Условия параллельности графиков двух линейных функций. Взаимное расположение графиков линейных функций

Условия параллельности графиков двух линейных функций. Взаимное расположение графиков линейных функций — Гипермаркет знаний

Описание материала: Предлагаю вам конспект урока математики для учащихся 7 класса по теме "Взаимное расположение графиков линейных функций". Данный материал будет полезен учителям математики среднего звена. В ходе урока преобладает групповая форма работы.

Конспект урока математики, 7 класс.

Тема урока : Взаимное расположение графиков линейных функций.

Тип урока: урок изучения новой темы.

Цель урока : Формирование понятия взаимного расположения графиков линейных функций и умения определять по внешнему виду функций их взаимное расположение.

Задачи:

1. Образовательная: закрепление, углубление и расширение знаний о свойствах линейной функции;

2. Развивающая: умение обобщать, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы;

3. Воспитательная: формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию; сотрудничестве со сверстниками.

Оборудование: карточки для индивидуальной работы учащихся, компьютер с мультимедийным проектором, экран.

Структура и ход урока

I. Самоопределение к учебной деятельности

Над какой серьезной темой мы начали работать на предыдущих уроках?

Чему мы уже научились?

(У каждого ученика на столе лежит лист самооценки и вариант индивидуальных заданий на карточке).

Ребята, не забывайте оценивать себя на разных этапах урока, а если выпала свободная минутка, выполняйте задания по индивидуальной карточке.

II. Актуализация знаний и фиксация затруднений.

Класс делится на две группы. Первая группа работает с учителем устно, а другая работает по индивидуальным карточкам.

Устная работа.

Задание 1. Найти: у(-1), у(0), у(-1,2), если у=5х+6

Задание 2. При каком значении аргумента значение функции у=3х-4 равно 5?

Задание 3. График какой функции изображен на рисунке?

Задание 3. Какая из прямых является графиком функции у=-5х?

Задание 4. Возрастает или убывает функция?

Укажи наибольшее и наименьшее значение функции на [ -2;1]

При каких значениях х функция принимает положительные (отрицательные) значения?

"Ученики" первой группы оценивают себя в листе самоконтроля.

Вторая группа работает по индивидуальным карточкам.

Карточка 1. Найдите точку, принадлежащую графику функции у=0,5х+2,75, абсцисса и ордината которой - противоположные числа.

Карточка 2. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и точку М(-2,5; 4). Найдите точку пересечения этого графика с прямой 3х-2у-16=0.

Результат оценивает учитель.

III. Изучение нового материала.

Класс делится на 6 групп. Каждая группа получает задание: в одной системе координат построить графики линейных функций и определить зависимость расположения графиков от коэффициентов k и m.

1) у=2х; у=2х-4; у=2х+3;

2) у=-3х; у=-3х+2; у=-3х-1;

3) у=7х-3; у=½·14х-3; у=7х-1,5·2;

4) у=х+3; у=2х-1; у=-2х-2;

5) у=2х+3; у=х+3; у=-х+3;

6) у=0,5х+8; у=½·х+8;у=0,5х+3,2:0,4.

Представитель каждой группы выходит к доске и изображает графики функций на подготовленной одной из 6 координатных плоскостях. Формулирует правило выведенное группой. Проводится обсуждение, составляется таблица выведенной закономерности. Оценивание работы на данном этапе.

Линейные функции у=k1x+m1 y=k2x+m2

IV. Первичное закрепление.

Решение № 10.4(а,б), 10.6(а,б), 10.8(а,б), 10.16(а,б) по учебнику А.Г.Мордковича.

Задание выполняемое по группам.

При каких значениях параметра а графики данных функций:

1) выполняют 1, 2, 3, 6 группы пересекаются

а) у=2ах+3, у=5х-2;

б) у=(2а-1)х, у=(4а+3)х+2а;

2) выполняют 3, 4, 5, 6 группы параллельны

а) у=3ах+5, у=6х-2;

б) у=(3-а)х+1, у=(а-1)х+5;

3) выполняют 1, 2, 4, 5 группы совпадают

а) у=2ах+7, у=4х+7;

б) у=(5а-3)х+2а-1, у=2ах+5-4а.

После выполнения работы учащиеся проверяют свои ответы, исправляют допущенные ошибки, проводят анализ причин их возникновения. Оценивание работы.

V. Рефлексия деятельности на уроке.

Что узнали нового на уроке?

Наша цель достигнута?

Какие знания нам пригодились при выполнении заданий на уроке?

Как вы можете оценить свою работу?

Передай свое отношение к уроку используя "Сигналы эллипса". Оцените степень удовлетворенности собой, своей группой и общим содержанием выполненной работы, поставив соответствующие точки по десятибалльной системе на трех осях

V. Домашнее задание § 10, №10.2

Творческое задание по группам.

Где встречается линейная зависимость в

а) биологии (1 и 2 группы);

б) литературе (6 и 3 группы);

в) физике (4 и 5 группы)?

Литература : Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович.- 13-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2009.

Цель занятия: На этом занятии вы познакомитесь с различными случаями взаимного расположения графиков линейных функций и научитесь их распознавать.

Как могут располагаться графики линейных функций?

Вы уже знаете, что графиком линейной функции является прямая.

Каково может быть расположение двух прямых на плоскости?

Они могут пересекаться, то есть иметь единственную общую точку.
Они могут быть параллельны, то есть не иметь общих точек.
Они могут совпадать, то есть иметь бесконечно много общих точек.

Определим условия для каждого из этих случае.

Начнем с последнего случая: графики двух линейных функций совпадают. Очевидно, что в том случае, когда линейная функция задана уравнением y = kx + b , очевидным условием совпадения графиков этих функций будет совпадение коэффициентов k и b .

Понятно, что если уравнения обеих функций записаны в таком виде, установить совпадение их графиков легко. Однако в том случае, когда одна из функций или каждая функция записаны по-другому, необходимо преобразовать выражения.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Даны три функции:

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2)
(2) y = 3x 2 – 3(x + 2)(x – 3) – 25
(3) y = 2x 2 + 3x – 2x (x + 2)

Выясните, графики каких из них совпадают.

Решение:

1. Для начала выясним области определения каждой функции.

Так как ни одна из функций не включает дробей со знаменателями, содержащими переменную, областью определения каждой из них является любое число.

2. Преобразуем каждую из функций.

(1) y = 2x + 3 – 5(x + 2) = 2x + 3 – 5x – 10 = –3x –7
(2) y = 3x 2 – 3(x – 2)(x + 3) – 25 = 3x 2 – 3(x 2 – 2x + 3x – 6) = 3x 2 – 3x 2 – 3x + 18 – 25 = –3x –7
(3) y = 2x 2 + 3x – 2x (x + 2) = 2x 2 + 3x – 2x 2 – 4x = –x

В результате преобразований мы получили, что выражения для первой и второй функций совпадают. Это значит, что и графики функций (1) и (2) совпадают.

Теперь рассмотрим ситуацию параллельности графиков линейных функций.

Для этого рассмотрим пример.

Пример 2.

Выяснить взаимное расположение графиков линейных функций y = –2x + 3 и y = –2x – 1.

Найдем несколько пар точек, принадлежащих графикам этих функций, для соответствующих значений аргумента и занесем эти точки в таблицу:

x	–2	–1	0	1	2	3
y = –2x + 1	7	5	3	1	–1	–3
y = –2x – 2	3	1	–1	–3	–5	–7

Видно, что в каждой точке значение функции y = –2x – 1 на 4 единицы меньше, чем значение функции y = –2x + 3. Это значит, что каждой точке графика функции y = –2x + 3 с координатами (x 0 ; y 0 ) соответствует точка с координатами (x 0 ; y 0 – 4) графика функции y = –2x – 1, то есть вся прямая сдвигается вниз на 4 единицы. Таким образом, графиком функции y = –2x – 1 является прямая, параллельная графику функции y = –2x + 3 (см. рис.1.).

Рис. 1. Графики функций y = –2x – 1 (красный) и y = –2x + 3 (синий)

Таким образом, условием параллельности графиков функций:

y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 является: k 1 = k 2 и b 1 ≠ b 2 .

Для того чтобы более подробно изучить вопрос с параллельностью прямых, поработайте с материалами видеоуроков.

«Уравнение параллельной прямой»

«Параллельные прямые».

