Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Пусть известны их вероятности и соответствующие условные вероятности . Тогда вероятность наступления события равна:

Эта формула получила название формулы полной вероятности . В учебниках она формулируется теоремой, доказательство которой элементарно: согласно алгебре событий , (произошло событие и или произошло событие и после него наступило событие или произошло событие и после него наступило событие или …. или произошло событие и после него наступило событие ) . Поскольку гипотезы несовместны, а событие – зависимо, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий (первый шаг) и теореме умножения вероятностей зависимых событий (второй шаг) :

Наверное, многие предчувствуют содержание первого примера =)

Куда ни плюнь – везде урна:

Задача 1

Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные шары. Наудачу выбирается одна урна и из неё наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?

Решение : рассмотрим событие – из наугад выбранной урны будет извлечён чёрный шар. Данное событие может произойти или не произойти в результате осуществления одной из следующих гипотез:
– будет выбрана 1-я урна;
– будет выбрана 2-я урна;
– будет выбрана 3-я урна.

Так как урна выбирается наугад, то выбор любой из трёх урн равновозможен , следовательно:

Обратите внимание, что перечисленные гипотезы образуют полную группу событий , то есть, по условию чёрный шар может появиться только из этих урн, а например, не прилететь с бильярдного стола. Проведём простую промежуточную проверку:
, ОК, едем дальше:

В первой урне 4 белых + 7 черных = 11 шаров, по классическому определению :
– вероятность извлечения чёрного шара при условии , что будет выбрана 1-я урна.

Во второй урне только белые шары, поэтому в случае её выбора появление чёрного шара становится невозможным : .

И, наконец, в третьей урне одни чёрные шары, а значит, соответствующая условная вероятность извлечения чёрного шара составит (событие достоверно) .

– вероятность того, что из наугад выбранной урны будет извлечен чёрный шар.

Ответ :

Разобранный пример снова наводит на мысль о том, как важно ВНИКАТЬ В УСЛОВИЕ. Возьмём те же задачи с урнами и шарами – при их внешней схожести способы решения могут быть совершенно разными: где-то требуется применить только классическое определение вероятности , где-то события независимы , где-то зависимы , а где-то речь о гипотезах. При этом не существует чёткого формального критерия для выбора пути решения – над ним почти всегда нужно думать. Как повысить свою квалификацию? Решаем, решаем и ещё раз решаем!

Задача 2

В тире имеются 5 различных по точности боя винтовок. Вероятности попада­ния в мишень для данного стрелка соответственно равны 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 и 0,4. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из слу­чайно выбранной винтовки?

Краткое решение и ответ в конце урока.

В большинстве тематических задач гипотезы, конечно же, не равновероятны:

Задача 3

В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение : в этой задаче количество винтовок точно такое же, как и в предыдущей, но вот гипотезы всего две:
– стрелок выберет винтовку с оптическим прицелом;
– стрелок выберет винтовку без оптического прицела.
По классическому определению вероятности : .
Контроль:

Рассмотрим событие: – стрелок поразит мишень из наугад взятой винтовки.
По условию: .

По формуле полной вероятности:

Ответ : 0,85

На практике вполне допустим укороченный способ оформления задачи, который вам тоже хорошо знаком:

Решение : по классическому определению: – вероятности выбора винтовки с оптическим и без оптического прицела соответственно.

По условию, – вероятности попадания в мишень из соответствующих типов винтовок.

По формуле полной вероятности:
– вероятность того, что стрелок поразит мишень из наугад выбранной винтовки.

Ответ : 0,85

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 4

Двигатель работает в трёх режимах: нормальном, форсированном и на холостом ходу. В режиме холостого хода вероятность его выхода из строя равна 0,05, при нормальном режиме работы – 0,1, а при форсированном – 0,7. 70% времени двигатель работает в нормальном режиме, а 20% – в форсированном. Какова вероятность выхода из строя двигателя во время работы?

На всякий случай напомню – чтобы получить значения вероятностей проценты нужно разделить на 100. Будьте очень внимательны! По моим наблюдениям, условия задач на формулу полной вероятности частенько пытаются подзапутать; и я специально подобрал такой пример. Скажу по секрету – сам чуть не запутался =)

Решение в конце урока (оформлено коротким способом)

Задачи на формулы Байеса

Материал тесно связан с содержанием предыдущего параграфа. Пусть событие наступило в результате осуществления одной из гипотез . Как определить вероятность того, что имела место та или иная гипотеза?

При условии , что событие уже произошло , вероятности гипотез переоцениваются по формулам, которые получили фамилию английского священника Томаса Байеса:

– вероятность того, что имела место гипотеза ;
– вероятность того, что имела место гипотеза ;
…
– вероятность того, что имела место гипотеза .

На первый взгляд кажется полной нелепицей – зачем пересчитывать вероятности гипотез, если они и так известны? Но на самом деле разница есть:

– это априорные (оцененные до испытания) вероятности.

– это апостериорные (оцененные после испытания) вероятности тех же гипотез, пересчитанные в связи «со вновь открывшимися обстоятельствами » – с учётом того факта, что событие достоверно произошло .

Рассмотрим это различие на конкретном примере:

Задача 5

На склад поступило 2 партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй – 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно: а) из первой партии, б) из второй партии.

Первая часть решения состоит в использовании формулы полной вероятности. Иными словами, вычисления проводятся в предположении, что испытание ещё не произведено и событие «изделие оказалось стандартным» пока не наступило.

Рассмотрим две гипотезы:
– наудачу взятое изделие будет из 1-й партии;
– наудачу взятое изделие будет из 2-й партии.

Всего: 4000 + 6000 = 10000 изделий на складе. По классическому определению :
.

Контроль:

Рассмотрим зависимое событие: – наудачу взятое со склада изделие будет стандартным.

В первой партии 100% – 20% = 80% стандартных изделий, поэтому: при условии , что оно принадлежит 1-й партии.

Аналогично, во второй партии 100% – 10% = 90% стандартных изделий и – вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным при условии , что оно принадлежит 2-й партии.

По формуле полной вероятности:
– вероятность того, что наудачу взятое на складе изделие будет стандартным.

Часть вторая. Пусть наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Эта фраза прямо прописана в условии, и она констатирует тот факт, что событие произошло .

По формулам Байеса:

а) – вероятность того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 1-й партии;

б) – вероятность того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 2-й партии.

После переоценки гипотезы , разумеется, по-прежнему образуют полную группу :
(проверка;-))

Ответ :

Понять смысл переоценки гипотез нам поможет Иван Васильевич, которой снова сменил профессию и стал директором завода. Он знает, что сегодня 1-й цех отгрузил на склад 4000, а 2-й цех – 6000 изделий, и приходит удостовериться в этом. Предположим, вся продукция однотипна и находится в одном контейнере. Естественно, Иван Васильевич предварительно подсчитал, что изделие, которое он сейчас извлечёт для проверки, с вероятностью будет выпущено 1-м цехом и с вероятностью – вторым. Но после того как выбранное изделие оказывается стандартным, он восклицает: «Какой же классный болт! – его скорее выпустил 2-й цех». Таким образом, вероятность второй гипотезы переоценивается в лучшую сторону , а вероятность первой гипотезы занижается: . И эта переоценка небезосновательна – ведь 2-й цех произвёл не только больше изделий, но и работает в 2 раза лучше!

Вы скажете, чистый субъективизм? Отчасти – да, более того, сам Байес интерпретировал апостериорные вероятности как уровень доверия . Однако не всё так просто – в байесовском подходе есть и объективное зерно. Ведь вероятности того, что изделие будет стандартным (0,8 и 0,9 для 1-го и 2-го цехов соответственно) это предварительные (априорные) и средние оценки. Но, выражаясь философски – всё течёт, всё меняется, и вероятности в том числе. Вполне возможно, что на момент исследования более успешный 2-й цех повысил процент выпуска стандартных изделий (и/или 1-й цех снизил) , и если проверить бОльшее количество либо все 10 тысяч изделий на складе, то переоцененные значения окажутся гораздо ближе к истине.

Кстати, если Иван Васильевич извлечёт нестандартную деталь, то наоборот – он будет больше «подозревать» 1-й цех и меньше – второй. Предлагаю убедиться в этом самостоятельно:

Задача 6

На склад поступило 2 партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 6000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии 20%, во второй – 10%. Наудачу взятое со склада изделие оказалось не стандартным. Найти вероятность того, что оно: а) из первой партии, б) из второй партии.

Условие отличатся двумя буквами, которые я выделил жирным шрифтом. Задачу можно решить с «чистого листа», или воспользоваться результатами предыдущих вычислений. В образце я провёл полное решение, но чтобы не возникло формальной накладки с Задачей №5, событие «наудачу взятое со склада изделие будет нестандартным» обозначено через .

Байесовская схема переоценки вероятностей встречается повсеместно, причём её активно эксплуатируют и различного рода мошенники. Рассмотрим ставшее нарицательным АО на три буквы, которое привлекает вклады населения, якобы куда-то их инвестирует, исправно выплачивает дивиденды и т.д. Что происходит? Проходит день за днём, месяц за месяцем и всё новые и новые факты, донесённые путём рекламы и «сарафанным радио», только повышают уровень доверия к финансовой пирамиде (апостериорная байесовская переоценка в связи с произошедшими событиями!) . То есть, в глазах вкладчиков происходит постоянное увеличение вероятности того, что «это серьёзная контора» ; при этом вероятность противоположной гипотезы («это очередные кидалы») , само собой, уменьшается и уменьшается. Дальнейшее, думаю, понятно. Примечательно, что заработанная репутация даёт организаторам время успешно скрыться от Ивана Васильевича, который остался не только без партии болтов, но и без штанов.

К не менее любопытным примерам мы вернёмся чуть позже, а пока на очереди, пожалуй, самый распространенный случай с тремя гипотезами:

Задача 7

Электролампы изготавливаются на трех заводах. 1-й завод производит 30% общего количества ламп, 2-й – 55%, а 3-й – остальную часть. Продукция 1-го завода содержит 1% бракованных ламп, 2-го – 1,5%, 3-го – 2%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Купленная лампа оказалась с браком. Какова вероятность того, что она произведена 2-м заводом?

Заметьте, что в задачах на формулы Байеса в условии обязательно фигурирует некое произошедшее событие, в данном случае – покупка лампы.

Событий прибавилось, и решение удобнее оформить в «быстром» стиле.

Алгоритм точно такой же: на первом шаге находим вероятность того, что купленная лампа вообще окажется бракованной.

Пользуясь исходными данными, переводим проценты в вероятности:
– вероятности того, что лампа произведена 1-м, 2-м и 3-м заводами соответственно.
Контроль:

Аналогично: – вероятности изготовления бракованной лампы для соответствующих заводов.

По формуле полной вероятности:

– вероятность того, что купленная лампа окажется с браком.

Шаг второй. Пусть купленная лампа оказалась бракованной (событие произошло)

По формуле Байеса:
– вероятность того, что купленная бракованная лампа изготовлена вторым заводом

Ответ :

Почему изначальная вероятность 2-й гипотезы после переоценки увеличилась ? Ведь второй завод производит средние по качеству лампы (первый – лучше, третий – хуже). Так почему же возросла апостериорная вероятность, что бракованная лампа именно со 2-го завода? Это объясняется уже не «репутацией», а размером. Так как завод №2 выпустил самое большое количество ламп, то на него (по меньшей мере, субъективно) и пеняют: «скорее всего, эта бракованная лампа именно оттуда» .

Интересно заметить, что вероятности 1-й и 3-й гипотез, переоценились в ожидаемых направлениях и сравнялись:

Контроль: , что и требовалось проверить.

К слову, о заниженных и завышенных оценках:

Задача 8

В студенческой группе 3 человека имеют высокий уровень подготовки, 19 человек – средний и 3 – низкий. Вероятности успешной сдачи экзамена для данных студентов соответственно равны: 0,95; 0,7 и 0,4. Известно, что некоторый студент сдал экзамен. Какова вероятность того, что:

а) он был подготовлен очень хорошо;
б) был подготовлен средне;
в) был подготовлен плохо.

Проведите вычисления и проанализируйте результаты переоценки гипотез.

Задача приближена к реальности и особенно правдоподобна для группы студентов-заочников, где преподаватель практически не знает способностей того или иного студента. При этом результат может послужить причиной довольно-таки неожиданных последствий (особенно это касается экзаменов в 1-м семестре) . Если плохо подготовленному студенту посчастливилось с билетом, то преподаватель с большой вероятностью сочтёт его хорошо успевающим или даже сильным студентом, что принесёт неплохие дивиденды в будущем (естественно, нужно «поднимать планку» и поддерживать свой имидж) . Если же студент 7 дней и 7 ночей учил, зубрил, повторял, но ему просто не повезло, то дальнейшие события могут развиваться в самом скверном ключе – с многочисленными пересдачами и балансировкой на грани вылета.

Что и говорить, репутация – это важнейший капитал, не случайно многие корпорации носят имена-фамилии своих отцов-основателей, которые руководили делом 100-200 лет назад и прославились своей безупречной репутацией.

Да, байесовский подход в известной степени субъективен, но… так устроена жизнь!

Закрепим материал заключительным индустриальным примером, в котором я расскажу о до сих пор не встречавшихся технических тонкостях решения:

Задача 9

Три цеха завода производят однотипные детали, которые поступают на сборку в общий контейнер. Известно, что первый цех производит в 2 раза больше деталей, чем второй цех, и в 4 раза больше третьего цеха. В первом цехе брак составляет 12%, во втором – 8%, в третьем – 4%. Для контроля из контейнера берется одна деталь. Какова вероятность того, что она окажется бракованной? Какова вероятность того, что извлечённую бракованную деталь выпустил 3-й цех?

Таки Иван Васильевич снова на коне =) Должен же быть у фильма счастливый конец =)

Решение : в отличие от Задач №№5-8 здесь в явном виде задан вопрос, который разрешается с помощью формулы полной вероятности. Но с другой стороны, условие немного «зашифровано», и разгадать этот ребус нам поможет школьный навык составлять простейшие уравнения. За «икс» удобно принять наименьшее значение:

Пусть – доля деталей, выпускаемая третьим цехом.

По условию, первый цех производит в 4 раза больше третьего цеха, поэтому доля 1-го цеха составляет .

Кроме того, первый цех производит изделий в 2 раза больше, чем второй цех, а значит, доля последнего: .

Составим и решим уравнение:

Таким образом: – вероятности того, что извлечённая из контейнера деталь выпущена 1-м, 2-м и 3-м цехами соответственно.

Контроль: . Кроме того, будет не лишним ещё раз посмотреть на фразу «Известно, что первый цех производит изделий в 2 раза больше второго цеха и в 4 раза больше третьего цеха» и убедиться, что полученные значения вероятностей действительно соответствуют этому условию.

За «икс» изначально можно было принять долю 1-го либо долю 2-го цеха – вероятности выйдут такими же. Но, так или иначе, самый трудный участок пройден, и решение входит в накатанную колею:

Из условия находим:
– вероятности изготовления бракованной детали для соответствующих цехов.

По формуле полной вероятности:
– вероятность того, что наугад извлеченная из контейнера деталь окажется нестандартной.

Вопрос второй: какова вероятность того, что извлечённую бракованную деталь выпустил 3-й цех? Данный вопрос предполагает, что деталь уже извлечена, и она оказалось бракованной. Переоцениваем гипотезу по формуле Байеса:
– искомая вероятность. Совершенно ожидаемо – ведь третий цех производит не только самую малую долю деталей, но и лидирует по качеству!

В данном случае пришлось упрощать четырёхэтажную дробь , что в задачах на формулы Байеса приходится делать довольно часто. Но для данного урока я как-то так случайно подобрал примеры, в которых многие вычисления можно провести без обыкновенных дробей.

Коль скоро в условии нет пунктов «а» и «бэ», то ответ лучше снабдить текстовыми комментариями:

Ответ : – вероятность того, что извлечённая из контейнера деталь окажется бракованной; – вероятность того, что извлечённую бракованную деталь выпустил 3-й цех.

Как видите, задачи на формулу полной вероятности и формулы Байеса достаточно простЫ, и, наверное, по этой причине в них так часто пытаются затруднить условие, о чём я уже упоминал в начале статьи.

Дополнительные примеры есть в файле с готовыми решениями на Ф.П.В. и формулы Байеса , кроме того, наверное, найдутся желающие более глубоко ознакомиться с данной темой в других источниках. А тема действительно очень интересная – чего только стОит один парадокс Байеса , который обосновывает тот житейский совет, что если у человека диагностирована редкая болезнь, то ему имеет смысл провести повторное и даже два повторных независимых обследования. Казалось бы, это делают исключительно от отчаяния… – а вот и нет! Но не будем о грустном.

– вероятность того, что произвольно выбранный студент сдаст экзамен.
Пусть студент сдал экзамен. По формулам Байеса:
а) – вероятность того, что студент, сдавший экзамен, был подготовлен очень хорошо. Объективная исходная вероятность оказывается завышенной, поскольку почти всегда некоторым «середнячкам» везёт с вопросами и они отвечают очень сильно, что вызывает ошибочное впечатление безупречной подготовки.
б) – вероятность того, что студент, сдавший экзамен, был подготовлен средне. Исходная вероятность оказывается чуть завышенной, т.к. студентов со средним уровнем подготовки обычно большинство, кроме того, сюда преподаватель отнесёт неудачно ответивших «отличников», а изредка и плохо успевающего студента, которому крупно повезло с билетом.
в) – вероятность того, что студент, сдавший экзамен, был подготовлен плохо. Исходная вероятность переоценилась в худшую сторону. Неудивительно.
Проверка:
Ответ :

Начнем с примера. В урне, стоящей перед вами, с равной вероятностью могут быть (1) два белых шара, (2) один белый и один черный, (3) два черных. Вы тащите шар, и он оказывается белым. Как теперь вы оцените вероятность этих трех вариантов (гипотез)? Очевидно, что вероятность гипотезы (3) с двумя черными шарами = 0. А вот как подсчитать вероятности двух оставшихся гипотез!? Это позволяет сделать формула Байеса, которая в нашем случае имеет вид (номер формулы соответствует номеру проверяемой гипотезы):

Скачать заметку в формате или

х – случайная величина (гипотеза), принимающая значения: х 1 – два белых, х 2 – один белый, один черный; х 3 – два черных; у – случайная величина (событие), принимающая значения: у 1 – вытащен белый шар и у 2 – вытащен чёрный шар; Р(х 1) – вероятность первой гипотезы до вытаскивания шара (априорная вероятность или вероятность до опыта) = 1/3; Р(х 2) – вероятность второй гипотезы до вытаскивания шара = 1/3; Р(х 3) – вероятность третьей гипотезы до вытаскивания шара = 1/3; Р(у 1 |х 1) – условная вероятность вытащить белый шар, в случае, если верна первая гипотеза (шары белые) = 1; Р(у 1 |х 2) – вероятность вытащить белый шар, в случае, если верна вторая гипотеза (один шар белый, второй – черный) = ½; Р(у 1 |х 3) – вероятность вытащить белый шар, в случае, если верна третья гипотеза (оба черных) = 0; Р(у 1) – вероятность вытащить белый шар = ½; Р(у 2) – вероятность вытащить черный шар = ½; и, наконец, то, что мы ищем – Р(х 1 |у 1) – вероятность того, что верна первая гипотеза (оба шара белых), при условии, что мы вытащили белый шар (апостериорная вероятность или вероятность после опыта); Р(х 2 |у 1) – вероятность того, что верна вторая гипотеза (один шар белый, второй – черный), при условии, что мы вытащили белый шар.

Вероятность того, что верна первая гипотеза (два белых), при условии, что мы вытащили белый шар :

Вероятность того, что верна вторая гипотеза (один белый, второй – черный), при условии, что мы вытащили белый шар :

Вероятность того, что верна третья гипотеза (два черных), при условии, что мы вытащили белый шар :

Что делает формула Байеса? Она дает возможность на основании априорных вероятностей гипотез – Р(х 1), Р(х 2) , Р(х 3) – и вероятностей наступления событий – Р(у 1), Р(у 2) – подсчитать апостериорные вероятности гипотез, например, вероятность первой гипотезы, при условии, что вытащили белый шар – Р(х 1 |у 1) .

Вернемся еще раз к формуле (1). Первоначальная вероятность первой гипотезы была Р(х 1) = 1/3. С вероятностью Р(у 1) = 1/2 мы могли вытащить белый шар, и с вероятностью Р(у 2) = 1/2 – черный. Мы вытащили белый. Вероятность вытащить белый при условии, что верна первая гипотеза Р(у 1 |х 1) = 1. Формула Байеса говорит, что так как вытащили белый, то вероятность первой гипотезы возросла до 2/3, вероятность второй гипотезы по-прежнему равна 1/3, а вероятность третьей гипотезы обратилась в ноль.

Легко проверить, что вытащи мы черный шар, апостериорные вероятности изменились бы симметрично: Р(х 1 |у 2) = 0, Р(х 2 |у 2) = 1/3, Р(х 3 |у 2) = 2/3.

Вот что писал Пьер Симон Лаплас о формуле Байеса в работе , вышедшей в 1814 г.:

Это основной принцип той отрасли анализа случайностей, которая занимается переходами от событий к причинам.

Почему формула Байеса так сложна для понимания!? На мой взгляд, потому, что наш обычный подход – это рассуждения от причин к следствиям. Например, если в урне 36 шаров из которых 6 черных, а остальные белые. Какова вероятность вытащить белый шар? Формула Байеса позволяет идти от событий к причинам (гипотезам). Если у нас было три гипотезы, и произошло событие, то как именно это событие (а не альтернативное) повлияло на первоначальные вероятности гипотез? Как изменились эти вероятности?

