Презентация что такое мужество. Классный с презентацией в старших классах «Урок мужества. Выступления заранее подготовленных учащихся
После того, как школьники изучили тему «Параллельность прямых в пространстве», самое время рассмотреть параллельность прямой по отношению к плоскости. Эта тема также важна. Теоремы, которые будут изучены в данной презентации, пригодятся для решения различного рода задач в стереометрии. Пропустив данную тему, будет тяжело понять иные темы и практические задачи.
Какими могут быть прямые по отношению к плоскости? Во-первых, они могут их пересекать, во-вторых - они могут не иметь никаких общих точек, и в третьих, прямая может лежать непосредственно на плоскости. Эти три случая рассматриваются на первом слайде данного электронного обучающего ресурса. Приведены и иллюстрации к ним, которые демонстрируют все случаи.
В каком же из этих случаев прямая и плоскость будут параллельны? Определению параллельности прямой по отношению к плоскости посвящен следующий слайд. Оно выделено в специальный блок и его будет легко запомнить.
Так как довольно часто будет необходимость применять данное понятие, на следующей странице приводится обозначение. Оно гласит о том, что прямая А параллельна плоскости альфа.
Если некоторая прямая будет параллельна иной прямой, которая лежит на плоскости, то первая прямая будет параллельна непосредственно плоскости. Об этом гласит первая теорема в данной презентации. Чтобы не осталось никаких неясностей, приводится несложное доказательство, которое можно будет с легкостью разобрать с учителем или репетитором. Доказывается теорема методом от противного, что является часто используемым приемом во многих случаях. Школьники к нему уже должны были бы привыкнуть и понимать.
Путь имеем прямую и некоторую плоскость, которая параллельна ей. Если через данную прямую провести пересекающую плоскость с имеющейся плоскостью, то прямая пересечения и изначальная прямая будут параллельны. Это утверждение требует доказательства, ведь не является аксиомой. Доказательство не является объемным и не составит никакой сложности в понимании.
Если известно, что имеются две параллельные прямые, одна из которых параллельна, в свою очередь, с плоскостью, то эти прямые должны быть либо параллельно друг с другом, либо одна из них должна лежать на плоскости.
Просмотреть и разобрать презентацию можно во время урока вместе с учителем. Если он грамотно все прокомментирует, то школьникам станет понятен данный урок и запомнится на долгое время, не будут возникать проблемы при выполнении домашней работы, написании самостоятельных и контрольных работ.
Предмет: геометрия.
Класс : 10
Учитель: Приходько Светлана Ивановна
Тема : « Параллельность прямой и плоскости» (2 урока по 40 мин)
Оборудование урока: мультимедиапроектор, доска, карточки с заданиями для самостоятельной работы, учебник «Геометрия.10-11 классы»/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, и др.
Цель: ввести понятия параллельности прямой и плоскости; изучить признак параллельности прямой и плоскости; обобщить и систематизировать знания о взаимном расположении прямой и плоскости.
Задачи:
Создавать условия для контроля (самоконтроля, взаимоконтроля);
Развивать пространственные представления при построении параллельных прямых, прямой и плоскости;
Формировать умение доказывать признак параллельности прямой и плоскости;
Развивать умение использовать теоретический материал при решении задач.
ХОД УРОКА
Организационный этап.
Учитель приветствует учащихся, формулирует цели и задачи урока, сообщает план урока.
Актуализация знаний.
Фронтальная работа с использованием мультимедиапроектора.
Слайд 1.
Слайд 2.
3. Изучение нового материала. (Фронтальная работа.)
Слайд 3.
Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают:
Линии электропередач и плоскость земли;
Линия пересечения потолка и стены и плоскость пола.
Слайд 4.
Рассмотрим теорему (признак параллельности прямой и плоскости).
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
а Дано: прямая в лежит в плоскости α.
а║в
Доказать: а║ α
(Доказательство теоремы предложить сделать учащимся самостоятельно, обсудить, предложить доказать у доски, записать в тетрадь. При затруднении можно нажать кнопку указание к доказательству .)
4. Закрепление изученного материала.
Устно (Фронтальная работа)
Слайд 5.
Задача: Дана трапеция ABCD (AB и CD основания). Точка К не принадлежит плоскости трапеции. Докажите, что прямая DC параллельна плоскости (АВК).
По изображаем: 1) трапецию;
2) изображаем плоскость а;
3) изображаем отрезки ВК и КС;
4) записываем: дано, доказать.
Обсуждаем и записываем решение задачи.
Слайд 6.
Задачу решаем устно.
5. Изучение нового. (Работа в группах по 4 человека.)
Рассмотрим два утверждения, которые используются при решении задач.
Слайд 7.
(Доказывают учащиеся, работая в группах.)
Обсуждение работы групп. (Во время работы группы (5-7мин.) учащиеся свои доказательства записывают в тетрадь.) Представитель группы записывает доказательство на доске. Подведение итогов работы группы.
6. Закрепление изученного материала.
Слайд 8.
Слайд 9.
Некоторые слова затерты и поставлены многоточия. В ходе решения вместо многоточия проявляется полное решение задачи.
Задача №23 (учебник).
(На обычной доске).
М Дано: ABCD -прямоугольник, точка М не лежит в
плоскости АВС.
В С Доказать: CD ║ (АВМ).
А D
7
. Решение задач на закрепление изученного материала. (Задание с взаимопроверкой - в парах).
Слайд 10.
8. Работа с учебником.
Задача №27. (Учащийся у доски.)
9. Подведение итогов.
Беседа с учащимися
Расскажите о взаимном расположении прямой и плоскости.
Какая прямая называется параллельной данной плоскости?
Назовите признак параллельности прямой и плоскости.
Что можно сказать о прямой, параллельной плоскости, если нее проходит некоторая плоскость, пересекающая первую плоскость?
Продолжите фразу: если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то…
10. Самостоятельная работа (по вариантам по карточкам).
Вариант 1
Вариант 2
Отрезок АВ не пересекает плоскость α.
Через концы этого отрезка -точки А,В
и его середину (точку М) проведены
параллельные прямые, пересекающие
плоскость α в точках А 1 ,В 1 ,М 1 .
Докажите, что точки А 1 ,В 1 ,М 1 лежат
на одной прямой.
2) Найдите АА 1 ,если ВВ 1 =12см, ММ 1 =8см.
Через конец А отрезка АВ проведена плоскость α.
Через точку М (середину АВ) и точку В
проведены параллельные прямые, пересекающие
плоскость α в точках М 1 и В 1 соответственно.
1) Докажите, что точки А,В 1 ,М 1 лежат
на одной прямой.
2) Найдите ВВ 1 ,если ММ 1 =4см.
Дополнительно: №31 (учебник.)
11. Домашнее задание: теория §1 (теоремы с доказательством), №29,30.
Геометрия, 10 класс
Урок №4. Параллельность прямых, прямой и плоскости
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- Определение параллельных прямых;
- Теорема о единственности прямой, параллельной данной, проходящей через данную точку;
- лемма о двух параллельных прямых;
- теорему о параллельности трех прямых;
- определение параллельных прямой и плоскости;
- признаком параллельности прямой и плоскости.
Глоссарий по теме
Определение.
Определение. Скрещивающиеся прямые − прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Определение.
Определение.
Основная литература:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014. 255 с.
Дополнительная литература:
Зив Б. Г. Дидактические материалы. Геометрия 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. 96 с.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь. Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013. 65 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры), который создал целый труд по математике под названием «Начала». В данной книге есть раздел о параллельных прямых.
В советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с греческого языка, как «идущий рядом».
В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║».
В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного.
В области параллельных прямых работало очень много учёных: Н.И. Лобаческий (18-19 век); Аббас ал-Джаухари (работал в Багдаде в 9 веке); Фадл ал-Найризи (Богдад 10 век); Герард (Италия 12 век); Иоганн Генрих Ламберт (Берлин) и многие другие.
Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1 а, б, в).
Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Но второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны ) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором - такие прямые называются скрещивающимися .
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Определение. Скрещивающиеся прямые - прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Проиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет куб.
Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:
AB||A₁B₁; AB|| CD; A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.
А теперь рассмотрим некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в одной плоскости:
AB A₁D₁; AB B₁C₁; CD A₁D₁; CD B₁C₁; BC C₁D₁; BC A₁B₁; AB B₁C₁; AB A₁D₁.
Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
- М и а задают плоскость α
- Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. в плоскости α.
- В плоскости α через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна- это нам известно из кураса планиметрии.
- На чертеже эта прямая обозначена буквой b .
- Следовательно, b-единственная прямая, проходящая через точку М паралельно прямой а.
Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.
Аналогично определяется праралельность отрезка и прямой, а так же паралельность двух лучей.
Лемма. Если одна из двух паралельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
- Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M(а рис.).
- Мы знаем, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. (теорема)
- Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β (б рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая p, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).
- Прямые a, b и c находятся в плоскости β.
Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую p, то вторая прямая a тоже пересекает p.
- Точку пересечения прямых a и p обозначим за N.
Так как точка N находится на прямой p, то N находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.
- Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке N.
Нам известно из курса планиметрии, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей, то эти две прямые параллельны. Похожее утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.
Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Дано: a∥c и b∥c
Доказать: a∥b
Доказательство:
Выберем точку M на прямой b.
Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая:
Пусть прямая b пересекает плоскость α.
Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным . Значит, прямая b находится в плоскости α.
Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.
Пусть у прямых a и b есть общая точка L.
Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.
Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.
Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме А₂ вся прямая лежит в этой плоскости. Из этого следует, что возможны три расположения прямой и плоскости:
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Обозначение: a||α.
Наглядный пример, который дает представление о прямой, параллельной плоскости- это линия пересечения стены и потолка-она параллельна плоскости пола.
Теорема (Признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.
Доказательство:
Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.
Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит, прямая a должна быть параллельна плоскости α.
Существует еще два утверждения, которые используются при решении задач:
- Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
- Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо тоже параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Тип задания: Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Дано: в ∆ АВС КМ − средняя линия, КМ=5; ACFE- параллелограмм.
Решение: Т.к. КМ − средняя линия, то АС= 2·КМ, то АС=2·7 =10
Т.к. ACFE − параллелограмм, то АС=EF=10
Ответ: EF=10
Тип задания: Единичный / множественный выбор
Точка М не лежит в плоскости ромба ABCD. На отрезке АМ выбрана точка Е так, что MЕ:ЕА=1:3. Точка F – точка пересечения прямой МВ с плоскостью CDE. Найдите АВ, если AD= 8 cм.
- АВ=2 см
- АВ=4 см
- АВ=5 см
- АВ=10 см
Т.к. AD||BC||FK, следовательно, треугольники MFK и MBC- подобны (по трем углам). Значит
BC=AD= 8 см;