В тех случаях, когда k 1 ≠ k 2 графики линейных функций y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 не параллельны и не совпадают. Они пересекаются в единственной точке.

Теперь поработайте с материалами электронных образовательных ресурсов (ЭОР) « » (теоретический материал) и « » (практические задания).

Рассмотрим частный случай пересечения графиков линейных функций – их перпендикулярность – и выясним, какое условие должно выполняться для того, чтобы графики функций y = k 1 x + b 1 и y = k 2 x + b 2 были перпендикулярны.

Условием перпендикулярности прямых будет выполнение условия: k 1 ∙ k 2 = –1 , то есть угловые коэффициенты прямых должны быть обратными по модулю числами с противоположными знаками.

Заметим, что с доказательством этого факта вы познакомитесь позже, в 9 классе.

Рассмотрите примеры решения задач, связанные с перпендикулярностью прямых, поработав в материалами видеоуроков.

«Перпендикулярные прямые».

«Перпендикулярные прямые 2».

Решение задач

Прежде чем переходить к решению задач, изучите материалы видеоуроков.

«Параллельные прямые 2».

«Параллельные прямые 3».

Пример 1.

Найдите координаты общих точек графиков функций.

а) y = 2x – 3(x + 2) и y = 5x + 6

Решение:

Выясним, как расположены графики функций. Для этого преобразуем первую функцию:

y = 2x – 3(x + 2) = 2x – 3x – 6 = –x – 6

Имеем функции y = –x – 6 и y = 5x + 6. Так как угловые коэффициенты этих функций не являются равными числами, то графики функций пересекаются в единственной точке (x 0 ; y 0 ).

Для того чтобы найти общую точку, нужно найти такую пару чисел (x 0 ; y 0 ), при подстановке которых и в первое, и во второе уравнение получатся верные числовые равенства. Или, рассуждая по-другому, ординаты графиков должны получиться одинаковые при равных значениях абсциссы.

То есть нужно решить уравнение: –x 0 – 6 = 5x 0 + 6, а затем найденное значение подставить в одно из уравнений для того чтобы найти значение ординаты.

Решая уравнение, получаем: –12 = 6x 0 или –2 = x 0 тогда y 0 = –4. Таким образом, координаты точки пересечения графиков функций y = –x – 6 и y = 5x + 6 является точка (–2; –4).

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 2.

Рис. 2. Графики функций y = –x – 6 (красный) и y = 5x + 6 (синий)

б) y = –2x + 3(x – 4) + 8 и y = 5x – 4(x – 1)

Решение:

Преобразуем данные функции:

y = –2x + 3(x – 4) + 8 = –2x + 3x – 12 + 8 = x – 4
y = 5x – 4(x – 1) = 5x – 4x + 4 = x + 4

Так как угловые коэффициенты данных функций совпадают, а свободные коэффициенты различны, то графики функций будут параллельны, то есть графики общих точек не имеют.

Графическая иллюстрация изображена на рисунке 3.

Рис. 3. Графики функций y = x + 4 (красный) и y = x – 4 (синий)

в) y = –2x – 3(x – 1) и y = –5x + 3

Решение:

Преобразуем первую функцию:

y = –2x – 3(x – 1) = –2x – 3x + 3 = –5x + 3

В данном случае уравнения функций одинаковые, значит, графики функций совпадают. Поэтому эти графики имеют бесконечно много общих точек.

Пример 2.

Докажите, что график функции (1) y = 6x + 3(1 – 3x ) всегда расположен выше графика функции (2) y = –x – 2(x + 2).

Решение:

Преобразуем данные функции.

>>Математика: Взаимное расположение графиков линейных функций

Взаимное расположение графиков

линейных функций

Вернемся еще раз к графикам линейных функций у = 2х- - 4 и у = 2х + 6, представленным на рисунке 51. Мы уже отмечали (в § 30), что эти две прямые параллельны прямой у = 2х, а значит, параллельны друг другу. Признаком параллельности служит равенство угловых коэффициентов (k = 2 для всех трех прямых: и для у = 2х, и для у = 2х - 4, и для у = 2х + 6). Если же угловые коэффициенты различны, как, например, у линейных функций у = 2х и у - Зх + 1, то прямые, служащие их графиками, не параллельны, и тем более не совпадают. Следовательно, указанные прямые пересекаются. Вообще, справедлива следующая теорема.

Пример 1.

Р е ш е н и е. а) Для линейной функции у = 2х - 3 имеем:

Прямая I 1 , служащая графиком линейной функции у - 2х - 3, проведена на рисунке 53 через точки (0; - 3) и (2; 1).
Для линейной функции имеем:

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Муниципальное Бюджетное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа № 4»

План-конспект урока

в 7 классе по алгебре

на тему: «Взаимное расположение графиков линейных функций»

Работу выполнила

Кожедерова Людмила Валерьевна Валерьевна,

учитель математики,

учитель первой

г. Ханты- Мансийск, МБОУ «сош № 4» 2016 г.

Учитель : Кожедерова Людмила Валерьевна

Класс: 7 класс

Тема: «Взаимное расположение графиков линейных функций» .

Цели урока :

Выяснить как определить взаимное расположение графиков линейных функций по формулам линейных функций;

Обобщить знания по теме линейная функция;

Задачи урока:

образовательные:

учить определять по угловым коэффициентам взаимное расположение графиков линейных функций,

учить находить координаты точек пересечения прямых если равны числа 𝒃 в формулах линейных функций;

развивающие:

развивать критическое мышление, память, внимание, творческий подход к решению, умение обобщать, анализировать, делать выводы;

воспитательные:

воспитывать коллективизм, умение работать в группе, развивать чувство ответственности,

повысить мотивацию к изучению предмета математики.

Тип урока : урок открытия нового знания

Форма урока : комбинированный урок

Технология : развития критического мышления, здоровьесберегающая, дифференцированный подход.

Методы : словесный, наглядный, проблемный, поисковый исследовательский, творческий, коммуникативный, аудиовизуальный.

Формы работы :

Фронтальная

Индивидуальная

Самостоятельная

Групповая

Оборудование:

учебник для 7 класса под ред.С.А. Теляковского «Алгебра-7»,

карточки план исследовательской работы для 1-ой и 2-ой групп,

карточки с творческим заданием для 3-й, 4-ой групп,

мультимедийный проектор,

карточки с самостоятельной работой,

презентация с полученными графиками,

презентация с итоговой таблицей;

Основные понятия:

Линейная функция;

Прямая- график линейной функции;

Угловой коэффициент линейной функции;

Литература

Учебник для 7 класса под ред. С.А. Теляковского «Алгебра-7».

О.Б. Епишева "Технология обучения математике на основе деятельностного

подхода".

Ю.П. Дудницын, В.А. Кронгауз "Тематические тесты.

Интернет ресурсы.

Ход урока

Орг. Момент (1 мин)

Здравствуйте, ребята! Сегодня нам предстоит сделать несколько открытий! Настроены ли Вы на работу? Улыбнемся друг другу! И в добрый путь!

II . Постановка учебной задачи (3 мин)

Тема нашего урока: " Взаимное расположение графиков линейных функций".

(Слайд 2) Можете ли вы сказать, как расположены графики функций: у=4х+25 и у=4х-17; у=-3х+7 и у=39х+7 не выполняя ни каких действий?

Сможем ли мы ответить на данные вопросы используя наши знания?(Нет)

Поэтому нам предстоит с вами исследовательская работа по выяснению взаимного расположения графиков линейных функций. Давайте подготовимся к нашим исследованиям и повторим необходимый материал, для успешного выполнения работы.

III . Актуализация и проверка знаний (5 мин)

Давайте все вместе вспомним всё, что связано с линейной функцией и запишем всё в виде схемы (кластера) (слайд 25).

Учащиеся готовы к выполнению исследовательской работы.

Молодцы сейчас мы с вами готовы приступить к работе, и совершить открытия.

IV . «Открытие нового знания». (11 мин)

Класс разделён на группы по уровням знаний 1-2 группы (низкий уровень), 3-я группа средний уровень. 4 группа высокий уровень.

У вас на партах лежат карточки с заданиями первая вторая и третья группа можете приступить к выполнению заданий (слайд 26 -29).

Графики постройте на отдельных больших листах которые лежат у вас на партах.(листы с готовой системой координат).

Четвёртая группа подумайте как можно ответить на вопросы и каким образом проверить свои решения.(слайды 29). Графики так же строятся на отдельных больших листах, для того чтобы вывесить на доске полученные результаты.

Выполняя работы группы получают следующие графики первая группа (слайд 30),

вторая группа (слайд31), третья группа (слайд 32), четвёртая (33-34 слайд).

Представитель от каждой группы отвечает на вопросы которые были в карточке и делает вывод. Остальные группы слушают. После чего все полученные результаты сводятся в общую схему (слайд 35) , которую все учащиеся записывают в тетрадь.

Вывод : Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, равны,то прямые параллельны, а если угловые коэффициенты различны, то прямые пересекаются, если же равны числа 𝒃, то прямые пересекаются в точке с координатами (0; 𝒃).

Молодцы вы совершили открытие и мы сможем ответить на вопрос задачи, которая была поставлена перед нами в начале урока. Прямые у=4х+25 и у=4х-17-параллельны,т.к.угловые коэффициенты равны 4;

прямые у=-3х+ 7 и у=39х+7 пересекаются в точке с координатами (0;7) т.к. угловые коэффициенты различны, а равны числа 𝒃=7.

Мы с вами хорошо потрудились пора немного отдохнуть.

Физкультминутка (2 мин).

Вытягиваем руки перед собой параллельно,если графики появившихся на экране функций параллельны, поднимаем руки и скрещиваем их над головой если графики функций пересекаются.(Слайды физкульт. минутки). В конце закрываем глаза руки опускаем, затем потягиваемся и садимся.

Практическая работа. (7 мин)

№335 Устно, №337(с устной проверкой)№ 338с устной проверкой).

Итог урока.

За практическую работу вы все получили оценки у вас есть возможность улучшить свои оценки или подтвердить их проверить себя как вы усвоили новые знания.

Самостоятельная работа(10мин)

Вариант1 (для слабых учащихся)

Дана линейная функция у=2,5х+4. Задайте формулой какую-нибудь функцию, график которой:

а) параллелен графику данной функции;

б)пересекает график данной функции;

в) пересекает график данной функции в точке с координатами

Вариант 2 (для сильных и средних учащихся)

Задайте формулой две функции, графики которых:

а) параллельны;

б) пересекаются;

в) пресекаются в точке с координатами (0; -3)

г)пересекаются и проходят через точку с координатами (-1;6).

Проверка самостоятельной работы в парах.

Выставляются итоговые оценки самими учащимися.

В конце урока тетради сдаются на проверку учителю.

Домашнее задание (2 мин)

1) п.15стр. 60-62, №341, №344. Дополнить кластер

Рефлексия (4 мин)

Что узнали нового на уроке?

Какую цель мы ставили перед собой?

Наша цель достигнута?

Какие знания нам пригодились на уроке?

Как вы можете оценить свою работу?

Спасибо за урок вы молодцы настоящие исследователи. Если вы довольны тем как прошёл урок поднимите руки, если вы не совсем довольны уроком поднимите одну руку, если совсем не довольны то не поднимайте рук. Мне очень понравилось как вы сегодня совершали открытия поэтому я поднимаю обе руки. Урок окончен, до свидания.

На данном уроке мы вспомним все, что изучили о линейных функциях и рассмотрим различные варианты расположения их графиков, вспомним свойства параметров и рассмотрим их влияние на график функции.

Тема: Линейная функция

Урок: Взаимное расположение графиков линейных функций

Напомним, что линейной называется функция вида:

x - независимая переменная, аргумент;

у - зависимая переменная, функция;

k и m - некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Важно понимать смысл параметров k и m и на что они влияют.

Рассмотрим пример:

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр - это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный - убывать. Коэффициент называется угловым коэффициентом.

Таблица для второй функции;

Таблица для третьей функции;

Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением m.

Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:

Если но то заданные прямые параллельны.

Если и то заданные прямые совпадают.

Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают - то система будет иметь бесчисленное множество решений.

Рассмотрим задачи.

Пример 2 - определить знаки параметров k и m по заданному графику функции:

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k также плюс.

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k минус.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k плюс.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k также минус.

Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:

Пример 3 - найти графически точку пересечения прямых:

Обе функции имеют график - прямую линию.

Угловой коэффициент первой функции , второй функции , , значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, при чем единственную.

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для второй функции;