Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Ответ: Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий:

Обозначим вероятности этих событий буквами р с соответствующими индексами:

Т. е. распределение вероятностей различных значений может быть задано таблицей распределения, в которой в верхней строке указываются все значения, принимаемые данной дискретной случайной величиной, а в нижней – вероятности соответствующих ей значений. Так как несовместные события (3.1) образуют полную группу, то , т. е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Распределение вероятностей непрерывных случайных величин нельзя представить в виде таблицы, так как число значений таких случайных величин бесконечно даже в ограниченном интервале. Кроме того, вероятность получить какое-либо определенное значение равна нулю. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т. е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий. Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения. Установим форму, в которой может быть задан закон распределения прерывной случайной величины X. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины X.

Рис. 3.1

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения (рис. 3.1). Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. он является одной из форм закона распределения. Иногда удобной оказывается так называемая «механическая» интерпретация ряда распределения. Представим себе, что некоторая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в n отдельных точках сосредоточены соответственно массы . Тогда ряд распределения интерпретируется как система материальных точек с какими-то массами, расположенных на оси абсцисс.

Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать качественно и количественно. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение., причем заранее не известно какое именно.

Случайные величины принято обозначать (X,Y,Z), а соответствующие им значения (x,y,z)

Дискретными называются случайные величины принимающие отдельные изолированные друг от друга значения, которые можно переоценить. Непрерывными величины возможные значение которых непрерывно заполняют некоторый диапазон. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими им вероятности. Ряд и многоугольник распределения. Простейшей формой закона распределения дискретной величины является ряд распределения. Графической интерпретацией ряда распределения является многоугольник распределения.

Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:

Еще по теме 13.Дискретная случайная величина. Многоугольник распределения. Операции со случайными величинами, пример.:

1. 13. Дискретная случайная величина и закон ее распределения. Многоугольник распределения. Операции со случайными величинами. Пример.
2. Понятие «случайная величина» и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.
3. 14. Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (ДСВ). Способы здания случайных величин (СВ).
4. 16. Закон распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
5. Математические операции над дискретными случайными ве­личинами и примеры построения законов распределения для КХ,Х"1, X + К, XV по заданным распределениям независимых случай­ных величин X и У.
6. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случ. величины. Математич операции над случ. величинами.

Случайная величина – это величина, которая в результате опыта принимает заранее неизвестное значение.

Количество студентов, присутствующих на лекции.

Количество домов, сданных в эксплуатацию в текущем месяце.

Температура окружающей среды.

Вес осколка разорвавшегося снаряда.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

В приведенных примерах: 1 и 2 – дискретные случайные величины, 3 и 4 – непрерывные случайные величины.

В дальнейшем, вместо слов «случайная величина» часто будем пользоваться сокращением с. в.

Как правило, случайные величины будем обозначать большими буквами, а их возможные значения – маленькими.

В теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события: Х =φ(ω), где ω – элементарное событие принадлежащее пространству Ω (ω  Ω). При этом множество Ξ возможных значений с. в. Х состоит из всех значений, которые принимает функция φ(ω).

Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое-то значение или попадет на какой-то интервал).

Формы задания законов распределения случайных величин. Ряд распределения.

Это таблица в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины Х: х 1 , х 2 , ..., х n , а в нижней – вероятности этих значений: p 1 , p 2 , ..., p n , где p i = Р{Х = x i }.

Так как события {Х = x 1 }, {Х = x 2 }, ... несовместны и образуют полную группу, то сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке ряда распределения, равна единице

Ряд распеделения используется для задания закона распределения только дискретных случайных величин.

Многоугольник распределения

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Строится он так: для каждого возможного значения с. в. восстанавливается перпендикуляр к оси абсцисс, на котором откладывается вероятность данного значения с. в. Полученные точки для наглядности (и только для наглядности!) соединяются отрезками прямых.

Интегральная функция распределения (или просто функция распределения).

Это функция, которая при каждом значении аргумента х численно равна вероятности того, что случайная величина  окажется меньше, чем значение аргумента х.

Функция распределения обозначается F(x): F(x) = P {X  x}.

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Функция распределения – это наиболее универсальная форма задания с. в., которая может использоваться для задания законов распределения как дискретных, так и непрерывных с. в.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известное заранее. Случайные величины бывают прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения прерывных величин заранее могут быть перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Пример дискретных случайных величин:

1) Число появления герба при трех бросаниях монеты. (возможны значения 0;1;2;3)

2) Частота появления герба в том же опыте. (возможные значения )

3) Число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов. (Возможные значения величин 0;1;2;3;4;5)

Примеры непрерывных случайных величин:

1) Абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле.

2) Расстояние от точки попадания до центра мишени.

3) Время безотказной работы прибора (радиолампы).

Случайны величины обозначаются большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, X – число попаданий при трех выстрелах; возможные значения: X 1 =0,Х 2 =1, Х 3 =2, Х 4 =3.

Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями Х 1 , Х 2 , … , Х n . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, то есть произойдет одно из полной группы несовместных событий.

Обозначим вероятности этих событий буквами p с соответствующими индексами:

Так как несовместные события образуют полную группу, то

то есть сумма вероятности всех возможных значений случайной величины равна 1. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, то есть в точности укажем какой вероятностью обладает каждое из событий. (Этим мы установим так называемый закон распределения случайных величин.)

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующей им вероятности. (Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения)

Простейшей формой задания закона распределения случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

Таблица 1.

Такую таблицу называют рядом распределения случайных величин.

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. (Для наглядности полученные точки соединяют отрезками прямых.)

Рисунок 1 – многоугольник распределения

Такая фигура называется многоугольником распределения . Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.

Пример:

производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие А. Вероятность события А=0,3. Рассматривается случайная величина Х – число появлений события А в данном опыте. Необходимо построить ряд и многоугольник распределения величины Х.

Таблица 2.

Рисунок 2 - Функция распределения

Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и не прерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, то есть является одной из форм закона распределения.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события X=x, а вероятностью события X

Функцию распределения F(x) иногда также называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Свойства функции распределения случайной величины

1. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, то есть при ;

2. На минус бесконечности :

3. На плюс бесконечности :

Рисунок 3 – график функции распределения

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1.

Зная ряд распределения случайной величины, можно построить функцию распределения случайной величины.

Пример:

для условий предыдущего примера построить функцию распределения случайной величины.

Построим функцию распределения X:

Рисунок 4 – функция распределения Х

Функция распределения любой прерывной дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции распределения равна 1 .

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними, число скачков становится больше, а сами скачки – меньше:

Рисунок 5

Ступенчатая кривая становится более плавной:

Рисунок 6

Случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения к непрерывной функции. Также существуют случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной. И в отдельных точках терпит разрыв. Такие случайные величины называются смешенными.

Рисунок 7

Рассмотренный выше пример позволяет сделать вывод, что значения, используемые для анализа зависят от случайных причин, поэтому такие переменные величины называются случайными . В большинстве случаев они появляются в результате наблюдений или экспериментов, которые сводятся в таблицы, в первой строке которой записываются различные наблюдаемые значения случайной величины Х, а во второй – соответствующие частоты. Поэтому такая таблица называется эмпирическим распределением случайной величины Х или вариационным рядом . Для вариационного ряда мы находили среднее значение , дисперсию и среднее квадратическое отклонение .

непрерывной , если ее значения целиком заполняют некоторый числовой промежуток.

Случайная величина называется дискретной , если все ее значения можно занумеровать (в частности, если оно принимает конечное число значений).

Следует отметить два характерных свойства таблицы распределения дискретной случайной величины:

Все числа второй строки таблицы положительны;

Их сумма равна единице.

В соответствие с проведенными исследованиями можно предположить, что при увеличении числа наблюдений эмпирическое распределение приближается к теоретическому, заданному в табличной форме.

Важной характеристикой дискретной случайное величины является ее математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей значения , , …, .с вероятностями , , …, называется число:

Математическое ожидание также называют средним значением.

К другим важным характеристикам случайной величины относятся дисперсия (8) и среднее квадратическое отклонение (9).

где: математическое ожидание величины X.

. (9)

Графическое представление информации значительно нагляднее, чем табличное, поэтому возможность электронных таблиц MS Excel представлять размещенные в них данные в виде различных диаграмм, графиков и гистограмм используется очень часто. Так, помимо таблицы, распределение случайной величины изображают также с помощью многоугольника распределения . Для этого на координатной плоскости строят точки с координатами , , … и соединяют их прямыми отрезками.

Для получения прямоугольника распределения посредством MS Excel необходимо:

1. Выбрать на панели инструментов закладу «Вставка» ® «Диаграмма с областями».

2. Активизировать появившуюся на листе MS Excel область для диаграммы правой кнопкой мыши и в контекстном меню воспользоваться командой «Выбрать данные».

Рис. 6. Выбор источника данных

Сначала определим диапазон данных для диаграммы. Для этого в соответствующую область диалогового окна «Выбор источника данных» введем диапазон C6:I6 (в нем представлены значения частот под названием Ряд1, рис. 7).

Рис. 7. Добавление ряда 1

Для изменения названия ряда необходимо выбрать кнопку изменить область «Элементы легенды (ряды)» (см. рис. 7) и назвать его .

Для того, чтобы добавить подпись оси X необходимо воспользоваться кнопкой «Изменить» области «Подписи горизонтальной оси (категории)»
(рис. 8) и указать значения ряда (диапазон $C$6:$I$6).

Рис. 8. Окончательный вид окна диалога «Выбор источника данных»

Выбор кнопки в окне диалога «Выбор источника данных»
(рис. 8) позволит получить требуемый многоугольник распределения случайной величины (рис. 9).

Рис. 9. Многоугольник распределения случайной величины

Внесем некоторые изменения в дизайн полученной графической информации:

Добавим подпись оси Х;

Отредактируем подпись оси Y;

- добавим заголовок для диаграммы «Многоугольник распределения».

Для этого выберем в области панели инструментов закладку «Работа с диаграммами» закладку «Макет» и в появившейся панели инструментов соответствующие кнопки: «Название диаграммы», «Названия осей» (рис. 10).

Рис. 10. Итоговый вид многоугольника распределения случайной величины