Применение производной к решению задач ЕГЭ Скоро ЕГЭ! Но еще есть время подготовиться! Методическая разработка: Исследовательская работа "Решение задач на применение производной в формате ЕГЭ"
Цели урока:
Учебные: Повторить теоретические сведения по теме «Применение производной» обобщить, закрепить и улучшить знания по данной теме.
Научить применять полученные теоретические знания при решении различного типа математических задач.
Рассмотреть методы решения заданий ЕГЭ, связанные с понятием производной базового и повышенного уровня сложности.
Воспитательные:
Обучение навыкам: планирование деятельности,работы в оптимальном темпе,работы в группе, подведение итогов.
Развивать умение оценивать свои способности,умение контактировать с товарищами.
Воспитывать чувства ответственности и сопереживания.Способствовать воспитанию умения работать в команде; умения.. относится к мнению одноклассников.
Развивающие: Уметь оформлять ключевые понятия изучаемой темы. Развивать навыки работы в группе.
Тип урока: комбинированный:
Обобщение,закрепление навыков применение свойств элементарных функций,применение уже сформированных знаний, умений и навыков применение производной в нестандартных ситуациях.
Оборудования: компьютер,проектор,экран,раздаточный материал.
План урока:
1. Организационная деятельность
Рефлексия настроения
2. Актуализация знаний учащегося
3. Устная работа
4. Самостоятельная работа в группах
5. Защита выполненных работ
6. Самостоятельная работа
7. Домашние задание
8. Итог урока
9. Рефлексия настроения
Ход урока
1. Рефлексия настроения.
Ребята,доброе утро.Я пришла к вам на урок вот с таким настроением (показываю изображение солнца)!
А какое у вас настроение?
У вас на столе лежат карточки с изображениями солнца,солнце за тучей и тучи.Покажите какое у вас настроение.
2. Анализируя результаты пробных экзаменов,а так же результаты итоговой аттестации последних лет,можно сделать вывод о том,что с заданиями математического анализа,из работы ЕГЭ справляются не более 30%-35% выпускников.Вот и в нашем классе по результатам тренировочных и диагностических работ верно выполняют их не все. Этим и обусловлен наш выбор.Будем отрабатывать навык применения производной при решении задач ЕГЭ.
Помимо проблем итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения,в какой мере приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы дальнейшем,насколько оправданы как затраты времени,так и здоровья на изучение этой темы.
Зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем ее? Можно ли без нее обойтись в математике и не только?
Сообщение ученицы 3 минуты -
3. Устная работа.
4. Самостоятельная работа в группах (3 группы)
Задание 1 группы
) В чем заключается геометрический смысл производной?
2) а) На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
б) На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Ответ 1 группы:
1) Значение производной функции в точке x=x0 равно условному коэффициэнту касательной,проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х0.Нулевой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной (или, другими словами) тангенсу угла образованного касательной и.. направлением оси Оx)
2) А)f1(x)=4/2=2
3) Б)f1(x)=-4/2=-2
Задание 2 группы
1) В чем заключается физический смысл производной?
2) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)=-t2+8t-21, где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t -время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3 с.
3) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)= ½*t2-t-4, где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t- время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?
Ответ 2 группы:
1) Физический (механический) смысл производной состоит в следующем.
Если S(t) закон прямоленейного движения тела,то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:
V(t)=-x(t)=-2t=8=-2*3+8=2
3) X(t)=1/2t^2-t-4
Задание 3 группы
1) Прямая y= 3x-5 параллельна касательной к графику функции y=x2+2x-7. Найдите абсциссу точки касания.
2) На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-9;8). Определите количество целых точек на этом интервале, в которых производная функции f(x) положительна.
Ответ 3 группы:
1) Т.к прямая y=3x-5 паралельна касательной то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямойy=3x-5,т.е, k=3.
Y1(x)=3 ,y1=(x^2+2x-7)1=2x=2 2x+2=3
2) Целые точки -это точки с целочисленными значениями абсцисс.
Производная функция f(x) положительна,если функция возрастает.
Вопрос:Что вы можете сказать о производной функции,которую описывает поговорка «Чем дальше в лес,тем больше дров»
Ответ: Производная положительна на всей области определения,т.к эта функция - монотонно возрастает
6. Самостоятельная работа (на 6 вариантов)
7. Домашнее задание.
Тренировочная работа Ответы:
Итог урока.
«Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись - радовать глаз, поэзия - пробуждать чувства, философия - удовлетворять потребности разума, инженерное дело - совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей.»
Так сказал американский математик Морис Клайн.
Спасибо за работу!
Геометрический смысл производной Х У 0 касательная α k – угловой коэффициент прямой (касательной) Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной, т.е. Поскольку, то верно равенство Уравнение прямой
Х у Если α 0. Если α > 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k 90°, то k title="х у Если α 0. Если α > 90°, то k
Х у Задание 1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х =
Y x x0x На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0. Ответ: -0,25
На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-6;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. В =…
Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.
Показать решениеРешение
Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.
Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}
Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.
Ответ
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Показать решениеРешение
По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .
Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Показать решениеРешение
Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).
Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].
Показать решениеРешение
Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .
Показать решениеРешение
Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.
Показать решениеРешение
Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.
Получаем: x_0 = 4.
Ответ
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.