Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Cтраница 1

Правильный восьмигранник (октаэдр), поверхность которого составлена из восьми правильных треугольников (рис. 187), сходящихся по четыре в каждой вершине. Октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер.  

Правильный восьмигранник, ограниченный восьмью правильными треугольниками.  

Скопления имеют форму правильного восьмигранника - октаэдра (гранями которого являются 8 равносторонних треугольников), в 6 вершинах и в центре которого расположены 7 галактик.  

Алмаз встречается в кристаллах, основной формой которых является правильный восьмигранник. Алмаз - прозрачное бесцветное вещество, которое твердостью и лучепреломляемостью превосходит все другие тела; уд.  

Восемь плоскостей, проведенных перпендикулярно через середины отрезков, соединяющих начало координат с 8 - ю ближайшими узлами, при их взаимном пересечении определяют правильный восьмигранник (октаэдр) с 6 - ю вершинами и правильными треугольниками в виде граней. Узлами следующей координационной группы являются шесть узлов, расположенных попарно на расстояниях а (ребро куба) по осям х, у и г. Они определяют шесть плоскостей, отсекающих от октаэдра его шесть вершин. В результате для 1 - й зоны Бриллюэна мы получим четырнадцатигранник с 6 - ю квадратными и 8 - ю шестиугольными гранями, изображенный на рис. 44, а. Нетрудно написать в этом случае уравнения (6.10) для граней 1 - й зоны Бриллюэна.  

Они действуют на восьми окта-эдрических площадках, которые равнонаклонены к главным осям Та (поэтому I mz n2 1 / 3) и ограничивают вокруг рассматриваемой точки тела правильный восьмигранник - октаэдр.  

Галтовку производят в галтовочных барабанах (фиг. Сечение барабана обычно представляет собой правильный восьмигранник.  

Октаэдрической площадкой (рис. 5.8) называется площадка, нормаль к которой наклонена одинаково по отношению к главным направлениям. Октаэдрическая площадка является гранью правильного восьмигранника (октаэдра, рнс.  

Граница выпуклого многогранника состоит из конечного числа выпуклых многоугольников. Примерами выпуклых многогранников являются пять правильных тел Платона: правильный четырехгранник или тетраэдр, правильный шестигранник или куб, правильный восьмигранник или октаэдр, правильные двенадцати - и двадцатигранник.  

При введении р-токсина млекопитающим животным он оказывается для них губительным. Поэтому в производстве используют штаммы, не продуцирующие Р - ЭКЗОТОКСИН, но образующие 8-ток-син, который и представляет собой белковое кристаллическое вещество - параспоральное тело - правильный восьмигранник. Чтобы проявить токсичность, б-токсин должен попасть в кишечник личинок насекомых прежде всего - листогрызущих из отряда чешуекрылых Lopidoptera), где растворяется в щелочной среде и частично гидролизуется протеазами. Такой модифицированный белок взаимодействует со стенкой кишки и изменяет ее так, что содержимое кишечного тракта попадает в кровоток, вызывая общий паралич. Смерть личинок наступает от септицемии.  

Berliner имеет следующие общие свойства: это грамположительные палочки размером 3 - 6X0 8 - 1 3 мк, одиночные или в цепочках, подвижные благодаря наличию жгутиков длиной 6 - 8 мк. После интенсивного роста палочек происходит образование спор, при этом в палочке вблизи от одного конца образуется яйцеобразная эндоспора и в противоположной части палочки - белковый кристалл, сначала в виде бесформенного комочка, а затем принимающий форму правильного восьмигранника. Образование кристалла при споруляции является признаком, отличающим В. Споры размером 1 - 1 8x0 8 - 0 9 мк, кристаллы 0 8 - 1 4 мк длиной и 0 4 - 0 8 мк шириной.  

Следует заметить, что точно такой же результат получается другим путем при формулировке гипотезы октаэдрического касательного напряжения. Октаэдрические площадки представляют собой четыре пары параллельных площадок, нормали к которым образуют равные углы с главными осями. Эти площадки, таким образом, образуют правильный восьмигранник, углы которого расположены на главных осях. Результирующая касательного напряжения на окта-эдрической площадке называется октаэдрическим касательным напряжением. Оно определяется формулой [ 1, стр.  

В верхней части имеется продольная щель шириной 40 - 50 мм для прохода подвесок с деталями и удаления загрязненного воздуха из камеры. Торцовые стороны закрыты стенками 2 с проемами для прохода изделий и снабжены экранами (отражателями) из полированного алюминия для уменьшения потерь лучистой энергии. Корпус и защитный кожух, имеющие форму правильного восьмигранника, выполнены из алюминиевого листа толщиной 4 и 1 5 мм соответственно. По промежутку между корпусом и защитными кожухом естественным или принудительным путем циркулирует воздух, вызывая охлаждение стенок камеры. Внутренняя поверхность корпуса отполирована по 9-му классу чистоты. Температура наружной поверхности (кожуха) не превышает 40 С, поэтому теплоизоляция не применяется.  

