Разработка урока

учителя математики школы № 42 г. Томска Полуэктовой Т.Е..

Тема: Подготовка обучающихся к ЕГЭ при изучении темы « Решение логарифмических уравнений ».

«Изобретение логарифмов, сократив

Работу астронома, продлило ему жизнь»

П.С.Лаплас

Цели урока:

1. Ввести понятие - простейшие логарифмические уравнения
2. Рассмотреть основные методы решений основных типов логарифмических уравнений.

Требования к знаниям и умениям обучающихся:

1. Знать вид простейших логарифмических уравнений
2. Уметь применять различные методы при решении логарифмических уравнений.

План уроков

У Р О К 1

I . Организационный момент: формирование мотива, желания работать на уроке.

II. Теоретическая разминка: повторение необходимых теоретических сведений по теме, развитие умений говорить и слушать. Работа проходит в форме ответов на вопросы:

1. Дайте определение логарифма числа по заданному основанию.
2. Запишите основное логарифмическое тождество (условия а ≠ 1 , а > 0 , в > 0 )
3. Основные свойства логарифмов (а ≠ 1 , а > 0 , в > 0, х > 0, у > 0 ). Формулировки и формулы.

1. Логарифм единицы.
2. Логарифм самого основания.
3. Логарифм произведения.
4. Логарифм частного.
5. Логарифм степени.
6. Логарифм корня.

1. Формула логарифмического перехода от одного основания к другому
2. Какие логарифмы называются десятичными, натуральными и как они обозначаются? Чему равны lg 100 и lg 0, 001?
3. Дайте определение логарифмической функции.
4. Каковы область определения и область значений функции у = log а х и их обозначения?
5. Свойства монотонности: в каком случае функция у = loq а х является возрастающей. в каком убывающей?
6. Найдите выражения, имеющие смысл: log 3 5 ; log 5 0 ; log 2 (-4) ; log 5 1 ; log 5 5.

III. Изложение нового материала

В иррациональном уравнении неизвестное содержится под знаком корня различной степени.

А если в уравнении неизвестное содержится под знаком логарифма, как его назвать?

(логарифмическое). Предложить ученикам дать определение логарифмического уравнения.

Определение : Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее

Неизвестное под знаком логарифма.

Какое преобразование называют логарифмированием?

(Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием).

Какое преобразование называют потенцированием?

(Действие, которое заключается в нахождении числа по данному логарифму, называют потенцированием).

При решении логарифмических уравнений часто приходится выполнять эти преобразования.

Следует иметь в виду, что указанные операции могут привести к уравнениям, не равносильным данным..

Логарифмирование – это опасная операция, т.к. при ней может произойти потеря корней.

Пример : х 2 = 25 ; прологарифмируем обе части log 5 х 2 = log 5 25;

Х 1,2 = ± 5. уравнения по основанию 5: 2 log 5 х = 2;

log 5 х = 1;

Х = 5 потеря корня х = - 5

Избежать этой ошибки поможет нахождение ОДЗ уравнения.

При потенцировании потери корней не происходит, но могут получиться посторонние корни, которые легко обнаруживаются при подставке их в исходное уравнение.

Если при подстановке какого – либо корня в уравнение под знаком логарифма получается отрицательное число или нуль, то этот корень надо отбросить как посторонний.

Пример: log 2 (х +1) + log 2 х = 2 используем свойства логарифма произведения

log 2 ((х +1)х)= 2 используем определение логарифма

Х(х+1) = 2 2

х 2 + х - 4 = 0 , получаем х 1 = 1 и х 2 = -2 log 2 (-2)

Выражение не имеет смысла.

С учётом вышеизложенного при решении логарифмических уравнений приоритетом является проверка,а не ОДЗ.

Методы решения логарифмических уравнений.

Основные методы решения логарифмических уравнений:

1. Метод потенцирования, т.е. переход от уравнения log а f (х) = log а φ(х) к уравнению следствию

f (х) = φ(х);

1. Метод введения новых переменных;
2. Метод логарифмирования, т.е. переход от уравнения f (х) = φ(х) к уравнению

log а f (х) = log а φ(х)

1) . Уравнение вида log а х = в, где а ≠ 1 , а > 0 , х > 0, называется простейшим логарифмическим уравнением, оно равносильно уравнению х = а в , причём ни проверка, ни ОДЗ не требуется,т.е.

1. log а х = в,

А ≠ 1 , а > 0 ; х = а в

При решений уравнений такого типа можно выделить ещё два типа:

1. log а f (х) = в, f (х) > 0, f (х) = а в .

А ≠ 1 , а > 0 ; f (х) = а в ;

1. log а f (х) = log а φ(х),

А ≠ 1 , а > 0, f (х) = φ(х)

f (х) = > 0, φ(х) > 0, φ(х) > 0.,

У Р О К 2

Рассмотрим примеры решений различных логарифмических логарифмических уравнений:

1) Решение уравнений по определению логарифма.

Пример 1 . Найдите все решения уравнения log 2 (3 х 2 – х) = 1, принадлежащие области определения функции у = √2 – 5х.

Решение: Уравнение log 2 (3 х 2 – х) = 1 равносильно уравнению 3х 2 – х = 2 . имеющему корни х 1 = 1,

х 2 = -2/3.При х = 1 функция у = √2 – 5х не определена., а при х = -2/3 определена. Ответ : -2/3

Пример 2. Решить уравнение log 3 (4  3 х -1 – 1) = 2х – 1 .

Решение: По определению логарифма имеем : 4  3 х -1 – 1 = 3 2х – 1 , 4/3  3 х – 1 + 3 2х  1/3 . Обозначим

3 х = у, тогда 4/3 у – 1 = 1/3 у 2 , у 2 – 4у + 3 = 0 , у 1 = 1 , у 2 = 3. далее. если 3 х = 1 . х = 0 , и если 3 х = 3 , то х = 1.

Заметим, что при найденных значениях х выражение под знаком логарифма положительно.

Ответ :  0;1 

Пример 3. Решить уравнение log 3 (0,5 + х) = log 3 0.5 - log 3 х.

Решение : Перегруппируем члены уравнения log 3 (0,5 + х) + log 3 х = log 3 0.5 .

х  0, х  0 ,

0,5 + х  0 х  0, х = -1 х = 0,5

log 3 (0,5х + х 2 ) = log 3 0,5 х + 2х 2 = 1 х = ½

Ответ : 0,5.

Пример 4 . Решить уравнение log 2 (х +2) = log 2 (х 2 + х - 7).

Решение: Из равенства логарифмов следует равенство, стоящих под знаком логарифма выражений:

Х + 2 = х 2 + х – 7. Отсюда х 2 = 9 . х = - 3 или х = 3.

Проверка показывает, что х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, х = 3 является его решением. Ответ :3

Пример 5. Решить уравнение log х – 6 (х - 4) = 2.

Решение: областью определения уравнения log х – 6 (х - 4) = 2 является х  6 , х – 6  1 . для этих значений х уравнение равносильно следующему: (х – 6) 2 = х – 4 . Решив его, получим х 1 = 8 и х 2 = 5 .Учитывая ограничения, запишем ответ: х = 8 . Ответ : 8

2). Метод сведения обеих частей уравнения к логарифму с одинаковым основанием.

Пример 6 . Найти все корни уравнения 5 х  2 2+х/х = 40.

Решение : Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 и, применив свойства логарифмов, получим: 2+х / х + х log 2 5 = 3 + log 2 5, или 2 – 2х /х + (х – 1) log 2 5 = 0 ,. или

(х – 1)( log 2 5 – 2/х) = 0 , откуда х = 1 или х = 2/ log 2 5 = 2 log 5 2 = log 5 4.

Ответ :  1; log 5 4  .

Пример 7 . Решить уравнение х lg х – 1 = 100 .

Решение : Учитывая ОДЗ: х  0 , прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: lg х lg х – 1 = lg 100. Применяем основное логарифмическое тождество,получаем: lg х (lg х – 1) = 2 . Пусть lg х = а, тогда а 2 – а – 2 = 0 . Решив его, получим а = 2 или а = -1 .

Возвращаемся к замене переменной lg х =2 или lg х = -1 , тогда х = 100 , х = 1/10

3). Метод введения новой переменной мы уже применили при решении предыдущего уравнения и уравнения в примере 2.

Пример 8: Решить уравнения lg 2 (10х) + lg (10х) = 6 – 3 lg 1/10.

Решение: ОДЗ: х  0

Используем свойства логарифма и получаем ( lg 10 + lg х) 2 + lg 10 + lg х = 6 +3 lg х.

(1 + lg х) 2 + 1 + lg х = 6 +3 lg х.

Пусть lg х = а, (1 + а) 2 + 1 + а = 6 + 3а, а 2 = 4 , а = 2;

А = -2.

lg х = 2 , х = 100; lg х = - 2 , х = 1/100. Ответ: 100 ; 0, 01

Также при решении логарифмических уравнений следует помнить, что при вынесении чётной степени под знаком логарифма получаем модуль функции

log а f (х) 2 n = 2 n log а | f (х) |

Пример 8: Найти абсциссы тех точек графика функции у = 2 log 2 (3х +5) + log 2 х 2 , лежащие в верхней полуплоскости, расстояние от которых до оси абсцисс равно2.

Решение: Для точки верхней полуплоскости расстояние до оси абсцисс равно её ординате. Таким образом, для выполнения условия задачи необходимо и достаточно равенства

2 log 2 (3х +5) + log 2 х 2 = 2.

Решим это уравнение:. 2 log 2 (3х +5) + log 2  х  = 2 .Используя свойства логарифмов, получаем:

log 2 ((3х +5)   х  ) = 1, (3х + 5)   х  = 2.

Раскрывая модуль, получим два случая:

1. (3х + 5) х = 2 , 3х 2 +5х – 2= 0 , х 1 = -2  0 , х 2 = 1/3 .

Х  0.

1. (3х + 5) (-х) = 2, 3х2 + 5х + 2 = 0 , х 1 = -1 , х 2 = -2/3 .

Х  0.

Ответ: таких точек три, их абсциссы: -1; -2/3 ; 1/3 .

II. Закрепление изученного материала.

Решить уравнения:

1. log 3 2 х + log 3 х = 6;

1. (log 2 2 х – 1) (log 2 2 х + 1)= 15;

1. lg 2 х – lg х =0;.

1. log 3 х  log 4 х  log 5 х = log 3 х  log 4 х + log 3 х  log 5 х + log 4 х  log 5 х; (для сильных учеников).

Решение последнего примера : Заметим, что х = 1 является корнем уравнения.

Пусть х  1 , тогда обе части уравнения можно разделить на

Произведение log 3 х  log 4 х  log 5 х .

Получаем 1= 1/  log 5 х + 1/ log 4 х + 1/ log 3 х.

Используем свойства логарифма : log а в = 1/ log в а, получаем

log х 5 + log х 4 + log х 3 = 1 , log х 60 = 1 и х = 60 .

Ответ: 1; 60.

III. Домашнее задание: § 44, № 44.1- 44.17 (вариант 1 – а,в; вариант 2 – б,г).

При подготовке к уроку была использована следующая литература:

1. «Алгебра и начала анализа» 10- 11 кл. А.Г.Мордкович

(учебник и задачник) ; 10-е издание – М: Мнемозина 2009.

1. «Учимся решать уравнения и неравенства» 10-11кл.

Денищева Л.О., Карюхина Н.В. , Михеева Т.Ф. – М.: Интеллект – Центр, 1999 .

3 «Алгебра и начала анализа « 10 – 11 кл.Ш.А.Алимов

(учебник);М: - просвещение, 2008 г

Учитель математики школы № 42 г. Томска: Полуэктова Т.Е.

МБОУ СОШ № 1 село Новобелокатай

Тема работы:

« Мой лучший урок»

Учитель математики:

Мухаметова Фаузия Караматовна

Преподаваемый предмет математика

2014

Тема урока:

« Нестандартный способ решения логарифмических неравенств»

Класс 11( профильный уровень)

Форма урока комбинированный

Цели урока:

Освоение нового способа решения логарифмических неравенств, и умение применять данный способ при решении заданий С3 (17) ЕГЭ 2015 по математике.

Задачи урока:

- Образовательные: систематизировать, обобщить, расширить умения и знания, связанные с применением методов решения логарифмических неравенств; Умение применять знания при решении заданий ЕГЭ 2015 по математике.

Развивающие : формировать навыки самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы; Развитие логического мышления, внимания,памяти.кругозора.

Воспитательные: воспитывать самостоятельность, умение выслушивать других, умение общаться в группе. Повышение интереса к решению задач, формирование самоконтроля и активация мыслительной деятельности в процессе выполнения заданий.

Методологическая база:

Здоровьесберегающая технология по системе В.Ф. Базарного;

Технология разноуровнего обучения;

Технология группового обучения;

Информационные технологии (сопровождение урока презентацией),

Формы организации учебной деятельности : фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная.

Оборудование: у учащихся на рабочем месте оценочные листы, карточки с самостоятельной работой, презентация урока , компьютер, мультимедийный проектор.

Этапы урока:

1. Организационный момент

Учитель Здравствуйте ребята!

Я рада видеть вас всех на уроке и надеюсь на совместную плодотворную работу.

2. Мотивационный момент: написано в презентации ИКТ технология

Пусть эпиграфом нашего урока будут слова:

« Учиться можно только весело…

Чтобы переваривать знания надо их поглощать с аппетитом» Анатоль Франц.

Так давайте же будем активны и внимательны так как нам пригодятся знания при сдаче ЕГЭ.

3. Этап постановки и цели урока:

Сегодня мы на уроке изучим решение логарифмических неравенств нестандартным методом. Так как решения всего варианта отводится 235 минут, то задания С3 нужно где-то 30 минут, вот и нужно найти такой вариант решения, чтобы можно было затратить меньше времени. Задания взяты из пособий ЕГЭ 2015 года по математике.

4. Этап актуализации знаний.

Технология оценивания учебных успехов.

На партах у вас лежат оценочные листы, которые обучающиеся заполняют по ходу урока, в конце сдают учителю. Учитель объясняет как заполнить оценочный лист.

Успешность выполнения задания отмечать символом:

«!»-владею свободно

«+»- могу решать, иногда ошибаюсь

«-«- надо еще поработать

4. Фронтальная работа

Повторяется определение логарифмических неравенств. Известные методы решения и их алгоритм на конкретных примерах.

Учитель.

Ребята посмотрим на экран.Давайте решим устно.

1)Решите уравнение

2) Вычислите

а) б) в)

Впишите в приведенную в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Ответ:

5 этап Изучение нового материала

Технология проблемного обучения

Учитель

Давайте посмотрим на слайд. Нужно решить данное неравенство. Как можно решить данное неравенство? Теория для учителя:

Метод декомпозиции

Метод декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x)^0 равносильно неравенству F(x)^0 в области определения F(x).

Существует несколько выражений F и соответствующие им декомпозиционные G, где k, g, h, p, q – выражения с переменной х (h>0; h≠1; f>0, k>0), a – фиксированное число (а>0, a≠1).

Из данных выражений можно вывести некоторые следствия (с учетом области определения):

0 ⬄ 0

В указанных равносильных переходах символ ^ заменяет один из знаков неравенств: >,

На слайде задание, которое разбирается учителем.

Рассмотрим пример решения логарифмического неравенства двумя методами

1. Метод интервалов

О.Д.З.

a) б)

Ответ: (;

Учитель

Можно решить данное неравенство еще другим способом.

2. Метод декомпозиции

Ответ

На примере решения данного неравенства мы убедились, что целесообразнее использовать метод декомпозиции.

Рассмотрим применение этого метода на нескольких неравенствах

Задание1

Ответ: (-1,5; -1) U (-1; 0) U (0;3)

Задание2

Слайд 1)

Цель урока:

• организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению, первичному запоминанию и закреплению знаний и способов действий;
• повторить свойства логарифмов;
• обеспечить в ходе урока усвоение нового материала по применению теоремы о логарифмических неравенствах при основании a логарифма для случаев: а)0 < a < 1, б) a > 1;
• создать условие для формирования интереса к математике через ознакомление с ролью математики в развитии человеческой цивилизации, в научно-техническом прогрессе.

Структура урока:

1. Организация начала урока.
2. Проверка домашнего задания.
3. Повторение.
4. Актуализация ведущих знаний и способов действий.
5. Организация усвоения новых знаний и способов действий.
6. Первичная проверка понимания, осмысления и закрепления.
7. Домашнее задание.
8. Рефлексия. Итог урока.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания (Приложение , слайд 2)

3. Повторение (Приложение , слайд 4)

4. Актуализация ведущих знаний и способов действий

– На одном из предыдущих уроков у нас возникла ситуация, при которой мы не смогли решить показательное уравнение, что привело к введению нового математического понятия. Мы ввели определение логарифма, изучили свойства и рассмотрели график логарифмической функции. На предыдущих уроках решали логарифмические уравнения с помощью теоремы и свойств логарифмов. Применяя свойства логарифмической функции, мы смогли решить простейшие неравенства. Но описание свойств окружающего нас мира не ограничивается простейшими неравенствами. Как же поступить в том случае, когда мы получим неравенства, с которыми не справиться с имеющимся объемом знаний? Ответ на этот вопрос мы получим на этом и последующих уроках.

5. Организация усвоения новых знаний и способов действий (Приложение , слайды 5-12).

1) Тема, цель урока.

2) (Приложение , слайд 5)

Определение логарифмического неравенства: логарифмическими неравенствами называют неравенства вида и неравенства, сводящиеся к этому виду.

3) (Приложение , слайд 6)

Для решения неравенства проведем следующие рассуждения:

Получаем 2 случая: a > 1 и 0 < a < 1.
Если a >1, то неравенство log a t > 0 имеет место тогда и только тогда, когда t > 1, значит , т.е. f (x ) > g (x ) (учли, что g (x ) > 0).
Если 0 < a < 1, то неравенство log a t > 0, имеет место тогда и только тогда, когда 0 < t < 1, значит , т.е. f (x ) < g (x ) (учли, что g (x ) > 0 и f (x ) > 0).

(Приложение , слайд 7)

Получаем теорему: если f (x ) > 0 и g (x ) > 0), то логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству того же смысла f (x ) > g (x ) при a > 1
логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла f (x ) < g (x ), если 0 < a < 1.

4) На практике при решении неравенства переходят к равносильной системе неравенств (Приложение , слайд 8):

5) Пример 1 (Приложение , слайд 9)

Из третьего неравенства следует, что первое неравенство лишнее.

Из третьего неравенства следует, что второе неравенство лишнее.

Пример 2 (Приложение , слайд 10)

Если выполняется второе неравенство, то выполняется и первое (если A > 16, то тем более А > 0). Значит, 16 + 4x – x 2 > 16, x 2 – 4 < 0, x (x – 4) < 0,

МБОУ Старогородковская СОШ

План конспект урока по теме:

Логарифмические неравенства

Ерашкова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ Старогородковская СОШ

2015 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение стр. 3-5

2. Основная часть стр. 6-20

3. Заключение стр. 21-22

4. Приложения стр. 23-24

5. Список литературы стр. 25

ВВЕДЕНИЕ

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у школьников интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа школьников зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание школьников на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Логарифм – это греческое слово, которое состоит из 2-х слов: “логос”- отношение, “аритмос”- число. Значит, логарифм есть число, измеряющее отношение.

Этот термин был введен в 1594 году шотландским математиком Джоном Непером, который не был математиком по профессии, имел имение, занимался земледелием и изобретением приборов.

Выбор такого названия объясняется тем, что, действительно, логарифмы возникли при сопоставлении 2-х чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а второе — членом геометрической прогрессии.

Введение логарифмов позволяло производить быстро сложные вычисления. Были созданы первые таблицы логарифмов. Сначала они были 14-тизначные, постепенно усовершенствовались, сейчас есть 6-тизначные таблицы логарифмов.

Необходимо было упростить вычисления. Как вам известно, существуют действия трех ступеней:

1.сложение и вычитание.

2.умножение и деление.

3.возведение в степень.

Так вот логарифмы позволили перейти от сложных действий третьей ступени к действиям второй, а затем первой ступени. Т.е. от возведения в степень к умножению, от умножения к сложению, от деления к вычитанию. Таким образом, логарифмы чрезвычайно облегчают вычисления. Дают возможность находить сразу произведение любого числа множителей, возвышать в любую степень и извлекать корни с любым показателем.

Тема “Логарифмы” является традиционной в курсе алгебры и начал анализа средней школы, но очень трудно дается учащимся из-за сложности материала, концентрированности изложения. По действующим в настоящее время программам по математике средней школы изучение показательной и логарифмической функций планируется в конце курса алгебры и начал анализа 11-го класса, поэтому очень мало времени отводится на изучение данного материала.

На ЕГЭ по математике от 6 до 7 заданий на использование логарифмов и их свойств. Соответственно знания учащихся логарифмической функции намного ниже знаний свойств линейной, квадратичной и других функций, изучаемых ими на протяжении нескольких лет, следовательно, знания свойств данных функций у учащихся формальны, а все это проявляется при решении соответствующих уравнений, неравенств, систем уравнений. Учащиеся, которые захотят продолжить свое обучение в ВУЗах и колледжах, должны иметь полные и глубокие знания по данной теме.

В связи с этим и возникла необходимость в написании данной работы. Цель которой состояла в разработке методики изучения логарифмических неравенств.

Попытаться научить ребят за короткий промежуток времени мыслить, критически осмысливать окружающий мир (от критического анализа текста учебника, решения задачи до выработки собственного мнения по любой обсуждаемой проблеме). Не просто дать новый материал, “навязывая” его ученикам, а обеспечить необходимую мотивацию, используя проблемные ситуации, привлечение жизненного опыта учащихся, исторические сведения.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называют логарифмическими.

Например:

При решении логарифмических неравенств важно помнить:

1) общие свойства неравенств;

2) свойство монотонности логарифмической функции;

3) область определения логарифмической функции.

Основные методы решения логарифмических неравенств

Методы решения логарифмических неравенств.

Пример 1. Решите неравенство < 1.

Решение. Пусть = . Далее решим неравенство < 1.

Получим:

( – 1)( + 1) < 0 -1< < 1.

Осталось решить двойное неравенство:

— 1 < < 1 < 2 > x > 0,5.

Ответ: .

Пример 2. Решите неравенство > 2 x .

Решение. Перепишем неравенство в виде:

> > 8 8 .

Пусть , получим:

Осталось решить неравенство 9.

Ответ: (2; +∞).

Пример 3. Решите неравенство 2 ≥ 1.

Решение. Перепишем неравенство виде:

— ≥ 1 — ≥ 1.

Пусть a = , тогда

– a ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≤ 0.

Осталось решить совокупность неравенств:

Ответ : ; .

Пример 4. Решите неравенство

Решение. Последовательно воспользуемся утверждениями:

Двойное неравенство равносильно системе:

Ответ: (7; + ∞).

Пример 5. Решите неравенство

Решение. Рассмотрим случаи:

2

Но при x неравенство 35 – x неверно. Решений нет.

Ответ : (2; 3).

Метод замены множителей

При решении показательных и логарифмических неравенств можно воспользоваться и методом замены множителей.

Утверждение 1. Знак разности ( a – 1) ( f ( x ) – g ( x )) при x ОДЗ.

Или в виде схем:

(1)

Утверждение 2. Знак разности совпадает со знаком произведения ( h ( x ) – 1)( f ( x ) – g ( x )) при x ОДЗ.

(2)

Пример 1. Решите неравенство

Решение : Воспользуемся утверждением (1). Получим, что знак разности

совпадает со знаком разности (3 при условии, что x ОДЗ. Следовательно, данное неравенство равносильно системе:

Ответ : ; .

Тема урока: Логарифмические неравенства.

Цель урока:

1.Отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмов, логарифмических функций; применять их при решении логарифмических неравенств; уметь применять различные методы решения логарифмических неравенств.

2. Развитие сознательного восприятия учебного материала, развитие зрительной памяти, развитие математической речи учащихся, формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки. Способствовать развитию творческой деятельности учащихся.

3. Воспитание познавательной активности, воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Задачи урока:

1. Повышение интереса к предмету математика.

2. Закрепление новых знаний и умений по теме «Логарифмические неравенства»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие, подготовка учащихся к уроку. Постановка целей урока. (Слайд № 2).

2. Актуализация субъективного опыта учащихся.

(Слайд № 3).

— Преподаватель: Символом сегодняшнего урока я взяла ракушку, а эпиграфом – слова:

«Мир так огромен,

Не хватит жизни, чтобы всё познать.

Но много есть похожего,

Ты можешь отыскать его во всём…»

— Преподаватель: Как вы считаете, о чём эти слова? И почему символ урока – ракушка — спираль?

— Учащиеся: В мире много разных вещей, явлений, но всегда можно найти что-то похожее, схожее друг с другом. Эта «схожесть» помогает лучше понять какое-либо явление или какой-нибудь новый факт.

— Преподаватель: Слова эпиграфа должны быть связаны с нашим сегодняшним уроком. На ваш взгляд, какая связь между эпиграфом и уроком?

Учащиеся: Видимо, мы сегодня будем изучать новую тему, материал которой похож на ранее изученный материал. Но, поскольку символ урока – спираль, то материал урока будет сложнее, чем то, что изучали ранее.

3. Мотивация. Организация восприятия.

— Преподаватель: Откройте, пожалуйста, тетради и запишите тему урока «Свойства логарифмических неравенств».

(Учащиеся записывают тему в тетрадях).

— Преподаватель: При изучении логарифмов, на самом первом уроке, мы с вами говорили о том, что с появлением компьютеров, логарифмы стали не так актуальны, как раньше. А зачем тогда мы их изучаем?

Учащиеся: Эта тема есть в программе, логарифмы будут на экзаменах, на ЕГЭ.

Сегодня на уроке мы будем использовать приёмы сравнения, анализа, обобщения. И хотя логарифмы могут и не понадобиться вам в жизни, но умения сравнивать, анализировать что-либо, обобщать, необходимы любому современному человеку, который хочет успешно построить свою профессиональную карьеру. И есть ещё один важный момент, объясняющий значение логарифмов для человечества. О нём я расскажу в конце урока.

— Преподаватель: Рассмотрим различные логарифмические неравенства, но для этого повторим свойства логарифмической функции. (Слайд № 4).

— Преподаватель: Соотнести графики функций. (Слайд № 5).

Учащиеся: 1) 2) 3)

— Преподаватель: Решение простейших логарифмических неравенств.

, .

a , b – действительные числа, a . (Слайды №№ 6, 7, 10).

— возрастает

Ответ: ;

— Преподаватель: Решим логарифмические неравенства заменой множителей (Слайд № 12).

Повторим формулы: (Слайд № 13).

(Слайд № 14).

(Слайд № 17).

(Слайд № 19).

4.Обобщение урока

— Преподаватель: А теперь я расскажу вам о том, какое значение имеет логарифмическая функция для всего человечества. Испокон веков целью математики было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики научились создавать математические модели различных явлений природы. Изучение таких моделей позволяет больше узнать о природных явлениях. Ряд явлений природы может описать логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции. (Слайд № 21). Одним из наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль, уравнение которой имеет вид: = loqa . А сама спираль (ракушка)– это символ нашего сегодняшнего урока.

— Преподаватель: Так почему же в качестве примера логарифмической зависимости в природе выбрали именно логарифмическую спираль? Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детёныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём рост совершается так, что сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. (Слайд № 22). Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфганг Гёте считал её даже математическим символом жизни и духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Например, паук Эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям. В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали; орешки в кедровой шишке располагаются тоже по логарифмической спирали; по логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

— Учащиеся: Рассказывает о логарифмической спирали.

Логарифмическая спираль.

Логарифмическая спираль или изогональная спираль - особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis – «удивительная спираль».

Рассмотрим график логарифмической функции и график прямой пропорциональности

Отметим, что функция возрастает на области определения, Без графика это можно определить по основанию логарифма. Для где х>0, если основание логарифма больше нуля, но меньше единицы, то функция убывает, если основание логарифма больше единицы, то функция возрастает.

Важно заметить, что логарифмическая функция принимает положительные значения на множестве чисел, больших единицы, запишем это утверждение с помощью символов f(x) при x

Прямая пропорциональность y= x в этом случае на промежутке от одного до плюс бесконечности тоже принимает положительные значения, большие одного. Совпадение это или закономерность? Обо всём по порядку.

Неравенства вида называются логарифмическими, где а — положительное число, отличное от 1 и >0,)>0

Преобразуем неравенство к виду. При переносе слагаемых из одной части неравенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. По свойству логарифма, разность логарифмов с одинаковым основанием можно заменить логарифм частного, таким образом, наше неравенство примет вид.

Обозначим выражение t , тогда неравенство примет вид.

Рассмотрим это неравенство относительно основания а, большего единицы, и относительно основания а, большего нуля и меньшего единицы.

Если основание логарифма а, большего единицы, то функция возрастает на области определения и принимает положительные значения при t больше одного. Вернемся к обратной замене. Значит, дробь должна быть больше одного. Это означает, что f(x)>g(x).

Если же основание логарифма, большего нуля и меньшего единицы, тофункция убывает на области определения и принимает положительные значения при t больше нуля и меньше одного. При обратной замене неравенство равносильно неравенству, а оно выполняется при f(x)

Сделаем вывод:

Если)>0 и при a>1 логарифмическое неравенство

равносильно неравенству того же смысла)>),

а при 0

Равносильно неравенству противоположного смысла)<)

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

Решить неравенство:

Неравенства >0 и область допустимых значений переменной для данного логарифмического неравенства. Основание логарифма пять и оно больше одного, значит исходное неравенство равносильно неравенству. Решим полученную систему неравенств путем уединения переменной для этого. В первом неравенстве перенесем четыре в правую часть неравенства, поменяв знак минус на плюс. Получим.

Во втором неравенстве единицу перенесем в правую часть и запишем как минус один. Получим неравенство В третьем неравенстве минус четыре перенесем в правую часть, запишем как плюс четыре, а х перенесем в левую часть и запишем как минус икс. Получим неравенство. В нём можно привести подобные слагаемые в левой и правой частях неравенства. Получим неравенство. В первом неравенстве поделим левую и правую часть неравенства на 2. Получим неравенство. Полученная в ходе решения система имеет знак одной направленности, в таких случаях очевидно, что данной системе удовлетворяет множество чисел больше пяти. Легко увидеть, что пять тоже удовлетворяет системе неравенств. В противном случае можно построить геометрическую модель данной системы и посмотреть решение.

Отметим на координатной прямой числа минус один, два и пять. Причем числам -1 и 2 будет соответствовать светлая точка, а числу пять — темная точка. Нанесем «штриховку» справа от 2 для первого неравенства, справа от 1 — для второго неравенства и справа от пяти — для третьего неравенства. Пересечение штриховок указывает на множество чисел, больших и равных пяти. Ответ запишем в виде выражения

Пример 2. Решить неравенство

Составим систему неравенств. Неравенства >0 и >0 определяют область допустимых значений неравенства. Основание логарифма равно 0,3, оно больше нуля, но меньше одного, значит логарифмическое неравенство равносильно неравенству с противоположным по смыслу знаком:

Полученная система трудна для параллельного решения неравенств. Решим каждое из них отдельно и рассмотрим общее решение на геометрической модели.

Неравенство является квадратным и решается по свойствам квадратичной функции, графиком которой является парабола с ветвями вверх. Найдем нули данной функции, для этого её правую часть приравняем к нулю и решим полученное уравнение через разложение на множители. Для этого вынесем общий множитель икс за скобки, в скобках останется от первого слагаемого — шесть, от второго слагаемого — минус икс. Произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Значит, первый множитель икс равен нулю или второй множитель шесть минус икс равен нулю. Тогда корни уравнения — ноль и шесть. Отметим их на координатной прямой в виде светлых точек, так как решаемое квадратное неравенство строгое и изобразим параболу ветвями вниз, проходящую через эти точки. Квадратичная функция принимает положительные значения на интервале от нуля до шести, значит решением неравенства является множество чисел x

Неравенство является линейным. Оно содержит отрицательные слагаемые, для удобства обе части неравенства умножим на минус единицу. Знак неравенства в этом случае поменяется на противоположный. Получим неравенство.

Перенесём восемь в правую часть неравенства и запишем как минус восемь. Таким образом, решением неравенства является множество чисел от минус бесконечности до минус восьми. Запишем решение неравенства в иде выражения x .

Неравенство сводится к квадратному неравенству, для этого перенесем минус восемь и минус икс в левую часть неравенства. Получим неравенство и приведем подобные 6х и х, Получим 7х, уравнение примет вид. Решается оно по свойствам квадратичной функции графиком которой является парабола с ветвями вниз. Найдем нули функции.0 при =0 и решим полученное квадратное уравнение через формулу дискриминанта Так как коэффициент b равен минус семи, коэффициент а равен минус единице, а с равен 8 то дискриминант уравнения равен 81. Найдем по формуле первый корень, он равен -1, второй корень равен 8.

Отметим полученные значения на координатной прямой темными точками, так рассматриваемое квадратное неравенство относится к нестрогим неравенствам. Изобразим на координатной прямой параболу с ветвями вниз. Квадратичная функция принимает меньшие и равные нулю значения на множестве чисел от минус бесконечности до включая и от 8 до плюс бесконечности включая 8. Решение этого неравенства запишем в виде выражения ]

Итак, все три неравенства решены, отметим их решения на одной координатной прямой. Значения переменной, которые бы удовлетворяли всем трём неравенствам одновременно, нет, что означает, что исходное логарифмическое неравенство не имеет решений. Ответ: решений нет.

Этот факт можно было заметить после решения линейного неравенства, так как решением первого квадратного неравенства являются положительные числа от одного до шести, а решением второго неравенства являются отрицательные числа, то для этих двух неравенств уже нет общих решений и

исходное логарифмические неравенство не имеет решений.

Логарифмы обладают интересными свойствами, упрощающие вычисления и выражения, вспомним некоторые из них

1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
2. Любое число можно представить в виде логарифма. Например, 2 можно записать как логарифм четырех по основанию два или логарифм 25 по основанию 5, минус единицу можно записать как логарифм 0,2 по основанию пять или десятичный логарифм 0,1.

Пример 3. Решить неравенство:

Неравенство нужно преобразовать к виду.

Для этого единицу запишем в виде логарифма 2 по основанию два. А влевой чатси неравенства сумму логарифмов заменим по свойству на тождественно равное ему выражение — логарифм произведения. Получим неравенство вида

Составим систему неравенств. Неравенства, задающие область допустимых значений неравенства, опрелеяются по исходному неравенству, поэтому >0 и >0 будут первыми двумя неравенствами системы. Так как логарифм имеет основание 2, оно больше одного, то неравенство
Равносильно неравенству (х-3)(х-2)2.

В первом неравенстве перенесем минус три в правую часть, получим неравенство х>3, во втором — минус два перенесем в правую часть, получим неравенство х>2.

В третьем — раскроем скобки в левой части неравенства, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Получим неравенство.

Решим третье неравенство отдельно: перенесем два в левую часть неравенства и запишем с минусом.

Упростим полученное нравенство до вида. Сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю, тогда, по свойству коэффициентов, первый корень равен одному, а второй равен частному от с на а и равен в данном случае 4. Эти уравнения можно решить и через формулу дискриминанта, корни от способа решения не зависят.

Отметим эти корни на координатной прямой в виде тёмных точек, проведем через них параболу ветвями вверх. Неравенство

выполняется на множестве чисел от 1 до 4 включая 1 и 4.

Отметим на одной координатной прямой решение первого и второго неравенства, для этого сделаем штриховку правее трех для первого неравенства и правее двух для второго неравенства и штриховку от 1 до 4 для второго неравенства. Три неравенства одновременно выполняются только на множестве чисел от 3 до 4, включая 4. Значит, это и будет решение исходного логарифмического неравенства.

Вывод: При решении логарифмических неравенств

Если a>1 , то переходят к решению системы из неравенств, определяющих область допустимых значений неравенства, и неравенства подлогорифмических выражений того же знака.

Если 0