Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла
1. Выражение синуса через косинус
Примечание: Знак перед радикалом в правой части зависит от того, в какой четверти находитсяугол α . Знак тригонометрической функции в левой части должен совпадать со знаком правой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже.
2. Выражение синуса через тангенс
3. Выражение синуса через котангенс
4. Выражение косинуса через синус
5. Выражение косинуса через тангенс
6. Выражение косинуса через котангенс
7. Выражение тангенса через синус
8. Выражение тангенса через косинус
9. Выражение тангенса через котангенс
10. Выражение котангенса через синус
11. Выражение котангенса через косинус
12. Выражение котангенса через тангенс
21. Тригонометрические функции y=sin x, y=cos x, их свойства и графики.
Y = sin(x)
График функции y=sin(x).
Основные свойства:
3. Функция нечетная.
График функции y=cos(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
22. Тригонометрические функции y=tg x, y=ctg x, их свойства и графики.
График функции y=tg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.
3. Функция нечетная.
Y = ctg(x)
График функции y=ctg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
23. Основные свойства тригонометрических функций: четность, нечетность, периодичность. Знаки значений тригонометрических функций по четвертям.
Синусом числа а называется ордината точки, изображающей это число на числовой окружности. Синусом угла в а радиан называется синус числа а .
Синус - функция числа x . Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.
Область значений синуса - отрезок от -1 до 1 , так как любое число этого отрезка на оси ординат является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек.
Период синуса равен . Ведь через каждые положение точки, изображающей число, в точности повторяется.
Знак синуса:
1. синус равен нулю при , где n - любое целое число;
2. синус положителен при , где n - любое целое число;
3. синус отрицателен при
Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла
На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением
- x 2 +y 2 =1.
Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:
- sin(a) = у,
- cos(a) = х.
Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.
Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.
Например.
Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi Воспользуемся формулой приведенной выше: