Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

Объект исследования.

Исследования касаются одного из наиболее интересных разделов теории чисел - решения уравнений в целых числах.

Предмет исследования.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач и не достаточно глубоко представлена в школьном курсе математики. В своей работе я представлю достаточно полный анализ уравнений в целых числах, классификацию данных уравнений по способам их решения, описание алгоритмов их решения, а также практические примеры применения каждого способа для решения уравнений в целых числах.

Цель.

Познакомиться со способами решения уравнений в целых числах.

Задачи:

Изучить учебную и справочную литературу;

Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

Разобрать алгоритмы решения уравнений данного вида;

Описать способы решения;

Рассмотреть примеры решения уравнений с применением данных способов.

Гипотеза:

Столкнувшись с уравнениями в целых числах в олимпиадных заданиях, я предположила, что трудности в их решении обусловлены тем, что далеко не все способы их решения мне известны.

Актуальность:

Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, я заметила, что часто встречаются задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Кроме того олимпиадные задания различных уровней также содержат уравнения в целых числах или задачи, которые решаются с применением умений решать уравнения в целых числах. Важность знания способов решения уравнений в целых числах и определяет актуальность моих исследований.

Методы исследования

Теоретический анализ и обобщение сведений научной литературы об уравнениях в целых числах.

Классификация уравнений в целых числах по методам их решения.

Анализ и обобщение методов решения уравнений в целых числах.

Результаты исследования

В работе описаны способы решений уравнений, рассмотрен теоретический материал теоремы Ферма, теорема Пифагора, алгоритма Евклида, представлены примеры решений задач и уравнений различных уровней сложности.

2.История уравнений в целых числах

Диофант - ученый - алгебраист Древней Греции, по некоторым данным он жил до 364 года н. э. Он специализировался на решении задач в целых числах. Отсюда и пошло название Диофантовы уравнения. Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.«Арифметика» Диофанта — это сборник задач, каждая включает в себя решение и необходимое пояснение. В собрание входят разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофанта интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения.

Для решения уравнений в целых числах применяется теорема Ферма. История доказательства которой достаточно интересная. Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств.

Замечательный французский математик Пьер Ферма высказал утверждение, что уравнение при целом n ≥ 3 не имеет решений в целых положительных числах x, y, z (xyz = 0 исключается положительностью x, y, z.Для случая n = 3 эту теорему в X веке пытался доказать среднеазиатский математик ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось. Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4.

Эйлер в 1770 доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5,Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением 37, 59, 67.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение

при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан в сентябре 1994 года Уайлсом. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «AnnalsofMathematics». Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.‑П.Серра.).Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел; с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора пробел удалось достаточно быстро ликвидировать. В 1995 году был опубликован завершающий вариант. 15 марта 2016 года Эндрю Уайлз получает премию Абеля. В настоящее время премия составляет 6 миллионов норвежских крон, то есть примерно 50 миллионов рублей. По словам Уайлса, присуждение премии стало для него «полной неожиданностью».

3.Линейные уравнения в целых числах

Линейные уравнения - самые простые из всех диофантовых уравнений.

Уравнение вида ах=b, где a и b - некоторые числа, а х- неизвестная переменная, называется линейным уравнением с одной неизвестной. Здесь требуется найти только целые решения уравнения. Можно заметить, что если а ≠ 0, то целочисленное решение уравнение будет иметь только в том случае, когда b нацело делится на а и это решение х= b/ф. Если же а=0, то целочисленное решение уравнение будет иметь тогда, когда b=0 и в этом случае х любое число.

т.к. 12 нацело делится на 4, то

Т.к. а=о и b=0, то х любое число

Т.к. 7 нацело не делится на 10, то решений нет.

4. Способ перебора вариантов .

В способе перебора вариантов необходимо учитывать признаки делимости чисел, рассмотреть все возможные варианты равенства конечного перебора. Этот способ можно применить решая данные задачи:

№1 Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решением уравнения 49x+69y=602

Выражаем из уравнения х =,

Т.к. x и y натуральные числа, то х = ≥ 1, умножаем все уравнение на 49, чтобы избавиться от знаменателя:

Переносим 602 в левую сторону:

51y ≤ 553, выражаем y, y= 10

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются x=5, y=7.

Ответ:(5,7).-

№2 Решить задачу

Из цифр 2, 4, 7 следует составить трёхзначное число, в котором ни одна цифра не может повторяться более двух раз.

Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - их 8.

Аналогично находим все трехзначные цифры начинающиеся с цифр 4 и 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - их тоже по 8 чисел. Следует всего 24 числа.

Ответ: 24 числа.

5. Цепная дробь и алгоритм Евклида

Цепной дробью называется выражение обыкновенной дроби в виде

где q 1 - целое число, а q 2 , … ,qn - натуральные числа. Такое выражение называется цепной (конечной непрерывной) дробью. Различают конечные и бесконечные цепные дроби.

Для рациональных чисел цепная дробь имеет конечный вид. Кроме того, последовательность a i — это ровно та последовательность частных, которая получается при применении алгоритма Евклида к числителю и знаменателю дроби.

Решая уравнения цепной дробью, я составила общий алгоритм действий для данного способа решения уравнений в целых числах.

Алгоритм

1) Составить отношение коэффициентов при неизвестных в виде дроби

2) Преобразовать выражение в неправильную дробь

3) Выделить целую часть неправильной дроби

4) Правильную дробь заменить равной ей дробью

5) Проделать 3,4 с полученной в знаменателе неправильной дробью

6) Повторять 5 до конечного результата

7) У полученного выражения отбросить последнее звено цепной дроби, превратить получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычесть ее из исходной дробь.

Пример №1 Решить в целых числах уравнение 127x- 52y+ 1 = 0

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби; = 2 +

Правильную дробь заменим равной ей дробью.

Откуда = 2+

Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью.

Теперь исходная дробь примет вид: .Повторяя те же рассуждения для дроби получим Выделяя целую часть неправильной дроби, придем к окончательному результату:

Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби:

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его.

Откуда 127∙9-52∙22+1=0. Из сопоставления полученного равенства с уравнением 127x- 52y+1 = 0 следует, что тогда x= 9, y= 22 - решение исходного уравнения, и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях x= 9+ 52t, y= 22+ 127t, где t=(0; ±1; ±2…..).Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения ax+by+c=0 надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепную дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были приведены выше.

Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей.

Рассмотрим несократимую дробь. Обозначим через q 1 частное и через r 2 остаток от деления a на b. Тогда получим:

Тогда b=q 2 r 2 +r 3 ,

Точно так же

r 2 =q 3 r 3 +r 4 , ;

r 3 =q 4 r 4 +r 5 ,;

………………………………..

Величины q 1 , q 2 ,… называются неполными частными. Приведенный выше процесс образования неполных частных называется алгоритмом Евклида . Остатки от деления r 2 , r 3 ,…удовлетворяют неравенствам

т.е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел.

Пример№2 Решить уравнение170х+190у=3000 в целых числах

После сокращения на 10 уравнение выглядит так,

Для нахождения частного решения воспользуемся разложением дроби в цепную дробь

Свернув предпоследнюю подходящую к ней дробь в обыкновенную

Частное решение данного уравнения имеет вид

Х 0 = (-1)4300∙9=2700, y 0 =(-1)5300∙8=-2400,

а общее задается формулой

х=2700-19k, y= -2400+17k.

откуда получаем условие на параметр k

Т.е. k=142, x=2, y=14. .

6. Метод разложения на множители

Метод перебора вариантов неудобный способ, так как бывают случаи когда найти перебором всецелые решения, невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Метод разложения на множители очень интересный прием и встречается он как и в элементарной математике так и в высшей.

Суть состоит в тождественном преобразовании. Смысл любого тождественного преобразования - это запись выражения в другом виде с сохранением его сути. Рассмотрим примеры применения данного метода.

№1 Решить уравнение в целых числах y 3 - x 3 = 91.

Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

Выписываем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Замечаем, что для любых целых x и y число

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности систем уравнений:

Решив системы, отбираем те корни, которые являются целыми числами.

Получаем решения исходного уравнения: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4;3).

Ответ: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению х 2 -у 2 = 69

Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что х-у > 0, получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

Выразив одну переменную и подставив ее в второе уравнение находим корни уравнений.Первая система имеет решение x=35;y=34 , а вторая система имеет решение x=13, y=10.

Ответ: (35; 34), (13; 10).

№3 Решить уравнение х+у =ху в целых числах:

Запишем уравнение в виде

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.Ответ: (2; 2), (0; 0).

№4 Доказать, что уравнение (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 не имеет решений в целых числах.

Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

7. Метод остатков

Основная задача метода - находить остаток от деления обоих частей уравнения на целое число, на основе полученных результатов. Часто полученная информация уменьшает возможности множеств решений уравнения. Рассмотрим примеры:

№1 Доказать, что уравнение x 2 = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.

Доказательство.

Рассмотрим случай, когда x, y ∈ N. Рассмотрим остатки от деления обоих частей на 3. Правая часть уравнения дает остаток 2 при делении на 3 при любом значении y. Левая же часть, которая является квадратом натурального числа, при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1. Исходя из этого получаем, что решения данного уравнения в натуральных числах нет.

Рассмотрим случай, когда одно из чисел равно 0. Тогда очевидно, решений в целых числах нет.

Случай, когда y - целое отрицательное не имеет решений, т.к. правая часть будет отрицательна, а левая - положительна.

Случай, когда x - целое отрицательное, также не имеет решений, т.к. попадает под один из рассмотренных ранее случаев ввиду того, что (-x) 2 = (x) 2 .

Получается, что указанное уравнение не имеет решений в целых числах, что и требовалось доказать.

№2 Решите в целых числах 3 х = 1 + y 2 .

Не сложно заметить, что (0; 0) — решение данного уравнения. Остаётся доказать, что других целых корней уравнение не имеет.

Рассмотрим случаи:

1) Если x∈N, y∈N, то З делится на три без остатка, а 1 + y 2 при делении на 3 дает

остаток либо 1, либо 2. Следовательно, равенство при натуральных

значениях х, у невозможно.

2) Если х— целое отрицательное число,y∈Z , тогда 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

равенство также невозможно. Следовательно, (0; 0) — единственное

Ответ: (0; 0).

№3 Решить уравнение 2х 2 -2ху+9х+у=2 в целых числах:

Выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени, то есть переменную у:

2х 2 +9х-2=2ху-у, откуда

Выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:

Очевидно, разность 2х-1 может принимать только значения -3, -1, 1 и 3.

Осталось перебрать эти четыре случая, в результате чего получаем решения: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8.Пример решения уравнений с двумя переменными в целых числах как квадратных относительно одной из переменных

№1 Решить в целых числах уравнение 5х 2 +5у 2 + 8ху+2у-2х +2=0

Данное уравнение можно решить методом разложения на множители, однако этот способ применительно к данному уравнению достаточно трудоёмкий. Рассмотрим более рациональный способ.

Запишем уравнение в виде квадратного относительно переменной х:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Находим его корни.

Данное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда дискриминант

этого уравнения равен нулю, т.е. - 9(у+1) 2 =0, отсюда у= - 1.

Если у= -1,то х= 1.

Ответ: (1; — 1).

9.Пример решения задач с помощью уравнений в целых числах.

№ 1. Решить в натуральных числах уравнение : где n>m

Выразим переменную n через переменную m:

Найдем делители числа 625: это 1; 5; 25; 125; 625

1) если m-25 =1, то m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, то m=30, n=150

3) m-25 =25, то m=50, n=50

4) m-25 =125, то m=150, n=30

5) m-25 =625, то m=650, n=26

Ответ: m=150, n=30

№ 2. Решить уравнение в натуральных числах: mn +25 = 4m

Решение: mn +25 = 4m

1) выразим переменную 4m через n:

2) найдем натуральные делители числа 25: это 1; 5; 25

если 4-n =1, то n=3, m=25

4-n=5, то n=-1, m=5; 4-n =25, то n=-21, m=1 (посторонние корни)

Ответ: (25;3)

Помимо заданий решить уравнение в целых числах, встречаются задания на доказательство того факта, что уравнение не имеет целых корней.

При решении таких задач, необходимо помнить следующие свойства делимости:

1) Если n Z; n делится на 2, то n = 2k, k ∈ Z.

2) Если n ∈ Z; n не делится на 2, то n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Если n ∈ Z; n делится на 3, то n = 3k, k ∈ Z.

4) Если n ∈ Z; n не делится на 3, то n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Если n ∈ Z; n не делится на 4, то n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Если n ∈ Z; n(n+1) делится на 2, то n (n+1)(n+2) делится на 2;3;6.

7) n; n+1 - взаимно простые.

№3 Доказать, что уравнение x 2 - 3у = 17 не имеет целых решений.

Доказательство:

Пусть x; y - решения уравнения

x 2 = 3(у+6)-1 Т.к. y ∈ Z то y+6 ∈ Z , значит 3(y+6) делится на 3, следовательно, 3(y+6)-1 не делится на 3, следовательно, x 2 не делится на 3, следовательно, x не делится на 3, значит x = 3k±1, k ∈ Z.

Подставим это в исходное уравнение.

Получили противоречие. Значит у уравнения нет целых решений, что и требовалось доказать.

10.Формула Пика

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году. Формула связанна с уравнениями в целых числах тем, что из многоугольников берут только целые узлы, как и целые числа в уравнениях.

При помощи этой формулы можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник).

В этой формуле будем находить целые точки внутри многоугольника и на его границе.

В задачах, которые будут на ЕГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки это один квадратный сантиметр.

Пример№1

М - количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N - количество узлов внутри треугольника.

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий. Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

Пример №2

Найдём площадь многоугольника: Отметим узлы:

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

12.Метод спуска

Один из методов решений уравнений в целых числах - метод спуска - опирается на теорему Ферма.

Методом спуска называется метод, который заключается в построении одного решения бесчисленной последовательности решений с неограниченно убывающим положительным z.

Алгоритм этого метода рассмотрим на примере решения конкретного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение в целых числах 5x + 8y = 39.

1) Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем случае это х), и выразим его через другое неизвестное:

2) Выделим целую часть: Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 - 3y без остатка делится на 5.

3) Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 -3y = 5z. В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами.

4) Решаем его уже относительно переменной y, рассуждая точно также как в п.1, 2: Выделяя целую часть, получим:

5) Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную u: 3u = 1 - 2z.

6) Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z: . Требуя, чтобы было целым, получим: 1 - u = 2v, откуда u = 1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен (процесс продолжаем до тез пор, пока в выражении для очередной переменной не останется дробей).

7) Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x:

8) Формулы x = 3+8v и y = 3 - 5v, где v - произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

Таким образом, метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.

12.Заключение

В результате исследования подтвердилась гипотеза о том, что трудности при решении уравнений в целых числах обусловлены тем, что далеко не все способы их решения были мне известны. В ходе исследований мне удалось отыскать и описать малоизвестные способы решения уравнений в целых числах, проиллюстрировать их примерами. Результаты моих исследований могут быть полезны всем ученикам, интересующимся математикой.

13.Библиография

Книжные ресурсы:

1. Н. Я. Виленкин и др., Алгебра и математический анализ/10класс, 11 класс// М., «Просвещение», 1998 год;

2. А. Ф. Иванов и др., Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к экзамену// Воронеж, ГОУВПО ВГТУ, 2007 год

3. А. О. Гельфонд, Математика, теория чисел// Решение уравнений в целых числах// Книжный дом «ЛИБРОКОМ»

Ресурсы сети интернет:

4. Демонстрационные варианты контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике http://fipi.ru/

5. Примеры решений уравнений в целых числахhttp://reshuege.ru

6. Примеры решений уравнений в целых числахhttp://mat-ege.ru

7.История Диофантовых уравнений http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. История Диофанта http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85-%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.История Диофантовых уравненийhttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. История Диофанта http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными , но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.

Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?

Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.

Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.

Уравнение с двумя неизвестными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение x 2 + 5y 2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);

б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

в) не иметь решений. Например, уравнение x 2 + y 2 + 1 = 0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.

Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.

Разложение на множители

Пример 1.

Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.

Решение.

Группируем слагаемые с целью разложения на множители:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:

y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.

Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.

Равенство нулю неотрицательных чисел

Пример 2.

Решить уравнение: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Решение.

Группируем:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.

А значит, x = 2/3 и y = 3/2.

Ответ: (2/3; 3/2).

Оценочный метод

Пример 3.

Решить уравнение: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Решение.

В каждой скобке выделим полный квадрат:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Оценим значение выражений, стоящих в скобках.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:

(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y – 2) 2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.

Ответ: (-1; 2).

Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной .

Пример 4.

Решить уравнение: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Решение.

Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.

Ответ: (3; 4).

Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные .

Пример 5.

Решить уравнение в целых числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Решение.

Перепишем уравнение в виде x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x 2 не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.

Ответ: нет корней.

Пример 6.

Решить уравнение: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Решение.

Выделим полные квадраты в каждой скобке:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.

Ответ: (2; -3) и (-2; -3).

Пример 7.

Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.

Решение.

Выделим полные квадраты:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:

(x – y) 2 = 36 и (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.

Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Ответ: -17.

Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Введение

Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики. Идеи решения первых двух задач принадлежат швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783). Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные. Анализ дополнительной математической литературы показывает, что подобные задания достаточно часто встречаются в олимпиадах по математике разных лет и различных уровней, а также в задании 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень). В то же время в школьном курсе математики данная тема практически не рассматривается, поэтому школьники, участвуя в математических олимпиадах или сдавая профильный ЕГЭ по математике, обычно сталкиваются со значительными трудностями при выполнении подобного рода заданий. В связи с этим целесообразно выделить систему основных методов решения уравнений в целых числах, тем более что в изученной математической литературе этот вопрос явно не оговаривается. Описанная проблема определила цель данной работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;

2) Обозначить методы решения уравнений в целых числах и выделить преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрировать примерами;

4) Составить несколько тренировочных заданий по данной теме;

5) Применяя разработанные задания, определить степень готовности учащихся девятых классов МБОУ СОШ №59 к решению подобного рода задач и сделать практические выводы.

Основная часть

Анализ разнообразной математической литературы показывает, что среди методов решения уравнений в целых числах в качестве основных можно выделить следующие:

1. Представление уравнения в виде произведения нескольких множителей, равного некоторому целому числу;
2. Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу;
3. Использование свойств делимости, факториалов и точных квадратов;
4. Использование Малой и Великой теорем Ферма;
5. Метод бесконечного спуска;
6. Выражение одной неизвестной через другую;
7. Решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных;
8. Рассмотрение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое число.

Сразу же нужно оговорить, что мы понимаем под основными методами решения уравнений. Основными будем называть наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов. Кроме того, причём в подавляющем большинстве случаев, применяют их различные сочетания, то есть проводят комбинирование нескольких методов.
В качестве примера сочетания методов рассмотрим уравнение, предлагавшееся на ЕГЭ по математике в 2013 году (задание С6).

Задача. Решить в натуральных числах уравнение n ! + 5n + 13 = k 2 .

Решение. Заметим, что оканчивается нулём при n > 4. Далее, при любых n ∈ N оканчивается либо цифрой 0, либо цифрой 5. Следовательно, при n > 4 левая часть уравнения оканчивается либо цифрой 3, либо цифрой 8. Но она же равна точному квадрату, который не может оканчиваться этими цифрами. Поэтому нужно перебрать только четыре варианта: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.

Значит, уравнение имеет единственное натуральное решение n = 2, k = 5.

В этой задаче использовались свойства точных квадратов, свойства факториалов, и остатки от деления обеих частей уравнения на 10.

Задача 1. n 2 - 4y ! = 3.

Решение. Сначала перепишем исходное уравнение в виде n 2 = 4y ! + 3. Если посмотреть на это соотношение с точки зрения теоремы о делении с остатком, то можно заметить, что точный квадрат, стоящий в левой части уравнения, даёт при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Действительно, любое целое число представимо в одном из следующих четырёх видов:

Таким образом, точный квадрат при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ключевая идея – применение свойств точных квадратов.

Задача 2. 8z 2 = (t !) 2 + 2.

Решение. Непосредственная проверка показывает, что t = 0 и t = 1 не являются решениями уравнения. Если t > 1, то t ! является чётным числом, то есть, оно представимо в виде t ! = 2s . В таком случае уравнение можно преобразовать к виду 4z 2 = 2s 2 + 1. Однако, полученное уравнение заведомо не имеет решений, ибо в левой части стоит чётное число, а в правой – нечётное.

Ключевая идея – применение свойств факториалов.

Задача 3. Решить в целых числах уравнение x 2 + y 2 – 2x + 6y + 5 = 0.

Решение. Исходное уравнение можно переписать следующим образом: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.

Из условия следует, что (x – 1), (y + 3) – целые числа. Следовательно, данное уравнение эквивалентно следующей совокупности:

Теперь можно выписать всевозможные целые решения уравнения.

Задача 4. Решить в целых числах уравнение zt + t – 2z = 7.

Решение. Исходное уравнение можно преобразовать к виду (z + 1) (t – 2) = 5. Числа (z + 1), (t – 2) являются целыми, поэтому имеют место следующие варианты:

Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения.

Ключевая идея – представление уравнения в виде произведения, равного целому числу.

Задача 5. Решить в целых числах уравнение n (n + 1) = (2k + 1)‼

Решение. Число (2k + 1)‼ нечётно при всех неотрицательных значениях k согласно определению (при отрицательных k оно вообще не определено). С другой стороны, оно равно числу n (n + 1), которое чётно при всех целых значениях k . Противоречие.

Ключевая идея – использование чётности/нечётности частей уравнения.

Задача 6. Решить в целых числах уравнение xy + x + 2y = 1.

Решение. Путём преобразований уравнение можно свести к следующему:

Данное преобразование не изменило ОДЗ неизвестных, входящих в уравнение, так как подстановка y = –1 в первоначальное уравнение приводит к абсурдному равенству –2 = 1. Согласно условию, x – целое число. Иначе говоря, тоже целое число. Но тогда число обязано быть целым. Дробь является целым числом тогда и только тогда, когда числитель делится на знаменатель. Делители числа 3: 1,3 –1, –3. Следовательно, для неизвестной возможны четыре случая: y = 0, y = 2, y = –2, y = –4. Теперь можно вычислить соответствующие значения неизвестной x . Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).

Ключевая идея – выражение одной неизвестной через другую.

Задача 7. m = n 2 + 2.

Решение. Если m = 0, то уравнение примет вид n 2 = –1. Оно не имеет целых решений. Если m < 0, то левая часть уравнения, а значит, и n , не будет являться целым числом. Значит, m > 0. Тогда правая часть уравнения (как и левая) будет кратна 5. Но в таком случае n 2 при делении на 5 должно давать остаток 3, что невозможно (это доказывается методом перебора остатков, который был изложен при решении задачи 1). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ключевая идея – нахождение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число.

Задача 8. Решить в целых числах уравнение (x !) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .

Решение. Заметим, что в силу чётности показателей степеней уравнение эквивалентно следующему: (x !) 4 + |y – 1| 4 = |z + 1| 4 . Тогда x !, |y – 1|, |z + 1| – натуральные числа. Однако, согласно Великой теореме Ферма, эти натуральные числа не могут удовлетворять исходному уравнению. Таким образом, уравнение неразрешимо в целых числах.

Ключевая идея – использование Великой теоремы Ферма.

Задача 9. Решить в целых числах уравнение x 2 + 4y 2 = 16xy .

Решение. Из условия задачи следует, что x – чётное число. Тогда x 2 = 4x 1 2 . Уравнение преобразуется к виду x 1 2 + y 2 = 8x 1 y . Отсюда вытекает, что числа x 1 , y имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая.

1 случай . Пусть x 1 , y – нечётные числа. Тогда x 1 = 2t + 1, y = 2s + 1. Подставляя эти выражения в уравнение, получим:

Выполним соответствующие преобразования:

Сокращая обе части полученного уравнения на 2, получим?

В левой части стоит нечётное число, а в правой – чётное. Противоречие. Значит, 1 случай невозможен.

2 случай . Пусть x 1 , y – чётные числа. Тогда x 1 = 2x 2 + 1, y = 2y 1 . Подставляя эти значения в уравнение, получим:

Таким образом, получилось уравнение, точно такое же, как на предыдущем шаге. Исследуется оно аналогично, поэтому на следующем шаге получим уравнение и т.д. Фактически, проводя эти преобразования, опирающиеся на чётность неизвестных, мы получаем следующие разложения: . Но величины n и k не ограничены, так как на любом шаге (со сколь угодно большим номером) будем получать уравнение, эквивалентное предыдущему. То есть, данный процесс не может прекратиться. Другими словами, числа x , y бесконечно много раз делятся на 2. Но это имеет место, только при условии, что x = y = 0. Итак, уравнение имеет ровно одно целое решение (0; 0).

