Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

ОК-1 владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения, умение логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь

ОК-2 готовность к кооперации с коллегами, работе в коллективе; знание принципов и методы организации и управления малыми коллективами; способность находить организационно-управленческие решения в нестандартных ситуациях и готов нести за них ответственность

ПК-25 способность обосновывать правильность выбранной модели, сопоставляя результаты экспериментальных данных и полученных решений

ПК-26 готовность использовать математические методы обработки, анализа и синтеза результатов профессиональных исследований

1.3. Планируемые результаты освоения дисциплины

знания: по функциональному подходу к исследованию задач системного анализа и задач управления на основе современных математических технологий, моделям и методов представления математических моделей в функциональных пространствах с операторами, сохраняющими эти пространства, а также по приложениям м етодов для решении сложных научных и инженерных задач, методам решения задач с доказательствами сходимости решений;

умения: правильно и конструктивно выбирать и примнять методы для решения инженерной и научных задач с использованием знаний в области функционального анализа, разрабатывать базы знаний, соответствующие методам и моделям функционального анализа, выбирать и использовать пакеты прикладных программ.

навыки: формализации задач, выбора и конструирования необходимых типов алгебраических структур и их использования для решения интеллектуальных задач.

2. Место дисциплины в ООП

Дисциплина «Введение в функциональный анализ» согласно федеральному ГОС направления подготовки 230400 «Информационные системы и технологии» (квалификация: бакалавр) является дисциплиной учебного цикла ().

Изучение дисциплины «Введение в функциональный анализ» базируется на результатах освоения следующих дисциплин:

Результаты изучения дисциплины «Введение в функциональный анализ» используются при изучении следующих дисциплин:

3. Распределение трудоёмкости освоения дисциплины по видам учебной работы

3.1. Виды учебной работы

4. Непрерывные операторы в метрических пространствах

4.1. Непрерывные операторы в метрических Знания, умения на уровне

5. Образовательные технологии

В преподавании курса используются преимущественно традиционные образовательные технологии:

– лекции,

– практические занятия.

Занятия в активной и интерактивной формах

Не предусмотрены.

6. Лабораторный практикум

"Не предусмотрен"

7. Практические занятия

Программой предусмотрены следующие практические занятия:

1. Евклидовы пространства.

2. Нормированные пространства.

3. Гильбертовы пространства.

4. Линейные операторы.

5. Обратные операторы.

8. Организация и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

СРС направлена на закрепление и углубление освоения учебного материала, развитие практических умений. СРС включает следующие виды самостоятельной работы студентов:

Примерное распределение времени самостоятельной работы студентов.

Примерная Вид самостоятельной работы трудоёмкость,

Текущая СРС

Примерное распределение времени самостоятельной работы студентов

Примерная Вид самостоятельной работы трудоемкость,

Текущая СРС

9. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

9.1. Адрес сайта курса saiu.ftk.spbstu.ru

Основная литература

9.3. Технические средства обеспечения дисциплины

"не предусмотрены"

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины

"не предусмотрены"

11. Критерии оценивания и оценочные средства

11.1. Критерии оценивания

1. Для оценки знаний по дисциплине в случае ответов по билетам (два вопроса в билете):

1.1. В случае правильного ответа на один вопрос по билету - оценка "Удовлетворительно".

1.2. В случае правильного ответа на два вопроса по билету плюс один дополнительный вопрос по темам конспекта - оценка "Хорошо".

1.3. В случае правильного ответа надва вопроса по билету и ответа на два и более, по решению преподавателя, дополнительных вопроса по темам конспекта - оценка "Отлично".

1.4. В остальных случаях - оценка "Неудовлетворительно".

11.2. Оценочные средства

Список экзаменационных вопросов по дисциплине "Введение в функциональный

1. Понятие пространства в математике. n-мерное векторное пространство.

2. Норма вектора. Скалярное произведение векторов.

3. Линейные преобразования. Матрицы.

4. Норма оператора линейного преобразования.

5. Векторы с бесконечным множеством координат.

6. Пространство L2. Сходимость последовательности векторов.

7. Непрерывность нормы и скалярного произведения.

8. Линейные функционалы. Линейные операторы.

9. Понятия теории множеств.

10. Определение метрического пространства.

11. Сходимость в метрическом пространстве.

12. Замкнутые и открытые множества.

13. Полные метрические пространства. Счетные множества.

14. Непрерывные операторы и функционалы.

15. Неподвижные точки. Метод последовательных приближений.

16. Операторы сжатия. Интегральные уравнения.

17. Теорема Пеано.

18. Линейные системы. Нормированные пространства.

19. Конечномерные пространства. Подпространства.

20. Задача о наилучшем приближении.

21. Пространства со счетным базисом.

22. Скалярное произведение. Определение гильбертова пространства.

23. Понятие ортогональности. Проекция элемента на подпространство.

24. Ортогональные разложения гильбертова пространства. Ортогональные системы элементов.

25. Основные свойства пространства L2.

26. Ортогональные ряды. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма.

27. Среднее значение функции.

28. Аддитивные операторы.

29 Ограниченность линейных операторов. Распространение линейных операторов.

30. Пространство линейных операторов.

31. Обратные операторы. Матричные линейные операторы.

Особенностью учебного процесса по дисциплине «Введение в функциональный анализ» является необходимость получения студентами значительной части необходимой информации при спользовании учебно-методической и справочной литературы в процессе самостоятельной работы над практическими заданиями.

Функциональный анализ

Функциональный анализ - раздел высшей математики , в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства (в основном пространства функций ) и их отображения.

Основные разделы классического функционального анализа - это теория меры и интеграла, теория функций, теория операторов, дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине 20 века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.

Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале 21 века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений , математической физике, теоретической физике (см. квантовая механика , теория струн), теории управления и оптимизации , теории вероятностей , математической статистике , теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье , используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также является частью функционального анализа.

Образно функциональный анализ естественно рассматривать как обобщение соединённых вместе линейной алгебры и математического анализа.

Некоторые понятия функционального анализа

История

Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений . Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах .

Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).

Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов :

В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет -преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши .

Числовые функции на пространствах функций называют функционалами. Возможно, с этим обстоятельством связано возникновение термина «функциональный анализ». Так, в классической механике для нахождения траектории движения частицы требуется исследовать на минимум функционал действия, для чего его приходится дифференцировать; а поскольку под термином «анализ» в математике понимается интегральное и дифференциальное исчисление, то естественно предположить, что нахождение экстремали функционала действия - одна из первейших задач, давших функциональному анализу его имя.

Ключевые результаты

• Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха - Штейнгауза) применимый к набору операторов с точной границей.
• Принцип oткрытости отображения. Как её следствия - теорема Банаха об ограниченности линейного оператора, обратного биективному линейному ограниченному оператору, теорема о замкнутом графике .
• Теорема Хана - Банаха о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых пространствах.
• Одна из спектральных теорем (которых в действительности больше чем одна), дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве . Это теорема центральной важности для математического обоснования квантовой механики .

Направление исследований

Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие тенденции:

• Мягкий анализ . Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
• Геометрия Банаховых пространств .
• Некоммутативная геометрия . Разработанная Аленом Конном , частично построенная на более ранних представлениях, таких как аппроксимация Джоржа Макки (George Mackey) в эргодической теории.
• Связь с квантовой механикой . Также более узко определённая как в математической физике, или истолкованное более обще, например Гельфандом , включается в более типичную теорию изображений.
• Квантовый функциональный анализ Исследование пространств операторов, вместо пространств функций.
• Нелинейный функциональный анализ . Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей, и др. в рамках функционального анализа.

Примечания

См. также

Литература

• Банах С. Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ISBN 5-93972-031-5 .
• Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
• Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009 г. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6 .
• Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. – М.: ИЛ,1962.
• Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. II: Спектральная теория. – М.: Мир,1966.
• Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т. III: Спектральные операторы. – М.: Мир,1974.
• Иосида К. Функциональный анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 1967. 624 с.
• Канторович Л. В. , Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
• Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - изд. четвёртое, переработанное. - М .: Наука , . - 544 с.
• Люстерник Л. А. , В. И. Соболев. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. М.: Наука, 1965. 520 c.
• Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. - 232с.
• О возникновении и развитии функционального анализа. Сб. статей. // Историко-математические исследования . - М .: Наука , 1973. - № 18. - С. 13-103.
• Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. - 744с.
• Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
• Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. - М .: Наука , . - 496 с.
• Функциональный анализ / редактор Крейн С. Г.. - 2-е, переработанное и дополненное. - М .: Наука , . - 544 с. - (Справочная математическая библиотека).
• Хелемский A. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2009. - 304с.
• Хелемский A. Я. Квантовый функциональный анализ в бескоординатном изложении. М.: МЦНМО, 2004. - 552с.
• Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Мозг
• Хаусдорфово пространство

Смотреть что такое "Функциональный анализ" в других словарях:

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ - один из основных разделов современной математики. Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и методов многих разделов классического математического анализа, алгебры, геометрии. Характеризуется использованием понятий,… … Большой Энциклопедический словарь

функциональный анализ - сущ., кол во синонимов: 1 функан (2) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

функциональный анализ - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN function analysis … Справочник технического переводчика

Функциональный анализ - I Функциональный анализ часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… … Большая советская энциклопедия

Функциональный анализ - разновидность анализа, характеризующегося как метод выявления функций рассматриваемого объекта и изучение их влияний на другие объекты. Функциональный анализ применим лишь к тем явлениям, которым приписываются функции, например, общественные… … Основы духовной культуры (энциклопедический словарь педагога)

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ - 1. Вообще – анализ сложной системы, при котором основное значение уделяется функциям различных аспектов системы и способу интеграционного оперирования. Такой анализ обычно преуменьшает значение фактической формы или структуры. Анализируемой… … Толковый словарь по психологии

И интеграла, теория функций , теория операторов , дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине XX века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.

Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале XXI века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений , математической физике, теоретической физике (в том числе, квантовой механике , теории струн), теории управления и оптимизации , теории вероятностей , математической статистике , теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье , используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также может рассматриваться как часть функционального анализа.

Некоторые понятия функционального анализа

История

Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений . Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах .

Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).

Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов :

В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет -преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши .

Ключевые результаты

Направление исследований

Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие ветви:

• Мягкий анализ . Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
• Геометрия Банаховых пространств .
• Некоммутативная геометрия . Разработана Аленом Конном , частично построена на аппроксимации Джорджа Маки (George Mackey) в эргодической теории.
• Теория изображений . Связана с квантовой механикой.
• Квантовый функциональный анализ . Исследование пространств операторов вместо пространств функций.
• Нелинейный функциональный анализ . Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей и др. в рамках функционального анализа.

Примечания

См. также

Литература

• Банах С. Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ISBN 5-93972-031-5 .
• Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
• Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009 г. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6 .
• Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. – М.: ИЛ,1962.
• Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. II: Спектральная теория. – М.: Мир,1966.
• Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т. III: Спектральные операторы. – М.: Мир,1974.
• Иосида К. Функциональный анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 1967. 624 с.
• Канторович Л. В. , Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

Посвящается тридцатилетию кафедры функционального анализа БГУ

Функциональный анализ изучает множества, снабженные согласованными между собой алгебраическими и топологическими структурами, и их отображения, а также методы, с помощью которых сведения об этих структурах применяются к конкретным задачам. Как самостоятельная математическая дисциплина функциональный анализ оформился в начале XX века в результате переосмысления и обобщения ряда понятий математического анализа, алгебры и геометрии. Основополагающая монография Стефана Банаха Теория линейных операций была опубликована в 1932 году. За последующие десятилетия функциональный анализ глубоко проник почти во все области математики.

Основой для широких приложений функционального анализа является то, что большинство задач, возникающих в математике и математической физике, касается не отдельных объектов типа функций, мер или уравнений, а, скорее, обширных классов таких объектов, при- чем на этих классах обычно существует естественная структура векторного пространства и естественная топология. Среди областей применения функционального анализа можно указать математическую физику, теорию функций, теорию дифференциальных и интегральных уравнений, теорию вероятностей, методы вычислений, квантовую механику, математическую экономику и ряд других научных направлений.

Естественно, что функциональный анализ стал одной из базовых дисциплин в университетском математическом образовании, опубликовано много учебных пособий и монографий разного уровня сложности. Особенностью данной книги, предназначенной для студентов математических специальностей университетов, является то, что при ее написании ставилась цель отобрать минимум материала, который отражает основные идеи и методы функционального анализа, и вместе с тем может быть достаточно подробно изложен за время, отведенное учебным планом на курс Функциональный анализ и интегральные уравнения.

В книге изложены основы теории меры и интеграла Лебега, метрических и нормированных пространств и операторов в них, основные принципы линейного функционального анализа, основы теории обобщенных функций и топологических векторных пространств. Интегральные уравнения рассматриваются в качестве одного из основных объектов приложений. Соответствующие результаты не выделены в отдельную главу, а распределены по книге и носят характер иллюстраций и следствий общих утверждений, что позволяет демонстрировать плодотворность методов функционального анализа.

Приложение содержит основные факты из общей топологии, которые нужны для более глубокого понимания ряда вопросов и используются в основном в главе IX.

В основу книги положен курс лекций, который в течение ряда лет читается авторами на механико-математическом факультете Белорусского государственного университета. Содержание основного курса изложено в главах I VII, материал глав VIII и IX обычно излагается в спецкурсах.

Первое издание книги вышло в 1984 году. В рецензировании первого издания участвовали член-корреспондент РАН Л. Д. Кудрявцев, профессора Б. И. Голубов и В. М. Говоров, чьи критические замечания и полезные советы способствовали существенному улучшению содержания книги.

При подготовке второго издания были переработаны и расширены некоторые разделы, устранены обнаруженные опечатки и неточности. Мы благодарны рецензентам второго издания академику НАН Беларуси И. В. Гайшуну, член-корреспонденту НАН Беларуси В. И. Корзюку, профессорам П. П. Забрейко и В. Н. Русаку за ценные замечания.

Мы выражем благодарность доцентам кафедры функционального анализа БГУ М. Х. Мазель и Л. Г. Третьяковой, участвовавшим в подготовке и редактировании текста, а также Г. И. Радыно и Е. М. Радыно за техническую помощь при подготовке рукописи.

В книге принята сплошная нумерация параграфов, ссылки внутри параграфа даются без указания его номера. Знаком B обозначается

начало доказательства, а знаком C его окончание. Знак:= читаетсяположим по определению или обозначим.

ТЕОРИЯ МЕРЫ

Ÿ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Новые математическое объекты и понятия вводятся всегда с помощью других, более общих объектов, и определяются как такие более общие объекты, удовлетворяющие некоторым условиям. Более общие объекты, в свою очередь, были введены с помощью еще более общих и т. д. Такая цепочка понятий должна ãäå-òî оканчиваться какие-то объекты должны быть приняты за базовые, которые не вводятся с помощью более общих понятий. Таким базовым понятием в современной математике обычно считается понятие множества. Множество можно понимать как совокупность, набор, собрание некоторых объектов произвольной природы, которые называют элементами данного множества. МножествоX считается заданным, если известны его элемен-

ты, т. е. для любого объекта a выполнено: либоa является элементомX (записываетсяa 2 X ) ëèáîa не является элементомX (записываетсяa 62X ) :

Напомним основные понятия теории множеств.

Åñëè A èB множества, то множествоA называется подмножеством множестваB (обозначаетсяA ½ B ) ; если каждый элемент множестваA является элементом множестваB:

Множество всех подмножеств множества X обозначаетсяP(X ) : Множество, состоящее из одной точкиx; обозначаетсяfxg: Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается;: Для любого множестваX выполнено; ½ X:

Если для элементов множества X задано некоторое свойствоP (x ) , то подмножество множестваX , состоящее из всех элементовx 2 X; для которых свойствоP (x ) выполнено, записывают следующим обра-

çîì: fxj x 2 X; P(x) gèëè fx 2 X: P(x) g:

Заметим, что свойство P (x ) задает подмножество вX только в том

случае, когда это свойство сформулировано так, что для каждого элемента x существует определенный ответ: выполнено это свойство для

данного x или не выполнено. Известны примеры таких формулиро-

вок свойств элементов, для которых только достаточно внимательный анализ показывает, что они не удовлетворяют этому требованию.

П р и м е р (п а р а д о к с Р и ш а р а). Пусть X = N åñòü ìíî-

жество натуральных чисел. Некоторые натуральные числа могут быть заданы с помощью фраз на русском языке. Пусть M есть совокупность

всех натуральных чисел, которые могут быть заданы с помощью фраз, содержащих не более 20 слов, каждое из которых записывается с помощью не более чем 20 букв. Так как всех возможных фраз указанных размеров конечное число, то совокупность M не может совпадать со

всем множеством N .

Пусть a есть наименьшее из натуральных чисел, которые не мо-

гут быть заданы фразой, содержащей менее 20 слов. Последняя фраза содержит менее 20 слов, каждое из которых записывается с помощью не более чем 20 букв, и эта фраза задает число a . Тем самымa

является элементом M . Но, по смыслу этой фразы, числоa не является элементом совокупностиM . Таким образом, указанное свойство

натурального числа не задает подмножество, т. е. это свойство нечетко задано.

Пусть A èB множества; пересечением этих множеств называ-

ется множество A \ B = fxj x 2 A; x 2 Bg: Åñëè(A n ) n >1 последова- тельность множеств, то их пересечением называется множество

An = fxj x 2 An ; n= 1 ;2 ; : : :g:

Аналогично, если (A i ) i2I семейство множеств, занумерованных элементами некоторого множестваI; òî

Ai = fxj x 2 Ai 8i 2 Ig:

Объединением множеств A èB называется множествоA [ B =

Fxj x 2 A èëèx 2 Bg: Åñëè(A i ) i2I семейство множеств, то объединением называется множество

Ai = fxj 9i 2 I;÷òî x 2 Ai g:

Åñëè A ½ S i2I A i , то говорят, что семейство множествA i является

покрытием` множестваX:

Знаком будем обозначать в дальнейшем объединение непересекающихся множеств (дизъюнктное объединение). Таким образом,

f (i ) 2 X i :

непустых множеств

Fxj x 2 A; x 62Bg:Åñëè A ½ B;òî A n B= ;;т. е. разность несет

мало информации о взаимном расположении множеств. Более точно его учитывает симметрическая разность:

A4B = (A n B) (B n A) = (A B) n(A B) :

Для наиболее часто встречающихся множеств будем использовать стандартные обозначения: N множество натуральных чисел; Z

множество целых чисел; Q множество рациональных чисел; R множество действительных чисел; C множество комплексных чи-

ñåë; R+ множество положительных действительных чисел; Rn действительное n -мерное пространство; Cn комплексное n -мерное

пространство; P(X ) множество всех подмножествX:

Декартовым произведением множеств X èY называется множество упорядоченых пар элементов

X £ Y = f(x; y) j x 2 X; y 2 Y g:

Åñëè (X i ) ; i 2 I; семейство множеств, занумерованных элемен-

тами некоторого множества I; то их произведением называется мно-жество i Q 2I X i ; состоящее из семейств элементов, занумерованных эле-

ментами множества I (функций наI ), таких, что Утверждение о том, что произведениеQ X i

всегда не является пустым, принимается в теории множеств как следующая аксиома.

Аксиома выбора. Для всякого семейства непустых множеств X i ; i 2 I; существует функцияf на множествеI такая, что зна-

чение f (i ) принадлежитX i для любогоi 2 I:

Другими словами можно сказать, что аксиома выбора утверждает существование множества, содержащего ровно по одному элементу из каждого множества X i : В теории множеств доказывается, что это утверждение не может быть получено из других, более очевидных свойств. Поэтому утверждения о существовании некоторых объектов,

флексивным, если

доказательства которых основаны на аксиоме выбора, не являются конструктивными они не указывают способа явного построения искомого объекта.

Определение 1. Отношением между множествамиX èY называется любое подмножествоR из декартова произведенияX £ Y: ÅñëèX = Y; то отношениеR называется (бинарным) отношением на множествеX:

П р и м е р ы отношений на множестве R:

1. x6 y;ò. å. f(x; y) 2R £R j x6 yg;

2. y= sin x;ò. å. f(x; y) 2R £R j y= sin xg;

3. x ¡ y 2Z ;ò. å. f(x; y) 2R £R j x ¡ y 2Z g:

Определение 2. ОтношениеR на множествеX называется ре-

(x; x ) 2 R äëÿ8x 2 X ; симметричным, если из

(x; y ) 2 R следует(y; x ) 2 R ; транзитивным, если из(x; y ) 2 R è(y; z ) 2 R следует(x; z ) 2 R: ОтношениеR называется антисиммет-

ричным, если из (x; y ) 2 R è(y; x ) 2 R следуетx = y: Наиболее часто используются следующие виды отношений.

1. Отношение эквивалентности

Отношение R ½ X £X называется отношением эквивалентности

на множестве X; если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Обычно условие(x; y ) 2 R в случае отношения эквивалентности запи-

сывается в виде x » y èëèx » y:

Если на множестве X задано отношение эквивалентности, то мно-

жество X разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных

между собой элементов. Класс эквивалентности, содержащий элемент x; обозначаем[ x ] :

П р и м е р. В качестве X возьмем множество целых чиселZ : Введем отношение эквивалентности:x » y; åñëèx ¡ y = 3 k; k 2 Z : МножествоZ распадается на три класса

= { . . . , -6, -3, 0, 3, 6, . . . } ; = { . . . , -5, -2, 1, 4, 7, . . . } ; = { . . . , -7, -4, -1, 2, 5, . . . }.

2. Отношение порядка

Отношение R на множествеX называется отношением порядка,

если оно транзитивно, рефлексивно и антисимметрично. Обычно условие (x; y ) 2 R в случае отношения порядка записывают в видеx Á y è

читают x предшествуетy èëèy следует заx . 8

functional analysis) Поведенческая оценка делает упор на использовании эмпирических методологий, применяемых для количественного измерения целевого поведения и многочисленных контролирующих его факторов. В ист. аспекте термин "Ф. а." характеризовался широким разнообразием видов оценки поведения и определялся как "выявление важных, поддающихся контролю, каузальных функциональных зависимостей, относящихся к специфическому набору целевых форм поведения конкретного клиента". Это определение содержит в себе ряд эксплицитных и подразумеваемых характеристик. Осн. компонентом Ф. а. яв-ся каузальные функциональные зависимости. Как таковая, функциональная связь означает лишь ковариацию между двумя переменными. Некоторые функциональные связи яв-ся каузальными, тогда как др. - исключительно корреляционными. Поскольку извлекаемая в ходе Ф. а. информ. преимущественно используется для реализации планов вмешательства, специалист по анализу поведения в большей степени заинтересован в изоляции и количественной оценке каузальных функциональных связей. Каузальные функциональные зависимости могут быть мат. описаны как повышенные условные вероятности: такую зависимость можно предполагать в тех случаях, когда вероятность наблюдения выходящего за границы фоновых колебаний изменения в целевом поведении будет большей при появлении предполагаемого каузального события (его условная вероятность), чем вероятность наблюдения такого изменения в целевом поведении при непоявлении этого события (его безусловная вероятность). В целях ил. предположим, что А - это изменение уровня кровяного давления (целевое поведение), В - изменение в повседневных стрессорах (предполагаемое каузальное событие) и P - вероятность. Если вероятность изменения кровяного давления вслед за изменением в повседневном стрессе (Р[А/В]) будет выше вероятности естественного изменения кровяного давления (Р[А]), отсюда в порядке рабочей гипотезы можно вывести каузальную функциональную зависимость. Каузальные функциональные связи с конкретным целевым поведением могут иметь многие переменные. Напр., нарушение работы систем нейротрансмиттеров ЦНС, утрата ситуативного подкрепления на реакцию, повышение уровней аверсивных последствий поведения, негативные самохарактеристики и сезонные изменения в солнечном освещении - все это может оказывать каузальное влияние на депрессивное состояние конкретного клиента. Наиболее релевантным для планирования поведенческих вмешательств будет подмножество переменных, к-рые оказывают нетривиальное каузальное влияние на целевое поведение. Следовательно, второй отличительной особенностью Ф. а. яв-ся его акцент на установление наиболее важных каузальных функциональных зависимостей. Не все важные каузальные функциональные связи удается контролировать. Значимые события истории жизни (напр., травмирующий опыт) и биолог. свойства (напр., наследственность) яв-ся двумя типами важных каузальных факторов, к-рые не подлежат изменению. Поскольку поведенческие вмешательства планируются для того, чтобы вызывать изменение в целевых формах поведения, Ф. а. будет, как правило, ограничиваться выявлением поддающихся контролю (и часто существующих на данный момент) каузальных функциональных зависимостей. Следующая характеристика Ф. а. - его направленность на выявление каузальных функциональных связей, относящихся к специфическим целевым формам поведения конкретного клиента. Такой идиографический акцент согласуется с бихевиористской аксиомой о существовании важных внутри- и межиндивидных различий в причинах поведения. Наконец, поскольку Ф. а. определяется через целевое поведение, изучению в процессе оценки подвергается широкий спектр каузальных связей. Т. о., тщательному рассмотрению подлежит весь комплекс перестановок антецедент-реакция, реакция-реакция и реакция-последствие, а тж взаимодействий антецедент х х реакция х последствие. Выявление каузальных функциональных связей. Выведение заключения о существовании функциональной связи между контролируемой переменной и целевым поведением требует наличия: а) "признаков причинной обусловленности", таких как повышение условных вероятностей и/или надежной ковариации; б) предшествования по времени (т. е. предполагаемая каузальная переменная предшествует наблюдаемому эффекту, возникающему в целевом поведении); в) исключения возможных альтернативных объяснений наблюдаемой связи. Для определения того, существует ли каузальная функциональная связь между контролируемым событием и целевым поведением, могут использоваться несколько методов оценки. Для эмпирической оценки силы и надежности каузальных функциональных связей может использоваться анализ временных рядов и планы исслед. на одном объекте (испытуемом). Однако реализация этих методологий может быть сопряжена с серьезными трудностями, поскольку они требуют множества измерений и значительных усилий от клиента и обычно позволяют оценивать взаимодействия лишь между малым числом переменных. Применение различных совр. процедур оценки поведения (напр., стандартизованные самоотчеты, схемы наблюдения, поведенческие интервью, схемы самонаблюдения и психофизиологические меры) тж может обеспечивать информ. о каузальных функциональных связях. Напр., клиент может сообщать о высоких уровнях соц. тревожности при заполнении опросника, демонстрировать высокие уровни реактивности частоты сердечных сокращений в процессе разыгрывания ролей в психофизиологической лаборатории и обнаруживать слабое владение умениями соц. взаимодействия в ходе поведенческого интервью. Наличие подобных данных позволяет выдвинуть предположение о том, что соц. тревожность этого клиента обусловлена повышенной активацией симпатической НС в сочетании с дефицитами соц. умений. Однако в силу неспособности проводящего оценку специалиста установить факт предшествования по времени эти каузальные рассуждения допускают возможность альтернативных объяснений. В приведенном примере равно вероятным м. б. также предположение о том, что соц. тревожность и повышенная активация симпатической НС приводят к дефицитам соц. умений. Третий путь установления каузальных функциональных связей состоит в использовании переменных-маркеров (marker variables). Переменной-маркером яв-ся легко реализуемое измерение, надежно связанное с силой каузальной функциональной связи. Примером такого эмпирически валидизированного маркера может служить проба на вдыхание углекислого газа. Пациенты с паническими расстройствами, в сравнении с контрольной группой здоровых людей, значительно чаще проявляют симптомы острой паники при их побуждении неоднократно вдыхать воздух с высокой концентрацией углекислого газа. Т. о., реакция на этот легко реализуемый тест может использоваться как маркер для наблюдения за тем, яв-ся ли комплекс биоповеденческих связей, к-рые характеризуют паническое расстройство, действующим в отношении конкретного клиента. Хотя стратегия использования переменной-маркера может предоставлять ценную информ. в отношении каузальных функциональных связей, на сегодняшний день в литературе по анализу поведения имеется острый дефицит в эмпирически валидизированных переменных-маркерах. В рез-те, для выявлении каузальных функциональных связей оценивающие поведение специалисты в большинстве случаев опираются на невалидизированные переменные-маркеры, такие как отчеты клиентов (напр., клиент с диагностированным ПТСР может сообщить, что воспоминания о пережитом травматическом событии чаще возвращаются в ситуациях возникновения напряженности во взаимоотношениях между супругами). То, насколько точно подобные отчеты клиентов отражают присутствие и силу каузальных функциональных связей, яв-ся предметом непрекращающихся споров. Итоги и дальнейшие перспективы. Ф. а. делает упор на идентификацию и количественную оценку важных контролируемых каузальных функциональных связей для целей планирования вмешательства. Выявление каузальных функциональных связей на основе использования строгих эмпирических процедур, однако остается чрезвычайно трудной задачей для большинства специалистов по оценке поведения. Действительно, в одном из обзоров литературы по данной проблеме обнаружилось, что предваряющие вмешательство Ф. а. проводились в лишь 20% из 156 случаев исслед., опубликованных за период между 1985 и 1988 гг. Обращение к использованию методов Ф. а. может возрасти, когда в распоряжении специалистов окажется большее количество эмпирически валидизированных переменных-маркеров, и когда будут получены ответы на следующие важные вопросы. Во-первых, действительно ли предварительный Ф. а. проблемного поведения приводит к гораздо более эффективному вмешательству? Во-вторых, могут ли оценивающие поведение специалисты, при наличии соответствующей подготовки, надежно выявлять каузальные функциональные связи? В-третьих, в какой мере рез-ты Ф. а. могут распространяться на др. людей, др. формы поведения и условия? В-четвертых, каковы процессы принятия решений, к-рые регулируют проведение Ф. а. специалистами по оценке поведения? См. также Активное исследование, Зависимые переменные, Идиодинамика, Каузальное мышление, Клиническая оценка У. О"Брайен