Постройте график функции y модуль х 2. Преобразования графиков с модулем
Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.
1. Построение графиков функций, содержащих модуль
Пример 1.
Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.
Решение.
Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).
Пример 2.
Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.
– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).
– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).
Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).
Пример 3.
Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:
y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Ответ: рисунок 3.
Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:
2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»
Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.
Пример 4.
Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».
Решение.
Воспользуемся методом геометрических преобразований.
Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.
Пример 5.
Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .
Решение.
Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Раскроем в знаменателе модуль:
При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).
Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Область значений E(y) = (-4; +∞).
Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).
Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.
Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.
Пример 6.
Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.
Решение.
Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.
Возможны четыре случая:
{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;
{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;
{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;
{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Тогда исходная функция будет иметь вид:
{3, при x ≥ 2;
y = {-3, при x < -1;
{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.
Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.
3. Алгоритм построения графиков функций вида
y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.
В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?
Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:
Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.
Задача.
Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.
Решение:
Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.
Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – .
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Урок 5. Преобразования графиков с модулями (факультативное занятие)
09.07.2015 8999 0Цель: освоить основные навыки преобразования графиков с модулями.
I. Сообщение темы и цели урока
II . Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант 1
f (х), построить график функции у = f (-х) + 2?
2. Постройте график функции:
Вариант 2
1. Как, зная график функции у = f (х), построить график функции у = - f (х) - 1?
2. Постройте график функции:
III. Изучение нового материала
Из материала предыдущего урока видно, что способы преобразования графиков чрезвычайно полезны при их построении. Поэтому рассмотрим также основные способы преобразования графиков, содержащих модули. Эти способы являются универсальными и пригодны для любых функций. Для простоты построения будем рассматривать кусочно-линейную функцию f (х) с областью определения D (f ), график которой представлен на рисунке. Рассмотрим три стандартных преобразования графиков с модулями.
1) Построение графика функции у = | f (x )|
f /(x ), если Дх)>0,
По определению модуля получим: Это означает, что для построения графика функции у = | f (x )| надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Ту часть графика функции у = f (х), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.
2) Построение графика функции у = f (| x |)
Г/О), если Дх)>0,
Раскроем модуль и получим: Поэтому для построения графика функции у = f (| x |) надо сохранить часть графика функции у = f (х), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.
3) Построение графика уравнения |у| = f (x )
По определению модуля имеем, что при f (х) ≥ 0 надо построить графики двух функций: у = f (х) и у = - f (х). Это означает, что для построения графика уравнения |у| = f (х) надо сохранить часть графика функции у = f (х), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.
Заметим, что зависимость |у| = f (х) не задает функцию, т. е. при х ∈ (-2,6; 1,4) каждому значению х соответствуют два значения у. Поэтому на рисунке представлен именно график уравнения |у| = f (х).
Используем рассмотренные способы преобразования графиков с модулями для построения графиков более сложных функций и уравнений.
Пример 1
Построим график функции
Выделим в этой функции целую часть Такой график получается при смещении графика функции у = -1/ x на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Графиком данной функции является гипербола.
Пример 2
Построим график функции
В соответствии со способом 1 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Ту часть графика, для которой у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.
Пример 3
Построим график функции
Используя способ 2, сохраним часть графика из примера 1, для которой х ≥ 0. Эту сохраненную часть, кроме того, зеркально отразим влево относительно оси ординат. Получим график функции, симметричный относительно оси ординат.
Пример 4
Построим график уравнения
В соответствии со способом 3 сохраним часть графика из примера 1, для которой у ≥ 0. Кроме того, эту сохраненную часть симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс. Получим график данного уравнения.
Разумеется, рассмотренные способы преобразования графиков можно использовать и совместно.
Пример 5
Построим график функции
Используем график функции построенный в примере 3. Чтобы построить данный график, сохраним те части графика 3, для которых у ≥ 0. Те части графика 3, для которых у < 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.
В тех случаях, когда модули входят в зависимость иным образом (чем в способах 1-3), необходимо эти модули раскрыть.
Пример 6
Построим график функции
Выражения х - 1 и x + 2, входящие под знаки модулей, меняют свои знаки в точках х = 1 и x = -2 соответственно. Отметим эти точки на координатной прямой. Они разбивают ее на три интервала. Используя определения модуля, раскроем модули в каждом промежутке.
Получим:
1. При
2. При
3. При
Построим графики этих функций, учитывая интервалы для переменной х, в которых раскрывались знаки модуля. Получим ломаную прямую.
Достаточно часто при построении графиков уравнений с модулями для их раскрытия используют координатную плоскость. Поясним это следующим примером.
Пример 7
Построим график уравнения
Выражение у - х меняет свой знак на прямой у = х. Построим эту прямую - биссектрису первого и третьего координатных углов. Эта прямая разбивает точки плоскости на две области: 1 - точки, расположенные над прямой у – х; 2 - точки, расположенные под этой прямой. Раскроем модуль в таких областях. В области 1 возьмем, например, контрольную точку (0; 5). Видим, что для этой точки выражение у - х > 0. Раскрывая модуль, получим: у - х + у + х = 4 или y = 2. Строим такую прямую в пределах первой области. Очевидно, в области 2 выражение у - х < 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.
3. Постройте график дробно-линейной функции и уравнения:
4. Постройте график функции, уравнения, неравенства:
VIII. Подведение итогов урока
Знак модуля, пожалуй, одно из самых интересных явлений в математике. В связи с этим у многих школьников возникает вопрос, как строить графики функций, содержащих модуль. Давайте подробно разберем этот вопрос.
1. Построение графиков функций, содержащих модуль
Пример 1.
Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12.
Решение.
Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy. Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).
Пример 2.
Следующий график вида y = |x 2 – 8x + 12|.
– Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0).
– Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее).
Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox, без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).
Пример 3.
Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований:
y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.
Ответ: рисунок 3.
Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу:
2. Построение графиков функций, содержащих в формуле «вложенные модули»
Мы уже познакомились с примерами квадратичной функции, содержащей модуль, а так же с общими правилами построения графиков функций вида y = f(|x|), y = |f(x)| и y = |f(|x|)|. Эти преобразования помогут нам при рассмотрении следующего примера.
Пример 4.
Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||. Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули».
Решение.
Воспользуемся методом геометрических преобразований.
Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4):
y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.
Рассмотрим случаи, когда преобразования симметрии и параллельного переноса не являются основным приемом при построении графиков.
Пример 5.
Построить график функции вида y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 .
Решение.
Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5).
y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.
Раскроем в знаменателе модуль:
При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2).
Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).
Область значений E(y) = (-4; +∞).
Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0).
Функция убывает при всех x из интервала (-∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞.
Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.
Пример 6.
Рассмотрим функцию y = |x + 1| – |x – 2|.
Решение.
Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений.
Возможны четыре случая:
{x + 1 – x + 2 = 3, при x ≥ -1 и x ≥ 2;
{-x – 1 + x – 2 = -3, при x < -1 и x < 2;
{x + 1 + x – 2 = 2x - 1, при x ≥ -1 и x < 2;
{-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, при x < -1 и x ≥ 2 – пустое множество.
Тогда исходная функция будет иметь вид:
{3, при x ≥ 2;
y = {-3, при x < -1;
{2x – 1, при -1 ≤ x < 2.
Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.
3. Алгоритм построения графиков функций вида
y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b.
В предыдущем примере было достаточно легко раскрыть знаки модуля. Если же сумм модулей больше, то рассмотреть всевозможные комбинации знаков подмодульных выражений проблематично. Как же в этом случае построить график функции?
Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 подмодульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков:
Графиком функции вида y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули подмодульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.
Задача.
Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение.
Решение:
Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.
Остались вопросы? Не знаете, как построить график функции с модулем?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.