Большой угол параллелограмма. Краткое изложение и основные формулы. Нахождение углов параллелограмма
Параллелограммом называется такой четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны.
Параллелограмм обладает всеми свойствами четырехугольников, но кроме этого имеет и свои отличительные особенности. Зная их, мы можем с легкостью находить как стороны, так и углы параллелограмма.
Свойства параллелограмма
- Сумма углов в любом параллелограмме, как и в любом четырехугольнике, равна 360°.
- Средние линии параллелограмма и его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Эту точку принято называть центром симметрии параллелограмма.
- Противоположные стороны у параллелограмма всегда равны.
- Также у этой фигуры всегда равны противоположные углы.
- Сумма углов, которые прилегают к любой из сторон параллелограмма, всегда составляет 180°.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон. Это выражается формулой:
- d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 +b 2), где d 1 и d 2 - диагонали, a и b - смежные стороны.
- Косинус тупого угла всегда меньше нуля.
Как найти углы заданного параллелограмма, применяя эти свойства на практике? И какие еще формулы могут нам в этом помочь? Рассмотрим конкретные задания, в которых требуют: найдите величины углов параллелограмма.
Нахождение углов параллелограмма
Случай 1. Известна мера тупого угла, требуется найти острый угол.
Пример: В параллелограмме ABCD угол A равен 120°. Найдите меру остальных углов.
Решение: Пользуясь свойством № 5, мы можем найти меру угла B, смежного с тем углом, который дан в задании. Он будет равен:
- 180°-120°= 60°
А теперь, пользуясь свойством №4, мы определяем, что два оставшихся угла C и D противоположны тем углам, которые мы уже нашли. Угол C противоположен углу A, угол D - углу B. А следовательно они попарно им равны.
- Ответ: B = 60°, C = 120°, D=60°
Случай 2. Известны длины сторон и диагонали
В таком случае нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов.
Мы можем сначала по формуле вычислить косинус нужного нам угла, а потом по специальной таблице найти, чему равен сам угол.
Для острого угла формула такая:
- cosa = (А² + В² - d²) / (2 * А * В), где
- а - это искомый острый угол,
- А и В - стороны параллелограмма,
- d - меньшая диагональ
Для тупого угла формула немного меняется:
- cosß = (А² + В² - D²) / (2 * А * В), где
- ß - это тупой угол,
- А и В - стороны,
- D - большая диагональ
Пример: необходимо найти острый угол параллелограмма, стороны которого равны 6 см и 3 см, а меньшая диагональ равна 5.2 см
Подставляем значения в формулу для нахождения острого угла:
- cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
- cosa = 1/2. По таблице выясняем, что искомый угол равен 60°.
Задача 1 . Один из углов параллелограмма равен 65°. Найти остальные углы параллелограмма.
∠C =∠A = 65° как противоположные углы параллелограмма.
∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма.
∠В = 180° — ∠А = 180° — 65° = 115°.
∠D =∠B = 115° как противолежащие углы параллелограмма.
Ответ: ∠А =∠С = 65°; ∠В =∠D = 115°.
Задача 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 220°. Найти углы параллелограмма.
Так как у параллелограмма имеется 2 равных острых угла и 2 равных тупых угла, то нам дана сумма двух тупых углов, т.е. ∠В +∠D = 220°. Тогда ∠В =∠D = 220°: 2 = 110°.
∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, поэтому ∠А = 180° — ∠В = 180° — 110° = 70°. Тогда ∠C =∠A = 70°.
Ответ: ∠А =∠С = 70°; ∠В =∠D = 110°.
Задача 3. Один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. Найти углы параллелограмма.
Пусть ∠А =х. Тогда ∠В = 3х. Зная, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне равна 180°, составим уравнение.
х = 180 : 4;
Получаем: ∠А =х = 45°, а ∠В = 3х = 3 ∙ 45° = 135°.
