Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

То в иностранных делах он шел по стопам отца, а не деда. Более последовательный, чем Николай I, Александр III с редкою твердостью держался и здесь охранительных начал, был надежною опорой мирового порядка и тишины. Он еще не испустил духа, как устами влиятельного в Англии лорда Розбери Европа выражала ему «беспредельную благодарность» за то, что «лозунгом его были слова – правда в дипломатии и мир».

Император Александр III (1881-1894)

Этот титул тем более заслужен, что он свидетельствовал о сознательном самовоздержании могущественной державы. Россия Александра III обладала сильным войском. Она содержала 900 тыс. солдат в мирное время, а во время войны могла выставить до 4 млн. солдат. В течение всего царствования не жалели средств на перевооружения, на усиление состава частей, устройство новых крепостей и улучшение старых. Флот, можно сказать, возник заново. Были укреплены военные гавани и создан Либавский порт. Однако дух миролюбия обнаружился тотчас по вступлении Александра III на престол. Державам было заявлено, что новый император «призван охранять общий мир» и что «на России лежат прежде всего заботы о самой себе», и она посвящает себя «внутренней работе».

В подтверждение этих слов последовали меры, которые должны были успокоить католиков и охладить как надежды врагов Германии, так и увлечения «панславистов ». Вскоре произошло соглашение с папой (1883); была восстановлена католическая иерархия в России и возвращены польские епископы, сосланные в Сибирь в 1863 г. Тогда же вышли в отставку враги Германии Игнатьев и Горчаков (ум. 1883); место последнего занял покорный, молчаливый, сдержанный Гирс (ум. 1895), который сочувствовал немцам, но был хорош и с французами.

Внешняя политика Александра III. Видеоурок

Сначала даже казалось, что в Петербурге воскреснет «прусская дружба» или же Священный союз : в 1881 – 85 гг. происходили свидания трех императоров (Данциг, Скерневицы, Кремзир); а в 1888 г. Вильгельм II посетил Россию. Ответный визит царя последовал лишь в октябре 1889 г. Но тогда же Бисмарк все шире развивал свой новый Тройственный союз (Пруссия, Австрия, Италия), направленный против Франции и России. В ответ в России последовали стеснительные для Германии пошлины, меры против немцев в Балтийском и Западном краях (указ в мае 1887) и даже сосредоточение войск на западной границе. Пруссия отвечала войною с русским кредитом, обесценивая наши фонды на бирже.

Этим воспользовались французы: они открыли богатый кредит для русских займов. В 1891 г. их эскадра, под начальством адмирала Жервэ, была принята в Кронштадте с особенною торжественностью и всенародным радушием, а в 1893 г. французы еще восторженнее принимали наших моряков в Тулоне и Париже. Тогда же между Россией и Германией разразилась «тарифная война». Впрочем, эта война не замедлила окончиться торговым договором.

Дружба России с Францией скреплялась их недоверчивыми отношениями к Англии, которая сталкивалась с ними в Африке и Азии. Англичане опасались влияния, которое приобрела Россия в Персии, Корее, в особенности же в Средней Азии. Русские естественно все подвигались вперед к Афганистану. После завоевания генералом Скобелевым Ахал-Теке и добровольного присоединения Мерв-Теке, генерал Комаров наткнулся у Кушки на отряд афганцев и оттеснил его (1885). Англичане волновались: все ждали борьбы «слона с китом» – самой сильной сухопутной и самой могучей морской державы. Но дело кончилось мирно: англичане признали границей полосу земли между Амударьей и Мургабом (1887).

Соперничество между Россией и Англией отражалось и на делах Болгарии, которые составляли постоянный предмет забот во внешней политике Александра III. Англия, с помощью Германии, Австрии и Италии, старалась вытеснить русское влияние из Болгарии. Первый болгарский князь, Александр Баттенбергский (ум. 1893), двоюродный брат Александра III и офицер русской кавалерии, отменил конституцию, созданную Александром II при освобождении Болгарии , и стал изгонять русских офицеров и чиновников, которые, по мнению болгар, хотели обратить их страну в русскую губернию. Чтобы укрепиться в борьбе с Россией, Баттенберг созвал собрание, которое восстановило конституцию и определило назначать офицеров из туземцев. Затем Восточная Румелия, по требованию народа, присоединилась к Болгарии (1885). Тогда Александр III исключил болгарского князя из списков русской армии; русофилы в Софии (Цанков, Бендерев) произвели «похищение принца»; Баттенберг был вывезен из Болгарии (сентябрь 1886). Русская кандидатура не имела, однако, успеха; болгары выбрали себе в князья германофила Фердинанда Кобургского (1887). С тех пор Болгария успокоилась, и этот вопрос надолго сошел со сцены нашей иностранной политики.

1 марта 1881 г. от рук народовольцев погиб император Александр II Николаевич , и на престол взошел его второй сын Александр. Сначала он готовился к военной карьере, т.к. наследником власти был его старший брат Николай, но в 1865 г. он умер.

В 1868 г. во время сильного неурожая Александр Александрович был назначен председателем комитета по сбору и распределению пособий голодающим. В бытность до вступления на престол он был атаманом казачьих войск, канцлером Гельсингфорсского университета. В 1877 г. принимал участие в русско-турецкой войне в качестве командира отряда.

Исторический портрет Александра III скорее напоминал русского могучего мужика, чем государя империи. Он обладал богатырской силой, но не отличался умственными способностями. Несмотря на такую характеристику, Александр III очень любил театр, музыку, живопись, изучал русскую историю.

В 1866 г. он женился на датской принцессе Дагмаре, в православии Марии Федоровне. Она была умна, образована, и во многом дополняла мужа. У Александра и Марии Федоровны было 5 детей.

Внутренняя политика Александра III

Начало правления Александра III пришлось на период борьбы двух партий: либеральной (желающей реформ, начатых Александром II) и монархической. Александр III отменил идею конституционности России и взял курс на усиление самодержавия.

14 августа 1881 г. правительство приняло специальный закон «Положение о мерах к охранению государственного порядка и общественного спокойствия». Для борьбы с беспорядками и террором вводились чрезвычайные положения, применялись карательные средства, в 1882 г. появилась секретная полиция.

Александр III считал, что все беды в стране идут от вольнодумства подданных и излишней образованности низшего сословия, что вызвано реформами отца. Поэтому он начал политику контрреформ.

Главным очагом террора считались университеты. Новый университетский устав 1884 г. резко ограничил их автономию, были запрещены студенческие объединения и студенческий суд, ограничивался доступ к образованию представителей низших сословий и евреев, в стране введена жесткая цензура.

изменения в земской реформе при Александре III:

В апреле 1881 года был издан Манифест о независимости самодержавия, составленный К.М. Победоносцевым. Права земств были сильно урезаны, а их работа взята под жесткий контроль губернаторов. В Городских думах заседали купечество и чиновники, а в земствах – только богатые местные дворяне. Крестьяне потеряли право участвовать в выборах.

Изменения в судебной реформе при Александре III:

В 1890 году было принято новое положение о земствах. Судьи стали зависимы от властей, сократилась компетенция суда присяжных, мировые суды были практически ликвидированы.

Изменения в крестьянской реформе при Александре III:

Были отменены подушная подать и общинное землепользование, введен обязательный выкуп земель, но выкупные платежи были снижены. В 1882 г. учрежден Крестьянский банк, призванный выдавать ссуды крестьянам на покупку земель и частной собственности.

Изменения в военной реформе при Александре III:

Усиливалась обороноспособность пограничных округов и крепостей.

Александр III знал важность армейских резервов, поэтому создавались пехотные батальоны, формировались резервные полки. Была создана кавалерийская дивизия, способная вести бой как в конном, так и в пешем строю.

Для ведения боя в горной местности были созданы батареи горной артиллерии, были сформированы мортирные полки, осадные артиллерийские батальоны. Для доставки войск и армейских резервов была создана особая железнодорожная бригада.

В 1892 г. появились минные речные роты, крепостные телеграфы, воздухоплавательные отряды, военные голубятни.

Военные гимназии преобразованы в кадетские корпуса, впервые созданы учебные унтер-офицерские батальоны, которые готовили младших командиров.

На вооружение была принята новая трехлинейная винтовка, изобретен бездымный вид пороха. Военная форма заменена на более удобную. Был изменен порядок назначения на командные должности в армии: только по старшинству.

Социальная политика Александра III

«Россия для русских» - любимый лозунг императора. Только православная церковь считается истинно русской, все остальные религии официально определялись как «иноверные исповедания».

Была официально провозглашена политика антисемитизма, начались гонения евреев.

Внешняя политика Александра III

Царствование императора Александра III было самым мирным. Только однажды русские войска столкнулись с афганскими отрядами на реке Кушке. Александр III ограждал свою страну от войн, а также помогал гасить вражду между другими странами, за что получил прозвище «Миротворец».

Экономическая политика Александра III

При Александре III росли города, фабрики и заводы, прирастала внутренняя и внешняя торговля, увеличилась протяженность железных дорог, начато строительство великой Сибирской магистрали. В целях освоения новых земель шло переселение крестьянских семей в Сибирь и Среднюю Азию.

В конце 80-х годов удалось преодолеть дефицит государственного бюджета, доходы превысили расходы.

Итоги правления Александра III

Императора Александра III называли «самым русским царем». Он всеми силами защищал русское население, особенно на окраинах, что способствовало укреплению государственного единства.

В результате проведенных мероприятий в России произошел бурный промышленный подъем, вырос и окреп курс российского рубля, улучшилось благосостояние населения.

Александр III и его контрреформы обеспечили России мирную и спокойную эпоху без войн и внутренних смут, но и зародили в россиянах революционный дух, который вырвется наружу при его сыне Николае II.

Основные мероприятия внутренней политики Александра III

1881 - Положение о мерах к охранению государственного порядка и общественного спокойствия (принято как временная мера на три года, но действовало до 1917 года). По нему в любой губернии разрешалось вводить чрезвычайное положение ʼʼдля водворения спокойствия и искоренения крамолыʼʼ

1882 - создан Крестьянский поземельный банк (формально создан для помощи крестьянам в покупке земли; на делœе проценты были чересчур высокими, и зачастую за неуплату платежей банк получал в собственность земли заемщиков).

1885 - создан Дворянский поземельный банк (организован для поддержки помещиков, которые могли получить ссуду на льготных условиях и заложить земли под относительно невысокие проценты).

1892 - принят новый Таможенный устав. Он упорядочил таможенную охрану на море и в прибрежных водах (таможенной полосой признавалось пространство воды в три морские мили от берега). В то время таможенные сборы в системе российских государственных доходов занимали второе место после доходов от торговли крепкими спиртными напитками и составляли 14,5% активов государственного бюджета

1893 - с целью контроля за качеством спиртных напитков введена казенная винная монополия, которая стала приносить существенный доход в государственную казну. 1897 - денежная реформа (подготовка начата в царствование Александра III).В экономической политике ставка делалась на протекционизм и золотой стандарт.

1882 - Временные правила печати (действовали до 1905 года); привели к усилению цензуры, благодаря чему прекратили существование многие радикальные и либеральные периодические издания: ʼʼОтечественные запискиʼʼ, ʼʼДелоʼʼ, ʼʼГолосʼʼ, ʼʼЗемствоʼʼ. 1884 - Университетский устав ликвидировал автономию университетов, отменил выборы ректоров и деканов, усилил полицейский надзор за студентами.

1884 - Введение контроля Синода над начальными школами. 1887 - циркуляр министра просвещения И.Д. Делянова о регулировании состава учащихся средней школы; так называемый циркуляр ʼʼо кухаркиных детяхʼʼ запрещал принимать в гимназии детей кучеров, лакеев, поваров и т.п. 1887 - ограничение приема евреев в средние и высшие учебные заведения (норма приема для евреев: в черте осœедлости - 10%, вне черты - 5%, а в обеих столицах - 3%).

За несколько лет до этого, в 1881-1882 по югу страны прокатилась волна еврейских погромов при попустительстве местной администрации. Евреи подверглись жестоким избиениям, а их дома были разорены. 1886 - земская реформа; уменьшался ценз для дворянства и увеличивалось количество дворянских гласных; крестьянство лишалось выборного представительства, гласных из крестьян назначал губернатор.

1889 - Положение о земских участковых начальниках. Земские начальники, назначаемые из местных потомственных дворян, сосредоточивали в своих руках административную и судебную власть; мировой суд в деревне был уничтожен. 1890 - Положение о губернских и уездных земских учреждений, по которому вследствие изменения ценза дворяне получили абсолютное преобладание в земствах. 1892 - Городовое положение (избирательное право предоставлялось лишь состоятельным горожанам, за счёт чего круг избирателœей сужался; всœе городское самоуправление поставлено под строгий контроль администрации; значительно расширялась сфера полномочий губернатора по отношению к городской думе).

1887 - министры внутренних дел и юстиции получили право объявлять закрытыми заседания суда.

1887 - повышен имущественный и образовательный ценз для присяжных заседателœей.

Вступление на прародительский престол Императора Александра III последовало 2 марта 1881 ᴦ. после мученической кончины (1 марта) Его Ав­густейшего Родителя, Царя-Освободителя, Императора Александра II. Положение государства было грустное и трудное. Какие-то неведомые враги уже более десяти лет стремились спутать для неведомых целœей стомиллионное населœение, тесно связанное любовью и исконной преданностью Царю, успели запятнать себя целым рядом страшных преступлений. Хищничество в некоторых учреждениях, легкое отношение к исполнению законных обязанностей, немалые финансовые затруднения, грозившие коалиции в дипломатическом мире – всœе это создавало исторические трудности для вступившего на престол Государя. Уже первый манифест о вступлении на престол, и особенно манифест 29 апреля 1881 ᴦ. выразил точную программу как внешней, так и внутренней политики: поддержание порядка и власти, наблюдение строжайшей справедливости и экономии, возвращение к исконным русским началам и обеспечение повсюду русских интересов.

Во внешних делах эта спокойная твердость Императора, тотчас породившая убедительную уверенность в Европе, что при полном нежелании каких-либо завоеваний русские интересы будут неумолимо защищены, это значительно обеспечило Европейский мир.
Размещено на реф.рф
Выраженная правительством твердость относительно Средней Азии и Болгарии, а равно свидания Государя с Императорами Германским и Австрийским послужили только к подкреплению создавшегося в Европе убеждения, что направление русской политики вполне определилось. Не желая войны или каких-либо приобретений, Императору Александру III пришлось при столкновениях на востоке увеличить владения Российской Империи на 214854,6 кв. верст (429895,2 кв. км) и притом без войны, так как победа генерала А. В. Комарова над афганцами при р.
Размещено на реф.рф
Кушке есть случайное, вовсœе непредвиденное столкновение. Но эта блистательная победа оказала громадное влияние на мирное присоединœение туркмен Мерва, а затем и на расширение владений России на юге до пределов Афганистана, при установлении в 1887 ᴦ. пограничной черты между р.
Размещено на реф.рф
Мургаб и р.
Размещено на реф.рф
Аму-Дарьей со стороны Афганистана, сделавшего с того времени смежным с Россией азиатским государством, на протяжении около 760 верст, тогда как еще в 1880 ᴦ. Афганистан отстоял от России почти на 1000 верст. На этом, недавно вошедшим в пределы России, громадном пространстве проложена желœезная дорога, соединяющая восточное побережье Каспийского моря с центром русских среднеазиатских владений – Самаркандом и р.
Размещено на реф.рф
Аму-Дарьей.

Основные направления внешнеполитической активности в 60-90-х гᴦ. XIX в.:

· Урегулирование отношений с Турцией и европейскими державами после Крымской войны;

· Присоединœение Средней Азии и Дальнего Востока

Доставшиеся в наследство Александру III от своего отца не решенные проблемы с Турцией и Балканами, развивались так: в 1875-1876 гᴦ. произошли восстания в Боснии, Герцеговинœе и Болгарии. Общественное мнение в России требовало поддержать славянские народы. В результате ряда дипломатических усилий удалось создать благоприятную внешнеполитическую ситуацию для начала военных действий. В апрелœе 1877 ᴦ. началась война с Турцией. Военные действия проходили на двух фронтах: Балканском и Кавказском. Центральными пунктами обороны на Балканах стали Шипкинский перевал, занятый русскими и болгарскими войсками, и крепость Плевна, которую успешно оборонял турецкий гарнизон под командованием Осман-паши. Плевну удалось взять только 28 ноября 1877 ᴦ., когда в крепости закончилось продовольствие. В декабре 1887 ᴦ. русская армия под командованием генерала И. В. Гурко занял Софию. 28 декабря того же года войскам генерала М. Д. Скобелœева удалось прорвать блокаду Шипкинского перевала.

Дальше война развивалась благоприятно для русских, и 19 февраля в Сан-Стефано, близ Константинополя, был подписан мирный договор, закреплявший безоговорочную победу русских войск. Согласно его статьям Сербия, Черногория и Румыния стали независимыми и получили часть новых территорий, Болгария становилась автономным княжеством, Россия возвращала себе южную Бессарабию и Карскую область на Кавказе.

Но Англия и Австро-Венгрия отказались признать Сан-Стефанский договор, и летом 1878 ᴦ. состоялся Берлинский конгресс, на котором были приняты менее выгодные для России решения по послевоенному урегулированию на Балканах: Сербия и Черногория потеряли часть территории; Болгария была разделœена на три части, только одна из которых получила автономию; Южная Болгария осталась исходя из Турции. Таким, в послевоенной Европе постепенно формируются крупные, устойчивые блоки великих держав – Германии, Австро-Венгрии и Италии (1879-1882 гᴦ.), а также Франции и Росси (1892 ᴦ.)

Основные направления внешней политики Александра III. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Основные направления внешней политики Александра III." 2017, 2018.

В 1248 году, когда архиепископ Кёльна Конрад фон Гохштаден заложил первый камень в основание Кёльнского собора, началась одна из самых длинных глав в истории европейского строительства. Кёльн, один из самых богатых и политически могущественных городов тогдашней Германской... .

Внешняя политика Александра 3 часто выпадает из памяти ребят, поскольку кажется, что в его правление особо ничего и не происходило. Он ведь как Миротворец вошел в историю России — значит никаких войн-то ведь и не было — можно не разбираться!

На самом деле так думать нельзя: нет в истории тем, в которых ничего учить не надо. Предлагаем вашему вниманию конспект урока для 8 класса, в котором эта тема и должна быть разобрана на уроках.

Кстати о внутренней политике этого царя .

Содержание кратко

Время правления Александра Третьего было одно из самых мирных, за всю историю Российской Империи, за что люди прозвали его “миротворцем”. Но, еще это было время свертывания реформ, которые проводил Александр Второй. Император объяснял это тем, что реформы дали много свободы людям, из-за чего погиб его отец Александр Второй — его карету взорвали террористы из “Народной воли”.

Внешняя политика Александра 3 была сдержанной, миролюбивой и взвешенной. Удалось установить дружбу с ведущими державами — Англией и Францией. Император был гарантом стабильности в Европе и на Азиатских владениях. Пресечено несколько крупномасштабных войн, в том числе с Японией. Были созданы военно-политические блоки: “Тройственный союз” и Франко-русский союз, обновлён “Союз Трех Императоров”. Была заложена Транссибирская магистраль.

Основные события

Ключевые события с датами, которые надо иметь в виду перед экзаменом.

• 1881 — присоединение Ашхабада, создание Закаспийской области
• 1881, 6 (по новому стилю 18) июня — создание обновленного “Союза Трёх Императоров” (Германия, Австро-Венгрия, Россия)
• 1885 — сближение с Англией
• 1887 — заключение договора с Германией
• 1882 — оформление “Тройственного союза” с Германией, Австро-Венгрией и Италией, первого военно-политического блока
• 1890 — “Торговая война” с Германией
• 1891 — старт строительства Транссибирской магистрали
• 1895 — установление границ России и Англии в Средней Азии
• 1894 — 1895 гг. — Японо-Китайская война

План

Кратко по пунктам внешнюю политику можно описать так:

• Характеристика внешней политики;

• Основные события;

• Основные отличия;

• Выводы.

Задачи внешней политики

1. Уклонение от войны на Балканском полуострове;
2. Обеспечение мира в Европе после Отечественной и Русско-Турецкой войн;
3. Разграничение сфер влияния в Европе и Средней Азии;
4. Российско — Германские отношения;
5. Азиатский вопрос;
6. Установление дружеских отношений с Францией;
7. Поиски союзников в Европе.

Характеристика внешней политики

Александр Третий отличался от своих предшественников прямолинейностью, беспристрастностью и честностью. Последнее проявлялось в отказе от “тайной дипломатии”, когда происходили тайные дележи территории и заключение тайных договоров. Он точно знал, где находится сфера интересов страны и добивался ее признания от других правителей.

Основой всех побед в мире было то, что наш Император не стал идти на поводу многих европейских монархов и дипломатов, которые пытались спровоцировать новую войну, а занял очень упрямую и сдержанную политику. Это и было залогом поддержания спокойствия для тогдашних монархий. Раз уж Империи удалось ненадолго угомонить обнаглевших турок, даровав свободу Балканам, в частности Болгарии, то нам можно доверить Европу.

Основные события

Если говорить про Балканский вопрос, то здесь мы дали полную свободу действий — есть проблемы с другими странами — решайте их сами! Но мы потеряли влияние на Балканах.

Если говорить про Европейский вопрос, здесь также проявили сдержанность: взяли и подружились с Францией, хотя совсем недавно мы чуть не получили “ключ” от Парижа! Следующим шагом нужно было заключить выгодный для страны договор, при котором мы бы гарантировали себе безопасность. Это было сделано в 1887 году с Германией — это был “договор перестраховки”. Но кайзер Вильгельм и не думал жить в мире с Россией, а взял и тайком подписал мир с Австро-Венгрией, хотя это и вышло потом им боком, но про это еще не знали. А с 1890 года началась “таможенная война” — власти Германии решили поднять пошлины на русские товары. Дружбе с Германией пришел конец.

Но нам удалось оформить первый в истории военно-политический блок — франко-русский союз (будущая Антанта). Здесь мы спасли Францию от войны на два фронта — с Австро-Венгрией и Германией. А Германия, Австро-Венгрия и Италия создали “Тройственный Союз”, враждебный для России и Франции.

Потом Император Александр обернул свой взор на Среднюю Азию — в состав Империи был включен Ашхабад, образовав Закаспийскую область. Английская королева была озабочена данным фактом, ведь это грозило интересам короны. Император Всероссийский смог решить вопрос мирным путем, пойдя на сближение с Англией в 1885 году и созвав комиссию, которая определила границу государств — в 1895 году.

К тому времени на Дальнем Востоке, который был еще не сильно развит и далек от Петербурга, свои притязания выказала Япония. Это серьезно насторожило монарха и его приближенных, ведь Япония вполне могла напасть на Россию, как это случилось с Китаем (Японо-Китайская война 1894—1895 г.г). Было принято решение начать строить Транссибирскую магистраль в 1891 году. Вскоре, этот шаг оправдал себя, дав мощный толчок развития Сибири и Дальнего Востока. Японские войска захватили Порт-Артур, Манчжурию и Ляондунский п-ов, но Россия с Германией и Францией принуждают отказаться от всех завоеваний.

Основные отличия внешней политики

Данный пункт мы представим в виде небольшой таблицы:

Выводы

Время правления Александра Третьего можно смело назвать “стабильным” и “спокойным”. Консерватизм и упорство монарха способствовало завоеванию авторитета надежного союзника, справедливого арбитра в международных спорах.

Народ совершенно точно прозвал Александра Третьего “царем-миротворцем”, способного решать проблемы дипломатическими путями. И нужно сказать “спасибо” ему за Транссибирскую магистраль, ведь отдаленные окраины Империи теперь смогут развиваться и привлекать новых и новых людей!

Тригонометрия широко применяется не только в разделе алгебра — начала анализа, но также и в геометрии. В связи с этим, разумно предположить о существовании теорем и их доказательств, связанных с тригонометрическими функциями. Действительно, теоремы косинусов и синусов выводят очень интересные, а главное полезные соотношения между сторонами и углами треугольников.

С помощью данной формулы можно вывести любую из сторон треугольника:

Доказательство утверждения выводится на основе теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Из вершины C опустим высоту h к основанию фигуры, в данном случае абсолютно не важна ее длина. Теперь, если рассмотреть произвольный треугольник AСВ, то можно выразить координаты точки C через тригонометрические функции cos и sin.

Вспомним определение косинуса и распишем соотношение сторон треугольника ACD: cos α = AD/AC | умножим обе стороны равенства на AC; AD = AC * cos α.

Длину AC примем за b и получим выражение для первой координаты точки С:
x = b * cos⁡α. Аналогично, находим значение ординаты С: y = b * sin α. Далее применим теорему Пифагора и выразим h поочередно для треугольника ACD и DCB:

Очевидно, что оба выражения (1) и (2) равны между собой. Приравняем правые части и приведем подобные:

На практике данная формула позволяет найти длину неизвестной стороны треугольника по заданным углам. Теорема косинусов имеет три следствия: для прямого, острого и тупого угла треугольника.

Заменим величину cos α привычной переменной x, тогда для острого угла треугольника ABC получим:

Если же угол окажется прямым, то 2bx исчезнет из выражения, так как cos 90° = 0. Графически второе следствие можно представить следующим образом:

В случае тупого угла знак «-»перед двойным аргументом в формуле сменится на «+»:

Как видно из объяснения, ничего сложного в соотношениях нет. Теорема косинусов есть не что иное, как переложение теоремы Пифагора в тригонометрических величинах.

Практическое применение теоремы

Задание 1 . Дан треугольник ABC, у которого сторона BC = a = 4 см, AC = b = 5 см, а cos α = ½. Необходимо найти длину стороны AB.

Чтобы правильно произвести расчет, нужно определить угол α. Для этого стоит обратиться к таблице значений для тригонометрических функций, согласно которой арккосинус равен 1/ 2 для угла в 60°. Исходя из этого, воспользуемся формулой первого следствия теоремы:

Задание 2 . Для треугольника ABC известны все стороны: AB =4√2,BC=5,AC=7. Требуется найти все углы фигуры.

В данном случае не обойтись без чертежа условий задачи.

Так как значения углов остаются неизвестными, для поиска решений следует использовать полную формулу для острого угла.

По аналогии нетрудно составить формулы и рассчитать значения и других углов:

В сумме три угла треугольника должны составить 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, следовательно, решение найдено.

Теорема синусов

Теорема гласит, что все стороны произвольного треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Записываются соотношения в виде тройного равенства:

Классическое доказательство утверждения проводят на примере фигуры вписанной в окружность.

Чтобы убедиться в правдивости высказывания на примере треугольника ABC на рисунке, необходимо подтвердить тот факт, что 2R = BC / sin A. Затем доказать, что и прочие стороны соотносятся с синусами противоположных углов, как 2R или D окружности.

Для этого проводим диаметр круга из вершины B. Из свойства углов вписанных в окружность ∠GCB – прямой, а ∠CGB либо равен ∠CAB, либо (π — ∠CAB). В случае с синусом последнее обстоятельство не значительно, так как sin (π –α) = sin α. На основании приведенных умозаключений можно утверждать, что:

sin ∠CGB = BC/ BG или sin A = BC/2R,

Если рассматривать другие углы фигуры, получим расширенную формулу теоремы синусов:

Типовые задания на отработку знания теоремы синусов сводятся к поиску неизвестной стороны или угла треугольника.

Как видно из примеров, решение подобных задач не вызывает затруднений и заключается в проведении математических расчетов.