Я считаю, что формула Байеса не просто о вероятностях. Она изменяет парадигму восприятия. Каков ход мыслей при использовании детерминистской парадигмы? Если произошло событие, какова его причина? Если произошло ДТП, чрезвычайное происшествие, военный конфликт. Кто или что явилось их виной? Как думает байесовский наблюдатель? Какова структура реальности, приведшая в данном случае к такому-то проявлению… Байесовец понимает, что в ином случае результат мог быть иным…

Немного иначе разместим символы в формулах (1) и (2):

Давайте еще раз проговорим, что же мы видим. С равной исходной (априорной) вероятностью могла быть истинной одна из трех гипотез. С равной вероятностью мы могли вытащить белый или черный шар. Мы вытащили белый. В свете этой новой дополнительной информации следует пересмотреть нашу оценку гипотез. Формула Байеса позволяет это сделать численно. Априорная вероятность первой гипотезы (формула 7) была Р(х 1) , вытащили белый шар, апостериорная вероятность первой гипотезы стала Р(х 1 |у 1). Эти вероятности отличаются на коэффициент .

Событие у 1 называется свидетельством, в большей или меньшей степени подтверждающим или опровергающим гипотезу х 1 . Указанный коэффициент иногда называют мощностью свидетельства. Чем мощнее свидетельство (чем больше коэффициент отличается от единицы), тем больше факт наблюдения у 1 изменяет априорную вероятность, тем больше апостериорная вероятность отличается от априорной. Если свидетельство слабое (коэффициент ~ 1), апостериорная вероятность почти равна априорной.

Свидетельство у 1 в = 2 раза изменило априорную вероятность гипотезы х 1 (формула 4). В то же время свидетельство у 1 не изменило вероятность гипотезы х 2 , так как его мощность = 1 (формула 5).

В общем случае формула Байеса имеет следующий вид:

х – случайная величина (набор взаимоисключающих гипотез), принимающая значения: х 1 , х 2 , … , х n . у – случайная величина (набор взаимоисключающих событий), принимающая значения: у 1 , у 2 , … , у n . Формула Байеса позволяет найти апостериорную вероятность гипотезы х i при наступлении события y j . В числителе – произведение априорной вероятности гипотезы х i – Р(х i ) на вероятность наступления события y j , если верна гипотеза х i – Р(y j |х i ). В знаменателе – сумма произведений того же, что и в числителе, но для всех гипотез. Если вычислить знаменатель, то получим суммарную вероятность наступления события у j (если верна любая из гипотез) – Р(y j ) (как в формулах 1–3).

Еще раз о свидетельстве. Событие y j дает дополнительную информацию, что позволяет пересмотреть априорную вероятность гипотезы х i . Мощность свидетельства – – содержит в числителе вероятность наступления события y j , если верна гипотеза х i . В знаменателе – суммарная вероятность наступления события у j (или вероятность наступления события у j усредненная по всем гипотезам). у j выше для гипотезы x i , чем в среднем для всех гипотез, то свидетельство играет на руку гипотезе x i , увеличивая ее апостериорную вероятность Р(y j |х i ). Если вероятность наступления события у j ниже для гипотезы x i , чем в среднем для всех гипотез, то свидетельство понижает, апостериорную вероятность Р(y j |х i ) для гипотезы x i . Если вероятность наступления события у j для гипотезы x i такая же, как в среднем для всех гипотез, то свидетельство не изменяет апостериорную вероятность Р(y j |х i ) для гипотезы x i .

Предлагаю вашему вниманию несколько примеров, которые, надеюсь, закрепят ваше понимание формулы Байеса.

Задача 2. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку. .

Задача 3. Объект, за которым ведется наблюдение, может быть в одном из двух состояний: Н 1 = {функционирует} и Н 2 = {не функционирует}. Априорные вероятности этих состояний Р(Н 1) = 0,7, Р(Н 2) = 0,3. Имеется два источника информации, которые приносят разноречивые сведения о состоянии объекта; первый источник сообщает, что объект не функционирует, второй - что функционирует. Известно, что первый источник дает правильные сведения с вероятностью 0,9, а с вероятностью 0,1 - ошибочные. Второй источник менее надежен: он дает правильные сведения с вероятностью 0,7, а с вероятностью 0,3 - ошибочные. Найдите апостериорные вероятности гипотез. .

Задачи 1–3 взяты из учебника Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. Теория вероятностей и ее инженерные приложения, раздел 2.6 Теорема гипотез (формула Байеса).

Задача 4 взята из книги , раздел 4.3 Теорема Байеса.

Цель работы: сформировать навыки решения задач по теории вероятностей с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Формула полной вероятности

Вероятность события А , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В х,В 2 ,...,В п, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В ь В 2 ,...,В п, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А . Требуется определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Условные вероятности гипотез находят по формуле

В этой формуле индекс / = 1,2

Эту формулу называют формулой Байеса (по имени английского математика, который её вывел; опубликована в 1764 г.). Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А .

Задача 1. Завод изготавливает определённого типа детали, каждая деталь имеет дефект с вероятностью 0,05. Деталь осматривается одним контролёром; он обнаруживает дефект с вероятностью 0,97, а если дефект не обнаружен, пропускает деталь в готовую продукцию. Кроме того, контролер может по ошибке забраковать деталь, не имеющую дефекта; вероятность этого равна 0,01. Найти вероятности следующих событий: А - деталь будет забракована; В - деталь будет забракована, но ошибочно; С - деталь будет пропущена в готовую продукцию с дефектом.

Решение

Обозначим гипотезы:

Н = (на контроль поступит стандартная деталь);

Н =(на контроль поступит нестандартная деталь).

Событие А = (деталь будет забракована).

Из условия задачи находим вероятности

Р Н (А) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

По формуле полной вероятности получаем

Вероятность того, что деталь будет забракована ошибочно, равна

Найдём вероятность того, что деталь будет пропущена в готовую продукцию с дефектом:

Ответ:

Задача 2. Изделие проверяется на стандартность одним из трёх товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к первому товароведу, равна 0,25, ко второму - 0,26 и к третьему - 0,49. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,95, вторым - 0,98, третьим - 0,97. Найти вероятность того, что стандартное изделие проверено вторым контролёром.

Решение

Обозначим события:

Л. = (изделие для проверки попадёт к /-му товароведу); / = 1, 2, 3;

В = (изделие будет признано стандартным).

По условию задачи известны вероятности:

Также известны условные вероятности

По формуле Байеса находим вероятность того, что стандартное изделие проверено вторым контролёром:

Ответ: «0,263.

Задача 3. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором - 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. С конвейера взята нестандартная деталь. Найти вероятность того, что эта деталь произведена вторым автоматом.

Решение

Обозначим события:

А. = (взятая с конвейера деталь произведена /-м автоматом); / = 1,2;

В = (взятая деталь окажется нестандартной).

Также известны условные вероятности

По формуле полной вероятности находим

По формуле Байеса находим вероятность того, что взятая нестандартная деталь произведена вторым автоматом:

Ответ: 0,75.

Задача 4. Испытывается прибор, состоящий из двух узлов, надёжность которых равна 0,8 и 0,9 соответственно. Узлы отказывают независимо друг от друга. Прибор отказал. Найти с учётом этого вероятности гипотез:

• а) неисправен только первый узел;
• б) неисправен только второй узел;
• в) неисправны оба узла.

Решение

Обозначим события:

Д = (7-й узел не выйдет из строя); i = 1,2;

Д - соответствующие противоположные события;

А = (при испытании будет отказ прибора).

Из условия задачи получаем: Р(Д) = 0,8; Р(Л 2) = 0,9.

По свойству вероятностей противоположных событий

Событие А равно сумме произведений независимых событий

Используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получаем

Теперь находим вероятности гипотез:

Ответ:

Задача 5. На заводе болты изготавливаются на трёх станках, которые производят соответственно 25%, 30% и 45% всего количества болтов. В продукции станков брак составляет соответственно 4%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что болт, случайно взятый из поступившей продукции, окажется дефектным?

Решение

Обозначим события:

4 = (наудачу взятый болт изготовлен на /-м станке); i = 1, 2, 3;

В = (взятый наудачу болт окажется дефектным).

Из условия задачи по формуле классической вероятности находим вероятности гипотез:

Также по формуле классической вероятности находим условные вероятности:

По формуле полной вероятности находим

Ответ: 0,028.

Задача 6. Электронная схема принадлежит одной из трёх партий с вероятностями 0,25; 0,5 и 0,25. Вероятность того, что схема проработает сверх гарантийного срока службы для каждой из партий, соответственно составляет 0,1; 0,2 и 0,4. Найти вероятность того, что наугад взятая схема проработает сверх гарантийного срока службы.

Решение

Обозначим события:

4 = (наугад взятая схема из г-й партии); i = 1, 2, 3;

В = (наугад взятая схема проработает сверх гарантийного срока службы).

По условию задачи известны вероятности гипотез:

Также известны условные вероятности:

По формуле полной вероятности находим

Ответ: 0,225.

Задача 7. Прибор содержит два блока, исправность каждого из которых необходима для функционирования прибора. Вероятности безотказной работы для этих блоков соответственно равны 0,99 и 0,97. Прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказали оба блока.

Решение

Обозначим события:

Д = (z-й блок выйдет из строя); i = 1,2;

А = (устройство выйдет из строя).

Из условия задачи по свойству вероятностей противоположных событий получаем: ДД) = 1-0,99 = 0,01; ДД) = 1-0,97 = 0,03.

Событие А наступает только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий Д или А 2 . Поэтому это событие равно сумме событий А = Д + А 2 .

По теореме сложения вероятностей совместных событий получаем

По формуле Байеса находим вероятность того, что устройство вышло из строя из-за отказа обоих блоков.

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения Задача 1. На складе телевизионного ателье имеется 70% кинескопов, изготовленных заводом № 1; остальные кинескопы изготовлены заводом № 2. Вероятность того, что кинескоп не выйдет из строя в течение гарантийного срока службы, равна 0,8 для кинескопов завода № 1 и 0,7 - для кинескопов завода № 2. Кинескоп выдержал гарантийный срок службы. Найти вероятность того, что он изготовлен заводом № 2.

Задача 2. На сборку поступают детали с трёх автоматов. Известно, что 1-й автомат даёт 0,3% брака, 2-й - 0,2%, 3-й - 0,4%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали, если с 1-го автомата поступили 1000, со 2-го - 2000, с 3-го - 2500 деталей.

Задача 3. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь, произведённая на первом станке, будет стандартной, равна 0,8, а на втором - 0,9. Производительность второго станка втрое больше производительности первого. Найти вероятность того, что стандартной будет деталь, взятая наудачу с транспортёра, на который поступают детали с обоих станков.

Задача 4. Руководитель компании решил воспользоваться услугами двух из трёх транспортных фирм. Вероятности несвоевременной доставки груза для первой, второй и третьей фирм равны соответственно 0,05; 0,1 и 0,07. Сопоставив эти данные с данными о безопасности грузоперевозок, руководитель пришёл к выводу о равнозначности выбора и решил сделать его по жребию. Найти вероятность того, что отправленный груз будет доставлен своевременно.

Задача 5. Прибор содержит два блока, исправность каждого из которых необходима для функционирования прибора. Вероятности безотказной работы для этих блоков соответственно равны 0,99 и 0,97. Прибор вышел из строя. Определите вероятность того, что отказал второй блок.

Задача 6. В сборочный цех поступают детали с трёх автоматов. Первый автомат даёт 3% брака, второй - 1% и третий - 2%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата поступило соответственно 500, 200, 300 деталей.

Задача 7. На склад поступает продукция трёх фирм. Причём продукция первой фирмы составляет 20%, второй - 46% и третьей - 34%. Известно также, что средний процент нестандартных изделий для первой фирмы равен 5%, для второй - 2% и для третьей - 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено второй фирмой, если оно оказалось стандартным.

Задача 8. Брак в продукции завода вследствие дефекта а составляет 5%, причём среди забракованных по признаку а продукции в 10% случаев встречается дефект р. А в продукции, свободной от дефекта а , дефект р встречается в 1% случаев. Найти вероятность встречи дефекта Р во всей продукции.

Задача 9. В фирме имеются 10 новых автомобилей и 5 старых, которые ранее находились в ремонте. Вероятность исправной работы для нового авто равна 0,94, старого - 0,91. Найти вероятность того, что наудачу выбранный автомобиль будет исправно работать.

Задача 10. Два датчика посылают сигналы в общий канал связи, причём первый из них посылает вдвое больше сигналов, чем второй. Вероятность получить искажённый сигнал от первого датчика равна 0,01, от второго - 0,03. Какова вероятность получить искажённый сигнал в общем канале связи?

Задача 11. Имеется пять партий изделий: три партии по 8 штук, из которых 6 стандартных и 2 нестандартных, и две партии по 10 штук, из которых 7 стандартных и 3 нестандартных. Наудачу выбирают одну из партий, а из этой партии берут деталь. Определить вероятность того, что взятая деталь будет стандартной.

Задача 12. Сборщик получает в среднем 50% деталей первого завода, 30% - второго завода и 20% - третьего завода. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества, равна 0,7; для деталей второго и третьего заводов соответственно 0,8 и 0,9. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь изготовлена первым заводом.

Задача 13. Таможенный досмотр автомашин осуществляют два инспектора. В среднем из 100 машин 45 проходят через первого инспектора. Вероятность того, что при досмотре машина, соответствующая таможенным правилам, не будет задержана, составляет 0,95 у первого инспектора и 0,85 - у второго. Найти вероятность того, что машина, соответствующая таможенным правилам, не будет задержана.

Задача 14. Детали, необходимые для сборки прибора, поступают с двух автоматов, производительность которых одинакова. Вычислите вероятность поступления на сборку стандартной детали, если один из автоматов даёт в среднем 3% нарушения стандарта, а второй - 2%.

Задача 15. Тренер по тяжёлой атлетике рассчитал, что для получения командных зачётных очков в данной весовой категории спортсмен должен толкнуть штангу в 200 кг. На место в команде претендуют Иванов, Петров и Сидоров. Иванов за время тренировок пытался поднять такой вес в 7 случаях, а поднял в 3 из них. Петров поднял в 6 случаях из 13, а Сидоров имеет 35%-ную вероятность успешно справиться со штангой. Тренер случайным жребием выбирает одного спортсмена в команду.

• а) Найти вероятность того, что выбранный спортсмен принесёт команде зачётные очки.
• б) Команда не получила зачётных очков. Найти вероятность того, что выступал Сидоров.

Задача 16. В белом ящике 12 красных и 6 синих шаров. В черном - 15 красных и 10 синих шаров. Бросают игральный кубик. Если выпадет количество очков, кратное 3, то наугад берут шар из белого ящика. Если выпадет любое другое количество очков, то наугад берут шар из черного ящика. Какова вероятность появления красного шара?