Противолежащие углы параллелограмма равны, следовательно,
∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.
Ответ: ∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.
Задача 4. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство.
Проведем диагональ BD и рассмотрим Δ ADB и Δ CBD.
AD = BC по условию. Сторона BD – общая. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие при параллельных (по условию) прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, Δ ADB = Δ CBD по двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства треугольников). В равных треугольниках соответственные углы равны, значит, ∠3 =∠4. А эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей BD. Отсюда следует параллельность прямых AB и CD. Таким образом, в данном четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, по определению ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.
Задача 5. Две стороны параллелограмма относятся как 2 : 5, а периметр равен 3,5 м. Найти стороны параллелограмма.
∙ (AB + AD).
Обозначим одну часть через х. тогда AB = 2x, AD = 5x метров. Зная, что периметр параллелограмма равен 3,5 м, составим уравнение:
2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;
2 ∙ 7x = 3,5;
x = 3,5 : 14;
Одна часть составляет 0,25 м. Тогда AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 м; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 м.
Проверка.
Периметр параллелограмма P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (м).
Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.
Ответ: CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.
§43. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.
1. Определение параллелограмма.
Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В четырёхугольниках АВDС и ЕFNМ (черт. 224) ВD || АС и АВ || СD;
ЕF || МN и ЕМ || FN.
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
2. Свойства параллелограмма.
Теорема . Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Пусть имеется параллелограмм АВDС (черт. 225), в котором АВ || СD и АС || ВD.
Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника.
Проведём в параллелограмме АВDС диагональ СВ. Докажем, что /\ САВ= /\ СDВ.
Сторона СВ общая для этих треугольников; / АВС = / ВСD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и СD и секущей СВ; / АСВ = / СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB (§ 38).
Отсюда /\ САВ = /\ СDВ.
Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и АВD.
Следствия. 1 . Противоположные углы параллелограмма равны между собой.
/
А = /
D, это следует из равенства треугольников САВ и СDВ.
Аналогично и /
С = /
В.
2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.
АВ = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.
Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.
Пусть ВС и AD - диагонали параллелограмма AВDС (черт. 226). Докажем, что АО = OD и СО = ОВ.
Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например /\ AОВ и /\ СОD.
В этих треугольниках АВ = СD, как противоположные стороны параллелограмма;
/
1 = /
2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и СD и секущей AD;
/
3 = /
4 по той же причине, так как АВ || СD и СВ - их секущая (§ 38).
Отсюда следует, что /\ AОВ = /\ СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = ОВ.
Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 2 d .
Доказать самостоятельно.
3. Признаки параллелограмма.
Теорема. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Пусть в четырёхугольнике AВDС (черт. 227) АВ = СD и АС = ВD. Докажем, что при этом условии АВ || СD и АС || ВD, т. е. четырёхугольник АВDC - параллелограмм.
Соединим отрезком какие-нибудь две противоположные вершины этого - четырёхугольника, например С и В. Четырёхугольник АВDС разбился на два равных треугольника: /\
СAВ и /\
СDВ. В самом деле, сторона СВ у них общая, АВ = СD и АС = ВD по условию. Таким образом, три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, поэтому /\
СAВ = /\
СDВ.
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому
/
1 = /
2 и /
3 = /
4.
Углы 1-й и 2-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых АВ и СD прямой СВ. Следовательно, АВ || СD.
Точно так же углы 3-й и 4-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых СА и ВD прямой СВ, следовательно, СА || ВD (§ 35).
Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника АВDС попарно параллельны, следовательно, он параллелограмм, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Пусть в четырёхугольнике АВDС АВ = СD и АВ || СD. Докажем, что при этих условиях четырёхугольник АВDС- параллелограмм (черт. 228).
Соединим отрезком СВ вершины С и В. Вследствие параллельности прямых АВ и СD углы 1 и 2, как углы внутренние накрест лежащие, равны (§ 38).
Тогда треугольник САВ равен треугольнику СDВ, так как сторона СВ у них общая,
АВ = СD по условию теоремы и /
1 = /
2 по доказанному. Из равенства этих треугольников вытекает равенство углов 3 и 4, так как они лежат против равных сторон в равных треугольниках.
Но углы 3 и 4 - это внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых АС и ВD прямой СВ, следовательно, АС || ВD (§ 35), т. е. четырёхугольник
АВDС- параллелограмм.
Упражнения.
1. Доказать, что если диагонали четырёхугольника в точке их взаимного пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
2. Доказать, что четырёхугольник, у которого сумма внутренних углов, прилежащих к каждой из двух соседних сторон, равна 2d , есть параллелограмм.
3. Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между ними:
а) используя параллельность противоположных сторон параллелограмма;
б) используя равенство противоположных сторон параллелограмма.
4. Построить параллелограмм по двум смежным сторонам и диагонали.
5. Построить параллелограмм по двум его диагоналям и углу между ними.
6. Построить параллелограмм по его стороне и двум диагоналям.
Как в евклидовой геометрии точка и прямая - главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.
Вконтакте
Определение параллелограмма
Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.
Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, - высотой (BE и BF), линии AC и BD - диагоналями.
Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник - это частные случаи параллелограмма.
Стороны и углы: особенности соотношения
Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением , их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:
- Стороны, которые являются противоположными, - попарно одинаковые.
- Углы, расположенные противоположно друг другу - попарно равны.
Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).
Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.
Характеристики диагоналей фигуры
Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.
Доказательство: пусть т. Е - это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника - ∆ABE и ∆CDE.
AB=CD, так как они противоположные. Согласно прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.
По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.
Особенности смежных углов
У смежных сторон сумма углов равна 180° , поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Свойства биссектрисы:
- , опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
- противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
- треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.
Определение характерных черт параллелограмма по теореме
Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.
Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности - AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.
Вычисление площади фигуры
Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.
Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF - равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD - равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: S ABE и S EBCD , а также S DCF и S EBCD . Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb , а сторону - b . Соответственно:
Другие способы нахождения площади
Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол , который они образуют, - второй известный метод.
,
Sпр-ма - площадь;
a и b - его стороны
α - угол между отрезками a и b.
Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если неизвестна. всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.
Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.
Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.
Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть . Поскольку AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формула площади сводится до:
.
Применение в векторной алгебре
Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.
Доказательство: из произвольно выбранного начала - т. о. - строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB - стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .
Формулы для вычисления параметров параллелограмма
Тождества приведены при следующих условиях:
- a и b, α - стороны и угол между ними;
- d 1 и d 2 , γ - диагонали и в точке их пересечения;
- h a и h b - высоты, опущенные на стороны a и b;
Параметр | Формула |
Нахождение сторон | |
по диагоналям и косинусу угла между ними | |
по диагоналям и стороне | |
через высоту и противоположную вершину | |
Нахождение длины диагоналей | |
по сторонам и величине вершины между ними |
Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых
Свойства параллелограмма:
Теорема 22.
Противоположные стороны параллелограма равны.
Доказательство. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠
САВ=∠
АСD, ∠
АСВ=∠
DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников:
Теорема 23.
Противоположные углы параллелограмма равны: ∠
А=∠
С и ∠
В=∠
D.
Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй - АВС и ACD.
Теорема 24.
Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.
Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.
Теорема 25.
Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠
ОАD=∠
ОСВ и ∠
ОDА=∠
ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.
Признаки параллелограмма
Теорема 26.
Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис2). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.
Теорема 27.
Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Пусть ∠
А=∠
С и ∠
В=∠
D. Т.к. ∠
А+∠
В+∠
С+∠
D=360 о, то ∠
А+∠
В=180 о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.
Теорема 28.
Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.
Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.
Теорема 29.
Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.
Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 1.
Теорема 30.
Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.
Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 4.
В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма.