По координатам точек построить плоскость. Построение ортогональных проекций точек
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Методы: словесные, наглядные, парные, самостоятельной работы, фронтального опроса, контроля и оценки
Оборудование: интерактивная доска,карточки для самостоятельной работы
Цель: закрепить навыки нахождения координат отмеченных точек и строить точки по заданным координатам.
Задачи урока:
Образовательные:
- обобщение знаний и умений учащихся по теме «Координатная плоскость»;
- промежуточный контроль знаний и умений учащихся.
Развивающие:
- развитие вычислительных навыков обучающихся;
- развитие логического мышления;
- развитие математически грамотной речи, кругозора учащихся;
- развитие умения самостоятельной работы.
Воспитательные :
- воспитание дисциплинированности при организации работы на уроке;
- воспитание аккуратности при выполнении построений.
Структура урока:
- Организационный момент.
- Проверка домашнего задания.
- Актуализация опорных знаний.
- Диагностика усвоения знаний и умений учащихся.
- Подведение итогов урока.
- Домашнее задание.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Сегодня мы с вами повторим то, что прошли в течение нескольких уроков. Вспомните, чем мы с вами занимались на уроках, какие темы изучали, что вас заинтересовало больше всего, что запомнилось, что осталось непонятным по теме «Координатная плоскость. Построение точки по ее координатам». Наша задача: повторить, обобщить, систематизировать знания теме «Координатная плоскость».
2. Проверка домашнего задания
А сейчас проверим, как вы выполнили домашнее задание. По заданным координатам вы должны были построить фигуру, соединяя, по мере построения, соседние точки друг с другом. В результате выполнения работы у вас должна была получиться фигура:
3. Актуализация опорных знаний
Задание «Разгадай кроссворд» поможет вспомнить основные понятия по теме «Координатная плоскость».
На экране интерактивной доски появляется кроссворд и учащимся предлагается решить его.
1. Две координатные прямые образуют координатную … (плоскость)
2. Координатные прямые - это координатные … (оси)
3. Какой угол образуется при пересечении координатных прямых? (прямой)
4. Как называется пара чисел, определяющих положение точки на плоскости? (координата)
5. Как называется первая координата? (абсцисса)
6. Как называется вторая координата? (ордината)
7. Как называется отрезок от 0 до 1? (единичный)
8. На сколько частей делится координатная плоскость координатными прямыми? (четыре)
4. Диагностика усвоения знаний и умений учащихся
На координатной плоскости отметьте точки:
А(-3; 0); В(2; -3); С(-4; 2); D(0; 4); E(1; 3); О(0; 0)
А теперь перейдем к построению фигуры с помощью точек на координатной плоскости.Даны координаты точек. Построить фигуру, соединяя, по мере построения, соседние точки друг с другом.
Самостоятельная работа.
(проверка методом взаимопроверки)
Вариант 1.
Глаз: (3; 5). |
Вариант 2.
Крыло: Глаз: |
|
|
5. Подведение итогов урока
Вопросы учащимся:
1) Что такое координатная плоскость?
2) Как называются координатные оси ОХ и ОУ?
3) Какой угол образуется при пересечении координатных прямых?
4) Как называется пара чисел, определяющих положение точки на плоскости?
5) Как называется первое число?
6) Как называется второе число?
6. Домашнее задание
- P(-1,5; 10),
- (-1,5; 11),
- (-2; 12),
- (-3; 12),
- (-3,5; 11),
- (-3,5; 10),
- (-5; 12),
- (-9; 14),
- (-14; 15),
- (-12; 10),
- (-10; 8),
- (-8; 7),
- (-4; 6),
- (-6; 6),
- (-9; 5),
- (-12; 3),
- (-14; 0),
- (-14; -2),
- (-12; -2),
- (-7; -1),
- (-3; 3),
- (-4; 1),
- (-3; 0),
- (-4; -1),
- (-2,5; -2),
- (-1; -1),
- (-2; 0),
- (-1; 1),
- (-2; 3),
- (2; -1),
- (7; -2),
- (9; -2),
- (9; 0),
- (7; 3),
- (4; 5),
- (1; 6),
- (-1; 6),
- (3; 7),
- (5; 8),
- (7; 10),
- (9; 15),
- (4; 14),
- (0; 12),
- (-1,5; 10).
- P (-3,5; 10),
- (-4; 6),
- (-3; 3),
- P (-1,5; 10),
- (-1; 6),
- (-2; 3).
- (-2; 11),
- (-3; 11)
Точка – одно из основных понятий геометрии. В современной математике точками называют элементы различной природы, из которых состоят пространства, например, в евклидовом пространстве точкой называют упорядоченную совокупность из n чисел.
В начертательной геометрии положение точки в пространстве можно определить её координатами. Замечательным признаком является то, что координата, характеризующая удаление точки от плоскости проекций, одноимённа с осью, которая не присутствует при образовании этой плоскости проекций. Так, удаление точки от П 2 измеряется координатой y, а сама фронтальная плоскость проекций П 2 образуется пересечением осей OХ и OZ.
Таким образом, каждая из трёх проекций точки характеризуется двумя координатами, их название соответствует названиям осей, которые образуют соответствующую плоскость проекций: горизонтальная – A 1 (X A ; Y A); фронтальная – A 2 (X A ; Z A); профильная – A 3 (Y A ; Z A).
Трансляция координат между проекциями осуществляется с помощью линий связи. Так, в системе плоскостей проекций П 1 П 2 общая для фронтальной и горизонтальной проекций координата x транслируется вертикальной линией связи А 2 А 1 , перпендикулярной оси OХ.
По двум данным проекциям можно построить проекции точки либо с помощью координат, либо графически. Графически профильную проекцию строят, транслируя параметр Z горизонтальной линией связи, проведённой из фронтальной проекции, а параметр Y переносят с горизонтальной проекции, используя постоянную прямую чертежа k – биссектрису угла расщеплённой оси: Y 1 ОY 3 , на которой горизонтальная линия связи, проведённая из горизонтальной проекции перпендикулярно OY 1 , преломляется под прямым углом. При этом у начала координат формируется квадрат со стороной, равной координате Y оригинала, что обеспечивает передачу координаты Y между горизонтальной и профильной проекциями. В табл. 3.1 и 3.2 представлены общие алгоритмы построения точки А по координатам в пространственной модели системы трёх плоскостей проекций П 1 П 2 П 3 и на комплексном чертеже.
Таблица 3.1
| Алгоритм построения наглядного изображения точки по координатам | |
| Словесная форма | Графическая форма |
| 1. Отложить на осях X, Y, Ζ соответствующие координаты точки А. Получим точки A x , A y , A z | |
| 2. Горизонтальная проекция А 1 находится на пересечении линий связи из точек A x и A y , проведенных параллельно осям X и Y |  |
| 3. Фронтальная проекция А 2 находится на пересечении линий связи из точек A x и A z , проведенных параллельно осям X и Ζ |  |
| 4. Профильная проекция А 3 находится на пересечении линий связи из точек A y и A z , проведенных параллельно осям Y и Ζ |  |
| 5. Точка А находится на пересечении линий связи, проведенных из точек А 1 , А 2 и А 3 |  |
Инструкция
Постройте три координатные плоскости, чтобы иметь начало отсчета в точке О. На чертеже плоскости проекций в виде трех осей – ох, оу и оz, причем ось оz направлена вверх, ось оу – вправо. Чтобы построить последнюю ось ох, разделите угол между осями оу и оz напополам (если вы рисуете на листе в клетку, просто проведите эту ось ).
Обратите внимание, если координаты точки А записаны в виде трех в скобках (а, b, с), то первое число а – от плоскости х, второе b – от у, третье c – от z. Сначала возьмите первую координату а и отметьте ее на оси ох, влево и вниз, если число а положительное, вправо и вверх, если оно отрицательное. Полученную букву назовите В.
Затем отложите последнее число с вверх по оси оz, если оно положительное, и вниз по этой же оси, если отрицательное. Отметьте полученную точку буквой D.
Из полученных точек проведите проекций искомой точки на плоскостях. То есть в точке В проведите две прямые, которые будут параллельны осям оу и oz, в точке С проведите прямые, параллельные осям ох и oz, в точке D – прямые, параллельные ох и оу.
Если одна из координат точки равна нулю, точка лежит в одной из плоскостей проекций. В таком случае просто отметьте известные координаты на плоскости и найдите точку пересечения их проекций. Будьте внимательны при построении точек с координатами (а, 0, с) и (а, b, 0), не забывайте, что проекция на ось ох осуществляется под углом в 45⁰.
Видео по теме
Источники:
- по координатам построить
Совет 2: Как проверить, что точки не лежат на одной прямой
На основании аксиомы, описывающей свойства прямой : какова бы ни была прямая, есть точки , принадлежащие и не принадлежащие ей. Поэтому вполне логично, что не все точки будут лежать на одной прямой линии.
Вам понадобится
- - карандаш;
- - линейка;
- - ручка;
- - тетрадь;
- - калькулятор.
Инструкция
В том случае, если (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) будет меньше нуля, точка К располагается выше или левее линии. Другими словами, только в том случае, если уравнение вида (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 справедливо, точки А, В и К будут расположены на одной прямой .
В остальных случаях лишь две точки (А и В), которые, по условию задания, лежат на прямой , будут ей принадлежать: через третью точку (точку К) прямая проходить не будет.
Рассмотрите второй вариант принадлежности точки примой: на этот раз нужно проверить принадлежит ли точка С(x,y) отрезку с концевыми точками В(x1,y1) и А(x2,y2), который является частью прямой z.
Точки рассматриваемого отрезка опишите уравнением pOB+(1-p)OА=z, при условии, что 0≤p≤1. ОВ и ОА являются векторами. Если есть число p, которое больше или равно 0, но меньше или равно 1, то pOB+(1-p)OА=С, а , точка С будет лежать на отрезке АВ. В противном случае, данная точка не будет принадлежать этому отрезку.
Распишите равенство pOB+(1-p)OА=С покоординатно: px1+(1-p)x2=x и py1+(1-p)y2=y.
Найдите из первого число р и подставьте его значение во второе равенство. Если равенство будет соответствовать условиям 0≤p≤1, то точка С принадлежит отрезку АВ.
Обратите внимание
Убедитесь в правильности расчетов!
Полезный совет
Чтобы найти k - угловой коэффициент прямой, нужно (y2 - y1)/(x2 - x1).
Источники:
- Алгоритм проверки принадлежности точки многоугольнику. Метод трассировки луча в 2019
Трехмерное пространство состоит из трех основных понятий, которые вы постепенно изучаете в школьной программе: точка, прямая, плоскость. В ходе работы с некоторыми математическими величинами вам может понадобиться объединить эти элементы, например, построить плоскость в пространстве по точке и прямой.
Инструкция
Чтобы понять алгоритм построения плоскостей в пространстве, обратите внимание на некоторые аксиомы, которые описывают свойства плоскости или плоскостей. Первое: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, при этом только одна. Стало быть, для построения плоскости вам достаточно трех точек, удовлетворяющих по положению аксиоме.
Второе: через любые две точки проходит прямая, при этом только одна. Соответственно, построить плоскость можно через прямую и точку, не лежащую на ней. Если от обратного: любая прямая содержит, как минимум, две точки, через которые она проходит, если известна еще одна точка, не на этой прямой, через эти три точки можно построить прямую, как в пункте первом. Каждая точка этой прямой будет принадлежать плоскости.
Третье: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, при этом только одна. Пересекающиеся прямые могут образовать только одну общую точку. Если в пространстве, они будут иметь бесконечное количество общих точек, и, следовательно, составлять одну прямую. Когда вам известны две прямые, имеющие точку пересечения, вы можете построить не более одной плоскости, проходящей через эти прямые.
Четвертое: через две параллельные прямые можно провести плоскость, при этом только одну. Соответственно, если вам известно, что прямые параллельны, вы можете провести через них плоскость.
Пятое: через прямую можно провести бесконечное количество плоскостей. Все эти плоскости могут быть рассмотрены как вращение одной плоскости вокруг заданной прямой, или как бесконечное множество плоскостей, имеющих одну линию пересечения.
Итак, построить плоскость вы можете, если найдены все элементы, которые определяют ее положение в пространстве: три точки, не лежащие на прямой, прямая и точка, не принадлежащая прямой, две пересекающиеся или две параллельные прямые.
Видео по теме
Знаете ли вы, что организм человека - это мини-электростанция? Каждый из нас вырабатывает небольшое количество электроэнергии. Это происходит как в движении, так и в покое - тогда выработка электричества происходит во внутренних органах, одним из которых является сердце.
Одним из медицинских исследований, позволяющих определить состояние сердца, является ЭКГ. Кардиолог снимает электрокардиограмму, чтобы узнать, расположено в грудной клетке, как работают предсердия, клапаны и желудочки, их форма и нет ли функциональных изменений. Один из важнейших показателей ЭКГ - направленность электрической оси сердца.
Что такое ось сердца и как ее найти?
Сердечную ось (как и ось земную) невозможно увидеть или потрогать. Она определяется только с помощью электрокардиографа, ведь он фиксирует электрическую активность сердца. Когда клетки сердечной мышцы напрягаются и расслабляются, повинуясь импульсам, идущим от нервной системы, они образуют электрическое поле, центром которого и является ЭОС (электрическая ось сердца).
Но если заглянуть в анатомический атлас, можно провести вертикальную линию, которая поделит сердце на две равные части - примерно так и располагается ось сердца. Отсюда можно сделать вывод, что ЭОС совпадает с так называемой анатомической осью. Конечно, каждый человек индивидуален, поэтому и электрическая ось у разных людей может располагаться по-иному (к примеру, если отталкиваться от серднестатистического значения, то у худого человека ЭОС расположена вертикально, а у тучного - горизонтально).
Когда сердечная ось меняет положение?
Сняв ЭКГ и узнав, как располагается ЭОС, кардиолог может сказать вам, как в грудной клетке , здоров ли миокард (сердечная ), как нервные импульсы проходят к разным отделам сердца.
Если электрокардиограмма показывает, что электрическая ось вправо или влево, это укажет врачу на какой-либо патологический процесс. Отклонение вправо может навести на подозрения о неправильном положении сердца (его смещение может быть врожденным или возникать вследствие расширения аорты, возникновения новообразований и прочих патологий). Кроме того, отклонение ЭОС - признак опасных для жизни состояний: декстрокардии, блокады пучка Гиса, инфаркта миокарда (его передней стенки).
Если же ЭОС значительно отклонена в левую сторону, это может быть признаком кардиомиопатии, гипертрофии некоторых отделов сердца, верхушечного инфаркта или врожденного порока.
Ряд заболеваний сердца может до поры протекать бессимптомно. Поэтому так важно периодически проходить медосмотр, одной из составляющих которого является ЭКГ. Ведь болезнь легче предупредить, . А болезни сердца нужно в обязательном порядке, ведь они - прямая угроза жизни.
Цели: - Обобщить представления учащихся о координатной плоскости; развивать умение определять координаты точек на плоскости, находить точки по заданным координатам;
Совершенствовать умение решать текстовые задачи на движение; уравнения, примеры на порядок действий;
Развивать мышление, память, творческие способности;
Расширять кругозор учащихся.
Скачать:
Предварительный просмотр:
МБОУ СОШ № 60 города Брянска
Урок математики в 4 классе
(учебник Петерсон Л.Г.)
Тема:
«Координаты на плоскости.
Построение точек по их координатам».
Подготовила: Гирлина Н.А.
Учитель начальных классов
Высшей квалификационной категории
МБОУ СОШ № 60
Города Брянска
2016 – 2017 учебный год
Тема: Координаты на плоскости. Построение точек по их координатам.
Цели: - Обобщить представления учащихся о координатной
Плоскости; развивать умение определять координаты
Точек на плоскости, находить точки по заданным
Координатам;
Совершенствовать умение решать текстовые задачи на
Движение; уравнения, примеры на порядок действий;
Развивать мышление, память, творческие способности;
Расширять кругозор учащихся.
Оборудование: персональный компьютер, мультимедийный проектор, экран, мультимедийная презентация, раздаточный материал: лист с координатной плоскостью (каждому ученику), лист с заданиями для викторины «Хочу всё знать» (один на парту).
Ход урока:
Организационное начало.
Устные вычисления:
1) - Наш урок начнём с небольшой разминки Я задумала слово, которое вы должны отгадать, решив задания.
Слайды № 1-20
- (4 · 12 +12) · 3: 9 = Д.30 К.20 О15
2) 480: 3: 40 + 78 – 36 = И.36 А.44 О.46
3) 60: Х = 4 О.15 А.240 Б.12
4) Периметр квадрата равен 16см. Найди длину его стороны.
Е.4дм Р.4см Д.8см
5)Длина огорода прямоугольной формы равна 280м, ширина 100м. Найдите длину забора вокруг огорода.
Д.760м Р.380м Т.7600см
6)Длина прямоугольника равна 18см, ширина 2см. Найдите площадь этого прямоугольника.
Д.9см 2 И.36см 2 Е.36см
7)Ширина параллепипеда равна 5дм, длина 6дм, а высота равна 2дм. Найдите его объём.
К.60дм 2 И.60см 2 Н.60дм 3
8)С какой скоростью ехал мотоциклист, если за 2 часа он проехал 62км?
О.31км А.31км/ч Б.124км/ч
9)Автомобиль двигался со скоростью 60км/ч и был в пути 6 часов. Какой путь он преодолел за это время?
Т.360км Д.360км/ч Г.10км
10) За какое время поезд проедет 720км, если его скорость равна 6окм/ч?
Е.12км ы.12ч Г.12км/ч
Какое слово получилось? (координаты)
Что такое координаты? (упорядоченная пара чисел для определения положения точки на плоскости относительно оси ОХ и оси ОY)
Сообщение темы:
Слайд № 21
Учитель: «Определите тему нашего урока.»
Тема нашего урока: «Координаты на плоскости».
Как вы думаете, каковы цели нашего урока? (предположения детей)
Зачитываются цели, записанные на слайде.
Слайд № 22
Зачем надо уметь определять координаты точек?
Где нам это может пригодиться?
Работа по теме:
- А когда впервые задумались о важности координатной плоскости и координатах точек на плоскости?
а)Странички истории
Слайд № 23
Лента времени.
Сведения об учёных
Более чем за 100 лет до нашей эры греческий учёный Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами.
Во 2 веке нашей эры знаменитый древнегреческий астроном Клавдий Птолемей уже пользовался долготой и широтой в качестве географических координат.
Рене Декарт (1596 – 1650 г.) - французский философ, испытатель,
математик. Целью Декарта было описание природы при помощи математических законов. Автор координатной плоскости, поэтому её часто называют декартовой плоскостью.
Слайд №24
Как называются оси координатной прямой?
Как определить координаты точки на плоскости
в)Работа с учебником:
Стр.57 № 1
- Кто из ребят правильно построил точку А (3,4)?
Какой из способов наиболее удобный?
Чтение правила.
стр.58 № 2
Построить треугольник АВС, если А(1,5); В(3,9); С(9,2)
Построить четырёхугольник, если D (4.2) ; E (1.7) ; F (7.8);
K (10.5)
Раскрась цветным карандашом пересечение треугольника и четырёхугольника. Какая фигура получилась ?
Физкультминутка
г)Викторина «Хочу всё знать»
1) Я приготовила для вас много интересных заданий, которые расширят ваш кругозор. Итак, начнём!
Слайд № 25
Что вы видите на слайде? (координатную плоскость с точками)
Вспомним, как найти точку по её координатам. (первый элемент ищем на
Оси х, второй - на оси у)
Давайте потренируемся. Назвать точку по координатам: (1,5), (0,2), (3,5)
2) - Тренировка закончена. Приступаем к заданию. На листке с координатной плоскостью (раздаточный материал) внизу в пустых клетках написать название точек, координаты которых будут указаны на слайде. Если будете внимательны, сможете прочитать слова.
Самостоятельная работа учащихся
Прочитайте, что у вас получилось. (синий кит)
Слайд № 26
Синий кит - без сомнения крупнейшее животное, когда-либо существовавшее на нашей планете. Он действительно огромен! Синий кит имеет размеры, сравнимые с космическим кораблём, а вес взрослого кита может более чем в тридцать раз больше веса самца современного африканского слона.
Синий кит, как огромный космический корабль, бороздит бескрайние просторы мирового океана, мигрируя из ледяных полярных вод в субтропики Индийского, Тихого и Атлантического океанов.
3) – Попробуем нарисовать синего кита на координатной плоскости.
Слайд № 27
Учитель называет координаты, учащиеся отмечают на плоскости. На слайде дублируется.
Координаты: (0,1), (3,2), (8,2), (8,4), (9,3), (9,2), (10,1), (10,0), (8,1), (6,0), (2,0)
Полученные точки соединяются. Кита можно раскрасить.
Вычислить периметр, нарисованной фигуры.
Что для этого нужно сделать? (измерить стороны) Вычисление периметра.
4) - Вспомните девиз нашего урока. (хочу всё знать)
О ком мы сегодня говорили, кого рисовали?
Пришло время получить ценные сведения об этом удивительном животном.
«Хочу всё знать»
(14 . Х – 20) : 5 = 80(1 ученик с комментированием у доски)
Х = 30
Дополнительно 360: (С· 3 + 12) = 10 (вес новорождённого китёнка)
(разобрать условие, сделать схему на доски, проанализировать и самостоятельно записать по действиям. 1 ученик у доски с обратной стороны. Самопроверка)
Ответ: 57км
55) . 5 Ответ: 380 тонн
Итог урока
Слайд № 7
Чему учились?
Что вызвало затруднения?
Что узнали о «главном герое» нашего урока?
Домашнее задание: №9 с.59, №11(г)с.60.
«Хочу всё знать»
1)Реши уравнения и узнаешь длину в метрах взрослого синего кита:
(14 . Х – 20) : 5 = 80
- Реши задачу и ты узнаешь, с какой скоростью бороздит кит водные просторы:
Синий кит проплыл расстояние равное 39 километрам за 3 часа. Следующие 2 часа он плыл со скоростью на 4 км/ч меньше. Какое расстояние проплыл кит за всё это время?
3) Найди значение выражения и узнаешь массу синего кита в тоннах
270 + (4478 - 1598) : 144 – (2438 – 44 . 55) . 5
«Хочу всё знать»
1)Реши уравнения и узнаешь длину в метрах взрослого синего кита:
(14 . Х – 20) : 5 = 80
- Реши задачу и ты узнаешь, с какой скоростью бороздит кит водные просторы:
Синий кит проплыл расстояние равное 39 километрам за 3 часа. Следующие 2 часа он плыл со скоростью на 4 км/ч меньше. Какое расстояние проплыл кит за всё это время?
3) Найди значение выражения и узнаешь массу синего кита в тоннах
270 + (4478 - 1598) : 144 – (2438 – 44 . 55) . 5
«Хочу всё знать»
1)Реши уравнения и узнаешь длину в метрах взрослого синего кита:
(14 . Х – 20) : 5 = 80
- Реши задачу и ты узнаешь, с какой скоростью бороздит кит водные просторы:
Синий кит проплыл расстояние равное 39 километрам за 3 часа. Следующие 2 часа он плыл со скоростью на 4 км/ч меньше. Какое расстояние проплыл кит за всё это время?
3) Найди значение выражения и узнаешь массу синего кита в тоннах
270 + (4478 - 1598) : 144 – (2438 – 44 . 55) . 5
При построении точки по заданным координатам, необходимо помнить, что в соответствии с правилами черчения масштаб по оси Ох уменьшается в 2 раза в сравнении с масштабом по осями Оу и Оz.
1.Построить точкy: А(2; 1; 3) х А = 2; у A = 1; z A = 3
а) обычно в первую очередь строят проекцию точки на плоскость Оху. Отметить точки х A =2 и у A =1 и провести через них прямые, параллельные осям Ох и Оу. Точка их пересечения имеет координаты (2;1; 0) Построена точка A 1 (2;1; 0.)
А(2; 1; 3)
0
у A =1
х A =2 у
A 1 (2;1; 0) 0 у A =1 у
х х A =2 A 1 (2;1; 0)
х
б) далее из точки A 1 (2;1; 0) восстанавливают перпендикуляр к плоскости Оху (проводят прямую, параллельную оси Оz ) и откладывают на ней отрезок, равный трем: z A = 3.
2.Построить точкy: B(3; - 2; 1) х B = 3; у B = -2; Z B = 1
z
у B = - 2
B(3; -2; 1) О у
B 1 (3;-2) х B =3
х
3. Построить точку C(-2; 1; 3 ) zC (-2; 1; 3)
Х А = -2; Y A = 1; Z A = 3
х C = - 2 C 1 (-2;1;0)
у A =1 у
4.Дан куб. А...D 1 , ребро которого равно1 . Начало координат совпадает с точкой В, ребра ВА, ВС и ВВ 1 совпадают с положительными лучами осей координат. Назвать координаты всех остальных вершин куба. Вычислить диагональ куба.
z
АВ = ВС = ВВ 1 ВD 1 = =
В 1 (0;0;1) С 1 (0;1;1) = =
А 1 (1;0;1) D 1 (1;1;1)
В(0;0;0) С(0;1;0) у
А(1;0;0) D(1;1;0)
5.Постройте точки А(1;1;-1) и В(1; -1;1). Пересекает ли отрезок ось координат? плоскость координат? проходит ли отрезок через начало координат? Найдите координаты точек пересечения, если они есть. z Точки лежат в плоскости, перпендикулярной оси Ох.
Отрезок пересекает ось Ох
и плоскость хОу
в точке
В(1; -1;1)
0(0;0;0)
С(1;0;0)
А(1;1;-1)
6.Найти расстояние между двумя точками: А(1;2;3) и В(-1;1;1).
а) АВ = = = =3
б) С(3;4;0) и D(3; -1;2).
СD = = =
В пространстве для определения координат середины отрезка вводится третья координата.
В (х В; у В;z B)
С ( ; ; )
А(х А; у А; z A)
7.Найти координаты С середины отрезков: а) АВ, если А(3; – 2; – 7), В(11; – 8; 5),
х М = = 7; у М = = - 5; z М = = - 1; С(7; - 5; - 1)
8. Координаты точки А(х;у;z). Напишите координаты точек, симметричных данной относительно:
а) координатных плоскостей
б) координатных прямых
в) начала координат
а)
Если точка А 1
симметрична данной относительно координатной плоскости хОу,
то разница в
координатах точек будет только в знаке координаты z: А 1 (х;у;-z).
точка А 2 Охz, тогда А 2 (х; -у;z).
точка А 3 симметрична данной относительно плоскости Оуz, тогда А 2 (-х; у;z).
б)
Если точка А 4
симметрична данной относительно координатной прямой Ох,
то разница в
координатах точек будет только в знаках координат у
и z: А 4 (х; -у;-z).
