Виды статистических рядов распределения бывают. Понятие статистических рядов распределения и их виды. Атрибутивные ряды распределения
Понравилось? Добавьте в закладки
Решение задач симплекс-методом: примеры онлайн
Задача 1. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров - А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В - 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В - 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В - 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?
Задача 2.
Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.
Задача 3. Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.
- Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли?
- Определить статус каждого вида сырья и его удельную ценность.
- Определить максимальный интервал изменения запасов каждого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т.е. номенклатура выпуска, не изменится.
- Определить количество выпускаемой продукции и прибыль от выпуска при увеличении запаса одного из дефицитных видов сырья до максимально возможной (в пределах данной номенклатуры выпуска) величины.
- Определить интервалы изменения прибыли от единицы продукции каждого вида, при которых полученный оптимальный план не изменится.
Задача 4.
Решить задачу линейного программирования симплексным методом:
Задача 5.
Решить задачу линейного программирования симплекс-методом:
Задача 6.
Решить задачу симплекс-методом, рассматривая в качестве начального опорного плана, план, приведенный в условии:
Задача 7.
Решить задачу модифицированным симплекс-методом.
Для производства двух видов изделий А и Б используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А оборудование первого типа используется а1=4 часов, оборудование второго типа а2=8 часов, а оборудование третьего типа а3=9 часов. На производство единицы изделия Б оборудование первого типа используется б1=7 часов, оборудование второго типа б2=3 часов, а оборудование третьего типа б3=5 часов.
На изготовление этих изделий оборудование первого типа может работать не более чем t1=49 часов, оборудование второго типа не более чем t2=51 часов, оборудование третьего типа не более чем t3=45 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет АЛЬФА=6 рублей, а изделия Б – БЕТТА=5 рублей.
Составить план производства изделий А и Б, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
Задача 8.
Найти оптимальное решение двойственным симплекс-методом
Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x6 в план 1 войдет переменная x2.
Строка, соответствующая переменной x2 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1. На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. В остальных клетках столбца x2 плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x2 и столбец x2. Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент
РЭ. НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
(0)-(2 * (-2+2M)):1 |
(-1-M)-(-2 * (-2+2M)):1 |
(-2+2M)-(1 * (-2+2M)):1 |
(-M)-(-1 * (-2+2M)):1 |
(-M)-(0 * (-2+2M)):1 |
(0)-(0 * (-2+2M)):1 |
(0)-(1 * (-2+2M)):1 |
(0)-(0 * (-2+2M)):1 |
Получаем новую симплекс-таблицу
Итерация №1.
- 1. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
- 2. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент.
- 3. Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1 и из них выберем наименьшее:
min (-, 1: 3, -) = 1/3
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x7 в план 2 войдет переменная x1. Строка, соответствующая переменной x1 в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x7 плана 1 на разрешающий элемент РЭ=3
На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1. В остальных клетках столбца x1 плана 2 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x1 и столбец x1. Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы
(0)-(1 * (-5+3M)):3 |
(-5+3M)-(3 * (-5+3M)):3 |
(0)-(0 * (-5+3M)):3 |
(-2+M)-(1 * (-5+3M)):3 |
(-M)-(-1 * (-5+3M)):3 |
(0)-(0 * (-5+3M)):3 |
(2-2M)-(-1 * (-5+3M)):3 |
(0)-(1 * (-5+3M)):3 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Если в условии задачи есть ограничения со знаком ≥, то их можно привести к виду ∑a ji b j , умножив обе части неравенства на -1. Введем m дополнительных переменных x n+j ≥0(j =1,m ) и преобразуем ограничения к виду равенств
(2)
Предположим, что все исходные переменные задачи x 1 , x 2 ,..., x n – небазисные. Тогда дополнительные переменные будут базисными, и частное решение системы ограничений имеет вид
x 1 = x 2 = ... = x n = 0, x n+ j = b j , j =1,m . (3)
Так как при этом значение функции цели F 0 = 0 , можно представить F(x) следующим образом:
F(x)=∑c i x i +F 0 =0 (4)
Начальная симплекс-таблица (симплекс-табл. 1) составляется на основании уравнений (2) и (4). Если перед дополнительными переменными x n+j стоит знак «+», как в (2), то все коэффициенты перед переменными x i и свободный член b j заносятся в симплекс-таблицу без изменения. Коэффициенты функции цели при ее максимизации заносятся в нижнюю строку симплекс-таблицы с противоположными знаками. Свободные члены в симплекс-таблице определяют решение задачи.
Алгоритм решения задачи следующий:
1-й шаг. Просматриваются элементы столбца свободных членов. Если все они положительные, то допустимое базисное решение найдено и следует перейти к шагу 5 алгоритма, соответствующему нахождению оптимального решения. Если в начальной симплекс-таблице есть отрицательные свободные члены, то решение не является допустимым и следует перейти к шагу 2.
2-й шаг. Для нахождения допустимого решения осуществляется , при этом нужно решать, какую из небазисных переменных включить в базис и какую переменную вывести из базиса.
Таблица 1.
базисные переменные | Свободные члены в ограничениях | Небазисные переменные | |||||
x 1 | x 2 | ... | x l | ... | x n|||
x n+1 | b 1 | a 11 | a 12 | ... | a 1l | ... | a 1n |
x n+2 | b 2 | a 21 | a 22 | ... | a 2l | ... | a 2n |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
x n+r | b2 | a r1 | a r2 | ... | a rl | ... | a rn |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
. | . | . | . | . | . | . | . |
x n+m | b m | a m1 | a m2 | ... | a ml | ... | a mn |
F(x) max | F 0 | -c 1 | -c 2 | ... | -c 1 | ... | -c n |
Для этого выбирают любой из отрицательных элементов столбца свободных членов (пусть это будет b 2 ведущим, или разрешающим. Если в строке с отрицательным свободным членом нет отрицательных элементов, то система ограничений несовместна и задача не имеет решения.
Одновременно из БП исключается та переменная, которая первой изменит знак при увеличении выбранной НП x l . Это будет x n+r , индекс r которой определяется из условия
т.е. та переменная, которой соответствует наименьшее отношение свободного члена к элементу выбранного ведущего столбца. Это отношение называется симплексным отношением. Следует рассматривать только положительные симплексные отношения.
Строка, соответствующая переменной x n+r , называется ведущей, или разрешающей. Элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим, или разрешающим элементом. Нахождением ведущего элемента заканчивается работа с каждой очередной симплекс-таблицей.
3-й шаг. Рассчитывается новая симплекс-таблица, элементы которой пересчитываются из элементов симплекс-таблицы предыдущего шага и помечаются штрихом, т.е. b" j , a" ji , c" i , F" 0 . Пересчет элементов производится по следующим формулам:
Сначала в новой симплекс-таблице заполнятся строка и столбец, которые в предыдущей симплекс-таблице были ведущими. Выражение (5) означает, что элемент a" rl на месте ведущего равен обратной величине элемента предыдущей симплекс-таблицы. Элементы строки a ri делятся на ведущий элемент, а элементы столбца a jl также делятся на ведущий элемент, но берутся с противоположным знаком. Элементы b" r и c" l рассчитываются по тому же принципу.
Остальные формулы легко записать с помощью .
Прямоугольник строится по старой симплекс-таблице таким образом, что одну из его диагоналей образует пересчитываемый (a ji) и ведущий (a rl) элементы (рис. 1). Вторая диагональ определяется однозначно. Для нахождения нового элемента a" ji из элемента a ji вычитается (на это указывает знак « – » у клетки) произведение элементов противоположной диагонали, деленное на ведущий элемент. Аналогично пересчитываются элементы b" j , (j≠r) и c" i , (i≠l).
4-й шаг. Анализ новой симплекс-таблицы начинается с 1-го шага алгоритма. Действие продолжается, пока не будет найдено допустимое базисное решение, т.е. все элементы столбца свободных членов должны быть положительными.
5-й шаг. Считаем, что допустимое базисное решение найдено. Просматриваем коэффициенты строки функции цели F(x) . Признаком оптимальности симплекс-таблицы является неотрицательность коэффициентов при небазисных переменных в F-строке.
Рис. 1. Правило прямоугольника
Если среди коэффициентов F-строки имеются отрицательные (за исключением свободного члена), то нужно переходить к другому базисному решению. При максимизации функции цели в базис включается та из небазисных переменных (например x l), столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента c l в нижней строке симплекс-таблицы. Это позволяет выбрать ту переменную, увеличение которой приводит к улучшению функции цели. Столбец, соответствующий переменной x l , называется ведущим. Одновременно из базиса исключается та переменная x n+r , индекс r которой определяется минимальным симплексным отношением:
Строка, соответствующая x n+r , называется ведущей , а элемент симплекс-таблицы a rl , стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, называется ведущим элементом.
6-й шаг. по правилам, изложенным на 3-м шаге. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение или сделан вывод, что оно не существует.
Если в процессе оптимизации решения в ведущем столбце все элементы неположительные, то ведущую строку выбрать невозможно. В этом случае функция в области допустимых решений задачи не ограничена сверху и F max ->&∞.
Если же на очередном шаге поиска экстремума одна из базисных переменных становится равной нулю, то соответствующее базисное решение называется вырожденным. При этом возникает так называемое зацикливание, характеризующееся тем, что с определенной частотой начинает повторяться одинаковая комбинация БП (значение функции F при этом сохраняется) и невозможно перейти к новому допустимому базисному решению. Зацикливание является одним из основных недостатков симплекс-метода, но встречается сравнительно редко. На практике в таких случаях обычно отказываются от ввода в базис той переменной, столбцу которой соответствует максимальное абсолютное значение отрицательного коэффициента в функции цели, и производят случайный выбор нового базисного решения.
Пример 1. Решить задачу
max{F(x) = -2x 1 + 5x 2 | 2x 1 + x 2 ≤7; x 1 + 4x 2 ≥8; x 2 ≤4; x 1,2 ≥0}
Симплексным методом и дать геометрическую интерпретацию процесса решения.
Графическая интерпретация решения задачи представлена на рис. 2. Максимальное значение функции цели достигается в вершине ОДЗП с координатами . Решим задачу с помощью симплекс-таблиц. Умножим второе ограничение на (-1) и введём дополнительные переменные, чтобы неравенства привести к виду равенств, тогда
Исходные переменные x 1 и x 2 принимаем в качестве небазисных, а дополнительные x 3 , x 4 и x 5 считаем базисными и составляем симплекс-таблицу(симплекс-табл. 2). Решение, соответствующее симплекс-табл. 2, не является допустимым; ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с шагом 2 приведенного ранее алгоритма. Следующая симплекс-табл. 3 определяет допустимое базисное решение, ему соответствует вершина ОДЗП на рис. 2 Ведущий элемент обведен контуром и выбран в соответствии с 5-м шагом алгоритма решения задачи. Табл. 4 соответствует оптимальному решению задачи, следовательно: x 1 = x 5 = 0; x 2 = 4; x 3 = 3; x 4 = 8; F max = 20.
Рис. 2. Графическое решение задачи
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6. Пример(1) решения задачи ЛП методом симплекс-таблиц
3.7. Пример(2) решения задачи ЛП методом симплекс-таблиц
Идея метода симплекс-таблиц заключается в целенаправленном переборе вершин симплекса. Для начало перебора необходимо выбрать опорную вершину с которой начнется перебор. Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, (перебирая симплекс вершины) при котором значение целевой функции возрастает (убывает). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план. Для составления такого плана необходимо произвести векторный анализ, на основе которого определить опорную вершину, с которой начнется перебор. Система неравенств приводится к каноническому виду:
x 1 + a 1,m+1* x m+1 + ... + a 1s* x s +...+ a 1n * x n = b 1 ;
x 2 + a 2,m +1* x m+1 + ... + a 2s * x s +...+ a 2n* x n = b 2 ;
x m + a m,m+1* x m+1 + ... + a ms* x s +...+ a mn* x n = b m .
Переменные x 1 , x 2 ,...,x m , входящие с единичными коэффициентами только в одно уравнение системы и с нулевыми - в остальные, называются базисными . В канонической системе каждому уравнению соответствует ровно одна базисная переменная. Остальные n-m переменных (x m+1 , ...,x n) называются небазисными переменными.
3.1. Приведение математической модели к каноническому виду
Приведем математическую модель задачи к каноническому виду. Для этого избавимся от знаков неравенств посредством ввода дополнительных переменных и замены знака неравенства на знак равенства. Дополнительная переменная добавляется для каждого неравенства эксклюзивно, причем эта переменная указывается в целевой функции с нулевым коэффициентом. Правило ввода дополнительных переменых: при ">=" - переменная вводится в неравенство с коэффициентом +1; при "<=" - с коэффициентом (-1).
Причем иногда, когда в уравнении нет базисной переменной, чтобы сделать отрицательную дополнительную переменную базисной можно умножить все уравнение на (-1).
Также можно переориентировать целевую функцию с минимума на максимум или наоборот умножив все коэффициенты при переменных в этой функции на (-1).
3.2. Векторный анализ
При векторном анализе строятся вектора для каждой переменной: составляющими координатами n-мерного (n-количество уравнений системы) вектора будут коэффициенты этой переменной в соответствующих уравнениях.
