 1 История
• 2 Основные формулы
• 3 Свойства
• 4 Элементы симметрии додекаэдра
• 5 Интересные факты
• 6 культуре
• 7 См. также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки

История

Пожалуй, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости.

Додекаэдр рассматривали в своих сочинениях древнегреческие учёные. Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Евклид в предложении 17 книги XIII «Начал» строит додекаэдр на рёбрах куба:132-136. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях:318-319.

На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II-III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.

Основные формулы

Если за длину ребра принять, то площадь поверхности додекаэдра:

Объём додекаэдра:

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Свойства

• Все двадцать вершин додекаэдра лежат по пять в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный пятиугольник.
• Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями додекаэдра равен arccos(-1/√5)≈116°,565.
• Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°, телесный (трёхгранный) угол равен arccos(-11/5√5)≈2,9617 стерадиан.
• В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.
• Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.
• В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все ребра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трехмерных пространств.

Элементы симметрии додекаэдра

• Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.
• Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

• Форму, близкую к додекаэдру имеет описанная Эрнстом Геккелем в 1887 году радиолярия Circorrhegma dodecahedra.
• В 2003 году, при анализе данных космического аппарата WMAP, была выдвинута гипотеза, что Вселенная представляет собой додекаэдрическое пространство Пуанкаре.

В культуре

• Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d12 (dice - кости).
• Изготавливаются настольные календари в форме додекаэдра из бумаги, где каждый из двенадцати месяцев расположен на одной из граней.
• В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры.
• В играх «Sonic the Hedgehog 3» и «Sonic & Knuckles» серии Sonic the Hedgehog вид додекаэдра имеют Изумруды Хаоса.

См. также

• Пентагондодекаэдр - неправильный додекаэдр
• Римский додекаэдр
• Мегаминкс
• Ромбододекаэдр
• Ромбоикосододекаэдр
• Двенадцатигранники

Примечания

1. Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб., 1890-1907.
2. Stefano De" Stefani (1885-86). «Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa». Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti: 1437-1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом
3. Amelia Carolina Sparavigna An Etruscan Dodecahedron. - arΧiv: 1205.0706.
4. Платон. «Тимей»
5. Euclid"s Elements. Book XIII. Proposition 17.
6. 1 2 Начала Евклида. Книги XI-XV. - М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. - Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
7. Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Liber III. Propos. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis. - 1876. - Vol. I. - P. 156-163.
8. Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number. - Courier Dover Publications, 2013. - P. 117-118.
9. 1 2 3 Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Dodecahedron (англ.) (2005-2007). Проверено 1 июня 2014.
10. таблице XVII четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
11. The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps (англ.).
12. Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background (англ.).
13. Jeffrey Weeks. The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations (англ.). Архивировано из первоисточника 4 ноября 2012.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме

Многогранники
Правильные (Платоновы тела)
Правильные невыпуклые	Звёздчатый додекаэдр Звёздчатый икосододекаэдр Звёздчатый икосаэдр Звёздчатый многогранник Звёздчатый октаэдр
Выпуклые	Архимедовы тела Кубооктаэдр Икосододекаэдр Усечённый тетраэдр Усечённый октаэдр Усечённый икосаэдр Усечённый куб Усечённый додекаэдр Ромбокубооктаэдр Ромбоикосододекаэдр Ромбоусечённый кубооктаэдр Ромбоусечённый икосододекаэдр Курносый куб Курносый додекаэдр Усечённый кубооктаэдр Усечённый икосододекаэдр Правильная призма Антипризма Каталановы тела Ромбододекаэдр Ромботриаконтаэдр Триакистетраэдр Тетракисгексаэдр Пентакисдодекаэдр Триакисоктаэдр Триакисикосаэдр Дельтоидальный икоситетраэдр Дельтоидальный гексеконтаэдр Пентагональный икоситетраэдр Пентагональный гексеконтаэдр Дисдакисдодекаэдр Дисдакистриаконтаэдр Без полной пространственной симметрии Пирамида Призма Бипирамида Антипризма Зоноэдр Параллелепипед Ромбоэдр Призматоид Тетраэдр Усечённая пирамида Пентагондодекаэдр Параллелоэдр
Формулы, теоремы, теории	Теорема Александрова о выпуклых многогранниках Теорема Бликера Теорема Коши о многогранниках Теорема Линделёфа о многограннике Теорема Минковского о многогранниках Теорема Сабитова Теорема Эйлера для многогранников Формула Шлефли
Прочее	Ортоцентрический тетраэдр Равногранный тетраэдр Прямоугольный параллелепипед Группа многогранника Двенадцатигранники Телесный угол Единичный куб Изгибаемый многогранник Развёртка Символ Шлефли Многогранник Джонсона Многомерные (N-мерный тетраэдр Тессеракт Пентеракт Хексеракт Хептеракт Октеракт Энтенеракт Декеракт Гиперкуб) Паркет

