Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда

Смех без причины – признак Даламбера

Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников , Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница . Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.

На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 90% практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее рекомендую рассмотреть материал о разложении функций в степенные ряды , и «скорая помощь» начинающему будет оказана. Немного отдышавшись, переходим на следующий уровень:

Также в разделе функциональных рядов есть их многочисленные приложения к приближённым вычислениям , и некоторым особняком идут Ряды Фурье , которым в учебной литературе, как правило, выделяется отдельная глава. У меня всего лишь одна статья, но зато длиннющая и много-много дополнительных примеров!

Итак, ориентиры расставлены, поехали:

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Если в пределе получается бесконечность , то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.

Если в пределе получается не ноль и не бесконечность , то у нас самый распространенный на практике случай №1 – ряд сходится на некотором интервале.

В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:

В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела , а в правой части неравенства – строго единица . Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.

Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции , но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:

Половина пути позади.

На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд :

При

Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).

1) Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. При этом каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.

С помощью ряда, составленного из модулей, выясним, как именно:
– сходится («эталонный» ряд из семейства обобщенного гармонического ряда).

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно .

при – сходится.

! Напоминаю , что любой сходящийся положительный ряд тоже является абсолютно сходящимся.

Таким образом, степенной ряд сходится, причём абсолютно, на обоих концах найденного интервала.

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:

Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если

Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .

Пример 2

Найти область сходимости степенного ряда

Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера (но не ПО признаку! – для функциональных рядов такого признака не существует) :

Ряд сходится при

Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:

– Ряд является знакочередующимся.
– – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем его на характер сходимости:

Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения :

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с рядом .

Таким образом, ряд сходится условно .

2) При – расходится (по доказанному).

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При ряд сходится условно.

В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно , а в точке , как выяснилось – условно .

Пример 3

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Это пример для самостоятельного решения.

Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.

Пример 4

Найти область сходимости ряда:

Решение: с помощью признака Даламбера найдем интервал сходимости данного ряда:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) Кубы и по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно.

(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что принимает неотрицательные значения при любом «икс».

В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:

Ответ: Ряд сходится при

А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!

Пример 5

Найти область сходимости ряда

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны;-) Полное решение ответ в конце урока.

Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.

Пример 6

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».

Интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:

Составляем стандартное неравенство:
Ряд сходится при
Слева нам нужно оставить только модуль , поэтому умножаем обе части неравенства на 5:

Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:

В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

1) Подставляем значение в наш степенной ряд :

Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

Еще раз заметьте , что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

Итак, ряд сходится при

Умножаем обе части неравенства на 9:

Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол :


Раскрываем модуль:

и прибавляем ко всем частям единицу:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

1) Если , то получается следующий числовой ряд:

Множитель бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Здесь x – действительная переменная. Числа a n (n = 0, 1, 2, … ) называются коэффициентами ряда . В дальнейшем ограничимся случаем, когда все a n и величина x 0 – действительные числа. Степенной ряд (9.5) называют также рядом по степеням разности x  x 0 .

Если x 0 = 0 , то получим степенной ряд вида

, (9.6)

который называют рядом по степеням x .

Степенной ряд (9.5) приводится к виду (9.6) с помощью простого преобразования x  x 0 = t (перенос начала на числовой оси). В силу этого теория степенных

рядов (9.5) и (9.6) общая. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением основных свойств рядов вида (9.6).

При рассмотрении степенных рядов основным вопросом является определение их области сходимости , т. е. множества тех значений x , при которых ряд сходится.

Эта задача решается на базе теоремы Абеля .

Если степенной ряд (9.6) сходится при некотором значении x = x 1  0 , то он абсолютно сходится при всех значениях x , удовлетворяющих неравенству x < x 1 .

Если же ряд расходится при некотором значении x = x 2 , то он расходится и при всех x , удовлетворяющих неравенству x  > x 2 .

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда (9.6).

Действительно, если x 1 – точка сходимости, то весь интервал ( x 1 , x 1 ) заполнен точками абсолютной сходимости.

Если x 2 – точка расходимости, то интервалы (  ,  x 2 ) и (x 2 , +  )состоят из точек расходимости.

Из этого можно заключить, что существует такое число R , что при x  < R степенной ряд абсолютно сходится, а при x  > R – расходится.

Интервал ( R , R ) называется интервалом сходимости степенного ряда (9.6). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов представляет собой всю числовую прямую (в этом случаеR =  ), у других вырождается в одну точку (случай R = 0 ). При x =  R , т. е. на концах интервала сходимости, ряд может сходиться абсолютно, условно или расходиться. Для выяснения поведения ряда в концевых точках необходимо в выражение для ряда подставить вместо x значения  R и получившиеся два числовых ряда исследовать на сходимость. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда индивидуально.

В применении к степенным рядам вида (9.5) полученные результаты видоизменяются только в том, что центр сходимости находится в точке x = x 0 , а не в точке x = 0 , т. е. интервал сходимости степенного ряда (9.5) симметричен относительно точки x = x 0 и представляет собой интервал x 0  R < x < x 0 + R .

Заметим, что для нахождения интервала сходимости степенного ряда (9.6) можно исследовать ряд

, (9.7)

составленный из модулей членов данного ряда, так как интервалы сходимости этих рядов совпадают.

Для определения сходимости ряда (9.7), члены которого положительны, обычно применяют признаки сходимости Даламбера или Коши.

Допустим, что существует предел
.

Тогда по признаку Даламбера ряд (9.7) сходится при
, т. е. если
, и расходится при
, т. е. если
. Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала
и расходится вне его, т. е. радиус сходимости равен
.

Замечания.

1) Если A = 0 , то исходный ряд абсолютно сходится при всех числовых значениях x , так как при этом имеем x  A = 0 < 1 для любого x . В этом случае радиус сходимостиR =  .

2) Если A =  , то исходный ряд сходится в единственной точке x = 0 . Ранее было принято, что в этом случае R = 0 .

3) Аналогично, для определения интервала сходимости можно пользоваться признаком Коши, если существует
. В этом случае
.

4) Интервал сходимости можно находить, используя непосредственно признаки Даламбера или Коши.

Пример 9.11. Определить область сходимости ряда
.

Решение. Здесь
. Поэтому,

.

Итак, интервал
является интервалом сходимости заданного ряда.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При
ряд примет вид
. Это гармонический ряд, он расходится. При
ряд примет вид
. Этот знакочередующийся ряд сходится условно, так как легко проверить, что выполняются условия признака Лейбница, а ряд из модулей расходится.

Итак, при
ряд сходится абсолютно, при
ряд сходится условно, во всех других точках ряд расходится.

Пример 9.12. Найти область сходимости ряда
.

Решение. Воспользуемся признаком Коши. Имеем

Отсюда, ряд абсолютно сходится только при x =  1 , а во всех других точках числовой оси ряд расходится. Радиус сходимости R = 0 .

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ; б);

в) ; г)
;

д)
.

а) Найдем радиус сходимости R . Так как
,
, то

.

x
, то есть интервал сходимости ряда
.

При
получаем числовой ряд . Этот ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядомпри
.

При
получаем числовой ряд
. Этот ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходящийся.

.

б) Найдем радиус сходимости R . Так как
, то
.

Итак, интервал сходимости ряда
.

Исследуем на сходимость данный ряд на концах интервала сходимости.

При
имеем числовой ряд

.

При
имеем числовой ряд
. Этот ряд расходящийся, так как
не существует.

Итак, область сходимости данного ряда
.

в) Найдем радиус сходимости R . Так как
,
то
.

Итак, интервал сходимости
. Область сходимости данного ряда совпадает с интервалом сходимости, то есть ряд сходится при любом значении переменнойx .

г) Найдем радиус сходимости R . Так как
,
то
.

Так как
, то ряд сходится только в точке
. Значит, область сходимости данного ряда представляет собой одну точку
.

д) Найдем радиус сходимости R .

Так как
,
, то

.

Итак, ряд сходится абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству
, то есть
.

Отсюда
− интервал сходимости,
− радиус сходимости.

Исследуем данный ряд на сходимость на концах интервала сходимости.

При
получаем числовой ряд

,

который расходится (гармонический ряд).

При
получаем числовой ряд
, который сходится условно (ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный их абсолютных величин его членов, расходится, так как является гармоническим).

Итак, область сходимости ряда
.

2.3. Ряды Тейлора и Маклорена.

Разложение функций в степенной ряд.

Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить в степенной ряд функции:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

а) Заменив в формуле
x на
, получим искомое разложение:

Где

б) Заменяя в равенстве

Где
x на
, получим искомое разложение:

в) Данную функцию можно записать так:
. Чтобы найти искомый ряд, достаточно в разложение

Где
подставить
. Тогда получим:

г) Данную функцию можно переписать так: .

Функцию
можно разложить в степенной ряд, положив в биномиальном ряде
, получим .

Где
.

Чтобы получить искомое разложение, достаточно перемножить полученные ряды (ввиду абсолютной сходимости этих рядов).

Следовательно,

, где
.

Пример 2. Найти приближенные значения данных функций:

а)
с точностью до 0,0001;

б)
с точностью до 0,00001.

а) Так как
, то в разложение функции , где
подставим
:

или

Так как
, то требуемая точность будет обеспечена, если ограничиться только первыми двумя членами полученного разложения.

.

Используем биномиальный ряд

Где
.

Полагая
и
, получим следующее разложение:

Если в последнем знакочередующемся ряде учитывать только первые два члена, а остальные отбросить, то погрешность при вычислении
не превысит по абсолютной величине 0,000006. Тогда погрешность при вычислении
не превысит числа . Следовательно,

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,001:

а)
; б)
.

а)
.

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для этого подставим в биномиальный ряд
и заменим x на :

.

Так как отрезок интегрирования
принадлежит области сходимости полученного ряда
, то будем интегрировать почленно в указанных пределах:

.

В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолютной величине меньше 0,001. Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только первые три члена ряда.

.

Так как первый из отброшенных членов имеет знак минус, то полученное приближенное значение будет с избытком. Поэтому ответ с точностью до 0,001 равен 0,487.

б) Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменим в разложении функции

Где

x на
, получим:

Тогда
.

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов.

Следовательно,
.

Функциональные ряды

Определение. Рассмотрим последовательность функций , имеющих общую область определения D . Ряд вида

, (2.1.1)

называется функциональным .

При каждом частном значении x=x 0 такой ряд превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться. Множество всех значений аргумента x , при которых функциональный ряд превращается в сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.

Пример 1.

Область определения всех этих функций: . Все члены ряда >0 Þ ряд знакоположительный. Для нахождения области сходимости применим радикальный признак Коши:

, т.к. не зависит от п .

Ряд сходится, если , т.е.

Ряд расходится, если , т.е. ;

При х =0 получим числовой ряд 1+1+1+…+…, который расходится.

Таким образом, областью сходимости является промежуток (рис.2.1.1).

Например, при х =1 получим числовой ряд
Это геометрическая прогрессия со знаменателем Þ сходится. При х =-1 ряд имеет вид Это прогрессия со знаменателем Þ расходится.

Пример 2. . ООФ: . Раскроем модуль.

При
- гармонический ряд, расходится.

При
- ряд Лейбница, сходится.

Область сходимости (рис.2.1.2).

Частичная сумма функционального ряда

Это функция от х , т.к. при любом х будет своё выражение . Последовательность частичных сумм при каждом х будет иметь свой предел, следовательно:

сумма сходящегося функционального ряда является некоторой функцией аргумента x , определённой в области его сходимости. Символическая запись

означает, что S (x ) является суммой ряда в области D .

По определению сумма ряда S (x ) является пределом последовательности его частичных сумм при :

Для сходящихся рядов справедливо равенство:

где - остаток ряда.

Из выражения (2.1.3) следует равносильность предельных соотношений:

Степенные ряды. Основные понятия и определения

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды .

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

где - постоянные, называемые коэффициентами ряда ; x 0 - известное число.

При ряд приобретает вид

, (2.2.2)

При x=x 0 ряд превращается в свой первый коэффициент . Тогда сумма ряда равна этому числу, и он сходится. Поэтому точка x=x 0 называется центром сходимости степенного ряда (2.2.1). Таким образом, степенной ряд всегда сходится хотя бы в одной точке. Сделав замену x-x 0 =Х , можно свести общий случай степенного ряда (2.2.1) к частному случаю (2.2.2). В дальнейшем мы будем в основном рассматривать ряды типа (2.2.2). Этот ряд всегда сходится по крайней мере в точке х =0.

Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество значений х , при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда

является функцией переменной х . Поэтому и сумма ряда является некоторой функцией переменной х , определенной в области сходимости ряда:

. (2.2.4)

Теорема Абеля

Исследование сходимости функциональных рядов при заданном значении х можно производить при помощи известных признаков сходимости числовых рядов. Характер же сходимости именно степенных рядов определяется следующей основной теоремой.

Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд (2.2.2) сходится при x=x 0 ¹ 0, то он сходится, причем абсолютно, при любом значении x , удовлетворяющем условию , т.е. в интервале .

2) Если ряд (2.2.2) расходится при x=x 1 , то он расходится и при всех x , удовлетворяющих условию (рис.2.3.1).

Точки, в которых степенной ряд сходится, называются точками сходимости , а где он расходится – точками расходимости .

Радиус сходимости и интервал сходимости

Степенного ряда

Используя теорему Абеля, можно показать, что для каждого степенного ряда вида (2.2.2), имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости (т.е. сходящегося не только в точке и не на всей числовой прямой), существует такое положительное число R , что для всех x , удовлетворяющих условию , ряд абсолютно сходится; а при ряд расходится. При x =± R возможны различные случаи: а) ряд может сходиться в обеих точках ± R ; б) ряд может расходиться в обеих точках ± R ; в) ряд может сходиться в одной из них абсолютно или условно и расходиться в другой (рис.2.4.1). Чтобы выяснить сходимость ряда на границах интервала, нужно подставить значения x =± R в ряд (2.2.2) и исследовать полученные числовые ряды:

с помощью известных признаков сходимости. В одних случаях могут получаться знакоположительные ряды, в других – знакочередующиеся.

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал - интервалом сходимости. После исследования границ получим уточнённый интервал сходимости, называемый областью сходимости .

Предельные случаи, когда ряд (2.2.2) сходится только при x =0 или сходится при всех значениях x , символически записывают так: R =0 или R =¥.

Так как внутри интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно, то для нахождения интервала сходимости этого ряда достаточно найти те значения аргумента x , при которых сходится ряд, составленный из модулей членов степенного (в общем случае знакопеременного) ряда. Для этого можно применить признак Д’Аламбера. Это равносильно тому, чтобы к исходному ряду применить общий признак Д’Аламбера.

Пример 1. Найти интервал сходимости ряда

По общему признаку Д’Аламбера вычисляем предел модуля отношения последующего члена к предыдущему:

Þ ряд абсолютно сходится, если Длина интервала сходимости равна двум единицам, радиус сходимости . Проверим сходимость ряда при x =-1 и x =1. При x =-1:

Полученный числовой ряд сходится абсолютно, т.к. ряд, составленный из модулей его членов (он находится в скобках), является обобщённым гармоническим с . При x =1:

ряд сходится абсолютно по той же причине.

Итак, областью сходимости ряда является промежуток -1£x £1, или .

Замечание. Радиус сходимости ряда с последовательно возрастающими степенями (нулевая, первая, вторая, и.т.д) можно также найти по формуле:

, (2.4.1)

где и – коэффициенты при степенях х . Подчеркнём, что она годится лишь в случае, когда в ряде вида (2.2.2) или (2.2.1) присутствуют все степени х .

В данном примере

.