Задача 17. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

Задача 18. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Задача 19. В ящик, содержащий 3 одинаковые детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу одна деталь извлечена. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.

Задача 20. Для улучшения качества радиосвязи используются два радиоприемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником равна 0,8, и эти события (прием сигнала приемником) независимы. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приемника равна 0,9.

Формула Байеса :

Вероятности P(H i) гипотез H i называют априорными вероятностями - вероятности до проведения опытов.
Вероятности P(A/H i) называют апостериорными вероятностями – вероятности гипотез H i , уточненных в результате опыта.

Пример №1 . Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. Около 40% приборов собираются из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время t равна 0,95; если из деталей обычного качества - его надежность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найдите вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.
Решение. Возможны две гипотезы: H 1 - прибор собран из высококачественных деталей; H 2 - прибор собран из деталей обычного качества. Вероятности этих гипотез до опыта: P(H 1) = 0,4, P(H 2) = 0,6. В результате опыта наблюдалось событие A - прибор безотказно работал время t. Условные вероятности этого события при гипотезах H 1 и H 2 равны: P(A|H 1) = 0,95; P(A|H 2) = 0,7. По формуле (12) находим вероятность гипотезы H 1 после опыта:

Пример №2 . Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Предполагая, что два стрелка не могут попасть в одну и ту же точку, найдите вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
Решение. Пусть событие A - после стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. До начала стрельбы возможны гипотезы:
H 1 - ни первый, ни второй стрелок не попадет, вероятность этой гипотезы: P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0,12.
H 2 - оба стрелка попадут, P(H 2) = 0,8 · 0,4 = 0,32.
H 3 - первый стрелок попадет, а второй не попадет, P(H 3) = 0,8 · 0,6 = 0,48.
H 4 - первый стрелок не попадет, а второй попадет, P (H 4) = 0,2 · 0,4 = 0,08.
Условные вероятности события A при этих гипотезах равны:

После опыта гипотезы H 1 и H 2 становятся невозможными, а вероятности гипотез H 3 и H 4
будут равны:

Итак, вероятнее всего, что мишень поражена первым стрелком.

Пример №3 . В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19,6 и 11 шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найдите вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.
Решение. Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым - работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:
A - электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;
H 1 - монтер возьмет двигатель из продукции первого завода;
H 2 - монтер возьмет двигатель из продукции второго завода;
H 3 - монтер возьмет двигатель из продукции третьего завода.
Вероятность события A вычисляем по формуле полной вероятности:

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Найдем вероятности

По формулам Бейеса (12) вычисляем условные вероятности гипотез H i:

Пример №4 . Вероятности того, что во время работы системы, которая состоит из трех элементов, откажут элементы с номерами 1, 2 и 3, относятся как 3: 2: 5. Вероятности выявления отказов этих элементов равны соответственно 0,95; 0,9 и 0,6.

б) В условиях данной задачи во время работы системы обнаружен отказ. Какой из элементов вероятнее всего отказал?

Решение.
Пусть А - событие отказа. Введем систему гипотез H1 - отказ первого элемента, H2 - отказ второго элемента, H3 - отказ третьего элемента.
Находим вероятности гипотез:
P(H1) = 3/(3+2+5) = 0.3
P(H2) = 2/(3+2+5) = 0.2
P(H3) = 5/(3+2+5) = 0.5

Согласно условию задачи условные вероятности события А равны:
P(A|H1) = 0.95, P(A|H2) = 0.9, P(A|H3) = 0.6

а) Найдите вероятность обнаружения отказа в работе системы.
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.3*0.95 + 0.2*0.9 + 0.5*0.6 = 0.765

б) В условиях данной задачи во время работы системы обнаружен отказ. Какой из элементов вероятнее всего отказал?
P1 = P(H1)*P(A|H1)/ P(A) = 0.3*0.95 / 0.765 = 0.373
P2 = P(H2)*P(A|H2)/ P(A) = 0.2*0.9 / 0.765 = 0.235
P3 = P(H3)*P(A|H3)/ P(A) = 0.5*0.6 / 0.765 = 0.392

Максимальная вероятность у третьего элемента.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуютполную группу несовместных событий , то вероятность события А вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности .

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых. СобытиеА может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называтьгипотезами . Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса ). Вероятности гипотез называютсяапостериорными вероятностями , тогда как -априорными вероятностями .

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три гипотезы:

На линию огня вызван первый стрелок,

На линию огня вызван второй стрелок,

На линию огня вызван третий стрелок.

Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то

В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:

по формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта:

Пример. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: – взятая наудачу деталь обработана на-ом станке,.

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

Зависимости между производительностями станков означают следующее:

А так как гипотезы образуют полную группу, то .

Решив полученную систему уравнений, найдем: .

а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.

Практические задания

Задание 1

Решение задач по основным разделам теории вероятности

Цель - получение практических навыков в решении задач по

разделам теории вероятностей

Подготовка к выполнению практического задания

Ознакомиться с теоретическим материалом по данной тематике, изучить содержание теоретического, а также соответствующие разделы в литературных источниках

Порядок выполнения задания

Решить 5 задач согласно номеру варианта задания, приведенного в таблице 1.

Варианты исходных данных

Таблица 1

	номер задачи

Состав отчета по заданию 1

5 решенных задач согласно номеру варианта.

Задачи для самостоятельного решения

1.. Являются ли случаями следующие группы событий: а) опыт - бросание монеты; события: А1 - появление герба; А2 - появление цифры; б) опыт - бросание двух монет; события: В1 - появление двух гербов; В2 - появление двух цифр; В3 - появление одного герба и одной цифры; в) опыт - бросание игральной кости; события: С1 - появление не более двух очков; С2 - появление трех или четырех очков; С3 - появление не менее пяти очков; г) опыт - выстрел по мишени; события: D1 - попадание; D2 - промах; д) опыт - два выстрела по мишени; события: Е0 - ни одного попадания; Е1 - одно попадание; Е2 - два попадания; е) опыт - вынимание двух карт из колоды; события: F1 - появление двух красных карт; F2 - появление двух черных карт?

2. В урне A белых и B черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.

3. В урне A белых и B черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

4. В урне A белых и B черных шаров. Из урны вынули один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, - тоже белый.

5. Из урны, содержащей A белых и B черных шаров, вынимают один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что последний оставшийся в урне шар будет белым.

6. Из урны, в которой A белых шаров и B черных, вынимают подряд все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.

7. В урне A белых и B черных шаров (A > 2). Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

8. В урне A белых и B черных шаров (A > 2, B > 3). Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность р того, что два из них будут белыми, а три черными.

9. В партии, состоящей из X изделий, имеется I дефектных. Из партии выбирается для контроля I изделий. Найти вероятность р того, что из них ровно J изделий будут дефектными.

10. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий: А - появление четного числа очков; В - появление не менее 5 очков; С- появление не более 5 очков.

11. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность р того, что оба раза появится одинаковое число очков.

12. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А - сумма выпавших очков равна 8; В - произведение выпавших очков равно 8;С- сумма выпавших очков больше, чем их произведение.

13. Бросаются две монеты. Какое из событий является более вероятным: А - монеты лягут одинаковыми сторонами; В - монеты лягут разными сторонами?

14. В урне A белых и B черных шаров (A > 2; B > 2). Из урны вынимают одновременно два шара. Какое событие более вероятно: А - шары одного цвета; В - шары разных цветов?

15. Трое игроков играют в карты. Каждому из них сдано по 10 карт и две карты оставлены в прикупе. Один из игроков видит, что у него на руках 6 карт бубновой масти и 4 - не бубновой. Он сбрасывает две карты из этих четырех и берет себе прикуп. Найти вероятность того, что он прикупит две бубновые карты.

16. Из урны, содержащей п перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: 1, 2,..., п.

17. Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2,..., п.

18. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий: А - в каждой из пачек окажется по два туза; В - в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой - все четыре; С-в одной из пачек будет один туз, а в другой - три.

19. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд

экстра-класса. Найти вероятности следующих событий: А - все команды экстра-класса попадут в одну и ту же группу; В - две команды экстра-класса попадут в одну из групп, а три - в другую.

20. На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например 07(семь), 14 (четырнадцать) и т. п. Найти вероятность того, что число будет четным.

21. На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из них, одна за другой, вынимаются. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой.

22. Тот же вопрос, что в задаче 21, но первая карточка после вынимания кладется обратно и перемешивается с остальными, а стоящее на ней число записывается.

23. В урне A белых, B черных и C красных шаров. Из урны вынимают один за другим все находящиеся в ней шары и записывают их цвета. Найти вероятность того, что в этом списке белый цвет появится раньше черного.

24. Имеется две урны: в первой A белых и B черных шаров; во второй C белых и D черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

25. В условиях задачи 24 найти вероятность того, что вынутые шары будут разных цветов.

26. В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, выстрела не происходит. Найти вероятность р того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим.

27. В тех же условиях (см. задачу 26)найти вероятность того, что оба раза выстрел произойдет.

28. В урне имеется А; шаров, помеченных номерами 1, 2, ..., к Из урны I раз вынимается по одному шару (I <к), номер шара записывается и шар кладется обратно в урну. Найти вероятность р того, что все записанные номера будут различны.

29. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова получилось слово «книга».

30. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова слово «ананас

31. Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимается сразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть для того, чтобы с вероятностью, большей чем 0,50, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

32. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N > 2). Найти вероятность р того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

33. Та же задача (см 32), но стол прямоугольный, и N человек рассаживаются случайно вдоль одной из его сторон.

34. На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков случайно выбираются два. Найти вероятность того что на обоих бочонках написаны числа, меньшие чем k (2

35. На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков случайно выбираются два. Найти вероятность того что на одном из бочонков написано число, большее чем k, а на другом - меньшее чем k. (2

36. Батарея из М орудий ведет огонь по группе, состоящей из N целей (М < N). Орудия выбирают себе цели последовательно, случайным образом, при условии, что никакие два орудия стрелять по одной цели не могут. Найти вероятность р того, что будут обстреляны цели с номерами 1, 2,..., М.

37.. Батарея, состоящая из к орудий, ведет огонь по группе, состоящей из I самолетов (к < 2). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все к орудий будут стрелять по одной и той же цели.

38. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что все орудия будут стрелять по разным целям.

39. Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырем лункам; каждый шарик попадает в ту или другую лунку с одинаковой вероятностью и независимо от других (препятствий к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найти вероятность того, что в одной из лунок окажется три шарика, в другой - один, а в двух остальных лунках шариков не будет.

40. Маша поссорилась с Петей и не хочет ехать с ним в одном автобусе. От общежития до института с 7 до 8 отправляется 5 автобусов. Не успевший на эти автобусы опаздывает на лекцию. Сколькими способами Маша и Петя могут доехать до института на разных автобусах и не опоздать на лекцию?

41. В информационно-технологическом управлении банка работает 3 аналитика, 10 программистов и 20 инженеров. Для сверхурочной в праздничный день начальник управления должен выделить одного сотрудника. Сколькими способами это можно сделать?

42. Начальник службы безопасности банка должен ежедневно расставлять 10 охранников по 10 постам. Сколькими способами это можно сделать?

43. Новый президент банка должен назначить 2 новых вице президентов из числа 10 директоров. Сколькими способами это можно сделать?

44. Одна из воюющих сторон захватил 12, а другая – 15 пленных. Сколькими способами можно обменять 7 военнопленных?

45. Петя и Маша коллекционируют видеодиски. У Пети есть 30 комедий, 80 боевиков и 7 мелодрам, у Маши – 20 комедий, 5 боевиков и 90 мелодрам. Сколькими способами Петя и Маша могут обменяться 3 комедиями, 2 боевиками и 1 мелодрамой?

46. В условиях задачи 45 сколькими способами Петя и Маша могут обменяться 3 мелодрамами и 5 комедиями?

47. В условиях задачи 45 сколькими способами Петя и Маша могут обменяться 2 боевиками и 7 комедиями.

48. Одна из воюющих сторон захватил 15, а другая – 16 пленных. Сколькими способами можно обменять 5 военнопленных?

49. Сколько автомобилей можно зарегистрировать в 1 городе, если номер имеет 3 цифры и 3 буквы (только те чьё написание совпадает с латинскими – А,В,Е,К,М,Н,О,Р,С,Т,У,Х)?

50. Одна из воюющих сторон захватил 14, а другая – 17 пленных. Сколькими способами можно обменять 6 военнопленных?

51. Сколько различных слов можно составить переставляя буквы в слове «мама»?

52. В корзине 3 красных и 7 зеленых яблок. Из нее вынимают одно яблоко. Найти вероятность того, что оно будет красным.

53. В корзине 3 красных и 7 зеленых яблок. Из нее вынули и отложили в сторону одно зеленое яблоко. После чего из корзины вынимают еще 1 яблоко. Какова вероятность того, что это яблоко будет зеленым?

54. В партии, состоящей из 1000 изделий, 4 имеют дефекты. Для контроля выбирают партию из 100 изделий. Какова вероятность ТОО, что в контрольной партии не окажется бракованных?

56.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 5 из 36». Играющий отмечал на карточке 5 чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок не угадал ни одного числа.

57.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 5 из 36». Играющий отмечал на карточке 5 чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок угадал одно число.

58.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 5 из 36». Играющий отмечал на карточке 5 чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок угадал 3 числа.

59.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 5 из 36». Играющий отмечал на карточке 5 чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок не угадал все 5 чисел.

60.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 6 из 49». Играющий отмечал на карточке 6 чисел от 1 до 49 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок угадал 2 числа.

61. В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 6 из 49». Играющий отмечал на карточке 6 чисел от 1 до 49 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок не угадал ни одного числа.

62.В 80-е годы в СССР была популярна игра «спортлото 6 из 49». Играющий отмечал на карточке 6 чисел от 1 до 49 и получал призы различного достоинства если он угадывал разное число чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятность того, что игрок угадал все 6 чисел.

63. В партии, состоящей из 1000 изделий, 4 имеют дефекты. Для контроля выбирают партию из 100 изделий. Какова вероятность ТОО, что в контрольной партии окажется только 1 бракованная?

64. Сколько различных слов можно составить переставляя буквы в слове «книга»?

65. Сколько различных слов можно составить переставляя буквы в слове «ананас»?

66. В лифт вошло 6 человек, а общежитие имеет 7 этажей. Какова вероятность того что все 6 человек выйдут на одном этаже?

67. В лифт вошло 6 человек, здание имеет 7 этажей. Какова вероятность того что все 6 человек выйдут на разных этажах?

68. Во время грозы на участке между 40 и 79 км линии электропередачи произошел обрыв провода. Считая что обрыв одинаково возможен в любой точке, найти вероятность того что обрыв произошел между 40-м и 45-м километрами.