Символ Шлефли
Многоугольники	{1} · {2} · {3} · {4} · {5} · {6} · {7} · {8} · {9} · {10} · {11} · {12} · {17} · {257} · {65537} · {∞}
Звёздчатые многоугольники	{5/2} · {6/2} · {7/2} · {7/3} · {8/2} · {8/3} · {9/2} · {9/3} · {9/4}
Паркеты на плоскости	{3,6} · {4,4} · {6,3}
Правильные многогранники и сферические паркеты	{2,n} · {3,3} · {4,3} · {3,4} · {5,3} · {3,5} · {n,2}
Многогранники Кеплера - Пуансо	{5/2,5} · {5,5/2} · {5/2,3} · {3,5/2}
Соты	{4,3,4}
Четырёхмерные многогранники	{3,3,3} · {4,3,3} · {3,3,4} · {3,4,3} · {5,3,3} · {3,3,5}

додекаэдр, додекаэдр из бумаги, додекаэдр как делать, додекаэдр развертка, додекаэдр фото

Додекаэдр Информацию О

Пра-виль-ные мно-го-гран-ни-ки ин-те-ре-со-ва-ли мно-гих ве-ли-ких учё-ных. И этот ин-те-рес вы-хо-дил да-ле-ко за пре-де-лы ма-те-ма-ти-ки. Пла-тон (427 до н.э. - 347 до н.э.) рас-смат-ри-вал их как ос-но-ву стро-е-ния Все-лен-ной, Кеплер (1571-1630) пы-тал-ся свя-зать пра-виль-ные мно-го-гран-ни-ки с дви-же-ни-ем планет Сол-неч-ной си-сте-мы (ко-то-рых в его вре-мя бы-ло из-вест-но пять). Воз-мож-но, имен-но кра-со-та и гар-мо-ния пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков за-став-ля-ла ве-ли-ких учё-ных про-шло-го пред-по-ла-гать ка-кое-то бо-лее глу-бо-кое их на-зна-че-ние, чем про-сто гео-мет-ри-че-ских объ-ек-тов.

Пра-виль-ным мно-го-гран-ни-ком на-зы-ва-ет-ся мно-го-гран-ник, все гра-ни ко-то-ро-го суть пра-виль-ные мно-го-уголь-ни-ки, все плос-кие уг-лы ко-то-ро-го рав-ны меж-ду со-бой и дву-гран-ные уг-лы ко-то-ро-го рав-ны меж-ду со-бой. (Плос-ки-ми уг-ла-ми мно-го-гран-ни-ка на-зы-ва-ют-ся уг-лы мно-го-уголь-ни-ков-гра-ней, дву-гран-ны-ми уг-ла-ми мно-го-гран-ни-ка на-зы-ва-ют-ся уг-лы меж-ду гра-ня-ми, име-ю-щи-ми об-щее реб-ро.)

За-ме-тим, что из это-го опре-де-ле-ния ав-то-ма-ти-че-ски сле-ду-ет вы-пук-лость пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка, ко-то-рая в неко-то-рых кни-гах вклю-ча-ет-ся в опре-де-ле-ние.

В трёх-мер-ном про-стран-стве су-ще-ству-ет ров-но пять пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков: тет-ра-эдр, ок-та-эдр, куб (гек-са-эдр), ико-са-эдр, до-де-ка-эдр. То, что дру-гих пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков не су-ще-ству-ет, бы-ло до-ка-за-но Ев-кли-дом (око-ло 300 г. до н.э.) в его ве-ли-ких На-ча-лах.

Ана-ло-гич-ное по-стро-е-ние при-ме-ни-мо и в бо-лее об-щем слу-чае. Рас-смот-рим про-из-воль-ный вы-пук-лый мно-го-гран-ник и возь-мём точ-ки в се-ре-ди-нах его гра-ней. Со-еди-ним меж-ду со-бой точ-ки со-сед-них гра-ней от-рез-ка-ми. То-гда точ-ки яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми, от-рез-ки - рёб-ра-ми, а мно-го-уголь-ни-ки, ко-то-рые огра-ни-чи-ва-ют эти от-рез-ки, гра-ня-ми ещё од-но-го вы-пук-ло-го мно-го-гран-ни-ка. Этот мно-го-гран-ник на-зы-ва-ет-ся двой-ствен-ны-ми к ис-ход-но-му.

Как бы-ло по-ка-за-но вы-ше, двой-ствен-ным к тет-ра-эд-ру яв-ля-ет-ся тет-ра-эдр.

Уве-ли-чим раз-мер тет-ра-эд-ра, вер-ши-на-ми ко-то-ро-го яв-ля-ют-ся се-ре-ди-ны гра-ней ис-ход-но-го тет-ра-эд-ра, до раз-ме-ров по-след-не-го. Во-семь вер-шин так рас-по-ло-жен-ных тет-ра-эд-ров яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ку-ба .

Пе-ре-се-че-ни-ем этих тет-ра-эд-ров яв-ля-ет-ся ещё один пра-виль-ный мно-го-гран-ник - ок-та-эдр (от греч. οκτώ - во-семь). Ок-та-эдр име-ет 8 тре-уголь-ных гра-ней, 6 вер-шин, 12 рё-бер. Плос-кие уг-лы ок-та-эд-ра рав-ны $\pi/3$, по-сколь-ку его гра-ни яв-ля-ют-ся пра-виль-ны-ми тре-уголь-ни-ка-ми, дву-гран-ные уг-лы рав-ны $\arccos(–1/3) ≈ 107.47^\circ$.

От-ме-тим се-ре-ди-ны гра-ней ок-та-эд-ра и пе-рей-дём к двой-ствен-но-му к ок-та-эд-ру мно-го-гран-ни-ку. Это - куб или гек-са-эдр (от греч. εξά - шесть). У ку-ба гра-ни яв-ля-ют-ся квад-ра-та-ми. Он име-ет 6 гра-ней, 8 вер-шин, 12 рё-бер. Плос-кие уг-лы ку-ба рав-ны $\pi/2$, дву-гран-ные уг-лы так-же рав-ны $\pi/2$.

Ес-ли взять точ-ки на се-ре-ди-нах гра-ней ку-ба и рас-смот-реть двой-ствен-ный к нему мно-го-гран-ник, то мож-но убе-дить-ся, что им сно-ва бу-дет ок-та-эдр. Вер-но и бо-лее об-щее утвер-жде-ние: ес-ли для вы-пук-ло-го мно-го-гран-ни-ка по-стро-ить двой-ствен-ный, а за-тем двой-ствен-ный к двой-ствен-но-му, то им бу-дет ис-ход-ный мно-го-гран-ник (с точ-но-стью до по-до-бия).

Возь-мём на рёб-рах ок-та-эд-ра по точ-ке , с тем усло-ви-ем, чтобы каж-дая де-ли-ла реб-ро в со-от-но-ше-нии $1:(\sqrt5+1)/2$ (зо-ло-тое се-че-ние) и при этом точ-ки, при-над-ле-жа-щие од-ной гра-ни, яв-ля-лись вер-ши-на-ми пра-виль-но-го тре-уголь-ни-ка. По-лу-чен-ные 12 то-чек яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ещё од-но-го пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка - ико-са-эд-ра (от греч. είκοσι - два-дцать). Ико-са-эдр - это пра-виль-ный мно-го-гран-ник, у ко-то-ро-го 20 тре-уголь-ных гра-ней. Он име-ет 12 вер-шин, 30 рё-бер. Плос-кие уг-лы ико-са-эд-ра рав-ны $\pi/3$, дву-гран-ные рав-ны $\arccos(–1/3\cdot\sqrt5) ≈ 138.19^\circ$.

Ико-са-эдр мож-но впи-сать в куб. На каж-дой гра-ни ку-ба при этом ока-жет-ся по две вер-ши-ны ико-са-эд-ра.

По-вер-нём ико-са-эдр, «по-ста-вив» его на вер-ши-ну, и по-лу-чив его бо-лее при-выч-ный вид : две шап-ки из пя-ти тре-уголь-ни-ков у юж-но-го и се-вер-но-го по-лю-сов и сред-ний слой, со-сто-я-щий из де-ся-ти тре-уголь-ни-ков.

Се-ре-ди-ны гра-ней ико-са-эд-ра яв-ля-ют-ся вер-ши-на-ми ещё од-но-го пра-виль-но-го мно-го-гран-ни-ка - до-де-ка-эд-ра (от греч. δώδεκα - две-на-дцать). Гра-ни до-де-ка-эд-ра суть пра-виль-ные пя-ти-уголь-ни-ки. Та-ким об-ра-зом, его плос-кие уг-лы рав-ны $3\pi/5$. У до-де-ка-эд-ра 12 гра-ней, 20 вер-шин, 30 рё-бер. Дву-гран-ные уг-лы до-де-ка-эд-ра рав-ны $\arccos(–1/5\cdot\sqrt5) ≈116.57^\circ$.

Взяв се-ре-ди-ны гра-ней до-де-ка-эд-ра, и пе-рей-дя к двой-ствен-но-му ему мно-го-гран-ни-ку, по-лу-чим сно-ва ико-са-эдр. Итак, ико-са-эдр и до-де-ка-эдр двой-ствен-ны друг дру-гу. Это ещё раз ил-лю-стри-ру-ет тот факт, что двой-ствен-ным к двой-ствен-но-му бу-дет ис-ход-ный мно-го-гран-ник.

За-ме-тим, что при пе-ре-хо-де к двой-ствен-но-му мно-го-гран-ни-ку, вер-ши-ны ис-ход-но-го мно-го-гран-ни-ка со-от-вет-ству-ют гра-ням двой-ствен-но-го, рёб-ра - рёб-рам двой-ствен-но-го, а гра-ни - вер-ши-нам двой-ствен-но-го мно-го-гран-ни-ка. Ес-ли у ико-са-эд-ра 20 гра-ней, зна-чит у двой-ствен-но-го ему до-де-ка-эд-ра 20 вер-шин и у них оди-на-ко-вое чис-ло рё-бер, ес-ли у ку-ба 8 вер-шин, то у двой-ствен-но-го ему ок-та-эд-ра 8 гра-ней.

Су-ще-ству-ют раз-лич-ные спо-со-бы впи-сы-ва-ния пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков друг в дру-га, при-во-дя-щие ко мно-гим за-ме-ча-тель-ным кон-струк-ци-ям. Ин-те-рес-ные и кра-си-вые мно-го-гран-ни-ки по-лу-ча-ют-ся так-же при объ-еди-не-нии и пе-ре-се-че-нии пра-виль-ных мно-го-гран-ни-ков.

В до-де-ка-эдр впи-шем куб так, чтобы все 8 вер-шин ку-ба сов-па-да-ли с вер-ши-на-ми до-де-ка-эд-ра. Во-круг до-де-ка-эд-ра опи-шем ико-са-эдр так, чтобы его вер-ши-ны ока-за-лись в се-ре-ди-нах гра-ней ико-са-эд-ра. Во-круг ико-са-эд-ра опи-шем ок-та-эдр , так, чтобы вер-ши-ны ико-са-эд-ра ле-жа-ли на рёб-рах ок-та-эд-ра. На-ко-нец, во-круг ок-та-эд-ра опи-шем тет-ра-эдр так, чтобы вер-ши-ны ок-та-эд-ра по-па-ли на се-ре-ди-ны рё-бер тет-ра-эд-ра.

Та-кую кон-струк-цию из ку-соч-ков сло-ман-ных де-ре-вян-ных лыж-ных па-лок сде-лал ещё ре-бён-ком бу-ду-щий ве-ли-кий ма-те-ма-тик XX ве-ка В. И. Ар-нольд. Вла-ди-мир Иго-ре-вич хра-нил её дол-гие го-ды, а за-тем от-дал в ла-бо-ра-то-рию по-пуля-ри-за-ции и про-па-ган-ды ма-те-ма-ти-ки Ма-те-ма-ти-че-ско-го ин-сти-ту-та им. В. А. Стек-ло-ва.

Ли-те-ра-ту-ра

Г. С. М. Кокс-тер. Вве-де-ние в гео-мет-рию. - М.: На-у-ка, 1966.

Ж. Ада-мар. Эле-мен-тар-ная гео-мет-рия. Ч. 2. Сте-рео-мет-рия. - М.: Про-све-ще-ние, 1951.

Ев-клид. На-ча-ла Ев-кли-да. Кни-ги XXI-XXV. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.