Свойства элементарных функций. Функции и графики
Практикум
По математическому анализу
Для студентов вечернего отделения
Ого курса
(Часть I)
Учебно-методическое пособие
Москва, 2006
УДК 512.8:516
ББК С42
Рецензенты:
к.ф.-м.н., доцент Каролинская С.Н. (Московский авиационный институт им. С. Орджоникидзе);
к.ф.-м.н., доцент Краснослободцева Т.П. (МИТХТ им. М.В. Ломоносова).
Скворцова М.И., Мудракова О.А., Кротов Г.С. , Практикум по математическому анализу для студентов вечернего отделения 1-ого курса (Часть I), Учебно-методическое пособие – М.: МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2006 – 44 с.: ил. 29 .
Утверждено Библиотечно-издательской комиссией МИТХТ им. М.В. Ломоносова в качестве учебно-методического пособия. Поз. ___/2006.
Пособие представляет собой конспекты 6 практических занятий по курсу математического анализа для студентов вечернего отделения МИТХТ им. М.В. Ломоносова. В Часть I включены следующие разделы: "Функция и ее основные свойства", "Предел функции", "Непрерывность и точки разрыва функции".
Каждое занятие посвящено отдельной теме. Конспекты 5-ти занятий содержат краткое изложение соответствующей теории, типовые примеры и задачи для самостоятельного решения (с ответами). В конспекте занятия №6 приведен образец варианта контрольной работы (с решениями), проводимой на этом занятии.
Пособие предназначено для студентов вечернего отделения вузов химического профиля.
© МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2006
Занятие 1.
|
Занятие 2. Полярная система координат. Построение графиков функций методом сдвига и растяжения вдоль осей координат …………………………………………….
Занятие 3. Предел функции. Непрерывность функции. Вычисление пределов непрерывных, рациональных и некоторых иррациональных функций …………...............
Занятие 4.
Первый и второй замечательные пределы. Вычисление пределов степенно- показательной функции. Бесконечно малые и бесконечно большие
величины ………………………………………………….
Занятие 5. Точки непрерывности и точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Исследование функции на непрерывность ………………………………
Занятие 6. Контрольная работа №1 по теме "Вычисление пределов функций. Исследование функции на непрерывность"……………………………………………….
Литература ……………………………………………….
Занятие 1.
Понятие функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
Определение 1. Зависимость переменной от переменной называется функцией , если каждому значению соответствует единственное значение .
Пишем : и говорим , что есть функция от . При этом называется независимой переменной (или аргументом), а – зависимой переменной .
Определение 2. Область определения функции (обозначаемая через ) – это все значения, которые принимает . Множество значений функции (обозначаемое через ) – это все значения, которые принимает .
Определение 3. Функция называется возрастающей (убывающей ) на числовом промежутке , если для любых из , таких, что , выполнено неравенство:
.
Определение 4. Функция называется монотонной на промежутке , если она только убывает или только возрастает на .
Определение 5. Функция называется четной (нечетной ), если её симметрична относительно нуля и для любого из :
.
Национальный научно-исследовательский университет
Кафедра прикладной геологии
Реферат по высшей математике
На тему: «Основные элементарные функции,
их свойства и графики»
Выполнил:
Проверил:
преподаватель
Определение. Функция, заданная формулой у=а х (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.
Сформулируем основные свойства показательной функции:
1. Область определения - множество (R) всех действительных чисел.
2. Область значений - множество (R+) всех положительных действительных чисел.
3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает.
4. Является функцией общего вида.
, на интервале xÎ [-3;3], на интервале xÎ [-3;3]
Функция вида у(х)=х n , где n – число ÎR, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).
Степенная функция у=х²
1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
2. E(y)= и возрастает на промежутке
Степенная функция у=х³
1. График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами:
2. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
3. E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;
4. При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).
5. Функция возрастает на всей области определения.
6. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).
, на интервале xÎ [-3;3]
В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать.
Степенная функция с целым отрицательным показателем:
Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;
3. Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.
4. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.
5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.
, на интервале xÎ [-3;3]
Степенная функция с дробным показателем
Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)
1. D(x) ÎR, если n – нечетное число и D(x)=
, на интервале xÎ
, на интервале xÎ [-3;3]
Логарифмическая функция у = log a x обладает следующими свойствами:
1. Область определения D(x)Î (0; + ∞).
2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞)
3. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).
4. Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.
График функции у = log a x может быть получен из графика функции у = а х с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.
; на интервале xÎ
; на интервале xÎ
Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.
Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная.
Функция y = sin (х).
1. Область определения D(x) ÎR.
2. Область значений E(y) Î [ - 1; 1].
3. Функция периодическая; основной период равен 2π.
4. Функция нечетная.
5. Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.
График функции у = sin (х) изображен на рисунке 11.
Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Постоянная функция.
Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , гдеC – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 ,y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.
Свойства постоянной функции.
Область определения: все множество действительных чисел.
Постоянная функция является четной.
Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .
Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
Асимптот нет.
Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.
Корень n-ой степени.
Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.
Корень n-ой степени, n - четное число.
Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .
Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.
Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.
Свойства функции корень n -ой степени при четных n .
Корень n-ой степени, n - нечетное число.
Функция корень n -ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.
Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций - графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные.
Страницы со справочным материалом по элементарным функциям
Классификация элементарных функций
Алгебраическая функция
- это функция, которая удовлетворяет уравнению:
,
где - многочлен от зависимой переменной y
и независимой переменной x
.
Его можно записать в виде:
,
где - многочлены.
Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции.
Целая рациональная функция
, которая также называется многочленом
или полиномом
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду:
.
Дробно-рациональная функция
, или просто рациональная функция
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию можно привести к виду
,
где и - многочлены.
Иррациональная функция
- это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n
определяется как решение уравнения
.
Он обозначается так:
.
Трансцендентными функциями называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции.
Обзор основных элементарных функций
Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:
z t
.
Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.
Степенная функция :
y(x) = x p
,
где p
- показатель степени. Она зависит от основания степени x
.
Обратной к степенной функции является также степенная функция:
.
При целом неотрицательном значении показателя p
она является многочленом. При целом значении p
- рациональной функцией. При рациональном значении - иррациональной функцией.
Трансцендентные функции
Показательная функция :
y(x) = a x
,
где a
- основание степени. Она зависит от показателя степени x
.
Обратная функция - логарифм по основанию a
:
x = log
a y
.
Экспонента, е в степени х :
y(x) = e x
,
Это показательная функция, производная которой равна самой функции:
.
Основанием степени экспоненты является число e
:
≈ 2,718281828459045...
.
Обратная функция - натуральный логарифм - логарифм по основанию числа e
:
x = ln
y ≡ log
e y
.
Тригонометрические функции :
Синус : ;
Косинус : ;
Тангенс : ;
Котангенс : ;
Здесь i
- мнимая единица, i 2 = -1
.
Обратные тригонометрические функции :
Арксинус: x = arcsin
y
,
;
Арккосинус: x = arccos
y
,
;
Арктангенс: x = arctg
y
,
;
Арккотангенс: x = arcctg
y
,
.