Род – логическая характеристика класса предметов, в объем которого входят другие классы предметов, являющиеся видами данного рода. Так, класс треугольников является родом в отношении к классам остроугольных треугольников, прямоугольных треугольников и тупоугольных треугольников.

Видом, соответственно, называется каждый класс предметов, который входит в объем более широкого родового класса.

Выделяется высший род (summum genus) и низший вид (infima species). Высший род – это такой род, который уже не может служить видом для другого рода. Соответственно, низший вид – это такой вид, в который входят не меньшие по объему виды, а отдельные индивиды (individuum (лат.) – неделимое, особь). Кроме того, используется понятие ближайший род. Класс, который непосредственно делится на виды, называется по отношению к этим видам ближайшим родом (genus proximum). Например, ближайшим родом для понятий “сосна”, “ель”, “кедр”, “пихта” является понятие “хвойное дерево”. (Отношения рода и вида основываются на принципе гилиморфизма Аристотеля. Суть данного принципа состоит в том, что каждая конкретная вещь обладает формой и материей. При этом материя понимается как некоторый субстрат, а форма – как способ связи элементов этого субстрата. То, что в одном отношении является формой – в другом может быть материей и наоборот.)

Родовое понятие – понятие, которое выражает существенные признаки класса предметов, являющегося родом каких-либо видов. Родовое понятие является подчиняющим понятием, в состав которого входят меньшие по объему видовые понятия.

Видовое понятие – понятие, которое выражает существенные признаки класса предметов, являющегося видом какого-либо рода. Видовое понятие является подчиненным понятием, входящим в состав другого, более общего понятия, которое называется родовым. Так, понятие “европеец” является видовым по отношению к понятию “человек”, которое в данном случае берется как родовое понятие. Всем предметам, отображенным в видовом понятии, присущи все признаки родового понятия, но вместе с тем им присущи и свои видовые признаки. Одно и то же понятие (за исключением высшего родового и низшего видового понятий) может быть как видовым, так и родовым одновременно в зависимости от того, по отношению к какому понятию оно рассматривается. Так, понятие “европеец” является видовым по отношению к понятию “человек” и одновременно родовым – по отношению к понятию “грек”.

2. 5. Виды (классы) понятий

Все понятия могут быть разделены на отдельные виды.

1. Единичные и общие

Единичными (индивидуальными) понятиями называются такие, которые относятся к одному какому-нибудь определенному предмету, событию, отдельному явлению. Объем таких понятий имеет только один элемент. Например, “Петербург”, “Отечественная война 1812 года”.

Общими называются понятия, объем которых включает более одного элемента, например, “четное число” (в объеме бесконечно много элементов), “петербургские вузы” (в объеме несколько элементов).

2. Собирательные и разделительные

Собирательные понятия – это такие понятия, в которых отображены признаки совокупности, собрания, группы однородных предметов, представляющих единое целое, например, “полк”, “собрание”, “человечество”. То, что утверждается в собирательном понятии, относится ко всем предметам, обозначаемым данным понятием, но не может быть приложимо к отдельным предметам, входящим в это целое. Например, в сообщении о том, что “собрание учеников десятого класса проходило очень шумно” понятие “собрание учеников десятого класса” употребляется в собирательном смысле. Это сообщение нельзя распространить на каждого ученика. Возможно, что некоторые ученики не шумели. Собирательные понятия тем отличаются от общих понятий, что ими нельзя характеризовать отдельный предмет, а только их совокупность.

Разделительное понятие – это такое понятие, которое характеризует каждый отдельный член какого-либо класса, но не может быть приложимо к классу в целом. Например, “Студенты второго курса сдали экзамен по философии”. Хотя здесь говорится обо всех студентах, но экзамен сдавал каждый.

3. Конкретные и абстрактные

Если элемент объема – предмет (материальный или идеальный), явление, ситуация, то понятие конкретное. Если же элементом является свойство или отношение – понятие абстрактное. Например, понятия: “дружба”, “параллельность”, “работоспособность” являются абстрактными, так как в них мыслятся отношения или свойства. Понятия же “идеализм”, “вечный двигатель”, “революция” – конкретные, потому что в них мыслятся предметы, события пусть даже не существующие.

4. Положительные и отрицательные

Положительным называется такое понятие, которое отображает наличие в предмете того или иного качества (например, “красивый”, “высокий”, “здоровый”).

Отрицательным называется такое понятие, которое отображает отсутствие в предмете того или иного качества (например, “некрасивый”, “невысокий”, “нездоровый”). Следует отметить, что с логической точки зрения понятие “неумный” является отрицательным, а понятие “глупый” – положительным, ибо в нем указывается на наличие, а не отсутствие признака, хотя этот признак может быть плохим с чьей-то точки зрения.

5. Относительные и безотносительные

Относительными называются такие понятия, в содержании которых имеется признак, прямо указывающий на отношение к какому-то другому предмету. Например, “сосед” – понятие относительное, потому что сосед это – человек, проживающий рядом с каким-нибудь другим человеком, или предмет, занимающий ближайшее к какому-то другому предмету место. Во всех относительных понятиях обобщаются предметы, рассматриваемые не сами по себе, а как вступившие в какие-то отношения, как выполняющие некоторые функции.

В содержание безотносительных понятий включены только признаки-свойства, которые присущи или не присущи предмету самому по себе и существенны для него самого по себе. Рассматривая некоторый предмет, безотносительно к чему бы то ни было, мы можем обнаружить у него, например, свойства живого существа с позвоночником, с постоянной температурой тела и молочными железами. На основании этих свойств мы можем считать предмет элементом объемов понятий: “животное”, “позвоночное животное”, “теплокровное животное”, “млекопитающее животное”, каждое из которых является безотносительным.

Любое понятие можно охарактеризовать сразу по всем указанным рубрикам. Например, понятие “рабочий класс” – общее, собирательное, конкретное, положительное, безотносительное. Оно – общее, потому что рабочий класс бывает разный, например, рабочий класс Англии. Оно – собирательное, поскольку элементом объема является, например, рабочий класс Англии XIX в. , который есть множество наемных рабочих. Это понятие – конкретное, так как в нем мыслится не свойство и не отношение, а предмет. Оно – положительное и безотносительное, потому что в его содержании нет отрицательного признака, и признаки его содержания не указывают на отношение к чему-либо.

Понятие рода и вида.

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Понятие рода и вида.
Рубрика (тематическая категория)	Логика

Операции обобщения и ограничения тесно связаны с важными для логики понятиями рода и вида . Понятие А является родом по отношению к понятию В, в случае если А должна быть получено в результате обобщения В. Понятие В является видом понятия А, в случае если В должна быть получено в результате ограничения А.

Совершать операции обобщения и ограничения понятий можно только с теми понятиями, которые связаны родо-видовыми отношениями.

Нельзя совершать данные операции с понятиями, которые представляют между собой связь части и целого.

К примеру: факультет – университет; звезда – созвездие и т.д.

2.6. Упражнения

1. Укажите, какие группы слов выражают понятия, а какие – нет.

Студент, светает, человек смеется; человек, который смеется, действие или бездействие; деяние есть действие или бездействие.

2. Определите, какие операции произведены с понятиями и правильно ли они произведены:

парламентская республика → республика → форма правления;

общество → классовое общество → интеллигенция;

юридический факультет – факультет → университет;

море → Балтийское море → Финский залив;

Полярная звезда → созвездие Малой Медведицы → созвездие.

3. Обобщите и ограничьте понятия:

кража, ВУЗ, планет, школа, Уголовный кодекс, воспитание, судья.

4. Укажите ближайший род для следующих понятий:

автократия, клевета͵ студент, преступление, коллектив, понятие.

5. Укажите ближайший вид для следующих понятий:

деяние, коллектив, преступление, дивизия, коллектив МГУ, демократия.

3.Виды понятий

Все понятия можно разделить по следующим признакам:

I. По характеру признаков.

II. По числу элементов объёма понятий.

III. По характеру элементов объёма.

3.1.По характеру признаков.

а) Положительные и отрицательные.

Положительным принято называть понятие, в основном содержании которого встречаются только положительные признаки.

Отрицательным принято называть понятие, в основном содержании которого встречается хотя бы один отрицательный признак.

Понятие "преступление" является положительным, так как в его содержание входят только положительные признаки: "предусмотренность уголовным законом", "быть деянием" и "быть общественно "опасным"; понятие "человек" – положительное, так как признаки: "обладать разумом, речью, способностью к орудийной, целœесообразной деятельности" - ϶ᴛᴏ положительные признаки.

Понятие "автократия" – отрицательное, так как будучи разновидностью монархии, при этой форме правления отсутствуют подлинно представительные учреждения, ᴛ.ᴇ. наличествует отрицательный признак.

б) Относительные и абсолютные.

Абсолютным принято называть понятие, в основном содержании которого встречаются только признаки – свойства. К примеру, квадрат - ϶ᴛᴏ прямоугольный равносторонний четырехугольник.

Относительным принято называть понятие, в основном содержании которого встречается хотя бы один признак – отношение.

К примеру: должник – кредитор, истец – ответчик, мать – ребенок и т.п.

3.2. По числу элементов объёма.

а) пустые

б) единичные

Пустым принято называть понятие, объём которого представляет собой пустое множество, ᴛ.ᴇ. не содержит в себе ни одного предмета.

Это – вечный двигатель, круглый квадрат, русалка и др.

Единичным принято называть понятие, в объём которого входит ровно один элемент. Это – "Луна", "первый космонавт", "нынешний президент России".

Общим принято называть понятие, в объём которого входит более одного элемента. Это – "спутник Земли", "президент", "космонавт" и т.д.

3.3. По характеру элементов объёма

а) Собирательные и разделительные.

Собирательным принято называть понятие, элементы объёма которого сами составляют множества однородных объектов.

К примеру, понятие "толпа" является собирательным, поскольку элементами объёма являются отдельные толпы, которые, в свою очередь, состоят из однородных предметов – людей.

Понятие "библиотека" – собирательное, поскольку элементы объёма этого понятия состоят из однородных предметов – книᴦ.

Разделительным принято называть понятие, элементы объёма которых не представляют из себямножеств однородных объектов.

К примеру, человек, студент, стул, логика, преступление и т.п.

б) Абстрактные и конкретные.

Абстрактными называются понятия, элементами объёма которых являются свойства или отношения.

Примеры: "Справедливость", "белизна", "преступность", "отцовство" – всœе это абстрактные понятия.

Конкретными называются понятия, элементами объёма которых являются сами предметы.

Примеры: "Стул", "стол", "тень", "преступление", "музыка" – всœе это конкретные понятия.

Понятие рода и вида. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Понятие рода и вида." 2017, 2018.

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет равные стороны, равносторонний треугольник - равные углы, четные числа делятся на 2 и т.д. Данные объекты имеют и другие свойства: квадрат имеет прямые углы, равносторонний треугольник - равные стороны, четные числа на 1 больше нечетных в порядке их следования.

При выделении объекта из ряда других объектов различают его существенные и несущественные свойства.

Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него не может существовать.

Несущественные свойства - это свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.

Например, четные числа делятся на 2 - существенное свойство, больше на 1 - несущественное.

Чтобы понимать, что представляет собой объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.

Условимся обозначать понятия строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Так, говоря о квадрате, имеют в виду геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Объем понятия - это множество объектов, обозначаемых одним термином. Соответственно обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C…

Совокупность всех взаимосвязанных существенных свойств объекта, отраженных в данном понятии, составляет содержание понятия.

Рассмотрим,например,понятие «прямоугольник».

Объем понятия - это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник». В содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник».

Если объемы понятий a и b не пересекаются, т.е. А В=, то говорят, что понятия a и b несовместимы.

Если объемы понятий a и b находятся в отношении пересечения, т.е. А В, то понятия совместимы.

Если объем понятия а является собственным подмножеством объема понятия b , т.е. А В и АВ , то говорят, что:

1) понятие а является видовым по отношению к понятию b , а понятие b - родовым по отношению к a ;

2) понятие a уже, чем понятие b , а понятие b шире понятия а ;

3) понятие а есть частный случай понятия b , а понятие b есть обобщение понятия а.

Например, если а - «прямоугольник», b - «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения: А В и АВ , поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если объемы понятий равны, т.е. А=В, то говорят, что понятия а и b тождественны.

Например, понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник» тождественны, так как их объемы совпадают.

Рассмотрим подробнее отношение вида и рода между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовым являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Например, «параллелограмм».

В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами прямоугольника.

Так как объем понятия является множеством, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера. Установим отношения между некоторыми понятиями и изобразим отношения между их объемами на кругах Эйлера: 1) а - «целое число»,
b - «натуральное число», с - «отрицательное число»; 2) а - «дерево», b - «растение», с - «кустарник».

Решение: Выясним, в каком отношении находятся данные объемы.

1) Целое число может быть как положительным, так и отрицательным. Натуральные числа - это целые положительные. Отрицательные числа могут быть и целыми и дробными. Значит В А, АС, ВС. На кругах Эйлера это выглядит так.

Материал из Юнциклопедии

Определение - математическое предложение, предназначенное для введения нового понятия на основе уже известных нам понятий. В определении обычно содержится слово «называется». Например, определение ромба формулируется следующим образом: «Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны между собой». В этом определении новое понятие «ромб» введено на основе ряда понятий, уже известных к этому времени: «параллелограмм», «сторона», «смежные стороны», «равенство отрезков». Эти ранее введенные понятия, в свою очередь, определяются через предыдущие. Например, «параллелограмм» определяется через ранее введенные понятия «четырехугольник», «противоположные стороны четырехугольника», «параллельные прямые». В конце концов мы приходим к небольшому числу первоначальных понятий, через которые можно определить все встречающиеся в курсе геометрии понятия. Сами же первоначальные понятия не определяются, а их свойства описываются аксиомами.

Данное выше определение ромба можно записать в виде:

(дан параллелограмм ABCD) (АВ = ВС) опр⇒ (ABCD- ромб).

Эта запись похожа на запись теоремы (см. Необходимое и достаточное условия), но здесь назначение частей этой записи иное. Первая часть записи (аналогичная разъяснительной части теоремы) указывает родовое понятие, с помощью которого вводится новое понятие. В данном случае родовым понятием является параллелограмм, т.е. ромбы выделяются из множества всех параллелограммов. Вторая часть определения (аналогичная условию теоремы) указывает видовые отличия, т.е. те свойства, которыми должен обладать параллелограмм, чтобы его можно было назвать ромбом. Наконец, третья часть определения (аналогичная заключению теоремы) вводит новый термин, т.е. название вводимого понятия-в данном случае «ромб». То, что ABCD является ромбом (при выполнении видовых отличий), доказывать не нужно-это справедливо по определению. Поэтому под знаком => ставят запись «опр.», которая указывает, что мы имеем дело с определением, а не с теоремой.

Еще один пример: квадратом называется ромб, один из углов которого-прямой. Это можно записать так:

(дан ромб ABCD) (∠A = 90°) опр⇒ (ABCD-квадрат).

Здесь родовое понятие - ромб, видовое отличие задается равенством ∠А = 90° (т. е. один из углов - прямой), а новый термин (т.е. название вводимого понятия) - квадрат (рис. 1).

Аналогично могут быть рассмотрены и другие определения. Например, при рассмотрении поля родовым понятием является множество, а видовыми отличиями-аксиомы поля (см. Аксиоматика и аксиоматический метод).

В принципе можно обойтись вовсе без определений, излагая какую-либо математическую теорию. Например, можно изгнать термин «гипотенуза» из школьного курса геометрии, заменив его всюду на «сторона треугольника, лежащая против прямого угла». Уже из этого примера видно, насколько такая замена удлиняет текст (и осложняет его понимание), а ведь мы заменяем только одно слово! Легко представить себе, что было бы, если бы мы захотели излагать геометрию (и не только геометрию) вовсе без определений!

Давая определения, нужно следить за тем, чтобы не возникло порочного круга. Такой порочный круг возникнет, например, если мы определим простое число как число, не являющееся составным, а затем определим составное число как число, не являющееся простым. Ясно, что такие «определения», по сути дела, ничего не определяют. Другими словами, нельзя, чтобы какое-то понятие А 1 определялось через A 2 , А 2 - через А 3 , ..., А k-1 - через Ак, а А k - снова через А 1 .

Математические понятия

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнения и др. Третью группу составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Чтобы изучать все разнообразие понятий, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли , отражающую объекты (предметы и явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово (термин) или группа слов.

Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира , математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функции, т.е. абстракцией от абстракций.

1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные . Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать . Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата АВСD свойство «сторона АВ горизонтальна».

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Вообще, объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».

Объем понятия – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот . Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z.

Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

Если А ⊂ В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.

Например, если а – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А ⊂ В и А ≠ В), поэтому всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если А = В, то говорят, что понятия А и В тождественны.

Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равнобедренный треугольник», так как их объемы совпадают.

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями.

1. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

2. Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди указанных можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

3. В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и b, если:

1) а – «прямоугольник», b – «ромб»;

2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;

3) а – «прямая», b – «отрезок».

Отношения между множествами отображены на рисунке соответственно

2. Определение понятий . Определяемые и неопределяемые понятия.

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b.

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом ⇔, и тогда определение выглядит так:

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b.

Определения, имеющие такую структуру, называются явными . Рассмотрим их подробнее.

Обратимся ко второй части определения «прямоугольник».

В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник».

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Вообще видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы:

Знак «+» используется как замена частица «и».

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:

А = {х/ х ∈ С и Р(х)}.

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем их.

1. Определение должно быть соразмерным . Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.

2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга . Это означает, что нельзя определять понятие через само себя.

3. Определение должно быть ясным . Требуется, например, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному . Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И тогда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое понятие (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).