Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

В старинных русских рукописях, относящихся к XVI-XV11 столетиям, встречаются описания наиболее древних приспособлений русского инструментального счета, в -свое время широко распространенных на Руси под названиями «счета костьми» и «дощаного счета». Оба эти прибора являются отдаленными предками со­временных русских конторских счетов.

Согласно дошедшему до наших дней «Указу како костьми считать», русский «счет костьми» состоял в сле­дующем.

На специально приспособленной для этой цели доске или просто на столе прочерчивались мелом шесть или семь горизонтальных линий, которые затем пересекались одной или несколькими вертикальными линиями, делившими доску на два или несколько полей, в зависимости от сложности арифметических действий, которые предстояло выполнить.

Русские конторские счеты устроены по принципу де­сятичной системы счисления. Это обстоятельство, как мы увидим далее, дает возможность легко производить на счетах все четыре арифметические действия.

Счеты представляют собой деревянную раму с параллельно расположенными на ней тонкими проволочными прутьями, на которых нанизаны по 10 деревянных костяшек, или «косточек», за исключением одного ряда, обычно четвертого, считая от себя, где помещается че­тыре косточки. Обыкновенные конторские счеты бывают чаще всего с 12-14 рядами.

Перед началом работы на счетах все косточки долж­ны быть сдвинуты вправо.

Числа следует откладывать на счетах начиная с еди­ниц высшего разряда. Рекомендуется при откладывании чисел пользоваться указательным и средним "пальцами правой руки, а при сбрасывании - большим.

Как сказано выше, сложение многозначных чисел производится поразрядно. При этом сложение на счетах начинают всегда с высших разрядов.

Пример 1. Сложить 123 + 324.

В этом примере оба слагаемые - трехзначные числа, т. е. имеющие разряды сотен, десятков и единиц. Для сложения их воспользуемся известным нам правилом сложения однозначных чисел, применяя его последова­тельно к одноименным числовым разрядам обоих сла­гаемых, начиная с высших разрядов. Для этого, отло­жив на счетах первое слагаемое 123, прибавим соответ­ственно:

До сих пор для большей ясности изложения мы рас­сматривали сложение только двух каких-либо чисел. Если надо найти сумму не двух, а большего числа сла­гаемых, то поступают так: сперва складывают два числа, затем к полученной сумме прибавляют третье и т. д., т. е. к первому числу последовательно прибавляют все остальные.

Изучение сложения на счетах мы начали с рассмот­рения трех различных случаев сложения однозначных чисел. При изучении вычитания можно ограничиться лишь двумя случаями, а именно: 1) вычитаемое меньше уменьшаемого или равно ему; 2) вычитаемое больше уменьшаемого.

Пример 1. Найти разность 8 - 5.

Откладываем на счетах уменьшаемое 8 и рассу­ждаем так: вычитание есть такое арифметическое действие, при помощи которого по сумме и одному из слагаемых находится другое слагаемое. В данном случае уменьшаемое 8 является суммой двух слагаемых, одно из которых есть число 5. Для Нахождения второго сла­гаемого очевидно надо сбросить со стоящего на счетахуменьшаемого первое слагаемое. В результате получим искомую разность - число 3.

Еще осталось в памяти то время, когда простейшие калькуляторы были роскошью, а о компьютерах и речи не было. Продавцы, почтовые работники и даже банковские служащие пользовались счетами.

Инструкция

1. Счеты – примитивный вычислительный агрегат, тот, что представляет собой счетные кольца, нанизанные на тонкие спицы. Обрамленные цельной канвой, счеты заключают в себе всю систему чисел – единицы, десятки, сотни и т.д. На верхних рядах счет расположены целые числа, причем их значение уменьшается с всей дальнейшей спицей: от сотен тысяч к единицам. Под коротким рядом «костяшек» расположены дробные числа: от десятых до тысячных.

2. Самыми примитивными вычислениями на счетах являются сложение и вычитание. Числа набираются начиная с первого ряда целых: от 1 до 10. Дальнейший рад (на одну спицу вверх) – от 11 до 20 и т.д. Набирайте нужное число, передвигая «костяшки» из соответствующего ряда справа налево. Когда один ряд на спице заполнится, воспользуйтесь числами большего значения – то есть одна «костяшка» верхнего ряда заменяет 10 «костяшек» нижнего. Складывая числа, добавляйте «костяшки» в соответствующие ряды. Дабы посчитать окончательный итог, «спускайтесь» внизу вверх – миллионы, тысячи, сотни и т.д.

3. Вычитание на счетах производится таким же методом, что и сложение, только в обратном порядке. То есть вычитая из одного числа другое, убирайте «костяшки» из соответствующих рядов. Таким образом, во время подсчета двигайтесь сверху вниз. Окончательную сумму вы узнаете, подсчитав кольца, оставшиеся в левой стороне счет.

4. Для всякого числа умножение на счетах производится различными методами. Если вам необходимо умножить на 2 либо 3, замените это действие сложением, «плюсуя» число 2 либо 3 раза соответственно. Умножение на 4 – это сложение (2*2).

5. Дабы умножить на 5, перенесите все косточки счет на одну линию вверх (то есть умножьте его на 10), после этого разделяете число напополам в уме.

6. Дабы умножить число на 6, его необходимо умножить на 5 описанным выше методом, после этого к полученному итогу прибавить число, которое было в начале вычислений.

7. Дабы умножить на 7, вначале умножьте число на 10, а после этого от полученного значения отнимите умножаемое число три раза.

8. Умножение на 8 либо 9 заменяют умножением на 10, но без переноса 2х либо 1й (при умножении на 8 и 9 соответственно) косточки наверх.

9. Множители, следующие позже 10, «раскладывают» на составляющие. Скажем, вам необходимо умножить на 12 – вы раскладываете данный множитель на 10 и 2. Сложите число с самим собой (умножьте на 2), после этого прибавьте к нему удесятеренное значение.

10. Деление на счетах – процесс непростой и доступный только специалистам. В бывшие времена необходимо было проходить особое обучение, дабы освоить деление.

Умножение – одна из четырех арифметических операций, постигаемых с первого класса школы. Наравне со сложением она, вероятно, почаще каждого используется в повседневной жизни. При этом под рукой не неизменно есть калькулятор либо лист бумаги. Именно следственно умение того, как умножать в уме числа, примитивно нужно любому современному человеку. Тем больше что производительность устного умножения достигается путем применения каждого одного правила и нескольких примитивных приемов.

Вам понадобится

• Знание таблицы умножения чисел от 0 до 9. Знание складывать и вычитать числа.

Инструкция

1. Проверьте, не описывается ли задача одним из случаев, дозволяющих произвести стремительное умножение. Для этого проанализируйте, не является ли один из сомножителей числом 4, 5, 8, 9, 10, 11, 25 либо числом, образованным путем умножения перечисленных чисел на степени числа 10 (скажем, 40, 500, 1000, 250). В случае если это так, произведите стремительное умножение. При умножении на число 10 и его степени, допишите позже умножаемого числа столько нулей, сколько содержится в множителе, кратном десяти. Это будет итогом. Так, 52 * 100 = 5200. При умножении на 4 двукратно удвойте умножаемое число. При умножении на 8 трижды удвойте умножаемое число. При умножении на 5, умножьте число на 10, а после этого поделите на 2. При умножении на 25, умножьте число на 100, а после этого двукратно поделите на 2. Для умножения числа на 9, умножьте его на 10 (допишите один нуль) и вычтите его же из итога. Скажем, 56 * 9 = 56 * 10 – 56 = 560 – 56 = 504. Для умножения числа на 11, умножьте его на 10 и прибавьте его же к итогу. Так, 56 * 11 = 56 * 10 + 56 = 560 + 56 = 616. Если задача не допускает стремительного умножения, перейдите к дальнейшему шагу.

2. Расположите множители в последовательности убывания порядка их чисел. Для этого примитивно сравните длину сомножителей в символьном представлении и поставьте на первое место больше длинный множитель. Скажем, требуется помножить 47 на 526. Умножение легче будет изготавливать, если представить задачу как 526 * 47.

3. Мысленно разбейте всякий множитель на сумму чисел с точностью до порядка. Представьте задачу умножения в виде произведения этих сумм. Так, 526 * 47 = (500 + 20 + 6) * (40 + 7).

4. Умножьте в уме числа. Произведите последовательное умножение чисел суммы, на которую был разбит 1-й сомножитель на числа суммы второго сомножителя. Позже всякого умножения складывайте полученное число с предыдущим итогом. Используйте примитивные правила умножения, приведенные в первом шаге. Скажем, 526 * 47 = (500 + 20 + 6) * (40 + 7) = 500 * 40 + 20 * 40 + 6 * 40 + 500 * 7 + 20 * 7 + 6 * 7 = 20000 + 800 + 240 + 3500 + 140 + 42 = 24722.

Обратите внимание!
Изготавливаете главные расчеты только на калькуляторе либо в электронных таблицах на компьютере.

Полезный совет
Выучите таблицу умножения от 1*1 до 9*9. Это дозволит вам стремительно находить произведения маленьких чисел.

С числом ребенок знакомится в раннем возрасте, а счет до десяти он должен освоить до того, как пойдет в школу. Далее предстоит обучиться таким вычислительным навыкам как сложение и вычитание. Если на данном этапе у ребенка возникли трудности, не спешите нанимать репетитора. Сперва попробуйте самостоятельно решить данную проблему. Прочитайте информацию о том, как научить ребенка считать на счетах.

Почему именно счеты

Калькуляторы, конечно, значительно облегчают жизнь, но совершенно не развивают логическое и математическое мышление. Старайтесь не приучать ребенка к гаджетам, иначе он так и не начнет считать в уме.

Сразу освоить устный счет непросто. Можно попробовать вычитать и складывать яблоки или палочки, но как быть, если речь о двузначных или трехзначных числах? Тут-то и приходят на помощь счеты. Сначала ребенок использует костяшки для решения математических задач, а спустя некоторое время вы заметите, что он делает это устно, представляя счеты в уме, .

Какими должны быть счеты

Несмотря на то, что калькуляторы и прочие гаджеты уже давно вытеснили счеты, эти приспособления несложно найти в продаже, причем в разнообразных вариациях. При покупке обратите внимание на то, что костяшки должны быть двух цветов. В каждом ряду две из них должны выделяться для удобства. Все остальные характеристики этого вычислительного устройства имеют второстепенное значение.

С какого возраста использовать счеты

Счеты рекомендованы для использования ребенком не ранее 3 лет. В этом возрасте уже можно начинать обучение числам до десяти, а по мере усвоения материала усложнять задачи. Впрочем, под присмотром взрослых со счетами могут знакомиться и малыши. Эта полезная игрушка в данном случае будет отлично развивать мелкую моторику. Как научить ребенка считать на счетах, рассмотрим.

• Набор числа. Это первое, чему нужно научиться в работе со счетами. Выровняйте все костяшки по правому краю, такое их положение равняется нулю. Нижний ряд обозначает сотые, второй – десятые, третий – четверти (здесь вместо десяти всего четыре костяшки), далее идут единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д. Чтобы набрать необходимое число, нужно передвинуть соответствующее количество костяшек влево.
• Сложение. Сперва наберите на счетах первое слагаемое, а затем передвиньте к нему соответствующее второму слагаемому количество костяшек, начиная с нижних. Если в ряду не хватило нескольких костяшек, то оставьте здесь недостающее количество, а сверху накиньте одну костяшку.
• Вычитание. Здесь действуйте аналогично сложению, только сверху вниз. В случае, если в ряду костяшек не хватило, нужно отнять это количество от десяти и оставить получившееся число, а выше одну костяшку убрать.

Опытные счетоводы без труда могут выполнять такие операции, как умножение и деление. Для ребенка же это может оказаться сложным. Впрочем, попробуйте решить задачи с небольшими числами, например, умножить на 2 или 3. Для этого передвиньте умножаемое число костяшек, а затем добавьте к ним ещё столько же (умножение на 2), повторите ещё раз (умножение на 3). Деление на счетах целесообразно проводить только на число 2, просто раздвинув набранное количество костяшек посередине.

Использование счетов, для обучения ребенка математическим навыкам, лишь на первый взгляд кажется трудным. На самом деле, ничего сложного в этом вычислительном устройстве нет. Счеты – это не просто прекрасный помощник на уроках математики, но ещё и замечательный тренажер для памяти, моторики и логического . Они значительно облегчают устный счёт, но при этом полностью его не исключают.

Инструкция

Счеты – простейший вычислительный аппарат, который представляет собой счетные кольца, нанизанные на тонкие спицы. Обрамленные единой канвой, счеты заключают в себе всю систему – единицы, сотни и т.д. На верхних рядах счет расположены целые числа, причем их уменьшается с каждой следующей спицей: от сотен тысяч к единицам. Под коротким «костяшек» расположены дробные числа: от десятых до тысячных.

Самыми простыми вычислениями на счетах являются сложение и вычитание. Числа набираются начиная с первого ряда целых: от 1 до 10. Следующий рад (на одну спицу вверх) – от 11 до 20 и т.д. Набирайте необходимое число, передвигая «костяшки» из соответствующего ряда справа налево. Когда один ряд на спице заполнится, воспользуйтесь числами большего значения – то есть одна «костяшка» верхнего ряда заменяет 10 «костяшек» нижнего. Складывая числа, добавляйте «костяшки» в соответствующие ряды. Чтобы окончательный , «спускайтесь» внизу вверх – миллионы, тысячи, сотни и т.д.

Вычитание на счетах производится таким же способом, что и сложение, только в обратном порядке. То есть вычитая из одного числа другое, убирайте «костяшки» из соответствующих рядов. Таким образом, во время подсчета двигайтесь сверху вниз. Окончательную сумму вы узнаете, подсчитав кольца, оставшиеся в левой стороне счет.

Для каждого числа умножение на счетах производится разными способами. Если вам нужно умножить на 2 или 3, замените это действие сложением, «плюсуя» число 2 или 3 раза соответственно. Умножение на 4 – это сложение (2*2).

Чтобы умножить число на 6, его нужно умножить на 5 описанным выше способом, затем к полученному результату прибавить число, которое было в начале вычислений.

Чтобы умножить на 7, сначала умножьте число на 10, а затем от полученного значения отнимите умножаемое число три раза.

Умножение на 8 или 9 заменяют умножением на 10, но без переноса 2х или 1й (при умножении на 8 и 9 соответственно) косточки наверх.

Множители, следующие после 10, «раскладывают» на . Например, вам нужно умножить на 12 – вы раскладываете этот множитель на 10 и 2. Сложите число с самим собой (умножьте на 2), затем прибавьте к нему удесятеренное значение.

Источники:

• счеты как считать
• Как правильно посчитать от 1 до 1000 на японском языке?

Умножение - одна из четырех арифметических операций, изучаемых с первого класса школы. Наряду со сложением она, пожалуй, чаще всего применяется в повседневной жизни. При этом под рукой не всегда есть калькулятор или листок бумаги. Именно поэтому знание того, как умножать в уме числа, просто необходимо любому современному человеку. Тем более что эффективность устного умножения достигается путем использования всего одного правила и нескольких простых приемов.

Вам понадобится

• Знание таблицы умножения чисел от 0 до 9. Умение складывать и вычитать числа.

Инструкция

Проверьте, не описывается ли задача одним из случаев, позволяющих произвести быстрое умножение. Для этого проанализируйте, не является ли один из сомножителей числом 4, 5, 8, 9, 10, 11, 25 или числом, образованным путем умножения перечисленных на числа 10 (например, 40, 500, 1000, 250). В случае если это так, произведите быстрое умножение. При умножении на число 10 и его степени, допишите после умножаемого числа столько нулей, содержится в множителе, кратном . Это будет результатом. Так, 52 * 100 = 5200. При умножении на 4 дважды удвойте умножаемое число. При умножении на 8 удвойте умножаемое число. При умножении на 5, умножьте число на 10, а затем разделите на 2. При умножении на 25, умножьте число на 100, а затем дважды разделите на 2. Для умножения числа на 9, умножьте его на 10 (допишите один ноль) и вычтите его же из результата. Например, 56 * 9 = 56 * 10 - 56 = 560 - 56 = 504. Для умножения числа на 11, умножьте его на 10 и прибавьте его же к результату. Так, 56 * 11 = 56 * 10 + 56 = 560 + 56 = 616. Если задача не допускает быстрого умножения, перейдите к следующему шагу.

Энциклопедичный YouTube

1 / 2

Ментальная арифметика: Урок 1 "Знакомство с абакусом, прямой счет"

Делаем абакус сами! Счеты для ментальной арифметики своими руками!

Субтитры

История

Первое известное упоминание счётов встречается в «Переписной книге домовой казны патриарха Никона», составленной в 1658 году , где они называются «счоты» .

Система счисления и система кодирования

В русских счётах применяется позиционная десятичная система счисления с непозиционным унарным кодированием внутри каждого разряда.

Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд , который вверх от спицы с четырьмя костяшками возрастает от единиц до сотен тысяч, а вниз - уменьшается от десятых до тысячных. Максимальное значение для каждого ряда - десять, умноженное на вес разряда (для разряда единиц максимальное значение - 10, если все костяшки отложены влево, для десятков - 100 и так далее). «Набор» числа осуществляется сдвиганием костяшек из правого края прута в левый.

Прут, на котором находятся всего 4 костяшки, использовался для расчётов в полушках . Одна полушка равнялась половине одной деньги , то есть четверти копейки . Соответственно, четыре костяшки составляли одну копейку . Также этот прут использовался для перевода фунтов в пуды (1 пуд = 40 фунтов). Также этот прут может служить разделителем целой и дробной частей набранного на счётах числа и в вычислениях не использоваться.

Таким образом, максимальное число, которое можно набрать на счётах с семью рядами целых чисел, составляет 11 ′ 111 ′ 111 , 110 {\displaystyle 11"111"111,110} .

После добавления к девяти костяшкам одного разряда десятой костяшки производится операция записи единицы переноса в следующий разряд, состоящая из трёх действий:

1. сдвигом влево одной костяшки к девяти костяшкам добавляется десятая костяшка;
2. сдвигом вправо всех десяти костяшек предыдущий разряд обнуляется;
3. сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса.

Выполнением этого правила исключается любое неоднозначное представление чисел. С точки зрения теории систем счисления , для действий в показательной единично кодированной десятичной позиционной системе счисления достаточно девяти костяшек, о чём пишет и Я. И. Перельман , при этом операция записи единицы переноса производилась бы за два действия вместо трёх действий:

1. сдвигом влево одной костяшки в следующий разряд записывается единица переноса;
2. сдвигом вправо девяти костяшек предыдущий разряд обнуляется;

но для удобства счета (в частности, чтобы удобно получать дополнение до 10, необходимое для переноса разряда при вычитании) в русских счётах было выбрано число костяшек равное десяти, что формально соответствует единичнокодированной 11-ричной системе счисления [ ] .

Правила счёта

Общие замечания

С помощью счётов, в пределах их разрядности, можно выполнять все базовые арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление . Однако на практике удобно и быстро можно только складывать и вычитать: операция умножения на произвольное число достаточно сложна, а деление в общем виде, скорее всего, займёт больше времени, чем выполнение той же операции на бумаге - с помощью «деления столбиком ». Впрочем, есть достаточно большое количество специальных случаев , когда счёты вполне применимы для умножения и деления.

Кроме того, нужно учитывать следующие моменты:

• Счёты в принципе не предназначены для манипуляций с отрицательными числами. Поэтому любые операции должны приводиться к положительным числам, а знак, если это необходимо, должен просто учитываться отдельно.
• В операциях умножения и деления достаточно неудобно учитывать положение десятичного разделителя для обоих операндов . Вследствие этого при выполнении умножения и деления десятичных дробей либо только второй, либо оба операнда приводятся к целому числу, то есть десятичный разделитель в них просто игнорируется. После выполнения операции положение десятичного разделителя восстанавливается вручную.

«Набор» числа

Представление чисел на счётах и порядок набора описан выше. Необходимо лишь отметить, что правило расположения разрядов числа на проволоках (то есть помещение единичного разряда непременно перед проволокой с четырьмя косточками) в практических расчётах часто бывает необязательно соблюдать. Более того, в процессе расчётов бывает удобно иногда вместо перенабора числа просто мысленно перенести разделитель целой и дробной части на другое место.

В некоторых руководствах по вычислениям на счётах рекомендуется следующее «усовершенствование»: просверлить в раме счётов слева ряд небольших отверстий, расположенных напротив промежутков между проволоками. При расчётах какой-либо предмет - например, гвоздь или разогнутая скрепка - помещается в отверстие, находящееся напротив промежутка, в данный момент разделяющего единицы и десятые доли. Таким образом в любой момент положение десятичного разделителя явно отмечено и может быть легко изменено.

Сложение

Согласно одному из возможных способов, сложение на счётах выполняется «снизу вверх» (от младших разрядов к старшим). На счётах «набирается» первое слагаемое, после чего поразрядно, от младшего разряда к старшему, производятся следующие действия:

1. влево столько косточек, сколько единиц в соответствующем разряде второго слагаемого.
2. Если на проволоке не хватает косточек для выполнения первого действия, то на проволоке слева оставляется столько косточек, сколько не хватило, а на следующей (находящейся выше) проволоке перебрасывается влево одна косточка.
3. Если в результате действия (как первого, так и второго, и данного) слева на проволоке оказалось 10 косточек, то все косточки на этой проволоке перебрасываются вправо, а на следующей (находящейся выше) проволоке дополнительно перебрасывается влево одна косточка.

После того, как будут выполнены действия со всеми разрядами, «набранное» на счётах число и будет результатом сложения.

Есть и другой способ: сложение от старших разрядов к младшим - см. анимацию.

Вычитание

Вычитание на счётах выполняется «сверху вниз», то есть от старших разрядов к младшим. В силу неприспособленности счётов для работы с отрицательными числами всегда нужно из большего положительного числа вычитать меньшее положительное число. Если требуется вычесть из меньшего большее, числа следует поменять местами и оставить знак «в уме».

На счётах «набирается» уменьшаемое, после чего поразрядно, от старшего разряда к младшему, производятся следующие действия:

1. На проволоке, соответствующей разряду, перебрасывается вправо столько косточек, сколько единиц в соответствующем разряде вычитаемого.
2. Если на проволоке не хватает косточек для выполнения первого действия, производится перенос разряда: слева оставляется (10 - n) косточек, где n - «недостающее» число косточек (чтобы не делать второе вычитание в уме, можно весь десяток косточек на данной проволоке перенести влево, после чего отбросить недостающее число косточек), а на находящейся выше проволоке отбрасывается вправо одна косточка
3. Если при переносе на проволоке, соответствующей старшему разряду, не хватает косточек, то выполняется перенос в следующий (ещё более старший) разряд и так до тех пор, пока на одной из проволок не окажется достаточного количества косточек. Так, например, при вычитании (1001 - 3) сначала на проволоке младшего разряда будет оставлено 8 косточек и потребуется перенос во второй разряд, затем - в третий, и только после этого на проволоке четвёртого разряда окажется достаточно косточек, чтобы завершить операцию.

Умножение

Умножение на однозначное число в общем случае может быть заменено на сложение множимого с самим собой соответствующее количество раз. Целые многозначные числа перемножаются поразрядно, аналогично «умножению в столбик»:

• В качестве множимого выбирается то из двух чисел, которое содержит больше ненулевых цифр.
• Множимое прибавляется к самому себе столько раз, сколько единиц в младшем (первом) разряде множителя.
• Для каждого следующего разряда множителя множимое прибавляется к уже имеющемуся на счётах числу соответствующее количество раз, но со сдвигом на один разряд вверх. То есть для разряда десятков сложение производится со сдвигом на один разряд, сотен - на два и так далее.
• Если в соответствующем разряде множителя стоит нуль, то, естественно, никакого сложения не производится, а просто делается сдвиг на одну проволоку вверх и переход к следующему разряду.
• Когда будут произведены прибавления для всех ненулевых разрядов множителя, на счётах будет получен результат умножения. Положение десятичного разделителя при этом нужно учитывать в той позиции, где он был при первых сложениях (то есть сдвиги десятичного разделителя учитываются только в промежуточных операциях).

Если перемножаются нецелые числа, то операция выполняется точно так же (вычисления ведутся с целыми числами, десятичные разделители просто игнорируются). Десятичный разделитель ставится в нужную позицию вручную при записи результата.

Несмотря на громоздкость алгоритма, при выработанном навыке выигрыш времени по сравнению с расчётом на бумаге может быть значительным.

Деление

Деление в общем виде заменяется вычитанием. Общий алгоритм деления целых чисел выглядит следующим образом:

• Делимое набирается на счётах в нижней их части.
• Из старших разрядов делимого выбирается группа такого размера, чтобы составленное ею число было больше делителя, но меньше делителя, умноженного на десять. Десятичный разделитель мысленно переносится за младший разряд этой группы.
• Из набранного числа (с учётом поставленного разделителя) делитель вычитается до тех пор, пока уменьшаемое не станет меньше делителя. При каждом успешном вычитании на верхней проволоке счёт переносится влево одна косточка.
• По завершении вычитания десятичный разделитель мысленно передвигается на одну проволоку вниз. Далее вычитание делителя повторяется для нового уменьшаемого, а результат заносится на следующую (вторую, далее - третью и т. д.) проволоку.
• Предыдущий пункт повторяется до тех пор, пока не закончится набранное на счётах число, либо пока не будет получено нужное число цифр результата.
• На верхних проволоках по завершении всех операций будет набран результат деления. Положение десятичного разделителя при этом - такое же, как было у делимого.

Если делимое кратно делителю, то операция завершится по достижении младшего десятичного разряда делимого и все косточки, кроме тех, на которых накоплен результат, будут справа. Если же нет, то на счётах останется число, соответствующее остатку от деления. Если необходимо, далее можно получать десятичные знаки дробного результата до тех пор, пока хватает проволок на счётах (когда сдвигать десятичный разделитель вниз станет некуда, можно искусственно перенести накопившийся остаток выше, чтобы продолжить деление; так можно получить до 7-8 цифр результата).

Например, вычисляем 715/31:

Как и в случае с умножением, при делении десятичных дробей аргументы заменяются на целые числа и вычисления выполняются в точно таком же порядке, а десятичный разделитель в результате переносится на нужное место вручную.

Упрощённые приёмы умножения и деления

Произвольное умножение и в особенности деление на счётах не слишком удобно. Однако существует ряд частных случаев, когда эти операции выполняются намного проще:

• Умножение и деление на 10 заменяется переносом числа на разряд вверх или вниз. При этом фактически переносить запись нет никакой необходимости - достаточно мысленно переместить разделитель целой и дробной части числа на одну проволоку, соответственно, вниз или вверх. В руководствах по вычислению на счётах рекомендовалось во время ведения вычислений удерживать палец левой руки на раме счётов напротив промежутка между проволоками, соответствующими единицам и десятым, либо отмечать текущее положение десятичного разделителя каким-нибудь подручным средством (кнопка, гвоздик, вставляемый в специально проделанные в раме счётов отверстия и т. п.).
• Умножение на 2 заменяется сложением числа с самим собой: 39 ∗ 2 = 39 + 39 = 78 {\displaystyle 39*2=39+39=78} .
• Умножение на 3 - сложением с самим собой два раза: 39 ∗ 3 = 39 + 39 + 39 = 117 {\displaystyle 39*3=39+39+39=117} .
• Умножение на 4 - двукратным удвоением: 18 ∗ 4 = (18 + 18) ∗ 2 = 36 + 36 = 72 {\displaystyle 18*4=(18+18)*2=36+36=72} .
• Умножение на 5 - умножением на 10 и делением на 2: 26 ∗ 5 = 26 ∗ 10 2 = 260 / 2 = 130 {\displaystyle 26*5={\tfrac {26*10}{2}}=260/2=130} .
• Умножение на 6 - умножением на 5 и прибавлением исходного числа: 26 ∗ 6 = 26 ∗ 5 + 26 = 26 ∗ 10 2 + 26 = 130 + 26 = 156 {\displaystyle 26*6=26*5+26={\tfrac {26*10}{2}}+26=130+26=156} .
• Умножение на 7 - троекратным удвоением и вычитанием исходного числа: 13 ∗ 7 = 26 ∗ 2 ∗ 2 − 13 = 52 ∗ 2 − 13 = 104 − 13 = 91 {\displaystyle 13*7=26*2*2-13=52*2-13=104-13=91} .
• Умножение на 8 - троекратным удвоением: 13 ∗ 8 = 13 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 26 ∗ 2 ∗ 2 = 52 ∗ 2 = 104 {\displaystyle 13*8=13*2*2*2=26*2*2=52*2=104}
• Умножение на 9 - умножением на 10 и вычитанием исходного числа: 23 ∗ 9 = 23 ∗ 10 − 23 = 230 − 23 = 207 {\displaystyle 23*9=23*10-23=230-23=207} .
• Деление на 2 производится от младших разрядов к старшим. На каждой проволоке отбрасывается половина имеющихся косточек. Если на проволоке нечётное количество косточек, то «лишняя» косточка тоже отбрасывается, а на проволоке ниже (в младшем разряде) переносится влево ещё пять косточек. Например, при делении 57 на 2 в разряде единиц имеется нечётное число, поэтому будут отброшены 4 косточки (останется 3), а в разряде десятых долей прибавятся 5, затем в разряде десятков из пяти косточек отбросятся три - останутся две, а в единичный разряд дополнительно прибавится 5 - станет 8. Таким образом, правильный ответ: 28 , 5 {\displaystyle 28,5} .
• Деление на 3 заменяется умножением исходного числа на 3 и последовательным сложением результата с самим собой со сдвигом вниз столько раз, сколько нужно разрядов в результате. При сдвиге «за пределы счётов» прибавляемое число округляется. Результат сложения нужно разделить на 10. (Используется тот факт, что x / 3 = 0.3 (3) ⋅ x = 3.3 (3) ⋅ x 10 {\displaystyle x/3={0.3(3)}\cdot {x}={\tfrac {3.3(3)\cdot x}{10}}} ).
• Деление на 4 - двукратным делением на 2.
• Деление на 5 - делением на 10 и умножением на 2.
• Деление на 6 - последовательным делением на 2 и на 3.
• Деление на 7 выполняется по общему алгоритму (поразрядное вычитание семёрки).
• Деление на 8 заменяется трёхкратным делением на 2.
• Деление на 9 выполняется сложением числа с самим собой с последовательным поразрядным сдвигом вниз столько раз, сколько нужно разрядов в результате. Результат сложения делится на 10. (Используется соотношение x / 9 = 0 , 1 (1) ⋅ x = 1 , 1 (1) ⋅ x 10 {\displaystyle x/9={0,1(1)}\cdot {x}={\tfrac {{1,1(1)}\cdot {x}}{10}}} ).
• Умножение и деление на любую степень двойки производится, соответственно, последовательным удвоением или делением на 2.
• Умножение на двузначное число из двух одинаковых цифр «NN» (11, 22, 33, 44 и т. д.) заменяется умножением и сложением со сдвигом:

• Сначала исходное значение умножается на N любым удобным способом.
• Затем десятичный разделитель переносится на разряд вниз и результат умножения прибавляется сам к себе, но со сдвигом вниз на одну проволоку (прибавлять со сдвигом вниз удобнее, так как сложение производится снизу вверх, и добавляемое число косточек всегда видно на одну проволоку выше - нет необходимости что-то запоминать).

Часто можно с помощью несложных манипуляций привести вычисляемую операцию к комбинации частных случаев умножения и деления. Например, умножение на 25 можно заменить умножением на 100 и двукратным делением на 2. Когда один или оба операнда близки к «удобным» для расчётов числам, можно комбинировать специальные случаи умножения и деления со сложением и вычитанием. Но возможность подобных трюков сильно зависит от уровня подготовки вычислителя. Собственно, искусство вычисления на счётах и заключается в умении свести любое требуемое вычисление к комбинации легко поддающихся счёту элементов. x {\displaystyle x} - это количество синего сукна, а y {\displaystyle y} - чёрного, можно составить следующую систему уравнений :

{ x + y = 138 5 x + 3 y = 540 . {\displaystyle {\begin{cases}x+y=138\\5x+3y=540\,\,.\end{cases}}}

Решив её, получим ответ: y = 75 , x = 63 {\displaystyle y=75,\ x=63} , то есть 75 аршин чёрного сукна и 63 аршина - синего.

Однако подобное решение этой задачи ведет к потере её внутренней логики. Отец мальчика, отставной губернский секретарь Удодов, продемонстрировал другое решение:

И без алгебры решить можно,- говорит Удодов, протягивая руку к счётам и вздыхая. - Вот, извольте видеть…
Он щёлкает на счётах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
- Вот-с… по-нашему, по-неучёному.

Само «неучёное» решение Чеховым в рассказе не приводится, но оно легко может быть реконструировано, поскольку задача имеет стандартное арифметическое решение, опирающееся на логику и состоящее в выполнении шести арифметических действий. Предположим, что всё купленное сукно было синее. Тогда партия в 138 аршин стоила бы 690 рублей ( 5 ⋅ 138 {\displaystyle 5\cdot 138} ). Но это на 150 рублей ( 690 − 540 {\displaystyle 690-540} ) больше того, что было заплачено в действительности. «Перерасход» в 150 рублей указывает на то, что в партии имелось более дешевое, чёрное, сукно - по 3 рубля за аршин. Этого сукна столько, что из двухрублёвой разницы ( 5 − 3 {\displaystyle 5-3} ) получается 150 «лишних» рублей. То есть, 75 аршин ( 150 / 2 {\displaystyle 150/2} ) чёрного сукна. Теперь можем найти количество сукна синего: 63 аршин ( 138 − 75 {\displaystyle 138-75} ).

«Щёлканье на счётах», выполненное Удодовым, выглядело следующим образом.