Ключевая идея – использование метода бесконечного спуска.

Задача 10. Решить в целых числах уравнение 5x 2 – 3xy + y 2 = 4.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде 5x 2 – (3x )y + (y 2 – 4) = 0. Его можно рассмотреть как квадратное относительно неизвестной x . Вычислим дискриминант этого уравнения:

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы , то есть Отсюда имеем следующие возможности для y : y = 0, y = 1, y = –1, y = 2, y = –2.

Итак, уравнение имеет ровно 2 целых решения: (0;2), (0;–2).

Ключевая идея – рассмотрение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных.

Составленные автором задачи были использованы при проведении эксперимента, который состоял в следующем. Всем учащимся девятых классов были предложены разработанные задания с целью выявления уровня подготовки детей по данной теме. Каждому из учеников необходимо было предложить метод нахождения целочисленных решений уравнений. В эксперименте приняли участие 64 ученика. Полученные результаты представлены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

Номер задания	Количество учащихся, справившихся с заданием (в процентах)

Данные показатели говорят о том, что уровень подготовки учащихся девятых классов по данной теме очень низкий. Поэтому целесообразной представляется организация спецкурса «Уравнения в целых числах», который будет направлен на усовершенствование знаний учеников в данной области. Прежде всего, это ученики, которые систематически участвуют в математических конкурсах и олимпиадах, а также планируют сдавать профильный ЕГЭ по математике.

Выводы

В ходе выполнения данной работы:

1) Проанализированы олимпиадные материалы, а также материалы ЕГЭ по математике;

2) Обозначены методы решения уравнений в целых числах и выделены преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрированы примерами;

4) Составлены тренировочные задания для учащихся девятых классов;

5) Поставлен эксперимент по выявлению уровня подготовки по данной теме учащихся девятых классов;

6) Проанализированы результаты эксперимента и сделаны выводы о целесообразности изучения уравнений в целых числах на математическом спецкурсе.

Результаты, полученные в ходе данного исследования, могут быть использованы при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ по математике, а также при проведении занятий математического кружка.

Список литературы

1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1983 – 64 с.

2. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ – М.: МЦНМО, 2009 – 336 с.

3. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 303 с., илл.

4. Далингер В.А. Задачи в целых числах – Омск: Амфора, 2010 – 132 с.

5. Гастев Ю. А., Смолянский М. Л. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант, август 1972.

Глоссарий

Метод бесконечного спуска – метод, разработанный французским математиком П.Ферма (1601–1665), заключающийся в получении противоречия путём построения бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел. Разновидность метода доказательства от противного.

Точный (полный) квадрат - квадрат целого числа.

Факториал натурального числа n - произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Генрих Г.Н. ФМШ №146 г. Пермь

54 ≡ 6× 5 ≡ 2(mod 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Возводя в степень k, получаем 56k ≡ 1(mod 7) при любом натуральном k. Поэтому 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Геометрически это равенство означает, что мы проходим по кругу, стартуя от 5, девяносто два цикла и еще три числа). Таким образом, число 222555 дает при делении на 7 остаток 6.

Решение уравнений в целых числах.

Несомненно, одна из интересных тем математики – решение диофантовых уравнений. Эта тема изучается в 8, а затем и в 10 и 11 классе.

Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называется диофантовым уравнением. Простейшим из них является уравнение вида ах+bу=с, где а, b и с Î Z. При решении этого уравнения используется следующая теорема.

Теорема. Линейное диофантово уравнение ах+bу=с, где а, b и сÎ Z имеет решение тогда и только тогда, когда с делится на НОД чисел а и b. Если d=НОД (а, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d и (x0 , y0 ) – некоторое решение уравнения ах+bу=с, то все решения задаются формулами х=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, где t ─ произвольное целое число.

1. Решить в целых числах уравнения:

	3ху–6х2 =у–2х+4;
	(х–2)(ху+4)=1;		у–х–ху=2;
	2х2 +ху=х+7;		3ху+2х+3у=0;
	х2 –ху–х+у=1;
	х2 –3ху=х–3у+2;	10. х2 –ху– у=4.

2. Следующие задачи рассматривала с выпускниками при подготовке к ЕГЭ по математике по данной теме.

1). Решить в целых числах уравнение: ху+3у+2х+6=13. Рещение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Получим:

у(х+3)+2(х+3)=13;

(х+3)(у+2)=13.

Так как x,уÎ Z, то получим совокупность систем уравнений:

Генрих Г.Н.

	ì x +
	ì x +
	ì x +
ê ì x +

ФМШ №146 г. Пермь

		ì x =
		ì x =
		ì x =
	ê ì x =

Ответ: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Решить в натуральных числах уравнение: 3х +4у =5z .

9). Найти все пары натуральных чисел m и n, для которых справедливо равенство 3m +7=2n .

10). Найти все тройки натуральных чисел k, m и n, для которых справедливо равенство: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

11). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 14 раз больше, или в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4321.

в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность? Решение:

а) Пусть а1 =х, тогда а2 = 14х или а1 =14х, тогда а2 =х. Тогда по условию а1 + а2 = 4321. Получим: х+14х=4321, 15х=4321, но 4321 не кратно 15, значит, двух членов в последовательности быть не может.

б) Пусть а1 =х, тогда а2 = 14х, а3 =х, или 14х+х+14х=4321, или х+14х+х=4321. 29х=4321, тогда х=149, 14х=2086. Значит, последовательность может иметь три члена. Во втором случае 16х=4321, но тогда х не является натуральным числом.

Ответ: а) нет; б) да; в) 577.

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

12). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 10; раз больше, или в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1860.

а) Может ли последовательность иметь два члена? б) Может ли последовательность иметь три члена?

в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность?

Очевидно, что говорить о делимости целых чисел и рассматривать задачи по данной теме можно бесконечно. Я постаралась рассмотреть эту тему так, чтобы в большей степени заинтересовать учащихся, показать им красоту математики еще и с этой с точки зрения.

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

Список литературы:

1. А. Я. Каннель-Белов, А. К. Ковальджи. Как решают нестандартные задачи Москва МЦНМО 2001

2. А.В.Спивак. Приложение к журналу Квант№4/2000 Математический праздник, Москва 2000

3. А.В.Спивак. Математический кружок, «Посев» 2003

4. Санкт-Петербургский городской дворец творчества юных. Математический кружок. Задачник первого-второго года обучения. Санкт-Петербург. 1993

5. Алгебра для 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под редакцией Н.Я.Виленкина. Москва, 1995 г.

6. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, Просвещение. 1994 г.

7. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. Алгебра 8 класс. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, 2001 г.

8. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009

9. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень Задачник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009

10. А.Г.Клово, Д.А.Мальцев, Л.И.Абзелилова Математика. Сборник тестов по плану ЕГЕ 2010

11. ЕГЭ-2010. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009

12. ЕГЭ УМК «Математика. Подготовка к ЕГЭ». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Подготовка к ЕГЭ-2011. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2010

13. УМК «Математика. ЕГЭ-2010». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. МАТЕМАТИКА Подготовка к ЕГЭ-2010. Учебно-тренировочные тесты. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009

14. ФИПИ ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся МАТЕМАТИКА 2010 «Интеллект-Центр» 2010

15. А.Ж.Жафяров. Математика. ЕГЭ-2010 Экспресс-консультация. Сибирское университетское издательство, 2010

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A - некоторое множество пар чисел (x ; y ) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

где f (x , y ) – любая функция, отличная от функции

f (x , y ) = ax +by + c ,

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y ) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Ответ : (6 ; 3)

Пример 2 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y ) ,

где y – любое число.

линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y ) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное , имеют вид

g (x , y )

Пример 4 . Решить систему уравнений

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Решая уравнение

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Следовательно,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное , имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g (x , y ) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

Решение . Решим однородное уравнение

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = - 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

5y 2 = - 20 ,

которое корней не имеет.

В случае, когда

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Ответ : (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования.