Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет знаний. Формулы сокращенного умножения
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока:
Ход урока
1. Класс делится на две группы: группа исследователей и группа оппонентов. Группа исследователей выполняет действие умножения многочлена на многочлен:
А) (а-в)(а+в)=
Г) (а+в)(а 2 +ав+в 2) =
Д) (а-в)(а 2 +ав+ в 2)=
Другая группа оппонентов повторяют правило умножения многочлена на многочлен.
А) (m-2х)(m+n)=
В) (3х-у)(у+х)=
Проверяется на экране, причем в первом задании отрабатывается обучающая роль ошибки: Прочитать верный ответ.
Повторяется правило умножения многочлена на многочлен. На следующем слайде вступают в работу “Исследователи”, которые озвучивают результаты, а затем по щелчку мыши на экране проверяются ответы.
Оппоненты сообщают о том, что 1,2,3,5 являются формулами сокращенного умножения, а 4 нет, т.к. содержится ошибка.
Пример разбирается:
(а+в)(а 2 +ав+ в 2)= а 3 + а 2 в+а в 2 +в а 2 +а в 2 + в 3 = а 3 +2 а 2 в+2а в 2 + в 3
Чтобы она была формулой сокращенного умножения необходимо уничтожить слагаемые а 2 в и ав 2 .
Это можно достичь лишь, когда во второй скобке будет - ав.
2. Геометрическая интерпретация формул сокращённого умножения.
Работа с презентацией. (Рис.1)
- Выразить площадь квадрата со стороной (а+в). S= (а+в) 2
- Из каких фигур состоит данный квадрат?
- Как можно по-другому найти площадь этого квадрата
S= а 2 + в 2 +2ав (рис.2)
Доказать геометрически формулу: (а–в) 2 = а 2 -2ав+ в 2
(а-в) 2 = а 2 – 2в (а-в) - в 2 = а 2 – 2ав + 2в 2 - в 2 = а 2 - 2ав + в 2
Используя этот прием изобразить док-во формулы (а-в)(а+в)
Исследователи включаются в работу.
Оппоненты доказывают аналитически формулы (а+в) 3 и (а–в) 3
По щелчку мыши проверяются верные ответы.
Исследователи предоставляют свой результат.
3. Закрепление.
На слайде предлагается устно проверить возведение во вторую степень суммы и разности. По щелчку мыши проверяются верные ответы.
Итог урока.
Вставьте пропущенные выражения на следующем слайде. Задание выполняется по уровню сложности: 1 уровень и 2 уровень – выполняется более сильными детьми.
4. Домашнее задание.
Изобразить геометрическую интерпретацию формул:
(а+в) 3 = а 3 + 3 а 2 в+3а в 2 + в 3
(а-в) 3 = а 3 - 3 а 2 в+3а в 2 - в 3
Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.
И так вот они:
Первая х 2 - у 2 = (х - у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.
Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Третья (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Пятая (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
Седьмая х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).
О существовании этих закономерностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.
Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .
Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.
«Тесты по математике» - ТЕСТ по математике. Чему ты научился в первом классе?». Цель – проверить усвоение состава однозначных чисел и терминов. 5. Уменьши число 9 на 4. Какое число получится? 1. Выбери сумму, значение которой равно 7. 3. Какое число пропущено в записи: … + 4 = 7? 2. Выбери пару выражений, которые имеют одинаковые значения.
«Вычисления» - Длительность: 3 мин 16 сек. Викторина. Вычислить! Математика, 5 класс Автор - Логунова Л.В. Автоматический показ. По математике!
«Формула разности квадратов» - Задачи: Разминка. Формула разности квадратов.
«Творческие работы по математике» - Развитие общеучебных умений и навыков. Темы творческих работ. Основные этапы организации творческой работы. Реализация творческих возможностей учителя и учащихся. Интерес учащихся. Авраменко Владислава Учитель математики Нарвская Солдинаская гимназия. Специфические черты и особенности учебного предмета.
«Свойства натуральных чисел» - Сочетательное свойство умножения. Сложение. Свойства деления. Свойства сложения. На нуль делить нельзя! Свойство вычитания числа из суммы. Сложение и вычитание - действия 1 ступени. Вычитание из числа равного ему числа. Умножение и деление - действия 2 ступени. Умножение. Cвойства умножения. Вычитание.
«Большие числа» - Миллион дней – более 27 столетий. Таблица больших чисел. Среднее расстояние от Земли до Солнца – 150 млн. км. 1 000 000 000 000 - триллион. В каждом кубическом сантиметре воздуха (примерно в напёрстке) насчитывается от 20 до 30 триллионов молекул. Банан – высокое, иногда гигантское (до 15 метров) травянистое растение.
>>Математика: Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения
Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен
на другой, а пользоваться готовым результатом. Рассмотрим эти случаи.
1. Квадрат суммы и квадрат разности:
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении:
а) (Зх + 2) 2 ;
б) (5а 2 - 4b 3) 2
а) Воспользуемся формулой (1),
учтя, что в роли а выступает Зх, а в роли b - число 2.
Получим:
(Зх + 2) 2 = (Зх) 2 + 2 Зх 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.
б) Воспользуемся формулой (2) , учтя, что в роли а выступает5а 2 , а в ролиb выступает 4b 3 . Получим:
(5а 2 -4b 3) 2 = (5а 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6 .
При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что
(- a - b) 2 = (а + b) 2 ;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .
Это следует из того, что (- а) 2 = а 2 .
Отметим, что на формулах (1) и (2) основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме.
Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. В самом деле
71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.
Иногда можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2 или цифрой 8. Например,
102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;
48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5.
Проведем соответствующие рассуждения для 85 2 .
Имеем:
85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Замечаем, что для вычисления 85 2 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 и к полученному числу приписали справа 25);
65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 и к полученному числу приписали справа 25).
Раз уж мы с вами заговорили о различных любопытных обстоятельствах, связанных со скучными (на первый взгляд) формулами (1) и (2), то дополним этот разговор следующим геометрическим рассуждением. Пусть а и b - положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а + b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b (рис. 4).
Площадь квадрата со стороной а + b равна (а + b) 2 . Но этот квадрат мы разрезали на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а 2), квадрат со стороной b (его площадь равна b 2), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна ab). Значит, (а + b) 2 = а 2 + b 2 + 2аb, т. е. получили формулу (1).
Умножим двучлен а + b на двучлен а - b. Получим:
(а + b) (а - b) = а 2 - аb + bа - b 2 = а 2 - b 2 .
Итак
Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью). Если формулу C) использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b) (а - b) готовым результатом а 2 - b 2 . Эту же формулу можно использовать справа налево, тогда она позволяет заменить разность квадратов а 2 - b 2 произведением (а + b) (а - b). Формуле (3) в математике дано специальное название - разность квадратов.
Замечание.
Не путайте термины «разность квадратов» к и «квадрат разности». Разность квадратов - это а 2 - b 2 , значит, речь идет о формуле (3); квадрат разности - это (a- b) 2 , значит речь идет о формуле (2). На обычном языке формулу (3) читают «справа налево» так:
разность квадратов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на их разность,
Пример 2.
Выполнить умножение
(3x- 2y)(3x+ 2y)
Решение. Имеем:
(Зх - 2у) (Зх + 2у)= (Зx) 2 - (2у) 2 = 9x 2 - 4y 2 .
Пример 3.
Представить двучлен 16x 4 - 9 в виде произведения двучленов.
Решение. Имеем: 16x 4 =(4x 2) 2 , 9 = З 2 , значит, заданный двучлен есть разность квадратов, т.е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим:
16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - З 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)
Формула (3), как и формулы (1) и (2), используется для математических фокусов. Смотрите:
79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.
Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением. Пусть а и b - положительные числа, причем а > b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а + b и а - b (рис. 5). Его площадь равна (а + b) (а - b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а - b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 6. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а + b) (а - b). Но эту фигуру можно
построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис. 6). Значит, площадь новой фигуры равна а 2 - b 2 . Итак, (а + b) (а - b) = а 2 - b 2 , т. е. получили формулу (3).
3. Разность кубов и сумма кубов
Умножим двучлен а - b на трехчлен а 2 + ab + b 2 .
Получим:
(a - b) (а 2 + ab + b 2) = а а 2 + а ab + а b 2 - b а 2 - b аb -b b 2 = а 3 + а 2 b + аb 2 -а 2 b-аb 2 -b 3 = а 3 -b 3 .
Аналогично
(а + b) (а 2 - аb + b 2) = а 3 + b 3
(проверьте это сами). Итак,
Формулу (4) обычно называют разностью кубов , формулу(5) - суммой кубов. Попробуем перевести формулы (4) и (5) на обычный язык. Прежде чем это сделать, заметим, что выражение a 2 + ab + b 2 похоже на выражение а 2 + 2ab + b 2 , которое фигурировало в формуле (1) и давало (а + b) 2 ; выражение а 2 - ab + b 2 похоже на выражение а 2 - 2ab + b 2 , которое фигурировало в формуле (2) и давало (а - b) 2 .
Чтобы отличить (в языке) эти пары выражений друг от друга, каждое из выражений а 2 + 2ab + b 2 и а 2 - 2ab + b 2 называют полным квадратом (суммы или разности), а каждое из выражений а 2 + ab + b 2 и а 2 - ab + b 2 называют неполным квадратом (суммы или разности). Тогда получается следующий перевод формул (4) и (5) (прочитанных «справа налево») на обычный язык:
разность кубов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) на неполный квадрат их суммы; сумма кубов двух чисел (выражений) равна произведению суммы этих чисел (выражений) на неполный квадрат их разности.
Замечание. Все полученные в этом параграфе формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1)-(5) - формулы сокращенного умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5) - формулы разложения на множители.
Пример 4. Выполнить умножение (2х- 1)(4x 2 + 2х +1).
Решение. Так как первый множитель есть разность одночленов 2х и 1, а второй множитель - неполный квадрат их суммы, то можно воспользоваться формулой (4). Получим:
(2х - 1)(4x 2 + 2х + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.
Пример 5. Представить двучлен 27а 6 + 8b 3 в виде произведения многочленов.
Решение. Имеем: 27а 6 = (За 2) 3 , 8b 3 =(2b) 3 . Значит, заданный двучлен есть сумма кубов, т. е. к нему можно применить формулу 95), прочитанную справа налево. Тогда получим:
27а 6 + 8b 3 = (За 2) 3 + (2b) 3 = (За 2 + 2Ь) ((За 2) 2 - За 2 2Ь + (2b) 2) = (За 2 + 2Ь) (9а 4 - 6а 2 Ь + 4b 2).
Помощь школьнику онлайн , Математика для 7 класса скачать , календарно-тематическое планирование
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки
