Скачать презентацию на тему стереометрия. Основы стереометрии. Изучение математики важно в двух отношениях

Школьный курс геометрии состоит из двух частей:

ПЛАНИМЕТРИИ
СТЕРЕОМЕТРИИ
Планиметрия - это раздел
геометрии, в котором
изучаются свойства
геометрических фигур
на плоскости.
Стереометрия - это раздел
геометрии, в котором
изучаются свойства
геометрических фигур
в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих
слов «стереос» - объемный, пространственный и
«метрео» - измерять.
2

Основные понятия

планиметрии
Точка
Прямая
стереометрии
Точка
Прямая
Плоскость
представляет с собой геометрическую фигуру,
простирающуюся неограниченно во все
стороны.
3

Наряду с точками, прямыми, плоскостями в стереометрии рассматриваются геометрические тела, изучаются их свойства, вычисляются площади их

Наряду с точками, прямыми, плоскостями
в стереометрии
рассматриваются геометрические тела,
изучаются их свойства,
вычисляются площади их поверхностей,
а также вычисляются объёмы тел.
куб
шар
цилиндр
4

Объёмные геометрические тела

Многогранники
Тела вращения
призма
пирамида
конус
параллелепипед
цилиндр
куб
шар
5

Точки обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С, D, Е, К,…

А
В
С
Е
Прямые обозначаются строчными
латинскими буквами a, b, c, d, e, k,…
b
d
a
Плоскости обозначаются греческими
буквами α, β, γ, λ, π, ω,…
β
γ
α
6

Стереометрия широко используется в строительном деле

Стереометрия используется в архитектуре

Стереометрия используется в машиностроении

Стереометрия используется в геодезии

Геодезия - наука, занимающаяся изучением вида и
размера Земли.
Во многих других областях науки и техники.
10

Ясно, что в каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости.

Aє , Bє ,
М
Mє , Nє , Pє
А
N
B
P
11

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1
Через любые три
точки, не
лежащие на одной
прямой, проходит
плоскость, и
притом только
одна.
А
В
С
Аксиома 3
Аксиома 2
Если две
плоскости имеют
общую точку, то
они имеют
прямую, на
которой лежат все
общие точки этих
плоскостей.
Если две точки
прямой лежат в
плоскости, то все
точки прямой
лежат в этой
плоскости.
А
В
С
А
а
α
12

Некоторые следствия из аксиом

Q
α
а
P
M
Теорема 2. Через две
пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и
притом только одна.
Теорема 1. Через прямую
и не лежащую на ней
точку проходит плоскость,
и притом только одна.
b
a
α
M

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Аксиомы стереометрии Геометрия. Урок № 1 10 класс Евклид Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой Николаева Валентина Васильевна, учитель математики ГБОУ Центра образования № 55

Геометрия Планиметрия Стереометрия stereos - телесный, твердый, объемный, пространственный metreo - измерять

Стереометрия Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве Основные фигуры в пространстве: А Точка а Прямая Плоскость

Обозначение основных фигур в пространстве: точка прямая плоскость A, B, C, … a, b, c, … или A В, B С, CD, …

Геометрические тела: Куб Параллелепипед Тетраэдр Октаэдр

Геометрические тела: Цилиндр Конус Шар

Геометрические понятия: Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро

Аксиома (от греч. ax íõ ma – принятие положения) - исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства - "Так называемые аксиомы математики - это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта " Ф. Энгельс

Аксиомы стереометрии А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна  А В С

Аксиомы стереометрии А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости  А В

Аксиомы стереометрии А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей  

Аксиомы стереометрии описывают: А1 А2 А3 А В С  Способ задания плоскости  А В Взаимное расположение прямой и плоскости Взаимное расположение плоскостей  

Взаимное расположение прямой и плоскости Прямая лежит в плоскости Прямая пересекает плоскость Прямая не пересекает плоскость Множество общих точек Единственная общая точка Нет общих точек  а  а М g а а   а ∩  = М а ⊄ 

Прочитайте чертеж A С

Прочитайте чертеж B c b a

Прочитайте чертеж

а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF ; б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC ; плоскости FDE и SAC . А С В S D F E Пользуясь данным рисунком, назовите:

Домашнее задание: Выучить аксиомы 2) Введение, п. 2,3, стр. 4 – 6 3) № 1 (в, г); 2(в, г)

Предварительный просмотр:

План - конспект урока «Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии»

Место урока в структуре образовательного процесса :

Урок по учебному плану – первый.
Тема урока согласно поурочно-тематическому планированию учебного

материала по геометрии в 10 классе «Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии».

Тип урока – комбинированный.

Использование образовательных технологий :

педагогического общения:

планирование коммуникативной структуры взаимодействия с учащимися;
создание эмоциональной атмосферы;
создание обратной связи в общении с учащимися на уроке.

информационные:

использование интернета для подготовки к уроку;
использование слайд-презентации с целью сделать общение с учащимися интересным, увлекательным, эмоциональным, позволяющим увеличить темп урока, активизировать внимание учащихся, повысить интерес к предмету;
выдача групповых и индивидуальных заданий по теме урока.

здоровьесберегающие :

создание благоприятного психологического климата в классе;
соблюдение организационно-педагогических условий проведения урока – чередование видов учебной деятельности, плотности проведения урока.

Цель урока : ознакомить учащихся с содержанием курса стереометрии, изучить

аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Задачи урока :

обучающие:

создать условия для формирования основных понятий, аксиом;
сформировать умение работать с текстом учебника и текстом, предъявляемым на экране монитора;
сформировать умение находить примеры на предметах окружающего мира, мыслить пространственно, анализировать, наблюдать, делать выводы

развивающие:

развивать логическое мышление, память, пространственное воображение, познавательный интерес;
расширять представления учащихся об окружающем мире;
поддерживать интерес к изучаемому предмету;
содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность

воспитывающие:

активизировать интерес к изучаемому материалу, используя ИКТ.

Оснащение урока:

Персональный компьютер, мультимедийный проектор
Презентация «Аксиомы стереометрии»
Модели геометрических тел
Приложения (раздаточный материал)

Ход урока:

Этапы урока и их содержание	Деятельность
	учителя	учащегося
Организационный момент	Организационная	Сообщают об отсутствующих
Постановка цели урока Сегодня на уроке начинаем знакомиться со второй частью курса геометрии – стереометрией изучим аксиомы стереометрии научимся применять их при решении геометрических задач	Сообщает тему урока, дату проведения урока, цель урока Комментирует Слайды 1, 2	Записывают в тетради
Изучение нового материала Вступительное слово учителя о новом разделе геометрии – стереометрии – геометрии пространства основные фигуры пространства их обозначение Геометрические тела; примеры. 3.3. Геометрические понятия в стереометрии. 3.4. Понятие аксиомы	Проводит беседу Комментирует слайды 3,4 Комментирует слайды 5, 6 Показывает модели геометрических тел Комментирует слайд 7 Комментирует слайд 8	Слушают объяснение учителя записывают в тетрадь основные понятия Слушают объяснение учителя Слушают объяснение учителя
Исследовательская работа	Предлагает учащимся вспомнить и сформулировать аксиомы планиметрии. Вызывает трех учеников, дает три карандаша и просит поставить их так, чтобы они не лежали на одной прямой, кладет сверху макет плоскости.	Формулируют аксиомы планиметрии Ученики выходят к доске, выполняют указания учителя Пытаются самостоятельно сформулировать А1
Изучение нового материала (продолжение) Аксиома 1 Аксиома 2 Аксиома 3 5.4. Аксиомы стереометрии описывают… 5.5. Взаимное расположение прямой и плоскости	Формулирует А1 – слайд 9. Формулирует А2 – слайд 10. Формулирует А3 – слайд 11. Поясняет слайды 12,13.	Иллюстрируют в тетради А1. Иллюстрируют в тетради А2. Иллюстрируют в тетради А3. Слушают объяснение учителя записывают в тетрадь
Формирование умений и навыков учащихся Вопросы Для самоконтроля (проверка усвоения теоретического материала)	Задает вопросы по теоретическому материалу урока – п.п. 3 и 5: из прямых и плоскостей, проходящих через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, назовите: пары пересекающихся прямых тройки прямых, пересекающихся в одной точке пары пересекающихся плоскостей тройки плоскостей, пересекающихся в одной точке B 1 C 1
Устная работа. Решение задач по готовым чертежам Решение задач С комментированием	Предлагает учащимся выполнить задание – слайды 14–16. Предлагает учащимся выполнить задание на выданных листах Обсуждает решение с учащимися – слайд 17.	Читают чертежи Проверяют решение с помощью слайдов Выполняют задание записывают решение на выданных листах Обсуждают решение
Подведение итогов урока	Вместе с учащимися подводит итоги урока Предлагает учащимся следующие вопросы: какую цель мы поставили в начале урока? как вы считаете, удалось ли нам достичь этой цели? узнали ли Вы что-нибудь новое на уроке? что Вам запомнилось на уроке?	Отвечают на вопросы, предложенные учителем
Домашнее задание с комментированием	Озвучивает домашнее задание – слайд 18.	Записывают домашнее задание слушают комментарий

Используемая литература и интернет-ресурсы:

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов и др. «Геометрия 10-11», Москва, «Просвещение», 2011 г.
В.А. Яровенко – Методическое пособие для учителя «Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, 10 класс» - Москва, «ВАКО», 2006 г.
Сайт Савченко Е.М http://le-savchen.ucoz.ru/ «Учителю – сайтостроителю».

Предварительный просмотр:

Приложение 1.

Раздаточный материал

к вопросам для самоконтроля

Приложение 2.

Раздаточный материал – задача

Пользуясь данным рисунком, назовите:

а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF .

Решение:

ПЛАНИМЕТРИЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ 7-9 классы классы ГЕОМЕТРИЯ на плоскости ГЕОМЕТРИЯ в пространстве «планиметрия» – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo – измерять и лат. planum – плоская поверхность (плоскость) «стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем). Школьный курс ГЕОМЕТРИИ

Изучая СТЕРЕОМЕТРИЮ в школе Мы проведем систематическое рассмотрение свойств геометрических тел в пространстве. Освоим различные способы вычисления практически важных геометрических величин. При этом мы будем развивать пространственное воображение и логическое мышление

ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна ГЕОМЕТРИЯ возникла из практических задач людей; ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей техники и большинства изобретений человечества; ГЕОМЕТРИЯ нужна технику, инженеру, рабочему, архитектору, модельеру … технику, инженеру, рабочему, архитектору, модельеру … Мы знаем, что

Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления это ключ к изучению стереометрии ВЫВОД: При изучении стереометрии мы будем пользоваться рисунками, чертежами: они помогут нам понять, представить, проиллюстрировать содержание того или иного факта. Поэтому прежде, чем приступить к пониманию сущности аксиомы, определения, доказательству теоремы, решению геометрической задачи, постарайтесь наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуры, о которых идет речь. «Мой карандаш, бывает еще остроумней моей головы», признавался великий математик Леонард Эйлер ().

1.Любые три точки лежат в одной плоскости. 2.Любые четыре точки лежат в одной плоскости. 3.Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. 4.Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна. 5.Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 6.Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 7.Если прямые не пересекаются, то они параллельны. 8.Если плоскости не пересекаются, то они параллельны. В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга Определите: верно, ли суждение? ДА НЕТ

Аксиомы стереометрии Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории. Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-1 Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. m м А В Дано: М m Так как М m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость плоскость (ABM), Обозначим её. Прямая m имеет с ней две общие точки точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости.. Таким образом, плоскость проходит через прямую m и точку M и является искомой. Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости и проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость единственна. Теорема доказана Доказательство Пусть точки A, B m.
СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ Т-2 Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. N м m n Дано: m n = M Доказательство Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М. Рассмотрим плоскость =(n, N). Так как M и N, то по А-2 m. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости и следовательно, является искомой Докажем единственность плоскости. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости и проходящая через прямые m и n, плоскость. Так как плоскость проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью. Единственность плоскости доказана. Теорема доказана

Стереометрия

Слайдов: 40 Слов: 2363 Звуков: 1 Эффектов: 297

Стереометрия. Карандаш. Геометрия. Планиметрия. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Аксиомы. Точки прямой. Плоскости. Следствия из аксиом. Пересекающиеся прямые. Плоскость. Определение объема тела. Тела с равными объемами. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объемы призмы. Два прямоугольных треугольника. Объем наклонной призмы. Перпендикулярное сечение. Многогранник. Прямоугольники. Плоскости изображения. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Пирамида. Тетраэдр. Фигура. Отрезки. Усеченная пирамида. Октаэдр. Додекаэдр. Икосаэдр. Цилиндры. Тела вращения. Шаровой сектор. - Стереометрия.ppt

Основы стереометрии

Слайдов: 46 Слов: 1707 Звуков: 0 Эффектов: 353

О преподавании стереометрии в гуманитарных классах. Что изучает стереометрия. Угол между прямыми в пространстве. Параллелепипед. Четвертая четверть. Стереометрия. Пифагор. Основные фигуры стереометрии. Пространственные фигуры. Параллельность прямых и плоскостей. Признаки параллельности плоскостей. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур на плоскости. Параллельное проектирование и его основные свойства. Параллельные проекции плоских фигур. Изображение пространственных фигур. Сечение многогранников. Золотое сечение. Золотое сечение в скульптуре. Золотое сечение в архитектуре. - Основы стереометрии.ppt

Предмет стереометрии

Слайдов: 28 Слов: 1052 Звуков: 0 Эффектов: 183

Аксиомы стереометрии. Геометрия. Понятие науки стереометрии. Наглядные представления. Из истории. Стереометрия. Египетские пирамиды. Помните ли вы теорему Пифагора. Пифагор. Теорема Пифагора. Пентаграмма. Правильные многогранники. Вселенная. Философская школа. Евклид. Пространственные представления. Неопределяемые понятия. Основные понятия стереометрии. Невидимая сторона. Планиметрия. Точки. Указания. Сегодня на уроке. - Предмет стереометрии.ppt

Введение в стереометрию

Слайдов: 29 Слов: 737 Звуков: 6 Эффектов: 352

Школьная геометрия. Арифметика. Геометрические знания применялись. Геометрические знания помогали. Переведем на язык площадей. Возьмём 6 спичек. Плоскость. Планиметрия. Кроссворд. Стереометрия -. Многогранник. Фигуры. Тела. Мобильные жилища индейцев называются Типи. Журнал "Квант". Подведение итогов урока. - Введение в стереометрию.ppt

Аксиомы геометрии

Слайдов: 30 Слов: 828 Звуков: 0 Эффектов: 69

Аксиомы стереометрии. Познакомиться с аксиомами стереометрии. Планиметрия. Точки. Можно провести прямую и только одну. Из трех точек только одна лежит между двумя другими. Каждый отрезок имеет определенную длину. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Каждый угол имеет определенную градусную меру. Можно отложить отрезок заданной длины и только один. На любой полупрямой от начальной точки можно отложить угол. Треугольник. Можно провести на плоскости не более одной прямой. Стереометрия. Аксиомы. Точки в пространстве. Различные плоскости имеют общую точку. Можно провести плоскость и притом только одну. - Аксиомы геометрии.pptx

Аксиомы стереометрии

Слайдов: 14 Слов: 400 Звуков: 0 Эффектов: 76

Аксиомы стереометрии. 1.Понятия стереометрии 2. Изображение плоскости 3.Аксиомы стереометрии 4.Следствия из аксиом стереометрии. Система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и трех аксиом стереометрии. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. На картинке показаны два общепринятых изображения плоскости. Обозначаются плоскости маленькими греческими буквами: a, b, g, ... Существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А: АВ=ВА. Следствия из аксиом стереометрии. - Аксиомы стереометрии.ppt

Аксиомы стереометрии 10 класс

Слайдов: 6 Слов: 485 Звуков: 0 Эффектов: 68

Аксиомы стереометрии. А, В, С? одной прямой А, В, С? ? ? - единственная плоскость. В любой плоскости пространства справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Следствия из аксиом стереометрии. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. 1. Лежат ли на плоскости? точки В и С? 2. Лежит ли на плоскости (МОВ) точка D? 3. Назовите линию пересечения плоскостей (МОВ) и (ADO). Назовите различные способы вычисления площади ромба. Задача пересечение двух плоскостей ABCDA1B1C1D1 – куб, K принадлежит DD1, DK=KD1. Дайте ответы на поставленные ниже вопросы с необходимыми обоснованиями. - Аксиомы стереометрии 10 класс.ppt

Основные аксиомы стереометрии

Слайдов: 18 Слов: 512 Звуков: 0 Эффектов: 90

Следствия из аксиом стереометрии

Слайдов: 42 Слов: 1029 Звуков: 0 Эффектов: 303

Слайды по геометрии. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них. Стереометрия. Планиметрия. Раздел геометрии. Аксиомы стереометрии. Различные плоскости. Различные прямые. Аксиомы планиметрии. Постройте изображение куба. Ответ объясните. Существование плоскости. Объяснение нового материала. Устная работа. Найдите прямую пересечения плоскостей. Каким плоскостям принадлежит точка. Плоскость. Доказательство. Элементы куба. Пересечение прямой с плоскостью. Плоскость и прямая. Сколько граней проходит через одну,две,три,четыре точки. Прямые,пересекающиеся в точке. - Следствия из аксиом стереометрии.ppt

Пространственные фигуры на плоскости

Слайдов: 32 Слов: 987 Звуков: 0 Эффектов: 76

Изображение пространственных фигур на плоскости. Цель урока. Верно - неверно. Одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость. По лемме о пересечении плоскости. Верно ли, что две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны. Не имеют общих точек параллельные и скрещивающиеся прямые. Если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу. Прямые могут быть не только параллельными, но и пересекаться. Две плоскости пересечены двумя параллельными прямыми. Нет условий для выполнения признака параллельности плоскостей. Жерар Дезарг. - Пространственные фигуры на плоскости.ppt

Взаимное расположение прямых в пространстве

Слайдов: 12 Слов: 670 Звуков: 0 Эффектов: 199

Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Ввести определение скрещивающихся прямых. Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых. Расположение прямых в пространстве: Лежат в одной плоскости! Дан куб АВСDA1B1C1D1. Являются ли параллельными прямые АА1 и DD1; АА1 и СС1 ? 2. Являются ли АА1 и DC параллельными? Признак скрещивающихся прямых. Дано: АВ?, СD ? ? = С, С АВ. Закрепление изученной теоремы: Определить взаимное расположение прямых АВ1 и DC. 2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА1В1В. - Взаимное расположение прямых в пространстве.ppt

Задачи по стереометрии

Слайдов: 13 Слов: 514 Звуков: 0 Эффектов: 0

Задачи. Найдите объем пирамиды. Найдите объем V части цилиндра. Найдите площадь поверхности многогранника. Длина окружности. Найдите площадь трапеции. Найдите ординату точки A. Найдите угол многогранника. Найдите квадрат расстояния между вершинами. Объм шара и его частей. Круговой сектор. Диаметр свинцового шара. - Задачи по стереометрии.pptx

«Задачи по геометрии» 11 класс

Слайдов: 48 Слов: 2561 Звуков: 0 Эффектов: 266

Использование ИКТ. Проблема. Технология проекта. Актуальность проекта. Применение презентаций. Содержание. Предисловие. Многогранники, вписанные в шар. Призма. Ответим устно. Около треугольной призмы описана сфера, центр которой лежит вне призмы. Комбинация сферы и призмы. Измерения прямоугольного параллелепипеда. Около правильной шестиугольной призмы описана сфера радиуса 5 см. Пирамида. Около любой треугольной пирамиды можно описать сферу. Комбинация сферы и пирамиды. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник. Построим осевое сечение. Многогранники, описанные около шара. - «Задачи по геометрии» 11 класс.ppt

Уравнение плоскости

Слайдов: 20 Слов: 780 Звуков: 0 Эффектов: 121

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Плоскость. ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка. Исследование общего уравнения плоскости. Уравнение (3) называют уравнением плоскости в отрезках. ?1: by+cz = 0 (пересечение с плоскостью oyz) ?2: ax+by = 0 (пересечение с плоскостью oxy). А) плоскость отсекает на осях ox и oy отрезки a и b соответственно и параллельна оси oz; А) плоскость отсекает на оси ox отрезок a и параллельна осям oy и oz (т.Е. Параллельна плоскости oyz); Замечание. Пусть плоскость? не проходит через O(0;0;0). 2. Другие формы записи уравнения плоскости. - Уравнение плоскости.pps

Плоскости в пространстве

Слайдов: 11 Слов: 442 Звуков: 0 Эффектов: 10

Аналитическая геометрия. Часть 2 Геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнения плоскости. 1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Заданы: точка и нормальный вектор Уравнение плоскости: Пусть точка Тогда. 2. Общее уравнение плоскости. Уравнение вида называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты A,B,C в уравнении определяют координаты нормального вектора: Теорема. 5. Коэффициенты A=B=0 (рис. 5) 6. Коэффициенты A=C=0 (рис. 6) 7. Коэффициенты B=C=0 (рис. 7). 8. Коэффициенты A=B=D=0 9. Коэффициенты A=C=D=0 10. Коэффициенты B=C=D=0. -

Изучение математики важно в двух отношениях:

во-первых, по сильному влиянию

этой строгой науки на развитие умственных способностей,

во-вторых, по обширности ее приложений.

М. Остроградский

Учебное занятие по геометрии

План занятия

Проверка домашнего задания

Изучение новой темы

Задание на дом

Знание – самое превосходное из владений.

Все стремятся к нему, само же оно не приходит.

Ал - Бируни

Изучение новой темы

История геометрии
Основные понятия геометрии
Аксиомы стереометрии
Следствия из аксиом

Цели и задачи

Оперировать понятиями точка, прямая, плоскость, пространство.
Познакомиться с аксиомами стереометрии и их следствиями.
Применять аксиомы при решении задач.

История геометрии

1 Зарождение и определение геометрии

2 Основные этапы развития геометрии

Основные понятия в геометрии

Геометрия ― часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел; наука о фигурах и преобразовании фигур.

Теорема - утверждение, устанавливаемое при помощи доказательства.

Аксиома - положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности.

Основные понятия геометрии

Геометрия

Планиметрия

Стереометрия

раздел геометрии, в котором изучаются фигуры, расположенные в пространстве и свойства этих фигур.

раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур на плоскости.

Основные понятия геометрии

Планиметрия

Плоскость

Точка

Прямая

Пространство

Стереометрия

Основные понятия геометрии

Плоскость ― это модель идеально ровной и гладкой поверхности, бесконечно продолженной во все стороны.

Основные понятия геометрии

Классическая модель пространства – трехмерное евклидово пространство.

Пространство – это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Основные понятия геометрии

Теоремы стереометрии

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1 (аксиома принадлежности прямой)

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Аксиомы стереометрии

Аксиома 2 (аксиома о пересечении плоскостей)

Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Аксиомы стереометрии

Аксиома о трех точках

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.

Аксиомы стереометрии

Аксиома преемственности

В пространстве существуют плоскости. В любой плоскости выполняются все аксиомы, а значит, и все теоремы планиметрии.

Следствия из аксиом

Теорема 1

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Следствия из аксиом

Теорема 2

Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну.

Следствия из аксиом

Теорема 3

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствия из аксиом

Замечание

Через любую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей.

Слишком разбросанный ум к постижению вещей не способен.

Д. Кардано

Аксиома 1

Аксиома 2

Аксиома 3

Аксиома 4

Аксиомы стереометрии

В пространстве существуют плоскости.

В любой плоскости выполняются все аксиомы, а значит, и все теоремы планиметрии .

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести плоскость, и притом только одну.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Аксиомы стереометрии описывают:

Способ задания плоскости

Следствия из аксиом

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну

Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну

Способы задания плоскости

Плоскость можно провести через три точки

Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку

Можно провести через две пересекающиеся прямые

Теорема 1

Теорема 3

Аксиома 3

Верно ли, что любые четыре точки не лежат в одной плоскости?

Верно ли, что через любые три точки проходит плоскость и притом одна?

Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости, могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

Могут ли две плоскости иметь только две общие точки?

Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости, могут ли прямые АВ и СД пересекаться?

Могут ли две плоскости иметь только одну общую прямую?

Верно ли утверждение, что если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Верно ли утверждение, что если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

1) четыре точки, лежащие в плоскости SAB , в плоскости АВС;

2) плоскость, в которой лежит прямая MN , прямая КМ;

3) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB .

Пользуясь данным рисунком, назовите:

1) плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF ;

2) две плоскости, которые пересекает прямая SB ; прямая AC .

B 1

C 1

A 1

D 1

Пользуясь данным рисунком, назовите:

1) прямую, по которой пересекаются плоскости BCD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC и A 1 B 1 B ;

2) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD 1 ; с прямой BC 1

Все искусства тяготеют к музыке; все науки - к математике.

Дж. Сантаяна

Наши знания никогда не могут иметь конца именно потому, что предмет познания бесконечен.

Б. Паскаль