Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

3. Потребности, сопряженные с познавательной Чтобы знать предмет, надо не только знать, что есть это, но и отделить его от того, что это не есть. Проще говоря, с чем же нельзя путать познавательную потребность?Оказывается, есть целый ряд потребностей, как бы сопряженных с

Упражнение 41 Сопряженные приемы

Упражнение 41 Сопряженные приемы Ознакомьтесь со следующим опытом, проведенным социальными психологами в Соединенных Штатах Америки, и попытайтесь распознать используемые приемы. В гипермаркете исследователь предлагает покупателям попробовать кусочек пиццы марки

СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Понятие теории функций, являющееся конкретным отражением нек-рого инволютивного оператора для соответствующего класса функций.
1) С. ф. к комплекснозначной функции . наз. функцию значения к-рой являются комплексно сопряженными к значениям f.
2) С. ф. к гармонической функции - см. Сопряженные гармонические функции .
3) С. ф. к -периодической суммируемой на функции f(x)наз. функцию

она существует и почти всюду совпадает с -суммой, или суммой Абеля - Пуассона сопряженного тригонометрического ряда.
4) С. ф. к функции определенной на векторном пространстве X, находящемся в двойственности (относительно билинейной формы ) с векторным пространством Y - функция на Y, задаваемая соотношением

Для функции, заданной на Y, сопряженная функция определяется аналогично.

С. ф. к функции одного переменного будет функция

С. ф. к функции в гильбертовом пространстве Xсо скалярным произведением будет функция С. ф. к норме в нормированном пространстве будет функция N* (y), равная нулю, если и равная если
Если f - гладкая растущая на бесконечности быстрее линейной функция, то f* - не что иное, как Лежандра функции f. Для одномерных строго выпуклых функций определение, равносильное (*), было дано У. Юнгом , в других терминах. У. Юнг определял С. ф. к функции

где непрерывна и строго возрастает, соотношением

где - функция, обратная к Определение (*) для одномерных функций было впервые предложено С. Мандельбройтом (S. Mandelbrojt), в конечномерном случае - В. Фенхелем , в бесконечномерном - Ж. Моро и А. Брёнстедом . Для выпуклой функции н сопряженной с ней выполнено Юнга

С. ф.- выпуклая замкнутая функция. Оператор сопряжения*: однозначно отображает совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Xна совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Y ( Фенхеля - Моро).
Подробнее см. и .
См. также Выпуклый анализ, Опорная функция, Двойственность в экстремальных задачах и выпуклом анализе.

Лит. : Joung W. H., лProc. Roy. Soc. A

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

Опорный функционал, множества А, лежащего в векторном пространстве X, функция sA, задаваемая в находящемся с ним в двойственности векторном пространстве Y соотношением Напр., О. ф. единичного тара в нормированном пространстве, рассматриваемом в… … Математическая энциклопедия

Функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям.… … Математическая энциклопедия

Антианалитическая функция, функция одного или нескольких комплексных переменных комплексно сопряженная к голоморфной функции (см. Аналитическая функция). Е. Д. Соломенцев … Математическая энциклопедия

Управление, функция и(t), входящая в дифференциальное уравнение значения к рой в каждый момент времени могут выбираться произвольным образом. Обычно на область изменения u(t)при каждом tналагается ограничение где U заданное замкнутое множество в… … Математическая энциклопедия

Непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых фигур. Основные понятия. Непрерывное отображение w=f(z)области G n мерного евклидова пространства в n мерное евклидово пространство наз. конформным в точке если оно в этой точке обладает … Математическая энциклопедия

1) Преобразование математич. анализа, осуществляющее двойственность между объектами в дуальных пространствах (наряду с проективной двойственностью в аналитич. еометрии и полярной двойственностью в выпуклой геометрии). Пусть гладкая функция,… … Математическая энциклопедия

1) П. т. о сопряженных функциях: пусть периодическая непрерывная функция с периодом 2p и тригонометрически сопряженная функция с f(t); тогда если f(t).удовлетворяет условию Липшица о показателем при 0Математическая энциклопедия

- (mod k) функция c(п)=c(п; k)на множестве целых чисел, удовлетворяющая условиям: Иными словами, Д. х. (mod k) это арифметич. функции, к рые не равны тождественно нулю, вполне мультипликативны и периодичны с периодом k. Понятие Д. х. ввел П.… … Математическая энциклопедия

Одно из обобщений интеграла Лебега, предложенных А. Данжуа (A. Denjoy, 1919), подробно изученное Т. Дж. Боксом (Т. J. Boks, 1921). Действительная функция f(x).на отрезке [ а, Ь]периодически (с периодом b a) продолжается на всю прямую. Для… … Математическая энциклопедия

Двойной интеграл где заданная (вообще говоря, комплексно значная) функция действительных переменных, интегрируемая с квадратом, произвольные (тоже комплекснозначные) функции, интегрируемые с квадратом, а комплексно сопряженная функция с. Если,… … Математическая энциклопедия

В большинстве случаен поиски функции удовлетворяющей заданным граничным условиям в плоскости z, начинаются с поисков такого преобразования, которое упростило бы формы границ. Если и новые граничные условия окажутся незнакомыми, нужно искать второе преобразование, еще более упрощающее граничные условия. В конце концов можно прийти к такой системе, в которой решение написать сравнительно просто. После этого необходимо проделать обратный

путь - к решению исходной задачи. Часто, однако, возможно, опуская промежуточные этапы, написать сразу функцию путем исключения промежуточных комплексных переменных. Но даже если это и невозможно, промежуточные переменные служат в качестве параметров, связывающих между собой

При совершении таких преобразований часто очень полезно представлять себе рассматриваемую область плоскости в виде упругой мембраны, обладающей свойством сохранять углы между любыми нанесенными на ней линиями при любых деформациях ее границ. При этом мембрана не может отрываться от границ, но может скользить вдоль них, а также бесконечно растягиваться и сжиматься.

Предположим, например, что в интересующей нас задаче границы проводника представляют собой две неконцентричные и непересекающиеся окружности, или две пересекающиеся окружности, или же, наконец, две окружности одного типа и одну или две другого тина, пересекающиеся ортогонально. При помощи соотношении (4.64) любую из этих областей можно преобразовать в прямоугольную:

Мы употребляем здесь вместо чтобы подчеркнуть чисто геометрический характер этого преобразовании. Из уравнений (4.67) и (4.68) следует, что когда х и у принимают значения - меняются в пределах Таким образом, функция (4.76) преобразует горизонтальную полоску шириной плоскости во всю плоскость z. Вертикальные линии внутри этой полоски превращаются, согласно уравнению (4.67), в окружвости, описываемые уравнением

а горизонтальные линии превращаются в окружности, проходящие через точки и описываемые уравнением (4.68)

Это преобразование можно представить себе, вообразив бесконечную горизонтальную полоску упругой мембраны шириной вращаемую в направлении против часовой стрелки вплоть до достижения ею вертикального положения в плоскости z. При этом точки превращаются соответственно в линии Сожмем теперь эту полоску около точек и начнем сближать точки перемещая их вдоль оси у, при этом центральная часть полоски будет растягиваться в горизонтальном направлении. Линии и подобно вееру развертываются соответственно около точек до тех пор, пока С А не совпадет с . В результате мембрана оказывается растянутой на всю плоскость z, а ее бесконечно малые дуги и становятся бесконечно удаленными дугами, разделяемыми осью х на две равные части.

Классическая механика и электродинамика при попытке применить их объяснению атомных явлений приводили к результатам, находящихся в резком противоречии с экспериментом. Наиболее яркий тому пример - попытка применения классической электродинамики к модели атома, в которой электроны движутся вокруг ядра по классическим орбитам. При таком движении, как и при всяком движении зарядов с ускорением, электроны должны были бы непрерывно излучать энергию в виде электромагнитных волн и, в конце концов, - неизбежно упасть на положительно заряженное ядро. Таким образом - с точки зрения классической электродинамики - атом неустойчив. Как мы видим - этот тезис не соответствует действительности. Такое глубокое противоречие теории с экспериментом свидетельствует о том, что описание микрообъектов требует фундаментального изменения в основных классических представлениях и законах.

Из целого ряда экспериментальных данных (таких, как дифракция электронов) следует, что механика, которой подчиняются атомные явления - квантовая механика - должна быть основана на представлениях о движении, принципиально отличных от представлений классической механики. В квантовой механике не существует понятия траектории частиц, а, следовательно - и других динамических характеристик. ЭТОТ ТЕЗИС СФОРМУЛИРОВАН В ПРИНЦИПЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА:

Нельзя со сколь угодной точностью одновременно измерить координату и импульс микрообъекта:

D x ·D p ³ h (II .1)

Следует отметить (и об этом будет говориться позднее), соотношение неопределенностей связывает не только координату и импульс, но и ряд других величин.

Вернемся теперь к рассмотрению математического аппарата квантовой механики.

Оператором А принято называть правило, согласно которому каждой функции f соответствует функция j :

j= А f (II.3)

Простейшие примеры операторов: извлечение квадратного корня, дифференцирование и т.д.

Не на каждую функцию можно подействовать любым оператором, например не дифференцируемую функцию нельзя подействовать оператором дифференцирования. Поэтому любой оператор бывает определен лишь на некотором классе функций и считается заданным, если указано не только правило, по которому он одну функцию преобразует в другую, но и множество функций, на которые он действует.

По аналогии с алгеброй чисел можно ввести и алгебру операторов:

1) Сумма или разность операторов

(A ± B ) · f = A · f ± B · f (II.4)

2) Произведение операторов

AB · f = A (B · f ) (II.5)

т.е. сначала на функцию f действует оператор B , образуя некоторую новую функцию, на которую затем действует оператор A . В общем случае действие оператора AB не совпадает с действием оператора BA .

Действительно, если A=d/dx и B=x ,

то AB·f=d/dx (xf )= f+xdf/dx ,

а BAf=xdf/dx¹f+xdf/dx

Если AB =BА , то операторы называются коммутирующими, а если AB -BАº{A,B} (II.6) , то они не коммутируют. Выражение в скобках называется коммутатором.

В квантовой механике обычно используются линейные самосопряженные (или эрмитовы) операторы. Свойство линейности означает, что

A (c 1 f 1 + c 2 f 2 )f =c 1 A f 1 + c 2 A f 2 (II.7)

где c 1 и c 2 - константы, а f 1 и f 2 - произвольные функции, на которых определен оператор A . Это математическое свойство тесно связано с принципом суперпозиции.

Самосопряженным эрмитовым оператором называется оператор, для которого выполняется равенство:

òf 1 * (x)(Af 2 (x))dx = òf 2 (x)(A * f 1 * (x))dx (II.8)

при этом предполагается, что A определен на f 1 * (x) и f 2 (x) и все интегралы, входящие в (1.8) существуют. Требование эрмитовости очень важно для квантовой механики и ниже мы выясним, почему.

Как уже говорилось, действие оператора сводится к преобразованию одной функции в другую, однако возможны и такие случаи, когда в результате действия оператора исходная функция не изменяется, либо помножается на константу. Простейший пример:

Можно утверждать, что каждому оператору A можно сопоставить линейное уравнение вида:

A f = af (II .9) ,

где a = const. a - собственное значение оператора, а f - собственная функция оператора. Это уравнение называется уравнением на собственное значение. Значения постоянных, при которых уравнение (1.9) принимает нетривиальные решения, называют собственными значениями. Все вместе они образуют спектр собственных значений, который может быть дискретным, непрерывным или смешанным. Каждому значению соответствует одна или несколько собственных функций f т , причем если одному собственному значению соответствует только одна функция, то оно является невырожденным, а если несколько - то вырожденным.

Собственные функции и собственные значения эрмитовых (самосопряженных ) операторов обладают рядом свойств:

1. Собственные значения таких операторов вещественны.

2. Собственные функции f 1 и f 2 таких операторов, принадлежащих различным собственным значениям с 1 и c 2 соответственно ортогональны между собой, т.е. ò f 1 * (x)f 2 (x)dx = 0 (II .10)

3. Они должны быть нормированы на единицу введением специального нормировочного множителя, что в общем случае описывается условием ортонормированности: ò f m * (x)f n (x)dx = d mn , d mn =0 при m ¹ n и d mn =1 при m = n (II.11)

4. Если два оператора A и B имеют общую систему собственных функций, то они коммутируют, справедливо и обратное утверждение

5. Собственные функции эрмитова оператора образуют полный ортонормированный набор, т.е. любую функцию, определенную в этой же области переменных можно представить в виде ряда по собственным функциям оператора A :

(II.12) ,

где c n - некоторые константы, и это разложение будет точным.

Последнее свойство очень важно для аппарата квантовой механики, поскольку на его основе можно построить матричное представление операторов и применить мощный аппарат линейной алгебры.

Действительно, поскольку в (II.12) собственные функции f n (x) считаются известными, то для нахождения функции F(x) необходимо и достаточно найти все коэффициенты разложения {c n }. Рассмотрим теперь некоторый оператор B , который действует на функцию c(x) и переводит ее в F(x) :

F (x ) = B c(x ) (II .13)

Представим теперь функции F(x) и B c(x) в виде рядов (II.12) :

(II.14)

и подставим их в (II.13)

(II.15)

(II.16)

Помножим обе части равенства на f k * (x) и проинтегрируем, учитывая условия ортонормированности:

Равенство (II.17) описывает переход от функции c(x) к функции F(x) , который осуществляется заданием всех коэффициентов M kn . Набор всех величин M kn есть оператор B в матричном представлении и его можно записать как

Таким образом, любой произвольный оператор B в матричном представлении можно представить в виде квадратной таблицы чисел, матрицы, и это представление будет определятся только видом оператора и исходным набором базисных функций.

Вспомним теперь вкратце основные положения теории матриц. Вообще матрицей называется совокупность вещественных или комплексных чисел a ij , называемыми элементами матрицы, расположенных в виде прямоугольной таблицы

Индексы i и j показывают, что элемент a ij расположен на пересечении i -й строки и j -го столбца. Если матрица имеет n строк и m столбцов, то говорят, что она имеет размерность (n xm ), если n = m , то матрица называется квадратной. Прямоугольная матрица размера (1 xm ) называется вектор-строкой, а (n x1) - вектор-столбцом. Матричный элемент a ij при i = j называется диагональным, матрица, в которой все элементы, кроме диагональных, равны нулю называется диагональной, а диагональная матрица, в которой все элементы равны единице - единичной. Сумма диагональных элементов называется следом: Sp .

Легко построить алгебру матриц, которая будет сводится к следующим правилам:

1. Матрицы и называются равными, если для всех i и j справедливо равенство: a ij = b ij

2. Суммой матриц и размерности (n xm ) будет матрица размерности (n xm ) такая, что для всех i и j справедливо равенство: c ij = a ij + b ij

3. Произведением матрицы на произвольное число a будет матрица такой же размерности, такая, что для всех i и j справедливо равенство: c ij = aa ij

4. Произведением матрицы размерности (n xm ) на матрицу размерности (m xp ) называется матрица размерности (n xp ) такая, что

(II.20)

5. Матрица называется комплексно-сопряженной к если в ней все матричные элементы a ij заменены на комплексно сопряженные a ij * . Матрица называется транспонированной к , если она получена заменой строк на столбцы и наоборот: a ’ ij = a ji . Транспонированная и комплексно-сопряженная к матрица называется сопряженной и обозначается