69. На 200 километровом участке газопровода происходит утечка газа между компрессорными станциями А и В, которая одинаково возможна в любой точке трубопровода. какова вероятность того что утечка происходит не далее 20 км от А

70. На 200 километровом участке газопровода происходит утечка газа между компрессорными станциями А и В, которая одинаково возможна в любой точке трубопровода. какова вероятность того что утечка происходит ближе к А, чем к В

71. Радар инспектора ДПС имеет точность 10 км\час и округляет в ближайшую сторону. Что происходит чаще – округление в пользу водителя или инспектора?

72. Маша тратит на дорогу в институт от 40 до 50 минут, причем любое время в этом промежутке является равновероятным. Какова вероятность того что она потратит на дорогу от 45 до 50 минут.

73. Петя и Маша договорились встретиться у памятника Пушкину с 12 до 13 часов, однако никто не смог указать точно время прихода. Они договорились ждать друг друга 15 минут. Какова вероятность их встречи?

74. Рыбаки поймали в пруду 120 рыб, из них 10 оказались окольцованными. Какова вероятность поймать окольцованную рыбу?

75. Из корзины содержащей 3 красных и 7 зеленых яблок вынимают все яблоки по очереди. какова вероятность того что 2-е яблоко окажется красным?

76. Из корзины содержащей 3 красных и 7 зеленых яблок вынимают все яблоки по очереди. какова вероятность того что последнее яблоко окажется зеленым?

77. Студенты считают что из 50 билетов 10 являются «хорошими». Петя и Маша по очереди тянут по одному билету. Какова вероятность того, что Маше достался «хороший» билет?

78. Студенты считают что из 50 билетов 10 являются «хорошими». Петя и Маша по очереди тянут по одному билету. Какова вероятность того, что им обоим достался «хороший» билет?

79. Маша пришла на экзамен зная ответы на 20 вопросов программы из 25. Профессор задает 3 вопроса. Какова вероятность того что Маша ответит на 3 вопроса?

80. Маша пришла на экзамен зная ответы на 20 вопросов программы из 25. Профессор задает 3 вопроса. Какова вероятность того что Маша не ответит ни на один вопрос?

81. Маша пришла на экзамен зная ответы на 20 вопросов программы из 25. Профессор задает 3 вопроса. Какова вероятность того что Маша ответит на 1 вопрос?

82. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - гос. органы, 20% - другие банки, остальное – физические лица. Вероятность невозвращения кредитов соответственно 0.01, 0.05 и 0.2. Какая доля кредитов не возвращается?

83. вероятность того что недельный оборот торговца мороженым превысит 2000 руб. составляет 80% при ясной погоде, 50 % при переменной облачности и 10% при дождливой погоде. Какова вероятность что оборот превысит 2000 руб. если вероятность ясной погоды – 20%, а переменной облачности и дождей – по 40%.

84. В урне А белых (б) и В черных (ч) шаров. Из урны вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

85. В урне А белых и В

86. В урне А белых и В

87. В урне А белых и В черных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

88. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей?

89. Уходя из квартиры, N каждый гость наденет свои калоши;

90. Уходя из квартиры, N гостей, имеющих одинаковые размеры обуви, надевают калоши в темноте. Каждый из них может отличить правую калошу от левой, но не может отличить свою от чужой. Найти вероятность того что каждый гость, наденет калоши, относящиеся к одной паре (может быть и не свои).

91. В условиях задачи 90найти вероятность того что каждый уйдет в своих калошах если гости не могут отличить правой калоши от левой и просто берут первые попавшиеся две калоши.

92. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми частями которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы поразить (вывести из строя) самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При данных условиях стрельбы вероятность поражения первого двигателя равна p1 второго двигателя р2, кабины пилота р3. Части самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

93. Два стрелка, независимо один от другого, делают по два выстрела (каждый по своей мишени). Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка p1 для второго р2. Выигравшим соревнование считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность Рх того, что выиграет первый стрелок.

94. за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью р. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найти вероятность того, что при п циклах объект будет обнаружен.

95. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «конец».

96. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в каждую ячейку. Найти вероятность того, что шарики попадут в соседние ячейки.

97. Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Площади баков одинаковы. Для того чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами либо в один и тот же бак, либо в соседние баки. Известно, что в область баков попало два снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится.

98. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

99. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей..

100. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р.

101. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80 % всех случаев работы прибора; ненормальный - в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном - 0,7. Найти полную вероятность р выхода прибора из строя.

102. Магазин получает товар от 3 поставщиков: 55% от 1-го, 20 от 2-го и 25% от 3-го. Доля брака составляет 5, 6 и 8 процентов соответственно. Какова вероятность того что купленный бракованный товар поступил от второго поставщика.

103.Поток автомобилей мимо АЗС состоит на 60% из грузовых и на 40% из легковых автомобилей. Какова вероятность нахождения на АЗС грузового автомобиля, если вероятность его заправки 0.1, а легкового – 0.3

104. Поток автомобилей мимо АЗС состоит на 60% из грузовых и на 40% из легковых автомобилей. Какова вероятность нахождения на АЗС грузового автомобиля, если вероятность его заправки 0.1, а легкового – 0.3

105. Магазин получает товар от 3 поставщиков: 55% от 1-го, 20 от 2-го и 25% от 3-го. Доля брака составляет 5, 6 и 8 процентов соответственно. Какова вероятность того что купленный бракованный товар поступил от 1-го поставщика.

106. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «книга».

107. Магазин получает товар от 3 поставщиков: 55% от 1-го, 20 от 2-го и 25% от 3-го. Доля брака составляет 5, 6 и 8 процентов соответственно. Какова вероятность того что купленный бракованный товар поступил от 1-го поставщика.

108. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в каждую ячейку. Найти вероятность того, что 2 шарика попадут в одну ячейку

109. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при втором включении зажигания;

110. Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Площади баков одинаковы. Для того чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами в один и тот же бак. Известно, что в область баков попало два снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится

111. Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Площади баков одинаковы. Для того чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами в соседние баки. Известно, что в область баков попало два снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится

112.В урне А белых и В черных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что оба вынутые шара будут белыми.

113. В урне А белых и В черных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

114. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в каждую ячейку. Найти вероятность того, что шарики попадут в соседние ячейки.

115. Маша пришла на экзамен зная ответы на 20 вопросов программы из 25. Профессор задает 3 вопроса. Какова вероятность того что Маша ответит на 2 вопроса?

116. Студенты считают что из 50 билетов 10 являются «хорошими». Петя и Маша по очереди тянут по одному билету. Какова вероятность того, что им обоим достался «хороший» билет?

117. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - гос. органы, 20% - другие банки, остальное – физические лица. Вероятность невозвращения кредитов соответственно 0.01, 0.05 и 0.2. Какая доля кредитов не возвращается?

118. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «конец».

119 Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - гос. органы, 20% - другие банки, остальное – физические лица. Вероятность невозвращения кредитов соответственно 0.01, 0.05 и 0.2. Какая доля кредитов не возвращается?

120. вероятность того что недельный оборот торговца мороженым превысит 2000 руб. составляет 80% при ясной погоде, 50 % при переменной облачности и 10% при дождливой погоде. Какова вероятность что оборот превысит 2000 руб. если вероятность ясной погоды – 20%, а переменной облачности и дождей – по 40%.