Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

В этой статье мы будем учиться решать биквадратные уравнения.

Итак, уравнения какого вида называются биквадратными?
Все уравнения вида ах 4 + bx 2 + c = 0 , гдеа ≠ 0 , являющиеся квадратными относительно х 2 , и называются биквадратными уравнениями. Как видите, эта запись очень похожа на запись квадратного уравнения, поэтому и решать биквадратные уравнения будем используя формулы, которые мы применяли при решении квадратного уравнения.

Только нам необходимо будет ввести новую переменную, то есть обозначим х 2 другой переменной, например, у или t (или же любой другой буквой латинского алфавита).

Например, решим уравнение х 4 + 4х 2 ‒ 5 = 0.

Обозначим х 2 через у (х 2 = у ) и получим уравнение у 2 + 4у – 5 = 0.
Как видите, такие уравнения вы уже умеете решать.

Решаем полученное уравнение:

D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

у 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

у 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

Вернемся к нашей переменной х.

Получили, что х 2 = ‒ 5 и х 2 = 1.

Замечаем, что первое уравнение решений не имеет, а второе дает два решения: х 1 = 1 и х 2 = ‒1. Будьте внимательны, не потеряйте отрицательный корень (чаще всего получают ответ х = 1, а это не правильно).

Ответ: - 1 и 1.

Для лучшего усвоения темы разберем несколько примеров.

Пример 1. Решите уравнение 2х 4 ‒ 5 х 2 + 3 = 0.

Пусть х 2 = у, тогда 2у 2 ‒ 5у + 3 =0.

D = (‒ 5) 2 – 4· 2 · 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

у 1 = (5 – 1)/(2· 2) = 4 /4 =1, у 2 = (5 + 1)/(2· 2) = 6 /4 =1,5.

Тогда х 2 = 1 и х 2 = 1,5.

Получаем х 1 = ‒1, х 2 = 1, х 3 = ‒ √1,5 , х 4 = √1,5.

Ответ: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Пример 2. Решите уравнение 2х 4 + 5 х 2 + 2 = 0.

2у 2 + 5у + 2 =0.

D = 5 2 – 4 · 2 · 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

у 1 = (‒ 5 – 3)/(2 · 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, у 2 = (‒5 + 3)/(2 · 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.

Тогда х 2 = ‒ 2 и х 2 = ‒ 0,5. Обратите внимание, ни одно из этих уравнений не имеет решения.

Ответ: решений нет.

Неполные биквадратные уравнения - это когда b = 0 (ах 4 + c = 0) или же c = 0

(ах 4 + bx 2 = 0) решают как и неполные квадратные уравнения.

Пример 3. Решить уравнение х 4 ‒ 25х 2 = 0

Разложим на множители, вынесем х 2 за скобки и тогда х 2 (х 2 ‒ 25) = 0.

Получим х 2 = 0 или х 2 ‒ 25 = 0, х 2 = 25.

Тогда имеем корни 0; 5 и – 5.

Ответ: 0; 5; – 5.

Пример 4. Решить уравнение 5х 4 ‒ 45 = 0 .

х 2 = ‒ √9 (решений не имеет)

х 2 = √9, х 1 = ‒ 3, х 2 = 3.

Как видите, умея решать квадратные уравнения, вы сможете справиться и с биквадратными.

Если же у вас остались вопросы, записывайтесь на мои уроки. Репетиор Валентина Галиневская.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Представление об уравнениях с двумя переменными впервые формируется в курсе математики за 7 класс. Рассматриваются конкретные задачи, процесс решения которых приводит к такому виду уравнений.

При этом они изучаются довольно поверхностно. В программе главный акцент делается на системах уравнений с двумя неизвестными.

Это стало причиной того, что задачи, в которых на коэффициенты уравнения накладываются определенные ограничения, практически не рассматриваются. Недостаточно внимания уделено методам решения заданий типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах». Известно, что материалы ЕГЭ и билеты вступительных экзаменов часто содержат такие упражнения.

Какие именно уравнения определяются как уравнения с двумя переменными?

ху = 8, 7х + 3у = 13 или х 2 + у = 7 – примеры уравнений с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение х – 4у = 16. Если х = 4, а у = -3, оно будет правильным равенством. Значит, эта пара значений – решение данного уравнения.

Решение любого уравнения с двумя переменными – множество пар чисел (х; у), которые удовлетворяют это уравнение (превращают его в верное равенство).

Часто уравнение преобразовывают так, чтобы из него можно было получить систему для нахождения неизвестных.

Примеры

Решить уравнение: ху – 4 = 4х – у.

В данном примере можно воспользоваться методом разложения на множители. Для этого нужно сгруппировать слагаемые и вынести общий множитель за скобки:

ху – 4 = 4х – у;

ху – 4 – 4х + у = 0;

(ху + у) – (4х + 4) = 0;

у(х + 1) – 4(х + 1) = 0;

(х + 1)(у - 4) = 0.

Ответ: Все пары (х; 4), где х – любое рациональное число и (-1; у), где у – любое рациональное число.

Решить уравнение: 4х 2 + у 2 + 2 = 2(2х - у).

Первый шаг – группирование.

4х 2 + у 2 + 2 = 4х – 2у;

4х 2 + у 2 + 1 - 4х + 2у + 1 = 0;

(4х 2 – 4х +1) + (у 2 + 2у + 1) = 0.

Применив формулу квадрата разности, получим:

(2х - 1) 2 + (у + 1) 2 = 0.

При суммировании двух неотрицательных выражений ноль получится только в том случае, если 2х – 1 = 0 и у + 1 = 0. Отсюда следует: х = ½ и у = -1.

Ответ: (1/2; -1).

Решить уравнение (х 2 – 6х + 10)(у 2 + 10у + 29) = 4.

Рационально применить оценочный метод, выделив полные квадраты в скобках.

((х - 3) 2 + 1)((у + 5) 2 + 4) = 4.

При этом (х - 3) 2 + 1 ≥ 1, а (у + 5) 2 + 4 ≥ 4. Тогда левая часть уравнения всегда не меньше 4. Равенство возможно в случае

(х - 3) 2 + 1 = 1 и (у + 5) 2 + 4 = 4. Следовательно, х = 3, у = -5.

Ответ: (3; -5).

Решить уравнение в целых числах: х 2 + 10у 2 = 15х + 3.

Можно записать это уравнение в таком виде:

х 2 = -10у 2 + 15х + 3. Если правую часть равенства делить на 5, то 3 – остаток. Из этого следует, что х 2 не делится на 5. Известно, что квадрат числа, которое не делится на 5, должен дать в остатке или 1, или 4. Значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: Решений нет.

Не стоит расстраиваться из-за трудностей в поиске верного решения для уравнения с двумя переменными. Упорство и практика обязательно принесут свои плоды.

Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений. Вы сможете быстро получить и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.
Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн , вначале приведите уравнение к общему виду:
ax 2 + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:

Как решить квадратное уравнение

Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.
x 2 + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число 1/2 !
x1=(-В+D 1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D 1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5

Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Пример 2. Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.
х 2 – 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х 2 – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.

X1=(-В+D 1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D 1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1

Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор окажется весьма полезным для вас.
Если материал был полезен, вы можете