точка А 5 Оу, тогда А 5 (-х; у; -z).
точка А 6 симметрична данной относительно прямой Оz, тогда А 6 (-х; -у; z).
в) Если точка А 7 симметрична данной относительно начала координат, то А 6 (-х; -у; -z).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
Переход от одной системы координат в другую называется преобразованием системы координат.
Мы будем рассматривать два случая преобразования системы координат, и выведем формулы зависимости между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат. (Методика преобразованием системы координат аналогична преобразованию графиков).
1.Параллельный перенос . В этом случае меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.
Если начало координат переходит в точку 0 1 с координатами 0 1 (х 0 ; у 0), то для точки М(х;у) связь между координатами системы х0у и х 0 0у 0 выражена формулами:
х = х 0 + х"
у = у 0 + у"
Полученные формулы позволяют найти старые координаты по известным новым х" и у" и наоборот.
у М(х;у) М(х"; у")
0 1 (х 0 ; у 0),х"
х 0 х"
2.Поворот осей координат
. В этом случае обе оси поворачиваются на один и тот же угол , а начало координат и масштаб остаются неизменными.
М(х;у)
у 1 х 1
Координаты точки М в старой системе М(х;у) и М(х"; у") - в новой. Тогда полярный радиус в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны + и , где - полярный угол в новой системе координат.
По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем:
x = rcos( + ) x = rcos · cos - rsin ·sin
y = rsin(+ ) y = rcos · sin + rsin · cos
Но rcos = х" и rsin = у" , поэтому
x = х"· cos - у"·sin
y = х"· sin + у"· cos
Письменно ответьте на вопросы:
- Что называется прямоугольной системой координат на плоскости? в пространстве?
- Какая ось называется осью аппликат? Ординат? Абсцисс?
- Каково обозначение единичных векторов на осях координат?
- Что называется ортом?
- Как вычисляется в прямоугольной системе координат длина отрезка, заданного координатами своих концов?
- Как вычисляются координаты середины отрезка, заданного координатами своих концов?
- Что называется полярной системой координат?
- Какова связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат?
Выполните задания:
1. На каком расстоянии от координатных плоскостей находится точка А(1; -2; 3)
2. На каком расстоянии находится точка А(1; -2; 3) от координатных прямых а) Оу; б) Оу; в) Оz;
3. Какому условию удовлетворяют координаты точек пространства, одинаково удаленных:
а) от двух координатных плоскостей Оху и Оуz; АВ
б) от всех трех координатных плоскостей
4. Найдите координаты точки М середины отрезка АВ, А(-2; -4; 1); В(0; -1; 2) и назовите точку, симметричную точки М, относительно а) оси Ох
б) оси Оу
в) оси Оz.
5. Дана точка В(4; - 3; - 4). Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из точки на оси координат и координатные плоскости.
6.На оси Оу найти точку, равноудаленную от двух точек А(1; 2; - 1) и В(-2; 3; 1).
7. В плоскости Охz найдите точку, равноудаленную от трех точек А(2; 1; 0); В(-1; 2; 3) и С(0;3;1).
8. Найдите длины сторон треугольника АВС и его площадь, если координаты вершин: А(-2; 0; 1), В(8; - 4; 9), С(-1;2; 3).
9. Найдите координаты проекций точек А(2; -3; 5); В (3;-5; ); С(- ; - ; - ).
10. Даны точки А(1; -1; 0) и В(-3; - 1; 2). Вычислите расстояние от начала координат до данных точек.
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Все величины, с которыми имеют дело в физике, технике, обыденной жизни разделяют на две группы. Первые полностью характеризуются своим численным значением: температура, длина, масса, площадь, работа. Такие величины называются скалярными.
Другие величины, например, сила, скорость, перемещение, ускорение и т.д. определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Называются такие величины векторными , или векторами. Векторная величина геометрически изображается в виде вектора.
Вектор
-это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий
определенную длину и направление.