Как было сказано выше вектор в котором единичный коэффициент только в одном уравнении и нулеые коэффициенты в других - называется базисным. В канонической системе каждому уравнению соответствует ровно одна базисная переменная. После проверки всех ограничений получается система в каноническом виде и появляется возможность заполнить начальную симплексную таблицу.
3.3. Метод искусственных переменных
Зачастую случается так, что базисных векторов меньше чем количество уравнений, т.е. несколько уравнений не содерджат базисных переменных. В таком случае используют метод искусственных переменных для добавления базисных переменных.
Так как введенные переменные не имеют отношения к существу задачи ЛП в исходной постановке, то необходимо добиться обращения в нуль искусственных переменных. Этого можно сделать с помощью двухэтапного симплекс-метода.
Этап 1. Рассматривается искусственная целевая функция, равная сумме искусственных переменных, которая минимизируется при помощи симплекс-метода. Другими словами, производится исключение искусственных переменных. Если минимальное значение вспомогательной задачи равно нулю, то все искусственные переменные обращаются в нуль и получается допустимое базисное решение начальной задачи. Далее реализуется этап 2. Если минимальное значение вспомогательной задачи положительное, то по крайней мере одна из искусственных переменных также положительная, что свидетельствует о противоречивости начальной задачи, и вычисления прекращаются.
Этап 2. Допустимое базисное решение, найденное на первом этапе, улучшается в соответствии с целевой функцией исходной задачи ЛП на основе симплекс-метода, т.е. оптимальная таблица 1 этапа превращается в начальную таблицу этапа 2 и изменяется целевая функция.
3.4. Построение симплекс-таблицы
Выбираем начальное допустимое базисное решение. Базисным решением называется решение, полученное при нулевых значениях небазисных переменных, т.е. x i =0, i=m+1,...,n. Базисное решение называется допустимым базисным решением , если значения входящих в него базисных переменных неотрицательны, т.е. x j = b j
>=0, j=1,2,...,m. В этом случае целевая функция примет следующий вид: S = c b* x b = c 1* b 1 + c 2* b 2 +...+c m* b m . Заполняем первоначальную таблицу симплекс - метода:Таблица 2.3
c b | x b | c 1 | c 2 | ... | c m | c m+1 | ... | c n | b i |
базис | x 1 | x 2 | ... | x m | x m+1 | ... | x n | ||
с 1 | x 1 | 1 | 0 | ... | 0 | a 1,m+1 | ... | a n | b 1 |
с 2 | x 2 | 0 | 1 | ... | 0 | a 2,m+1 | ... | a 2 n | b 2 |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
c m | x m | 0 | 0 | ... | 1 | a m,m+1 | ... | a m n | b m |
S |
3.5. Анализ симплекс-таблицы
- Вычисляем вектор относительных оценок c при помощи правила скалярного произведения
c j = c j - c b* S j ,
где
с b - вектор оценок базисных переменных;
S j - j-тый столбец в канонической системе, соответствующей рассматриваемому базису.
Дополняем первоначальную таблицу c - строкой.
Таблица 2.4
c b | x b | c 1 | c 2 | ... | c m | c m+1 | ... | c n | b i |
c- строка | 0 0 ... 0 ... W
3. Если все оценки c j <=0 (c j >= 0), i=1,...,n, то текущее допускаемое решение - максимальное (минимальное). Решение найдено.
4. Впротивном случае в базис необходимо ввести небазисную переменную x r с наибольшим значением c j вместо одной из базисных переменных (табл. 2.5).
- При помощи правила минимального отношения min(b i /a ir) определяем переменную x p , выводимую из базиса. Если коэффициент a ir отрицателен, то b i /a ir = бесконечность. В результате пересечение столбца, где находится вводимая небазисная переменная x r и строки, где находится выводимая базисная переменная x p определит положение ведущего элемента таблицы (табл. 2.6).
Таблица 2.5
c m+1 |
b i |
||||||||||
базис |
x m+1 |
||||||||||
с 1 |
a 1,m+1 |
a 1 r |
a 1 n |
||||||||
с 2 |
a 2,m+1 |
a 2 r |
a 2 n |
||||||||
a m,m+1 |
a m r |
a m n |
b m |
||||||||
c - строка |
|||||||||||
Таблица 2.6
c m+1 |
b i |
b i / a ir |
|||||||||||
x m+1 |
|||||||||||||
с 1 |
a 1,m+1 |
a 1 r |
a 1 n |
b 1 /a 1r |
|||||||||
с 2 |
a 2,m+1 |
a 2 r |
a 2 n |
b 2 /a 2r |
|||||||||
с p |
a p,m+1 |
a pr |
a pn |
b p /a pr |
|||||||||
a m,m+1 |
a m r |
a m n |
b m |
b m /a nr |
|||||||||
c - стро - ка |
|||||||||||||
6. Применяем элементарные преобразования для получения нового допускаемого базового решения и новой таблицы. В результате ведущий элемент должен равняться 1, а остальные элементы столбца ведущего элемента принять нулевое значение.
- Вычисляем новые относительные оценки с использованием правила скалярного преобразования и переходим к шагу 4.
Один из методов решения оптимизационных задач (как правило связанных с нахождением минимума или максимума ) линейного программирования называется . Симплекс-метод включает в себя целую группу алгоритмов и способов решения задач линейного программирования. Один из таких способов, предусматривающий запись исходных данных и их пересчет в специальной таблице, носит наименование табличного симплекс-метода .
Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода на примере решения производственной задачи , которая сводится к нахождению производственного плана обеспечивающего максимальную прибыль.
Исходные данные задачи на симплекс-метод
Предприятие выпускает 4 вида изделий, обрабатывая их на 3-х станках.
Нормы времени (мин./шт.) на обработку изделий на станках, заданы матрицей A:
Фонд времени работы станков (мин.) задан в матрице B:
Прибыль от продажи каждой единицы изделия (руб./шт.) задана матрицей C:
Цель производственной задачи
Составить такой план производства, при котором прибыль предприятия будет максимальной.
Решение задачи табличным симплекс-методом
(1) Обозначим X1, X2, X3, X4 планируемое количество изделий каждого вида. Тогда искомый план: (X1, X2, X3, X4 )
(2) Запишем ограничения плана в виде системы уравнений:
(3) Тогда целевая прибыль:
То есть прибыль от выполнения производственного плана должна быть максимальной.
(4) Для решения получившейся задачи на условный экстремум, заменим систему неравенств системой линейных уравнений путем ввода в нее дополнительных неотрицательных переменных (X5, X6, X7 ).
(5) Примем следующий опорный план :
X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 252, X6 = 144, X7 = 80
(6) Занесем данные в симплекс-таблицу :
В последнюю строку заносим коэффициенты при целевой функции и само ее значение с обратным знаком;
(7) Выбираем в последней строке наибольшее (по модулю ) отрицательное число.
Вычислим b = Н / Элементы_выбранного_столбца
Среди вычисленных значений b выбираем наименьшее .
Пересечение выбранных столбца и строки даст нам разрешающий элемент. Меняем базис на переменную соответствующую разрешающему элементу (X5 на X1 ).
- Сам разрешающий элемент обращается в 1.
- Для элементов разрешающей строки – a ij (*) = a ij / РЭ (то есть каждый элемент делим на значение разрешающего элемента и получаем новые данные ).
- Для элементов разрешающего столбца – они просто обнуляются.
- Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника.
a ij (*) = a ij – (A * B / РЭ)
Как видите, мы берем текущую пересчитываемую ячейку и ячейку с разрешающим элементом. Они образуют противоположные углы прямоугольника. Далее перемножаем значения из ячеек 2-х других углов этого прямоугольника. Это произведение (A * B ) делим на разрешающий элемент (РЭ ). И вычитаем из текущей пересчитываемой ячейки (a ij ) то, что получилось. Получаем новое значение - a ij (*) .
(9) Вновь проверяем последнюю строку (c ) на наличие отрицательных чисел . Если их нет – оптимальный план найден, переходим к последнему этапу решения задачи. Если есть – план еще не оптимален, и симплекс-таблицу вновь нужно пересчитать.
Так как у нас в последней строке снова имеются отрицательные числа, начинаем новую итерацию вычислений.
(10) Так как в последней строке нет отрицательных элементов, это означает, что нами найден оптимальный план производства! А именно: выпускать мы будем те изделия, которые перешли в колонку «Базис» - X1 и X2. Прибыль от производства каждой единицы продукции нам известна (матрица C ). Осталось перемножить найденные объемы выпуска изделий 1 и 2 с прибылью на 1 шт., получим итоговую (максимальную! ) прибыль при данном плане производства.
ОТВЕТ:
X1 = 32 шт., X2 = 20 шт., X3 = 0 шт., X4 = 0 шт.
P = 48 * 32 + 33 * 20 = 2 196 руб.
Галяутдинов Р.Р.
© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на