Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области.

МОУО г. Екатеринбург.

Образовательное учреждение – МОУСОШ № 212 «Екатеринбургский культурологический лицей»

Образовательная область – математика.

Предмет – геометрия.

Замечательные точки треугольника

Референт : учащийся 8 класса

Селицкий Дмитрий Константинович.

Научный руководитель:

Рабканов Сергей Петрович.

Екатеринбург, 2001

Введение 3

Описательная часть:

Ортоцентр 4

Ицентр 5

Центр тяжести 7

Центр описанной окружности 8

Прямая Эйлера 9

Практическая часть:

Ортоцентрический треугольник 10

Заключение 11

Список литературы 11

Введение.

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии. Постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать обо всех известных свойствах треугольника, потребуется большое количество времени. Меня заинтересовали так называемые «Замечательные точки треугольника». Примером таких точек является точка пересечения биссектрис. Замечательно то, что если взять три произвольные точки пространства, построить из них треугольник и провести биссектрисы, то они (биссектрисы) пересекутся в одной точке! Казалось бы, это не возможно, потому что мы взяли произвольные точки, но это правило действует всегда. Подобными свойствами обладают и другие «замечательные точки»

После прочтения литературы по данной теме, я зафиксировал для себя определения и свойства пяти замечательных точек и треугольника. Но на этом моя работа не закончилась, мне захотелось самому исследовать эти точки.

Поэтому цель данной работы – изучение некоторых замечательные свойства треугольника, и исследование ортоцентрического треугольника. В процессе достижения поставленной цели можно выделить следующие этапы:

Подбор литературы, с помощью преподавателя

Изучение основных свойств замечательных точек и линий треугольника

Обобщение этих свойства

Составление и решение задачи, связанной с ортоцентрическим треугольником

Полученные результаты я изложил в данной научно-исследовательской работе. Все чертежи я выполнил с использованием компьютерной графики (векторный графический редактор CorelDRAW).

Ортоцентр. (Точка пересечения высот)

Докажем, что высоты пересекаются в одной точке. Проведём через вершины А , В и С треугольника АВС прямые, параллельные противоположным сторонам. Эти прямые образуют треугольник А 1 В 1 С 1 . высоты треугольника АВС являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А 1 В 1 С 1 . следовательно, они пересекаются в одной точке – центре описанной окружности треугольника А 1 В 1 С 1 . Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром (H ).

Ицентр – центр вписанной окружности.

(Точка пересечения биссектрис)

Докажем, что биссектрисы углов треугольника АВС пересекаются в одной точке. Рассмотрим точку О пересечения биссектрис углов А и В . любые точки биссектрисы угла А равноудалена от прямых АВ и АС , а любая точка биссектрисы угла В равноудалена от прямых АВ и ВС , поэтому точка О равноудалена от прямых АС и ВС , т.е. она лежит на биссектрисе угла С . точка О равноудалена от прямых АВ , ВС и СА , значит, существует окружность с центром О , касающаяся этих прямых, причём точки касания лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях. В самом деле, углы при вершинах А и В треугольника АОВ острые поэтому проекция точки О на прямую АВ лежит внутри отрезка АВ .

Для сторон ВС и СА доказательство аналогично.

Ицентр обладает тремя свойствами:

Если продолжение биссектрисы угла С пересекает описанную окружность треугольника АВС в точке М , то МА =МВ =МО .

Если АВ - основание равнобедренного треугольника АВС , то окружность, касающаяся сторон угла АСВ в точках А и В , проходит через точку О .

Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне АВ , пересекает стороны ВС и СА в точках А 1 и В 1 , то А 1 В 1 =А 1 В +АВ 1 .

Центр тяжести. (Точка пересечения медиан)

Докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Рассмотрим для этого точку М , в которой пересекаются медианы АА 1 и ВВ 1 . проведём в треугольникеВВ 1 С среднюю линию А 1 А 2 , параллельную ВВ 1 . тогда А 1 М:АМ =В 1 А 2 :АВ 1 =В 1 А 2 :В 1 С =ВА 1 :ВС =1:2, т.е. точка пересечения медиан ВВ 1 и АА 1 делит медиану АА 1 в отношении 1:2. Аналогично точка пересечения медиан СС 1 и АА 1 делит медиану АА 1 в отношении 1:2. Следовательно, точка пересечения медиан АА 1 и ВВ 1 совпадает с точкой пересечения медиан АА 1 и СС 1 .

Если точку пересечения медиан треугольника соединить с вершинами, то треугольники разобьётся на три треугольника равной площади. В самом деле, достаточно доказать, что если Р – любая точка медианы АА 1 в треугольнике АВС , то площади треугольников АВР и АСР равны. Ведь медианы АА 1 и РА 1 в треугольниках АВС и РВС разрезают их на треугольники равной площади.

Справедливо и обратное утверждение: если для некоторой точки Р , лежащей внутри треугольника АВС , площади треугольников АВР , ВСР и САР равны, то Р – точка пересечения медиан.

У точки пересечения есть ещё одно свойство: если вырезать треугольник из какого-либо материала, провести на нём медианы, закрепить в точке пересечения медиан подвез и закрепить подвес на штативе, то модель (треугольник) будет находиться в состоянии равновесия, следовательно, точка пересечения есть ни что иное, как центр тяжести треугольника.

Центр описанной окружности.

Докажем, что существует точка, равноудалённая от вершин треугольника, или, иначе, что существует окружность, проходящая через три вершины треугольника. Геометрическим местом точек, равноудалённых от точек А и В , является перпендикуляр к отрезку АВ , проходящий через его середину (серединный перпендикуляр к отрезку АВ ). Рассмотрим точку О , в которой пересекаются серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС . Точка О равноудалена от точек А и В , а также от точек В и С . поэтому она равноудалена от точек А и С , т.е. она лежит и на серединном перпендикуляре к отрезку АС .

Центр О описанной окружности лежит внутри треугольника, только если этот треугольник остроугольный. Если же треугольник прямоугольный, то точка О совпадает с серединой гипотенузы, а если угол при вершине С тупой, то прямая АВ разделяет точки О и С .

В математике часто бывает так, что объекты, определённые совсем по-разному, оказываются совпадающими. Покажем это на примере.

Пусть А 1 , В 1 , С 1 – середины сторон ВС , СА и АВ. Можно доказать, что окружности, описанные около треугольников АВ 1 С , А 1 ВС 1 и А 1 В 1 С 1 пересекаются в одной точке, причём эта точка – центр описанной окружности треугольника АВС . Итак, у нас есть две, казалось бы, совсем разные точки: точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника АВС и точка пересечения описанных окружностей треугольников АВ 1 С 1 , А 1 ВС и А 1 В 1 С 1 . а оказывается, что эти две точки совпадают.

Прямая Эйлера.

Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, что некоторые из них связаны друг с другом определёнными соотношениями. Например, центр тяжести М , ортоцентр Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причём точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ:МН =1:2. Эта теорема была доказана в 1765 г. швейцарским учёным Леонардо Эйлером.

Ортоцентрический треугольник.

Ортоцентрический треугольник (ортотреугольник) – это треугольник (М N К ), вершинами которого служат основания высот данного треугольника (АВС ). Этот треугольник обладает многими интересными свойствами. Приведем одно из них.

Свойство.

Доказать:

Треугольники AKM , CMN и BKN подобны треугольнику АВС ;

Углы ортотреугольника MNK таковы: L KNM = π - 2 L A , L KMN = π – 2 L B , L MNK = π - - 2 L C .

Доказательство:

Имеем AB cos A , AK cos A . Следовательно, AM /AB = AK /AC .

Т.к. у треугольников ABC и AKM угол А – общий, то они подобны, откуда заключаем, что угол L AKM = L C . Поэтому L BKM = L C . Далее имеем L MKC = π/2 – L C , L NKC = π/2 – - - L C , т.е. СК – биссектриса угла MNK . Итак, L MNK = π – 2 L C . Аналогично доказываются остальные равенства.

Заключение.

В заключение данной научно-исследовательской работы можно сделать следующие выводы:

Замечательными точками и линиями треугольника являются:

ортоцентр треугольника - это точка пересечения его высот;

ицентр треугольника – это точка пересечения биссектрис;

центр тяжести треугольника - это точка пересечения его медиан;

центр описанной окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров;

прямая Эйлера – это прямая, на которой лежат центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности.

Ортоцентрический треугольник делит данный треугольник на три подобных данному.

Проделав данную работу, я узнал много нового о свойствах треугольника. Данная работа явилась актуальной для меня с точки зрения развития моих знаний в области математики. В дальнейшем я предполагаю развивать эту интереснейшую тему.

Список литературы.

Киселёв А. П. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1980.

Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – М.: Наука, 1986. – Ч. 1.

Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии: Планиметрия. – М.: Наука, 1986.

Сканави М. И. Математика. Задачи с решениями. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1998.

Берже М. Геометрия в двух томах – М: Мир, 1984.

ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ

ТРЕУГОЛЬНИКА

Геометрия

8 класс

Сахарова Наталия Ивановна

МБОУ СОШ №28 г.Симферополя

• Точка пересечения медиан треугольника
• Точка пересечения биссектрис треугольника
• Точка пересечения высот треугольника
• Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника

Медиана

Медианой (BD) треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины.

БИССЕКТРИСА

Биссектрисой (АD) треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника. ∟ BAD = ∟ CAD.

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке– центре вписанной в треугольник окружности.

Радиус окружности (ОМ) – перпендикуляр, опущенный из центра (т.О) на сторону треугольника

ВЫСОТА

Высотой (СD) треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

Серединным перпендикуляром (DF) называется прямая, перпендикулярная стороне треугольника и делящая её пополам.

Каждая точка серединного перпендикуляра (m) к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Все серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке– центре описанной около треугольника окружности .

Радиусом описанной окружности является расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника (ОА).

Стр. 177 №675 (рисунок)

Домашнее задание

Стр.173 § 3 определения и теоремы стр.177 № 675 (закончить)

Сильченков Илья

материалы к уроку, презентация с анимацией

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон и равна половине этой стороны. Так же по теореме средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине это стороны.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой

Замечательных точки треугольника

Замечательные точки треугольника Точка пересечения медиан (центроид треугольника) ; Точка пересечения биссектрис, центр вписанной окружности; Точка пересечения серединных перпендикуляров; Точка пересечения высот (ортоцентр); Прямая Эйлера и окружность девяти точек; Точки Жергонна и Нагеля; Точка Ферма-Торричелли;

Точка пересечения медиан

Медиана треугольника- отрезок, соединяющий вершину любого угла треугольника с серединой противоположной стороны.

I. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Обозначим буквой О точку пересечения двух медиан АА 1 и В В1 треугольника АВС и проведём среднюю линию А 1 В 1 этого треугольника. 2.Отрезок А 1 В 1 параллелен стороне АВ и 1/2 АВ = А 1 В 1 т. е. АВ = 2А1В1 (по теореме о средней линии треугольника), поэтому 1= 4 и 3= 2 (т.к. они внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и A 1 B 1 и секущей BB 1 для 1, 4 и AA 1 для 3, 2 3.Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны, т. е. равны отношения сторон АО и А 1 О, ВО и В 1 О, АВ и А 1 В 1 . Но АВ = 2А 1 В 1 , поэтому АО=2А 1 О и ВО=2В 1 О. Таким образом, точка О пересечения медиан ВВ 1 и АА 1 делит каждую из них в отношении 2:1 , считая от вершины. Теорема доказана. Аналогично можно доказать и про другие две медианы

Центр масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан- центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы остриё булавки попало точно в центроид треугольника, то пластинка будет находиться в равновесии. Также точка пересечения медиан является центром вписанной окружности его серединного треугольника. Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадёт именно в эту точку.

Точка пересечения биссектрис

Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину одного из углов треугольника с точкой лежащей на противоположной стороне.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от его сторон.

Доказательство:

С А В А 1 В 1 С 1 0 1. Обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС. 3.Воспользуемся тем, что каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон и обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Тогда ОК=OL и ОК=ОМ. А значит ОМ=OL , т. е. точка О равноудалена от сторон треугольника АВС и, значит, лежит на биссектрисе СС1 угла C . 4.Следовательво, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. K L M Теорема доказана. 2.проведём из этой точки перпендикуляры ОК, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА.

Точка пересечения серединных перпендикуляров

Серединный перпендикуляр- прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от вершин треугольника.

Доказательство:

В С A m n 1. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров т и п к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. O 2. Воспользовавшись теоремой о том, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка и обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему, получим, что ОВ=ОА и ОВ=ОС. 3. Поэтому ОА=ОС, т. е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. 4. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n и p к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О. Теорема доказана. р

Точка пересечения высот (или их продолжений)

Высота треугольника- перпендикуляр, проведенный из вершины любого угла треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, которая может лежать в треугольнике, а может находиться за его пределами.

Доказательство:

Докажем, что прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке. В A C C2 C1 A1 A2 В 1 В 2 1. Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А 2 В 2 С 2 . 2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ=А 2 С и АВ=СВ 2 как противоположные стороны параллелограммов АВА 2 С и АВСВ 2 , поэтому А 2 С=СВ 2 . Аналогично С 2 А=АВ 2 и С 2 В=ВА 2 . Кроме того, как следует из построения, СС 1 перпендикулярен А 2 В 2 , АА 1 перпендикулярен В 2 С 2 и ВВ 1 перпендикулярен А 2 С 2 (из следствия по теореме параллельных прямых и секущей) . Таким об p азом, прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А 2 В 2 С 2 . Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Баранова Елена

В данной работе рассмотрены замечательные точки треугольника, их свойства и закономерности такие, как окружность девяти точек и прямая Эйлера. Приведена историческая справка открытия прямой Эйлера и окружности девяти точек. Предложена практическая направленность прменения моего проекта.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

« ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА». (Прикладные и фундаментальные вопросы математики) Баранова Елена 8 кл., МКОУ «СОШ № 20» Пос. Новоизобильный, Духанина Татьяна Васильевна, учитель математики МКОУ «СОШ №20» Посёлок Новоизобильный 2013. Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №20»

Цель: исследование треугольника на его замечательные точки, изучение их классификаций и свойств. Задачи: 1.Изучить необходимую литературу 2. Изучить классификацию замечательных точек треугольника 3.. Познакомиться со свойствами замечательных точек треугольника 4. Уметь строить замечательные точки треугольника. 5. Изучить область применения замечательных точек. Объект исследования - раздел математики - геометрия Предмет исследования - треугольник Актуальность: расширить свои знания о треугольнике, свойствах его замечательных точек. Гипотеза: связь треугольника и природы

Точка пересечения серединных перпендикуляров Она равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. Окружности, описанные около треугольников, вершинами которых являются середины сторон треугольника и вершины треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров.

Точка пересечения биссектрис Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника. ОМ=ОА=ОВ

Точка пересечения высот Точка пересечения биссектрис треугольника, вершинами которого являются основания высот, совпадает с точкой пересечения высот треугольника.

Точка пересечения медиан Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Если точку пересечения медиан соединить с вершинами, то треугольник разобьётся на три треугольника, равных по площади. Важным свойством точки пересечения медиан является тот факт, что сумма векторов, началом которых является точка пересечения медиан, а концами – вершины треугольников, равна нулю М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3 М1 N C B А м2 м3

Точка Торричелли Замечание: точка Торричелли существует, если все углы треугольника меньше 120.

Окружность девяти точек В1, А1, С1 – основания высот; А2, В2, С2 – середины соответствующих сторон; А3, В3, С3, - середины отрезков АН, ВН и СН.

Прямая Эйлера Точка пересечения медиан, точка пересечения высот, центр окружности девяти точек лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера в честь ученого математика определившего эту закономерность.

Н емного из истории открытия замечательных точек В 1765 году Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, с что некоторые из них связаны друг с другом определённым соотношением. Точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н, и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причём точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ: ОН = 1: 2. Эта теорема была доказана Леонардом Эйлером в 1765 году.

Связь геометрии с природой. В этом положении потенциальная энергия имеет наименьшее значение и сумма отрезков МА+МВ+МС будет наименьшей, а сумма векторов, лежащих на этих отрезках с началом в точке Торричелли, будет равна нулю.

Выводы Я узнала, что кроме известных мне замечательных точек пересечения высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров существуют еще замечательные точки и линии треугольника. Полученные знания по данной теме смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применять теоремы к определенным задачам, применять изученные теоремы в реальной ситуации. Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него:

В треугольнике есть так называемые четыре замечательные точки: точка пересечения медиан. Точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров. Рассмотрим каждую из них.

Точка пересечения медиан треугольника

Теорема 1

О пересечении медиан треуголника : Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ начиная с вершины.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его медианы. Так как медианы делят стороны пополам. Рассмотрим среднюю линию $A_1B_1$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Медианы треугольника

По теореме 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следовательно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Значит треугольники $ABM$ и $A_1B_1M$ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда

Аналогично доказывается, что

Теорема доказана.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Теорема 2

О пересечении биссектрис треугольника : Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AM,\ BP,\ CK$ его биссектрисы. Пусть точка $O$ - точка пересечения биссектрис $AM\ и\ BP$. Проведем из этой точки перпендикуляры к сторонам треугольника (рис. 2).

Рисунок 2. Биссектрисы треугольника

Теорема 3

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

По теореме 3, имеем: $OX=OZ,\ OX=OY$. Следовательно, $OY=OZ$. Значит точка $O$ равноудалена от сторон угла $ACB$ и, значит, лежит на его биссектрисе $CK$.

Теорема доказана.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Теорема 4

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть дан треугольник $ABC$, $n,\ m,\ p$ его серединные перпендикуляры. Пусть точка $O$ - точка пересечения серединных перпендикуляров $n\ и\ m$ (рис. 3).

Рисунок 3. Серединные перпендикуляры треугольника

Для доказательства нам потребуется следующая теорема.

Теорема 5

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов данного отрезка.

По теореме 3, имеем: $OB=OC,\ OB=OA$. Следовательно, $OA=OC$. Значит точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$ и, значит, лежит на его серединном перпендикуляре $p$.

Теорема доказана.

Точка пересечения высот треугольника

Теорема 6

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, где ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ его высоты. Проведем через каждую вершину треугольника прямую, параллельную противоположной вершине стороне. Получаем новый треугольник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).

Рисунок 4. Высоты треугольника

Так как $AC_2BC$ и $B_2ABC$ параллелограммы с общей стороной, то $AC_2=AB_2$, то есть точка $A$ -- середина стороны $C_2B_2$. Аналогично, получаем, что точка $B$ -- середина стороны $C_2A_2$, а точка $C$ -- середина стороны $A_2B_2$. Из построения мы имеем, что ${CC}_1\bot A_2B_2,\ {BB}_1\bot A_2C_2,\ {AA}_1\bot C_2B_2$. Следовательно, ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ -- серединные перпендикуляры треугольника $A_2B_2C_2$. Тогда, по теореме 4, имеем, что высоты ${AA}_1,\ {BB}_1,\ {CC}_1$ пересекаются в одной точке.