Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Бенуа Мандельброт (Benoit B. Mandelbrot, 20.11.1924 - 14.10.2010) - французский математик, более всего известен как отец фрактальной геометрии. Бенуа является профессором математических наук, почетным преподавателем Йельского Университета, научным сотрудником компании «IBM», Баттельским членом Тихоокеанской Национальной лаборатории.

Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в еврейской семье из Литвы. Его семья переехала по Францию, когда Бенуа было 11 лет. Он получил образование во Франции. В 1952 году в Университете Парижа Бенуа Мандельброт получил степень доктора математических наук.

У Бенуа двойное гражданство, он гражданин Франции и Америки. В настоящее время Мандельброт живет и работает в США.

Его величайшей работой считается книга «Фрактальная геометрия природы».

Книги (2)

(Не)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах

В своей очередной книге «(Не)послушные рынки» плодотворный автор знаменитой «Фрактальной геометрии природы» (1982 год) Бенуа Мандельброт вновь подрывает устои. На сей раз - современной финансовой теории - той самой, которую преподают в самых престижных школах бизнеса мира, и на которой построена глобальная финансовая система. Это совершенно новый, революционный взгляд на финансы, способный перевернуть наши представления о них с ног на голову.

В книге показано, как применимы авторские концепции самоповторения в масштабе, долгосрочной зависимости, бурной случайности, мультифрактального анализа и многие другие к миру бизнеса. Очевидно, «Непослушные рынки» просто обязаны прочесть все, кто причастен к финансам, бизнесу, производству. Но не только: любой человек, интересующийся тем, как устроен наш мир, насколько он упорядочен или хаотичен, надежен или опасен, после прочтения книги посмотрит вокруг себя другими глазами.

Фрактальная геометрия природы

Классическая книга основателя теории фракталов, известного американского математика Б. Мандельброта, которая выдержала за рубежом несколько изданий и была переведена на многие языки.

Перевод на русский язык выходит с большим опозданием (первое английское издание вышло в 1977). За прошедший период книга совсем не устарела и остается лучшим и основным введением в теорию фракталов и фрактальную геометрию. Написанная в живой и яркой манере, она содержит множество иллюстраций (в том числе и цветных), а также примеров из различных областей науки.

Для студентов и аспирантов, физиков и математиков, инженеров и специалистов.

Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев . Его мать Белла Лурье была врачом, отец - Карл Мандельбройт - галантерейщиком . В 1936 году вся семья эмигрировала во Францию и поселилась в Париже . Здесь Мандельброт попал под влияние своего дяди Шолема Мандельбройта , известного парижского математика, члена группы математиков, известной под общим псевдонимом Николя Бурбаки .

После начала войны Мандельброты бежали на свободный от немецкой оккупации юг Франции , в городок Тюль . Там Бенуа пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учёбе.

Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Политехнической школы Парижа. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. Даже алгебраические задачи он решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила ему поступить в университет.

Окончив университет, Мандельброт переехал в США , где окончил . По возвращении во Францию, он получил докторскую степень в Университете Парижа в 1952 году. В 1955 году женился на Альетт Каган (Aliette Kagan) и переехал в Женеву .

Галерея фракталов

Награды и почётные звания

• Почётный преподаватель Йельского Университета
• Баттельский член Тихоокеанской северо-западной национальной лаборатории

В честь Бенуа Мандельброта назван астероид 27500 Мандельброт .

Книги

• Бенуа Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы = The Fractal Geometry of Nature. - М .: , 2002. - С. 656. - ISBN 5-93972-108-7 .
• Бенуа Б. Мандельброт, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. - М .: «Вильямс» , 2006. - С. 400. - ISBN 0-465-04355-0 .
• Мандельброт Б. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса // Бенуа Мандельброт. - Ижевск,: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. - 392 с.
• Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы// Бенуа Мандельброт. - Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. - 256 с.

Статьи

• Mandelbrot, B. (1959) Variables et processus stochastiques de Pareto-Levy, et la repartition des revenus. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 249, 613-615.
• Mandelbrot, B. (1960) The Pareto-Levy law and the distribution of income. International Economic Review, 1, 79-106.
• Mandelbrot, B. (1961) Stable Paretian random functions and the multiplicative variation of income. Econometrica, 29, 517-543.
• Mandelbrot, B. (1964) Random walks, fire damage amount and other Paretian risk phenomena. Operations Research, 12, 582-585.

Инициал «Б» в имени Бенуа Б. Мандельброт, не является сокращением никакого конкретного имени, что породило шутку о том, что «Б» означает Бенуа Б. Мандельброт, делая его имя рекурсивным фракталом .

Бенуа́ Мандельбро́т (фр. Benoît B. Mandelbrot; 20 ноября 1924, Варшава - 14 октября 2010, Кембридж) - французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993).

Бенуа родился в Варшаве. Его родители были литовскими евреями. В 1936 году семья переехала жить в Париж, куда еще раньше поехал жить дядя Бенуа. Началась война, и Мандельброты переехали в небольшой городок Тюль, что на юге Франции. Юный Бенуа пошел в школу, но он потерял интерес к учебе. В итоге в 16 лет он не знал нормально алфавита, а таблицу умножения с горем пополам выучил только до пяти. Однако у него был необычный математический дар. Этот дар позволил ему без проблем стать студентом в Сорбонне. Его талант был не похож на обычные математические способности. Он решал задачи не путем математического анализа, а путем острой геометрической интуиции. Он не мог решить алгебраические задания на вступительных экзаменах, но резко в его сознании установилась связь между алгеброй и геометрическими образами. Он поразил преподавателей красотой и оригинальностью решения. Они поставили абитуриенту превосходную оценку.

Бенуа окончил университет и стал «чистым математиком». Очень скоро он получил докторскую степень и начал работать в научно-исследовательском центре IBM в 1958 году. Бенуа настолько сильно увлекся, что ушел далеко-далеко от прикладных проблем компании. Его называли мэтром «нетрадиционной математики». Его коллеги поражались его разработками в области лингвистики, экономики, теории игр, физиологии, географии и т.п. Бенуа был первым математиком, который получил доступ к высоким компьютерным технологиям. Бенуа мог найти себе работу в самых разных областях благодаря нетрадиционному мышлению. Когда он исследовал экономику, то обнаружил, что произвольные изменения цен могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который невозможно описать стандартными кривыми. Бенуа на весь мир прославился вместе со своим «обсчетом» цен на хлопок. Колебания и изменения цен в течение дня казались непредсказуемыми, но используя компьютерный анализ можно быть отследить тенденцию новых изменений. Этот анализ провел как раз Мандельброт. Его открытие повергло в шок экономистов, которые пользовались математикой только для вычислений.

Бенуа сам удивлялся своим открытиям. Он не понимал их тайный смысл, но чувствовал, что нашел что-то очень важное. Как позже выяснилось, он начал интуитивно разрабатывать фрактальный метод в экономике. Наука имела дело с системами, заключенными в трех пространственных измерениях, но это было только до открытия Бенуа. Ранее Эйнштейн доказал, что трехмерное пространство – лишь модель действительности, но никак не сам действительность. Иными словами наш мир расположен в четырехмерном пространственно-временном континууме. Бенуа понял, как выглядит это четырехмерное пространство. Если выражаться образно, то он выяснил, как выглядит фрактальное лицо Хаоса. Также Бенуа обнаружил, что в четвертом измерении находятся первые три и интервалы между ними (это очень важно). В скором времени фрактальная геометрия сможет заменить Эвклидову. Эта новая наука способна описать настоящую природу тел и явлений, что очень важно. Кстати, понятие «фрактал» Бенуа Мандельброт придумал сам. Создатель фрактальной геометрии был награжден премией Вольфа по физике в 1993 году. А умер он в Кембридже в 2010 году. Как сообщила его жена, он умер от рака поджелудочной железы.

Книга известного американского математика Бенуа Мандельброта посвящена фрактальной геометрии и фундаментальным вопросам случайности. Фрактальную геометрию Мандельброт придумал, когда писал труды по финансам в шестидесятые годы. Данное произведение содержит, среди прочих, эти труды, которые ранее не издавались, а также фундаментальные представления о случайности. На мой взгляд, книга будет полезна тем, кто предполагает заработать на фондовом/валютном рынке (в качестве отрезвляющего душа), а также всем, кто размышляет о роли случая и закономерностях.

Ранее я читал Бенуа Мандельброт. .

Бенуа Мандельброт. Фракталы, случай и финансы. – Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. – 256.

Скачать конспект (краткое содержание) в формате или

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ФРАКТАЛЫ

Глава 1.1. Признанный и принесший плоды «мезальянс»

Еще в самом начале своей научной карьеры я пришел к выводу, что многочисленные реально существующие формы настолько нерегулярны или изломаны, что сложность Природы не только количественно, но и качественно превосходит все то, что допускает геометрия Евклида. Для того, чтобы охарактеризовать отрезок или окружность, достаточно некоторого небольшого количества отдельных измерений, в природе же это число столь велико, что его можно считать практически бесконечным.

Решившись принять упомянутый вызов, я задумал и разработал новую геометрию природы, а затем использовал ее во множестве различных областей. Фракталы - это объекты (математические, природные или созданные человеком), которые мы называем неправильными, шероховатыми, пористыми или раздробленными, причем указанными свойствами фракталы обладают в одинаковой степени в любом масштабе. Можно сказать, что форма этих объектов не изменяется от того, рассматриваем мы их вблизи или издалека.

Связующей нитью, определяющей понятие фрактала, стала идея о том, что некоторые феномены нашего мира имеют одинаковую структуру при рассматривании их вблизи или издалека (т.е. в любом масштабе) - когда мы увеличиваем картинку, желая разглядеть что-либо получше, изменяются лишь незначительные детали. Так, каждый малый участок фрактала представляет собой ключ к целой конструкции. Я использую термин «самоподобие».

Я описал горы, облака, деревья, скопления галактик и следы биржевого курса, но описывать их достаточно совершенным образом, позволяющим имитировать эти реальные объекты и создавать их дубликаты с помощью математических формул. Тот факт, что эти дубликаты или имитации были основаны на статистических моделях, вызывал законное удивление. Потому что никто не ожидал, что в объяснении происходящего окажется столько случайного .

Однако теория детерминистского хаоса как раз тогда находилась в стадии образования. Очень хорошо читается книга, написанная на эту тему Глейком (подробнее см. ). Фундаментальный факт состоит в том, что динамическая система может быть абсолютно детерминистской, но не обнаруживать правильного и ручного поведения, а именно этим поведением ограничиваются все известные мне курсы механики. Она может обнаруживать так называемые хаотические формы поведения. Они неслучайны, но рассматривать их как нечто, возникающее не в результате стихийного случая, стоит большого труда.

Изучение детерминистского хаоса порождает бесчисленное количество очень сложных геометрических форм. Обычная геометрия полностью непригодна для их изучения, тогда как фрактальная геометрия изначально представляла собой средство, в высшей степени подходящее для их изучения.

Термин «хаос», прежде чем ему приписали только что обсуждавшийся формальный смысл, часто использовался для описания поведения биржи. Отсюда только один шаг отделяет нас от постановки вопроса о том, можно или нельзя объяснить данное поведение в вышеупомянутом формальном смысле. Более того! В механике хаос вызывает удивление, поскольку там действуют неоспоримые детерминистские законы. При изучении же финансов действия сколько-нибудь похожих законов мы не наблюдаем.

Глава 1.2. Самоподобие и самоаффинность

Некоторый объект называется самоподобным, если его «целое» (то есть сам объект, взятый целиком) можно разделить на «части», каждая из которых получается из целого посредством преобразования подобия, то есть редукции или линейного сжатия. С математической точки зрения процесс редукции можно повторять произвольное число раз. Отсюда сразу следует, что самоподобный математический объект состоит из бесконечно малых деталей. Между тем реально существующие фракталы ограничены и лишены бесконечно малых деталей.

Огибающая кривая: кривая Коха или «снежинка». Этот объект придумал в 1904 году математик Хельге фон Кох. Ему хотелось убедить скептиков не только в том, что можно построить непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной точке, но и в том, что это свойство получается очень простым образом.

Для того, чтобы построить внутреннюю область трети снежинки, надо предпринять шаги, показанные на рис. 1. Начинаем с отрезка единичной длины, который делится на три части. К средней из этих частей прилагаются два других отрезка так, чтобы получился равносторонний треугольник. Точно так же поступаем затем с отрезками длины 1/3, 1/9, 1/27 и т.д.

Рис. 1. Построение кривой Коха («снежинки»). Последовательные аппроксимации кривой представлены границей между черным и белым

Через n поколений равносторонних треугольников получаем ломаную линию, которая и будет границей объекта, изображенного на рис. 1. Поскольку первоначальная длина стороны треугольника равна трем единичным отрезкам, а после «вытягивания» – четырем единичным отрезкам, длина ломанной границы снежинки равна 4/3 в степени n . Поскольку множитель 4/3 больше единицы, эта длина бесконечно возрастает вместе с n . Граница стремится к пределу бесконечной длины.

В самоподобии непременно участвует концепция вращения, а также изменения длины отрезка, в частности, можно говорить об операции уменьшения этой длины в некотором соотношении r .

Термин «аффинные» введен великим математиком Леонардом Эйлером . Самоаффинность исключает вращение, однако ее операции распадаются на перенос и редукцию, подверженную куда меньшему числу ограничений, чем в случае самоподобия. При всем этом теория самоаффинности неизбежно сложнее и запутаннее, чем в случае самоподобия. Без решения остаются множество очень простых математических вопросов.

К счастью, можно достичь замечательного компромисса между простотой и мощностью, используя аффинности, которые я называю диагональными, так как у их матрицы есть только диагональные элементы. Такая аффинность - это преобразование, сжимающее графики в двух разных отношениях: в отношении r t по времени и в каком-либо другом отношении r p по цене.

Мы будем говорить, что некоторая хроника обладает диагональной самоаффинностью, если ее редуцированная форма полностью идентична, точно или только статистически, любой ее части, менее протяженной во времени.

На рис. 2 показано, как строится самоаффинная кривая, соединяющая точки X (0) = 0 и X (1) = 1 внутри единичного квадрата. В качестве «инициатора» берется диагональ с единичным наклоном, а в качестве «генератора» - ломаная линия, т.е. кривая, составленная из конечного числа отрезков прямой таким образом, чтобы проходить из левого нижнего угла в правый верхний (см. маленький график вверху слева). На следующем этапе каждый отрезок генератора заменяется своей аффинной копией, уменьшенной и перенесенной так, чтобы две ее крайние точки совпадали с концами исходного отрезка (второй маленький график). Далее показаны 3-й и 4-й этапы, а также некоторый значительно более поздний этап.

Рис. 2. Диагональные самоаффинные построения

Самоаффинные кривые описанного выше вида суть эскизы финансовой реальности!

Глава 1.3. Принципы масштабирования, масштабируемые распределения, фрактальные размерности и показатель Н

Говорят, что две измеримые величины X и Y связаны законом масштабирования, когда существует такой показатель ε , что X = Y ε , или, иначе говоря, когда logX/log Y = const. Для характеристики самоподобия используется геометрический показатель – размерность подобия. Вернемся к построению кривой, составляющей снежинку. Генератор состоит из N = 4 отрезков, каждый из которых имеет длину r = 1/3. Размерность подобия:

В случае самоаффинности все оказывается гораздо сложнее. Например, для графика цены Р в зависимости от времени t можно записать:

В моих моделях цена P(t) - это недифференцируемая функция времени t, что на практике означает, что угол наклона отношения ∆Р/∆t очень сильно зависит от ∆t (и от случая), так что он бесполезен при оценке уровня изменчивости. Напротив, показатель H(t) изменяется мало, поэтому может быть очень полезен, при условии, что мы привыкнем рассуждать в терминах этого показателя.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. МНОЖЕСТВЕННОСТЬ «СОСТОЯНИЙ» СЛУЧАЯ

Глава 2.1. От случая ручного к случаю стихийному

Понятие «случай» выступает в науке в самых разных формах, и мы только выиграем, если предположим, что случай может находиться в нескольких различных «состояниях». «Ручное» состояние случая уже тысячу раз доказало нам свою полезность, но его недостаточно для описания процессов, происходящих на бирже, или многих других природных или социальных феноменов. Я воспользуюсь другим термином - «стихийное». Кроме того, необходимо допустить наличие третьего состояния, которое я буду называть «медленным».

В чем же заключалась центральная мысль моих работ в области финансов? Общепринятое предположение следовало за физикой и успокаивалось на броуновском движении. Допускалось, что цены - это непрерывные функции от времени, а их флуктуации не более значительны, чем флуктуации, описываемые уже классическим распределением Гаусса. Но изучение фактов показало обратное: функции разрывны, а их флуктуации достигают огромных значений. И если броуновский случай очень легко квалифицировать как ручной, то для описания биржи необходима какая-то совершенно другая форма случая.

Если мы хотим доказать, что та или иная наука перешла в разряд точных, то самыми существенными будут в таком доказательстве аргументы, демонстрирующие ручной характер наиболее важных из имеющихся в данной науке флуктуаций. И наоборот, науки, в которых основными видами шума управляет стихийный случай, рискуют долгое время оставаться среди «не совсем точных».

Широко распространено и противоположное мнение: единственное преимущество точных наук состоит в том, что у них было больше времени для развития - мне, впрочем, кажется, что эта точка зрения противоречит урокам истории. Даже если ограничиться теми феноменами, которые наш разум называет физическими, то задача о предсказании разливов рек и задача о предсказании положения планет были поставлены приблизительно в одно и то же время, однако первая из них надолго осталась в области суеверий, тогда как вторая развивалась самым блестящим образом - результатом этого развития, собственно, и стала физика, «как она есть». Просто «так случилось», что флуктуации в последней задаче малы и в пределе пренебрежимы.

Глава 2.5. Ной, Иосиф и несколько примеров стихийного случая, малопонятных, но неизбежных

Зачастую в поисках опоры мы хватаемся за утверждение о том, что эффекты Ноя и Иосифа могут быть только переходными. Отсюда - поразительные и дорогостоящие попытки построить процессы, которые я рассматриваю как имитацию этих эффектов при среднем количестве данных, асимптотически всегда ручных.

Поразительный пример - распределение личных доходов. Формула, предложенная Парето в 1896 году, имеет, как мы увидим, одну особенность - ее дисперсия бесконечно велика. Это и есть проявление эффекта Ноя; если он постоянен, возможность применения центральной предельной теоремы исключается.

Многим авторам эта последняя возможность казалась попросту немыслимой; ее следовало избежать любой ценой. Некоторые предлагали урезать аналитическое выражение Парето, учитывая тот факт, что никакой личный доход не превосходит, допустим, триллиона франков. Конечно, это позволяло спасти желанный вывод, то есть «прирученность» асимптотического поведения; нужный результат получается за счет отодвигания вышеупомянутой асимптотики в будущее, не представляющее для нас никакого интереса.

Ряд других авторов (начиная с самого Парето) предлагали добавить к вычисляемому распределению экспоненциальный член, который будет играть свою роль только в асимптотике. Многие авторы настаивали на том, чтобы заменить это распределение на логнормальное, которое опять-таки не окажет особого воздействия на данные обычной величины, но взамен предложит нам ручную асимптотику.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. СЛУЧАЙНОЕ НА БИРЖЕ

ГЛАВА 3.1. Разрывность и концентрация

Всякий, кто рискнет заняться изучением какой-нибудь реальной биржевой хроники, сначала непременно столкнется с призраком Башелье. Луи Башелье (1870–1940) стал самым настоящим предтечей, даже знакомство с его биографией заслуживает того, чтобы потратить на него время. В 1900 году теория вероятностей сводилась, по большей части, к собранию простых комбинаторных примеров, статистика еще не появилась на свет, а Парето был практически единственным математиком-экономистом. Именно в 1900 году Башелье получил звание доктора математических наук, защитив диссертацию на тему «Математическая теория спекуляций».

Пусть Z(t) – цена данного количества некоторого продукта в момент времени t. Башелье постулирует, что Z(t + Т) – Z(t) есть гауссовская случайная величина, среднее значение которой равно нулю, а дисперсия зависит от t и Т. Рассматривается поправка, согласно которой гауссовской случайной величиной будет, скорее, выражение

L (t , Т) = logZ (t + Т) – logZ (t )

Существует множество способов представления изменения цены.

A) Специалисты в области «технического анализа» намерены научиться предсказывать будущее на основе изменений прошлого. Их методы весьма изящны, но их описание редко бывает точным настолько, чтобы сделать возможной их проверку. В исключительных допускающих проверку случаях полученные с их помощью результаты оказываются необоснованными.

C) Башелье сам ослабил свои высказанные в 1900 году идеи, допустив, что дисперсия случайной величины L(t, Т) зависит от t. Более того, он отметил, что смесь гауссовских распределений с разными дисперсиями дает распределение с очень длинными краями. И добавил, что некоторые большие изменения цены происходят вследствие так называемых «угроз взрыва», так что их нельзя рассматривать вместе с малыми случайными изменениями. Эти два дополнения, которые Башелье внес в свою модель, существенно ограничивают ее значимость.

Из рассуждений Башелье (пункт С) мы можем непосредственно заключить, что по сравнению с изменчивостью непредсказуемой экономики изменчивость любого случайного процесса оказывается недостаточной. Я предлагаю перевернуть обычные рассуждения: вместо того, чтобы говорить, что некоторые изменения велики, поскольку они имеют причину, я буду говорить, что, наблюдая большое изменение цены, мы приходим к выводу о необходимости отыскать (вообще говоря, a posteriori ) причины, спровоцировавшие это изменение; малые изменения такого особого внимания не заслуживают.

Построив гистограмму изменений цены (рис. 3), можно констатировать, что зачастую она почти симметрична, при этом, как правило, отчетливо заметно, что нормальной она не является. Гауссовская аппроксимация, показанная на рис. 3, одинаково плоха на всех участках. У некоторых ученых возникает искушение поступить с длинными хвостами так, чтобы вовсе о них не думать. Я же, напротив, считаю, что длинные хвосты гистограмм изменения цены скрывают значительную информацию, и есть много веских оснований вплотную ими заняться.

Рис. 3. Распределение изменения цены как правило является негауссовским

Если кривые, постулируемые броуновским движением, непрерывны, то кривые, которые встречаются в действительности, таковыми не являются. При этом каждый раз, когда цена терпит сильный разрыв, к хвостам распределения изменений цены добавляется новая точка.

Среднее эмпирическое. Особых проблем в случае изменений цены это значение не причиняет - в том смысле, что средние, соответствующие выборкам, возрастающим по размеру, достаточно быстро стабилизируются вблизи некоторой величины, которую можно принять за аналог асимптотического предела.

Среднее квадратическое. Для некоторых цен оно ведет себя весьма ненадежным образом.

• Эти значения, соответствующие различным выборкам одной и той же длины, могут относиться друг к другу даже как 1 к 100.
• Для выборок с последовательно возрастающей длиной эти значения, по-видимому, не стабилизируются. Таким образом, не существует величины, которую хотелось бы принять в качестве аналога предельной величины.
• Вклады различных значений в среднее квадратическое очень отличаются. Наибольшим индивидуальным вкладом нельзя пренебречь, даже когда выборка очень велика.
• Грубо говоря, среднее квадратическое возрастает вместе с длиной выборки (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация неустойчивого характера второго эмпирического момента. Здесь рассматривается разность logZ(t + одна неделя) – log Z(t), где Z(t) – цена на зерно. Выборка возрастает от 1 до 1000, каждый раз включая в себя предыдущую выборку. Если бы ожидание квадрата переменной было конечным и не очень большим, то кривая должна была бы стремиться к некоторому пределу. В данном случае это не так.

Глава 3.2. Псевдопериодичности

Если сравнивать экономические хроники с хрониками разливов Нила, то первое их сходство состоит в характерном для обоих непериодическом циклическом поведении. Рассматривая циклические феномены, мы поражаемся тому, насколько много длительностей имеют различные циклы, равно как и слабости критериев их определения и дифференциации. Например, хроника, охватывающая целый век, обнаруживает короткие циклы продолжительностью от 5 до 10 лет, а также долгие циклы с продолжительностью от 20 до 40 лет. То, что в близкой перспективе казалось тенденцией к росту, в действительности оказывается началом цикла, который тут же заканчивается изменением направления. Некоторые наблюдатели увидят в той же самой хронике и средние циклы, но им будет сложно провести различие между «укороченными» средними и «удлиненными» короткими циклами.

Однако, все периодичности суть «артефакты», не характеристика процесса, но, скорее, совокупный результат зависящий от собственно процесса, длины выборки и суждения экономиста или гидролога.

Эмпирическое открытие Херста состоит в том, что диаграммы R/S, относящиеся к эмпирическим хроникам, в общем случае состоят из кривых, тесно обвивающих некоторую прямую, но угол наклона Н этой прямой изменяется от случая к случаю. Иногда он равен 0,5 (с небольшими отклонениями), иногда принимает такие значения, как 0,7 и даже 0,85. Неравенство Н > 0,5 исключает гипотезу о том, что все величины X являются независимыми и гауссовскими.

Предыдущие исследования единодушно предсказывали, что R(t, d) должно возрастать пропорционально корню из d, тогда как Херст делает эмпирическое (и весьма хорошо документированное) открытие, что R(t,d) возрастает пропорционально d в степени Н, где Н находится вблизи 0,7.

Обычная интуиция в области стационарных процессов подсказывает, что достаточно отдаленные друг от друга будущее и прошлое должны становиться асимптотически независимыми. Именно так оно и есть для белого шума. Но в случае дробных шумов, у которых Н не равен 0,5, корреляция между средним из Т ближайших прошлых значений и средним из Т ближайших будущих значений, как оказывается, не равна нулю!

Анализ R/S подтверждает и значительно усиливает общее правило: экономические циклы настолько далеки от периодичности и настолько зависят как от длины, имеющейся в нашем распоряжении выборки, так и от предпочтений наблюдателя, что вплоть до новых распоряжений их следует рассматривать как артефакты. Если верить Кейнсу , ценность таких циклов заключается прежде всего в том, что с их помощью очень удобно разбивать на главы учебники по истории экономики.

Глава 3.3. Броуновская дробность в мультифрактальном биржевом времени

С точки зрения самоаффинных кривых, которые являются графиками функций, показатель Н играет ту же роль, какую играет фрактальная размерность с точки зрения самоподобных множеств. В модели Башелье предполагалось, что dP ~ (dt) 1/2 . Показатель не изменяется со временем и равен 1/2. В моих моделях 1963 и 1965 гг. предполагалось, что dP ~ (dt) H . Показатель Н по-прежнему не зависит от времени, но отличен от 1/2.

Можно сказать, что вплоть до настоящего времени степень, в которую возводилось dt, принимала одно и то же значение для всех t. Из этих соображений модели 1963 и 1965 гг. можно охарактеризовать как унифрактальные. Из модели 1972 г., напротив, следует, что P(t + dt) – P(t) ~ (dt) Н(t) . Здесь показатель H(t) непрерывно изменяется со временем и принимает множество значений. Из этих соображений данная модель характеризуется как мультифрактальная.

Теперь мы подходим к ключевой идее. Мы больше не будем выражать изменчивость цены с помощью переменного показателя, основанного на обычном времени, которое показывают часы. С таким же успехом можно поменять их ролями и представить себе изменчивость с постоянным показателем, но в «биржевом времени», которое течет в очень неправильном ритме.

Эта концепция совершенно законна, поскольку, как и большая часть человеческой деятельности, биржа не подчиняется времени, которое измеряют физические часы; совсем наоборот, ее активность постоянно то ускоряется («разогревается»), то замедляется («охлаждается»).

Основатель и ведущий исследователь в области фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993).

Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев. Но уже в 1936 году семья Бенуа Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж. В Париже он попал под влияние своего дяди Шолема Мандельбройта, известного парижского математика, члена группы математиков, известной под общим псевдонимом «Николя Бурбаки».

После начала войны Мандельброты бежали на свободный от оккупации юг Франции, в городок Тюль. Там Бенуа Мандельброт пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учебе. Поэтому к шестнадцати годам он еле знал алфавит и таблицу умножения до пяти.

Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Сорбонны. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. Он даже алгебраические задачи решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила Бенуа Мандельброту поступить в университет.

Окончив университет, Бенуа Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Он получил докторскую степень.

В 1958 он переехал в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась как раз интересными Бенуа Мандельброту областями математики.

Работая в IBM, Бенуа Мандельброт ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось именно переключаться с одной темы на другую, изучать различные направления.

Исследуя экономику, Бенуа Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми.

Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течение дня казались случайными, но Мандельброт смог выяснить тенденцию их изменения. Он проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось неожиданностью для экономистов.