Рассматриваем уравнение регрессии вида:

где k - число независимых переменных модели регрессии.

Для каждого момента времени t = 1: n значение определяется по формуле

Изучая последовательность остатков как временной ряд в , можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки должны быть случайными (а). Однако при моделировании временных рядов иногда встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию (б и в) или циклические колебания (г). Это говорит о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предыдущих. В этом случае имеется автокорреляция остатков.

Причины автокорреляции остатков

Автокорреляция остатков может возникать по несколькими причинами:

Во-первых, иногда автокорреляция связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях Y.

Во-вторых, иногда причину следует искать в формулировке модели. В модель может быть не включен фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, но влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными . Зачастую этим фактором является фактор времени t.

Иногда, в качестве существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных , включенных в модель. Либо в модели не учтено несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или циклических колебаний.

Методы определения автокорреляции остатков

Первый метод - это построение графика зависимостей остатков от времени и визуальное определение наличия автокорреляции остатков.

Второй метод — расчет критерия Дарбина — Уотсона

Т.е. Критерий Дарбина — Уотсона определяется как отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к сумме квадратов остатков. Практически во всех задачах по эконометрике значение критерия Дарбина - Уотсона указывается наряду с коэффициентом корреляции, значениями критериев Фишера и Стьюдента

Коэффициент автокорреляции первого порядка определяется по формуле

Соотношение между критерием Дарбина - Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков (r1) первого порядка определяется зависимостью

Т.е. если в остатках существует полная положительная автокорреляция r1 = 1, а d = 0, Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то r1 = - 1, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r1 = 0, d = 2. Следовательно,

Алгоритм выявления автокорреляции остатков по критерию Дарбина - Уотсона

Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков . Альтернативные гипотеэы о наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Затем по таблицам определяются критические значения критерия Дарбина - Уотсона dL и du для заданного числа наблюдений и числа независимых переменных модели при уровня значимости а (обычно 0,95). По этим значениям промежуток разбивают на пять отрезков.

Если расчетное значение критерия Дарбина — Уотсона попадает в зону неопределенности , то подтверждается существование автокорреляции остатков и гипотезу отклоняют

Критерий Дарбина-Уотсона (или статистика DW).

Это наиболее известный критерий обнаружения автокорреляции первого порядка. Статистика Дарбина - Уотсона приводится во всех специальных компьютерных программах как одна из важнейших характеристик качества регрессионной модели.

Сначала по построенному эмпирическому уравнению регрессии

определяются значения отклонений Рассчитывается

статистика

0 положительная автокорреляция;

d t зона неопределенности;

d u - d u - автокорреляция отсутствует;

• 4 - d u
• 4 - d/ отрицательная автокорреляция.

Можно показать, что статистика (2.64) тесно связана с коэффициентом автокорреляции первого порядка:

Связь выражается формулой:

Отсюда вытекает смысл статистического анализа автокорреляции. Поскольку значения г изменяются от -1 до + 1, DW изменяется от 0 до 4. Когда автокорреляция отсутствует, коэффициент автокорреляции равен нулю, и статистика DW равна 2. Статистика DW, равная 0, соответствует положительной автокорреляции, когда выражение в скобках равно нулю (г= +1). При отрицательной автокорреляции (г= - 1), DW= 4 и выражение в скобках равно двум.

Ограничения критерия Дарбина - Уотсона следующие.

• 1. Статистика DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.
• 2. Предполагается, что случайные отклонения определяются по итерационной схеме

• 3. Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (не должно быть пропусков в наблюдениях).
• 4. Критерий Дарбина - Уотсона неприменим к авторегрессионным моделям вида

Для моделей (2.66) предлагается /г-статистика Дарбина:

где р - оценка р первого порядка (2.65);

D(c) - выборочная дисперсия коэффициента при лаговой переменной у, _ ь п - число наблюдений.

При большом п и справедливости нуль-гипотезы Н 0: р = 0 И- статистика имеет стандартное распределение h ~ N{ 0, 1). Поэтому при заданном уровне значимости определяется критическая точка из условия:

и Л-статистика сравнивается с иар.. Если И > иа/ 2 , то нуль-гипотеза об отсутствии автокорреляции должна быть отклонена. В противном случае она не отклоняется.

Обычно значение р рассчитывается в первом приближении по формуле р&1- DIV /2, a D(c) равна квадрату стандартной ошибки т с оценки коэффициента с. Следует отметить, что вычисление /г-статистики невозможно при nD(c) > 1.

Автокорреляция чаще всего вызывается неправильной спецификацией модели. Поэтому следует попытаться скорректировать саму модель, в частности ввести какой-нибудь неучтенный фактор или изменить форму модели, например, с линейной на полулогарифмическую или гиперболическую. Если все эти способы не помогают и автокорреляция вызвана какими-то внутренними свойствами ряда {е,}, можно воспользоваться преобразованием, которое называется авторегрессионной схемой первого порядка AR{ 1).

Рассмотрим /Щ1) на примере парной регрессии:

Тогда соседним наблюдениям согласно (2.68) соответствуют формулы:

Если случайные отклонения определяются выражением (2.65), где коэффициент р известен, то преобразования формул (2.69) и (2.70) дает:

Сделаем в (2.71) замены переменных: получим с учетом выражения (2.65):

Поскольку случайные отклонения у, удовлетворяют предпосылкам МНК, оценки а и b уравнения (2.73) будут обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок. По преобразованным значениям всех переменных с помощью обычного МНК вычисляются оценки параметров а и Ь, которые затем можно использовать в регрессии (2.68).

Однако способ вычисления преобразованных переменных (2.72) приводит к потере первого наблюдения, если нет информации о предшествующих наблюдениях. Это уменьшает на единицу число степеней свободы, что при больших выборках не очень существенно, однако при малых выборках приводит к потере эффективности. Тогда первое наблюдение восстанавливается с помощью поправки Прайса- Уинстена:

Для преобразования /Щ1), а также при введении поправок (2.74) важно оценить коэффициент авторегрессии р. Это делается несколькими способами. Самое простое - оценить р на основе статистики

где г берется в качестве оценки р.

Формула (2.75) хорошо работает при большом числе наблюдений.

Существуют и другие методы оценивания р: метод Кокрена- Оркатта и метод Хилдрета-Лу. Рассмотрим метод Кокрена-Оркатта пошагово:

• 1. Сначала к непреобразованным исходным данным применяется обычный МНК, для которого рассчитываются остатки.
• 2. Затем в качестве приближенного значения коэффициента авторегрессии р берется его МНК-оценка в регрессии (2.65).
• 3. Проводится преобразование исходных переменных по формулам (2.72), и к преобразованным данным применяется МНК для определения новых оценок параметров а и Ь.
• 4. Процедура повторяется, начиная с п. 2.

Процесс обычно заканчивается, когда очередное приближение р мало отличается от предыдущего. Иногда просто фиксируется количество итераций. Такая процедура реализована в большинстве эконометрических компьютерных программ.

где Ду, = у, - у 1, Дх, = х, - х,_ 1 - так называемые первые разности (назад).

Из уравнения (2.76) по МНК оценивается коэффициент Ь. Параметр а здесь не определяется непосредственно, однако из МНК известно, что а = у -Ьх.

В случае р = -1, сложив (2.69) и (2.70) с учетом (2.65), получаем уравнение регрессии.

1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина – Уотсона)

2 вычислить первый коэффициент автокорреляции r(1)

для расчетов подготовим –

∑e 2 (t) = 14,6 - используем Excel fx/математическая/СУММКВ),

∑(e(t)-e(t-1)) 2 = 32,32– используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) – 1 массив кроме 1-го, 2 массив кроме последнего.

d=∑(e(t)-e(t-1)) 2 / ∑e 2 (t) = 32,32/14,6=2,213699

По таблице Значения d-критерия Дарбина – Уотсона определим, что d 1 = 1,08 и d 2 = 1,36

Т.е. наше d=2,213699 ? (1.08;1,36), следовательно нужна дополнительная проверка, найдем d’=4-d=4-2,213699=1,786301, т.е d’ ? (1,36;2)

не выпол-ся доп. Прове-ка выпол-ся d’=4-d

следовательно, свойство независимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.

Для проверки нормального распределения остатков вычислим R/S – статистику

R/S=e max -e min / S e

е max - максимальный уровень ряда остатков,

е min - минимальный уровень ряда остатков,

S- среднеквадратичное отклонение.

е max =2,2333333 используем Excel fx/статистическая/МАКС),

е min =-2,466666667 используем Excel fx/статистическая/МИН),

Se=1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»

Следовательно, R/S=2,2333333 - (-2,466666667)/ 1,444200224=3,254396

Критический интервал (2,7;3,7), т.е R/S=3,254396 ? (2,7;3,7), свойство нормального распределения остатков выполняется.

Подводя итоги проверки можно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е отн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениям определить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)

относит. погр-ти
28,88888889
6,19047619
7,333333333
8,787878788
2,222222222
2,156862745
4,444444444
8,933333333
10,72463768

E отн ср =8,853564 – хороший уровень точности модели

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:

у 10 =1,166666667+2,7*10=28,16666667

у 11 =1,166666667+2,7*11= 30,86666667,

Ожидаемый спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около 28,16666667 млн. руб., а на 11 неделю около 30,86666667 млн. руб.

При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7, равен

t кр (30%;7)=1,119159 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),

S e =1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»,

t’ ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ)- средний уровень по рассматриваемому моменту времени,

∑(t-t’ ср)=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

U 1 =t*Se*√1+1/n+(t*-t’) 2 /∑(t-t’ ср)= 1,119159*1,444200224*√1+1/9+(10-5) 2 /60=1,997788

U 2 =t*Se*√1+1/n+(t*-t’) 2 /∑(t-t’ ср)=1,119159*1,444200224*√1+1/9+(11-5) 2 /60= 2,11426

u ниж =28,16666667-1,997788=26,16888

u верх =28,16666667+1,997788=30,16445

u ниж =30,86666667-2,11426=28,75241

u ниж =30,86666667+2,11426= 32,98093

Спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 26,16888 млн. руб. до 30,16445 млн. руб., а на 11 неделю от 28,75241 млн. руб. до 32,98093 млн. руб.

Строим график:

Ai- расход сырья на единицу продукции; B - общий запас сырья; W - область допустимых ограничений; Тема 2. Метод математического моделирования в экономике. 2.1. Понятие “модель” и “моделирование”. С понятием “моделирование экономических систем” (а также математических и др.) связаны два класса задач: 1) задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее...

Отрезка времени. Как правило, это задача, решение которой влечет за собой постановки близких или аналогичных задач. Глава 2. Экономико-математическое моделирования процессов принятия управленческих решений. В классификации решений по времени действия выражается принцип их цикличности, определенная хронологическая последовательность, временные рамки которой неизбежно должны учитываться в процессе...

Производственной функции, моделей поведения фирмы, моделей общего экономического равновесия, прежде всего модели Л. Вальраса и ее модификаций. Глава 2. История развития экономико-математического моделирования в США Для характеристики математического направления в экономике за последние 80 – 90 лет приведу лишь некоторые результаты, сыгравшие заметную роль в его развитии. Как в теоретическом, ...

Вопросы должны быть получены в ходе маркетинговых и проектно-изыскательских работ на фазе проектирования спортивных сооружений. И уже на этой стадии в процесс активно включаются экономико-математические методы, задействуется существующий аппарат математического моделирования и прогнозирования. Данные методы и расчеты совершенно необходимы для определения: сроков окупаемости отдельных предприятии...

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Отсутствие зависимости гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями, т.е. и, в частности, между соседними отклонениями .

Автокорреляция (последовательная корреляция ) остатков определяется как корреляция между соседними значениями случайных отклонений во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные данные). Она обычно встречается во временных рядах и очень редко – в пространственных данных.

Возможны следующие случаи :

Эти случаи могут свидетельствовать о возможности улучшить уравнение путём оценивания новой нелинейной формулы или включения новой объясняющей переменной.

В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, чем отрицательная автокорреляция.

Если же характер отклонений случаен , то можно предположить, что в половине случаев знаки соседних отклонений совпадают, а в половине – различны.

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени .

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Для обнаружения автокорреляции используют либо графический метод. Либо статистические тесты.

Графический метод заключается в построении графика зависимости ошибок от времени (в случае временных рядов) или от объясняющих переменных и визуальном определении наличия или отсутствия автокорреляции.

Наиболее известный критерий обнаружения автокорреляции первого порядка – критерий Дарбина-Уотсона . Статистика DW Дарбина-Уотсона приводится во всех специальных компьютерных программах как одна из важнейших характеристик качества регрессионной модели.

Сначала по построенному эмпирическому уравнению регрессии определяются значения отклонений . А затем рассчитывается статистика Дарбина-Уотсона по формуле:

.

Статистика DW изменяется от 0 до 4. DW =0 соответствует положительной автокорреляции, при отрицательной автокорреляции DW =4 . Когда автокорреляция отсутствует , коэффициент автокорреляции равен нулю, и статистика DW = 2 .

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий.

Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков . Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона (- нижняя граница признания положительной автокорреляции) и (-верхняя граница признания отсутствия положительной автокорреляции) для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:

– положительная автокорреляция, принимается ;

– зона неопределенности;

– автокорреляция отсутствует;

– зона неопределенности;

– отрицательная автокорреляция, принимается .

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу .

Можно показать, что статистика DW тесно связана с коэффициентом автокорреляции первого порядка:

Связь выражается формулой: .

Значения r изменяются от –1 (в случае отрицательной автокорреляции) до +1 (в случае положительной автокорреляции). Близость r к нулю свидетельствует об отсутствии автокорреляции.

При отсутствии таблиц критических значений DW можно использовать следующее «грубое» правило: при достаточном числе наблюдений (12-15), при 1-3 объясняющих переменных, если , то отклонения от линии регрессии можно считать взаимно независимыми.

Либо применить к данным уменьшающее автокорреляцию преобразование (например автокорреляционное преобразование или метод скользящих средних).

Существует несколько ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона.

1. Критерий DW применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.

2. Предполагается, что случайные отклонения определяются по итерационной схеме

,

3. Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (не должно быть пропусков в наблюдениях).

4. Критерий Дарбина – Уотсона не применим к авторегрессионным моделям, которые содержат в числе факторов также зависимую переменную с временным лагом (запаздыванием) в один период.

,

где – оценка коэффициента автокорреляции первого порядка, D(c) – выборочная дисперсия коэффициента при лаговой переменной y t -1 , n – число наблюдений.

Обычно значение рассчитывается по формуле , а D(c) равна квадрату стандартной ошибки S c оценки коэффициента с .

В случае наличия автокорреляции остатков полученная формула регрессии обычно считается неудовлетворительной. Автокорреляция ошибок первого порядка говорит о неверной спецификации модели. Поэтому следует попытаться скорректировать саму модель. Посмотрев на график ошибок, можно поискать другую (нелинейную) формулу зависимости, включить неучтённые до этого факторы, уточнить период проведения расчётов или разбить его на части.

Если все эти способы не помогают и автокорреляция вызвана какими–то внутренними свойствами ряда {e i }, можно воспользоваться преобразованием, которое называется авторегрессионной схемой первого порядка AR(1 ). (Авторегрессией это преобазование называется потому, что значение ошибки определяется значением той же самой величины, но с запаздыванием.Т.к. максимальное запаздывание равно 1, то это авторегрессияпервого порядка).

Формула AR(1 ) имеет вид: . .

Где -коэффициент автокорреляции первого порядка ошибок регрессии.

Рассмотрим AR(1) на примере парной регрессии:

.

Тогда соседним наблюдениям соответствует формула:

(1),

(2).

Умножим (2) на и вычтем из (1):

Сделаем замены переменных

получим с учетом :

(6) .

Поскольку случайные отклонения удовлетворяют предпосылкам МНК, оценки а * и b будут обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок. По преобразованным значениям всех переменных с помощью обычного МНК вычисляются оценки параметров а* и b , которые затем можно использовать в регрессии.

Т.о. если остатки по исходному уравнению регрессии автокоррелированы, то для оценки параметров уравнения используют следующие преобразования:

1) Преобразовать исходные переменные у и х к виду (3), (4).

2) Обычным МНК для уравнения (6) определить оценки а * и b.

4) Записать исходное уравнение (1) с параметрами а и b (где а - из п.3, а b берётся непосредственно из уравнения (6)).

Для преобразования AR(1) важно оценить коэффициент автокорреляции ρ . Это делается несколькими способами. Самое простое – оценить ρ на основе статистики DW :

,

где r берется в качестве оценки ρ . Этот метод хорошо работает при большом числе наблюдений.

В случае, когда есть основания считать, что положительная автокорреляция отклонений очень велика (), можно использовать метод первых разностей (метод исключения тенденции) , уравнение принимает вид

.

Из уравнения по МНК оценивается коэффициент b . Параметр а здесь не определяется непосредственно, однако из МНК известно, что .