Он состоит из шести равных квадратов, которые по три соединены около каждой вершины - это куб. Куб представляет собой частный случай призмы. Если последовательно соединить центры всех смежных граней, получится многогранник. Расстояния между центрами любых смежных граней куба равны между собой. Значит, получен многогранник, все ребра которого равны между собой, - правильный восьмигранник.  

Страницы:      1

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
2. Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
3. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

1. Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название - Архимедовы тела).
2. Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

1. Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
2. Прямая призма имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
3. характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
4. Правильная призма характеризуется основаниями в виде с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

• Конгруэнтные основания.
• Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
• Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке - вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник - это , четырёхугольник - четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды - это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

1. Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

• В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
• Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

1. Тетраэдр.
2. Гексаэдр.
3. Октаэдр.
4. Додекаэдр.
5. Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству - симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр и его свойства

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

1. Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
2. Все грани - конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
3. Все межгранные углы равны 90.
4. Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
5. Куб имеет 9 которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр - это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

1. Все грани тетраэда - это из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
2. Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
3. Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
4. Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Октаэдр и его свойства

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

Свойства октаэдра:

1. Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
2. Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр - фигура из 12 многоугольников.

Свойства додекаэдра:

1. В каждой вершине пересекаются по три грани.
2. Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
3. У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

1. Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
2. В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
3. Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

1. Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
2. Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел - звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Треугольник на заданном отрезке, используя отрезок, как основание. Для этого сначала постройте квадрат со стороной, равной отрезку, проведите в нем диагонали. Теперь постройте биссектрисы при диагоналях (на рисунке биссектрисы указаны синим), на пересечении биссектрис вершина , стороны которого равны радиусу окружности, описанной восьмиугольника.

Постройте окружность с центром в вершине треугольника. Радиус окружности равен стороне треугольника. Теперь разведите циркуль на , равное величине заданного отрезка. Отложите это расстояние на окружности, начиная от любого конца отрезка. Соедините все полученные точки в восьмиугольник.

Если же задана окружность, в которую должен быть вписан восьмиугольник, то построения будут еще проще. Постройте две перпендикулярные друг другу осевые линии, проходящие через центр окружности. На пересечении осевых и окружности получатся четыре вершины будущего восьмиугольника. Осталось поделить расстояние между этими точками на дуге окружности пополам, чтобы получить еще четыре вершины.

Правильный треугольник - тот, у которого все стороны обладают одинаковой длиной. Исходя из этого определения, построение подобной разновидности треугольник а является нетрудной задачей.

Вам понадобится

• Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш

Инструкция

Обратите внимание

В правильном (равностороннем) треугольнике все углы равны 60 градусам.

Полезный совет

Равносторонний треугольник так же является и равнобедренным. Если треугольник равнобедренный, то это означает, что 2 из 3-х его сторон равны, а третья сторона считается основанием. Любой правильный треугольник является равнобедренным, в то время как обратное утверждение не верно.

Восьмиугольник – это, по своей сути, два квадрата, смещенных относительно друг друга на 45° и соединенных на вершинах единой линией. А потому, для того чтобы правильно изобразить такую геометрическую фигуру, необходимо твердым карандашом очень аккуратно, по правилам начертить квадрат или круг, с которыми и проводить дальнейшие действия. Описание ориентировано на длину стороны, равной 20 см. А значит, при расположении чертежа учитывайте, чтобы вертикальная и горизонтальная линии длиной 20 см умещались на листе бумаги.

Вам понадобится

• Линейка, прямоугольный треугольник, транспортир, карандаш, циркуль, лист бумаги

Инструкция

Способ 1. Начертите внизу горизонтальную линию длиной 20 см. Затем с одной стороны отметьте транспортиром угол, который 90°. То же самое можно сделать с помощью треугольника. Проведите вертикальную линию и отметьте 20 см. Проделайте те же самые манипуляции с другой стороны. Соедините две полученные точки горизонтальной линией. В результате получилась геометрическая – .

Для того чтобы построить второй (смещенный) квадрат, понадобится центр фигуры. Для этого разделите каждую сторону на 2 части. Соедините сначала 2 точки параллельных верхней и нижней сторон, а потом точки боковых сторон. Проведите через центр квадрата 2 прямые линии, перпендикулярные относительно друг друга. Начиная от центра, отмерьте на новых прямых длину по 10 см, что в итоге даст 4 прямые линии. Соедините 4 полученные наружные точки между собой, в результате чего получится второй квадрат. Теперь каждую точку из 8 полученных углов соедините между собой. Таким образом, будет начерчен .

Способ 2. Для этого понадобится циркуль, и транспортир. От центра листа с начертите круг диаметром 20 см (радиус 10 см). Через центральную точку проведите прямую линию. Затем начертите вторую перпендикулярную ей линию. То же самое можно выполнить с помощью транспортира или прямого треугольника. В результате круг будет поделен на 4 равные части. Далее каждый из сегментов разделите еще на 2 части. Для этого также можно воспользоваться транспортиром, отмеряя 45° или прямоугольным треугольником, который приложите острым углом в 45° и проведите лучи. От центра на каждой прямой линии отмерьте по 10 см. В результате получатся 8 «лучиков», которые соедините между собой. В результате получится восьмиугольник.

Способ 3. Для этого так же начертите круг, проведите через середину линию. Затем возьмите транспортир, поставьте его на центр и отмеряйте углы, учитывая, что каждый сегмент имеет в центре угол 45° . После этого на полученных лучах отмерьте длину в 10 см. и соедините их между собой. Восьмиугольник .

Полезный совет

Делайте чертеж твердым карандашом, побочные линии на котором затем легко можно будет удалить

Правильный восьмиугольник – это геометрическая фигура, у которой каждый угол составляет 135˚, и все стороны между собою равны. Эта фигура очень часто применяется в архитектуре, к примеру, при постройке колон, а также при изготовлении дорожного знака STOP. Как же нарисовать правильный восьмиугольник?

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 60*. Правильные многогранники.

Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани - правильные конгруэнтные многоугольники, а все его многогранные углы конгруэнтные и правильные.

Из определения следует, что у правильного многогранника все двугранные углы конгруэнтны, все плоские углы конгруэнтны и все его ребра конгруэнтны. Можно доказать теорему:

В любой правильный многогранник можно вписать сферу, и около любого правильного многогранника можно описать сферу, причем центры этих сфер совпадают.

Общий центр вписанной и описанной сфер правильного многогранника называется центром этого многогранника.

Границей правильного многогранника является замкнутая поверхность, которая представляет собой объединение всех его граней.

Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции (в V в. до н. э.). Первые упоминания о них были у Платона, с тех пор они и получили название пяти Платоновых тел. Знаменитая книга «Начала» Евклида начиналась описанием построения правильного треугольника и заканчивалась описанием пяти правильных многогранных тел.

Правильные многогранники до сего времени сохранили свои греческие названия.

1. Куб. Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы своими уравнениями шесть плоскостей: х = 0 и х = а , у = 0 и у = а , z = 0 и z = а . Рассмотрим пересечение шести полупространств: х > 0 и х < а , у > 0 и у < а , z > 0 , z < а .

Легко видеть, что пересечением шести полупространств будет куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 191).

Граница этого многогранника состоит из шести конгруэнтных квадратов; многогранные углы при каждой вершине трехгранные и конгруэнтные, все плоские углы его конгруэнтны и все двугранные углы конгруэнтны. Следовательно, полученный многогранник правильный. Он называется правильным гексаэдром или кубом («гексаэдр» в переводе с греческого означает «шестигранник»). Отметим, что любой параллелепипед - гексаэдр.

2. Правильный тетраэдр. У куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 вершины А, B 1 , С, D 1 не лежат в одной плоскости, а следовательно, являются вершинами некоторого тетраэдра. Легко видеть, что границей полученного тетраэдра АB 1 СD 1 являются четыре конгруэнтных правильных треугольника (рис. 192):

/\ AB 1 C /\ ACD 1 /\ AD 1 B 1 /\ B 1 CD 1

(так как все их стороны являются диагоналями конгруэнтных квадратов). Многогранные углы при каждой вершине тетраэдра трехгранные и конгруэнтные; все плоские углы и все двугранные углы конгруэнтны. Следовательно, полученный многогранник правильный. Он называется правильным тетраэдром.

3. Правильный октаэдр. В прямоугольной системе координат построим шесть точек:

А(а ; 0; 0), В(0; а ; 0), С(-а ; 0; 0), D(0; -а ; 0), M(0; 0; а ) и N(0; 0; -а ).

Каждая тройка точек (M, А, В), (М, В, С), (M, С, D), (M, D, A), (N, А, В), (N, В, C),
(N, C, D) и (N, D, А) определяет плоскость (рис. 193).

Пересечением восьми полупространств, ограниченных плоскостями (МАВ), (МВС),..., (NDA) и содержащих точку О, будет восьмигранник MABCDN. Граница его состоит из восьми правильных конгруэнтных треугольников (стороны их конгруэнтны, как гипотенузы конгруэнтных прямоугольных треугольников). Все его многогранные углы четырехгранные, правильные и конгруэнтные. Следовательно, полученный восьмигранник правильный. Такой восьмигранник называется правильным октаэдром («октаэдр» означает «восьмигранник»). Октаэдры бывают и неправильные, например правильная четырехугольная бипирамида (рис. 194) (у правильной четырехугольной бипирамиды все грани - равнобедренные треугольники) .

4. Правильный икосаэдр. Граница этого многогранника состоит из двадцати правильных конгруэнтных треугольников (рис. 195).

Правильный икосаэдр имеет двенадцать конгруэнтных пятигранных правильных углов. Все его двугранные углы конгруэнтны, и все его плоские углы конгруэнтны («икосаэдр» в переводе с греческого означает «двадцатигранник»).

5. Правильный додекаэдр. Граница этого многогранника состоит из двенадцати правильных конгруэнтных пятиугольников (рис. 196).

Правильный додекаэдр имеет двадцать конгруэнтных трехгранных правильных углов. Все его двугранные углы конгруэнтны и все плоские углы конгруэнтны («додекаэдр» в переводе с греческого означает «двенадцатигранник»).

Доказано, что правильных выпуклых многогранников только пять.