В случае полной отрицательной автокорреляции отклонений ()

Получаем уравнение регрессии:

или .

Вычисляются средние за 2 периода, а затем по ним рассчитывают а и b . Данная модель называется моделью регрессии по скользящим средним .

Критерий Дарбина-Уотсона применяют для обнаружения автокорреляции , подчиняющейся авторегрессионному процессу 1-го порядка. Предполагается, что величина остатков е t в каждом t-м наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если коэффициент автокорреляции ρ положительный, то автокорреляция положительна, если ρ отрицательный, то автокорреляция отрицательна. Если ρ = 0, то автокорреляция отсутствует (т.е. четвертая предпосылка нормальной линейной модели выполняется).
Критерий Дарбина-Уотсона сводится к проверке гипотезы:

• Н 0 (основная гипотеза): ρ = 0
• Н 1 (альтернативная гипотеза): ρ > 0 или ρ
  Для проверки основной гипотезы используется статистика критерия Дарбина-Уотсона – DW:

  Где e i = y - y(x)

  Проводится с помощью трех калькуляторов:

  1. Уравнение тренда (линейная и нелинейная регрессия)

  Рассмотрим третий вариант. Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b
  1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов через онлайн сервис Уравнение тренда .
  Система уравнений
  
  Для наших данных система уравнений имеет вид
  
  Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
  Получаем a 0 = -12.78, a 1 = 26763.32
  Уравнение тренда
  y = -12.78 t + 26763.32
  Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
  
  
  Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
  Средние значения
  
  
  
  Дисперсия
  
  
  Среднеквадратическое отклонение
  
  

  Индекс детерминации
  
  , т.е. в 97.01% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.

  t	y	t 2	y 2	t ∙ y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t)) 2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
  1990	1319	3960100	1739761	2624810	1340.26	18117.16	451.99	148.84	28041.86
  1996	1288	3984016	1658944	2570848	1263.61	10732.96	594.99	38.44	31417.53
  2001	1213	4004001	1471369	2427213	1199.73	817.96	176.08	1.44	16095.92
  2002	1193	4008004	1423249	2388386	1186.96	73.96	36.54	0.04	7211.59
  2003	1174	4012009	1378276	2351522	1174.18	108.16	0.03	0.64	210.94
  2004	1159	4016016	1343281	2322636	1161.4	645.16	5.78	3.24	2786.55
  2005	1145	4020025	1311025	2295725	1148.63	1552.36	13.17	7.84	4155.05
  2006	1130	4024036	1276900	2266780	1135.85	2959.36	34.26	14.44	6614.41
  2007	1117	4028049	1247689	2241819	1123.08	4542.76	36.94	23.04	6789.19
  2008	1106	4032064	1223236	2220848	1110.3	6146.56	18.51	33.64	4758.73
  20022	11844	40088320	14073730	23710587	11844	45696.4	1368.3	271.6	108081.77

  Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда .

  y	y(x)	e i = y-y(x)	e 2	(e i - e i-1) 2
  1319	1340.26	-21.26	451.99	0
  1288	1263.61	24.39	594.99	2084.14
  1213	1199.73	13.27	176.08	123.72
  1193	1186.96	6.04	36.54	52.19
  1174	1174.18	-0.18	0.03	38.75
  1159	1161.4	-2.4	5.78	4.95
  1145	1148.63	-3.63	13.17	1.5
  1130	1135.85	-5.85	34.26	4.95
  1117	1123.08	-6.08	36.94	0.05
  1106	1110.3	-4.3	18.51	3.15
  			1368.3	2313.41

  
  
  Критические значения d 1 и d 2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
  Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
  d 1 < DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .

  Пример . По данным за 24 месяца построено уравнение регрессии зависимости прибыли сельскохозяйственной организации от производительности труда (x1): y = 300 + 5x .
  Получены следующие промежуточные результаты:
  ∑ε 2 = 18500
  ∑(ε t - ε t-1) 2 = 41500
  Рассчитайте критерий Дарбина-Уотсона (при n=24 и k=1 (число факторов) нижнее значение d = 1,27, верхнее d = 1,45. Сделайте выводы.

  Решение.
  DW = 41500/18500 = 2,24
  d 2 = 4- 1,45 =2,55
  Поскольку DW > 2,55, то следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества полученного уравнения регрессии y = 300 + 5x .