Общий метод линеаризации. Гармоническая линеаризация. Мм нелинейных элементов

25. Методы линеаризации нелинейных САУ.

С т. зрения передачи и преобразования сигнала НЛ отлич. от линейных систем тем, что мгновенный коэфффициент передачи зависит от значения входного сигнала. САУ, содержащие звенья, динамика которых описывается НЛ дифференц. уравнениями относят к НЛ системам .

НС-динамика к-х описывается нелин-ми диф ур-ми, это сис-мы, имеющие нелинейную стст-ю хар-ку.

Систему можно представить в виде соединения из 2-х элементов:

можно свести к:

ЛЧ

ЛЧ описывается обычными диф ур-ми с пост-ми коэфф-ми.

НЭ является безинерционным и его выходная величина и вход. величина связаны связаны между собой НЛ алгебраическим уравнением. Нелинейность обусловлена нелинейностью статической характеристики одного из элементов системы.

Методы линеаризации нелинейных САУ.

метод гармонической линеаризации

статическая линеаризация

совместная стат и гармон линеаризация

вибролинеаризация

Метод гармонической линеаризации.

Сущность метода гарм-ой линеаризации заключается в отыскании периодического решения на входе нелинейного элемента, разложение сигнала на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье и замены вых сигнала его первой гармоникой. Такая замена справедлива если сис или ЛЧ явл-ся фильтром низкой частоты, т.е. подавляет высшие гармоники.

В рез-те линеаризации нелин стат хар-ку заменяют эквивалентным линейным звеном с коэффициентами

И для гистерезисных хар-ик (петлевых) значение k / Г всегда получается отрицательным, т.е. в ур-ие вводят производную с отриц знаком и эта производная дает запаздывание в работе звена. Такую линеар-ю наз-т гармонической т.к. она связана с разложением нелин колебаний на гармонич-ие составляющие.

k / Г и k Г гарм-ие коэф-ты усиления нелин звена.

Отличия гарм-ой линеар-ии от обычной:

При гарм-ой линеаризации нелин хар-ку заменят прямой, крутизна которой зависит от амплитуды входного сигнала.

Гарм-ая линеаризация позволяет вместо нелин звена получить линейное, к-т усиления которого зависит от а.

Гарм-ая линеар-ия дает возможность опредилить св-ва нелин САУ методами линейной теории автом-х сис-м.

Статическая линеаризация.

Этот метод приближенного исследования точности нелин сис в стационарных случ реж-ах.

В качестве примера возьмем нелин звено со стат хар-ой типа насыщение.

Пусть на входе стационарный случ. Сигнал.

X (t )= m x + x 0 (t )

Y(t)=m y +y 0 (t)

Задача стат лин-ии закл-ся в том чтобы найти линейное звено дающее при том же вх сигнале x (t ) вых сигнал = эквивалентному вых сигналу нелин звена при этом надо чтобы эквив-й сигнал максимально приближался к y (t ).

Точность линеариз зависит от того, какой критерий выбран для сравнения y экв и y .

Сущ 2 критерия сравнения y экв и y :

1. по первому способу линеаризация осущ-ся исходя из след условий

при выполнении первого условия линейное звено будет полностью эквивалентно исх-му нелин звену в отношении пропускания заданной детерменированной составляющей вх сигнала. Второе условие означает эквивалентность в отношении пропускания центрированной случ составляющей вх сигнала. В связи с тем что дисперсия не определяет полностью закона распределения случ величины выбор ур-ия эквивалентного линейного звена только по дисперсии определяет погрешность данной стат линеаризации.

2. основан на линеаризации разности

К-ты стат линеар-ии:

Совместная статическая и гармоническая линеаризация.

Случай когда в сис присутствуют автоколебания и на вх сис подаются случ воздействия:

f(t)=m f +f 0 (t)

x(t)=m x +x 0 (t)+a*sin w a t

Из-за неприменимости принципа суперпозиции необходимо учитывать наличие всех 3-х составляющих для этого надо осущ-ть совместную стат и гарм линеа-ию, в рез-те этого сигнал на выходе:

в случ симметр-ой нелин стат хар-ки пост состав-ую

m y = y 0 = k сг0 m x

эти 4 к-та опред-ся по фор-ам для гарм-ой и стат линеар-ии. Эти к-ты уже будут зависеть от 4-х составляющих ( m x , s x , a , w a )

При исследовании сис m x , s x , a , w a - определяются совместным решением ур-ий для колебательной составляющей и для случ состав-ей.

Применяя совместно стат и гармонич линеаризацию можно решать две задачи:

можно исследовать влияние внешних случ воздействий на параметры возможных автоколебаний.

можно исследовать точность сис в случ режимах при наличии сис гармонических колебаний.

Вибролинеаризация.

Испол-ся для исключения эффекта наличия нелин-х хар-к (люфт и зона нечувст-ти).

При виб-ой лин-ии на вх нелин звена на постоянный или медленно изменяющиюся сигнал накладывается высокочастотная состав-ая и в рез-те этого нелин звено пропускает пост сост-ую как пропорциональное звено.

Рассмотрим метод виб-ой лин-ии на примере релейной сис:

зависимость y 0 = f (x 0 ) ,где y 0 зависит от x 0 и от формы нелин-ой стат хар-ки, т.о. при наличии переменного воздействия, этот элемент пропускает пост воздействие x 0 как звено непрерывного действия.

Сам процесс виб-й лин-ии можно трактовать как процесс модуляции, в данном примере реле явл-ся модулятором высокочас-ое воздействие - сигнал несущей частоты, а НЧ вх сигнал x 0 явл-ся модулирующим сигналом. В данном случае осущ-ся ШИМ и ф-ей модулир-го сигнала явл-ся ширина вых имп-са и условие неискаженной передачи НЧ-составляющей явл-ся f ВЧ / f НЧ >=3

Когда реле работает в составе САУ обычно НЧ сигнал x 0 представляет собой сигнал управления и изменения во времени x 0 и есть перех-ой процесс в сис.

ВЧ воздействие осущ виб-ой лин-ей м.б. получено 3-я способами:

С пом внешнего генератора, создающего вынужд-е колебания на вх нелин элемента.

Путем создания автоколебаний в самой САУ.

Путем создания скользящего режима.

Метод гармонической линеаризации позволяет с достаточной для практики точностью исследовать устойчивость и точность нелинейных систем, используя методы, разработанные для линейных систем. Метод дает возможность определить наличие автоколебаний, а также их частоту и амплитуду.

Нелинейная система представляется в виде соединения линейной и нелинейной части (рис. 5).

Рис. 5 Схема нелинейной системы

Выходной сигнал нелинейной части системы в общем случае определяется выражением

Обозначим как передаточную функцию линейной части. Система уравнений примет вид

Найдем условия, при которых на выходе линейной части системы возникают гармонические колебания вида

В этом случае сигнал y(t) нелинейной части будет представлять собой также периодическую функцию, но отличную от синусоиды. Эту функцию можно разложить в ряд Фурье

В этом выражении a i и b i - коэффициенты Фурье. Для симметричных нелинейностей F 0 =0.

Основным условием, которое накладывает метод на линейную часть системы, является условие фильтра нижних частот. Считается, что линейная часть пропускает только первую гармонику колебаний. Данное допущение позволяет считать высшие гармоники в (7.19) несущественными и ограничиться рассмотрением только первой гармоники сигнала y(t).

то выражение (7.20) можно переписать в виде

Первое уравнение системы (7.17) примет вид

В этом выражении

Результат замены нелинейности F(x,sx) выражением

и называется гармонической линеаризацией. Величины q и q 1 называются коэффициентами гармонической линеаризации или просто гармоническими коэффициентами. Для однозначных нелинейностей обычно q 1 =0 . Формулы для гармонических коэффициентов, соответствующих типовым нелинейностям, приводятся в приложениях.

Принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной состоит в том, что при обычной линеаризации нелинейную характеристику заменяют прямой линией с определенной постоянной крутизной, а при гармонической линеаризации - прямой линией, крутизна которой зависит от амплитуды входного сигнала нелинейного элемента.

Рассмотрим методику определения амплитуды и частоты автоколебаний.

1). В характеристическом уравнении системы, полученном из (7.22) делаем замену s=j и получим

2). Из полученного выражения выделяем вещественную и мнимую части и приравниваем их нулю, что, по критерию Михайлова, соответствует нахождению системы на колебательной границе устойчивости.

3).Решение этой системы дает частоту и значения гармонических коэффициентов. Если эти значения вещественны и положительны, то в системе существует предельный цикл. По значениям гармонических коэффициентов можно определить амплитуду предельного цикла.
4). Общим признаком устойчивости предельного цикла, т.е. существования автоколебаний, является равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица при полученных значениях амплитуды и частоты предельного цикла. Часто более удобно использовать условие устойчивости предельного цикла, в основе которого лежит критерий устойчивости Михайлова.

Если это неравенство выполняется, то предельный цикл устойчив и в системе существуют автоколебания с определенными выше амплитудой и частотой. Индекс ”*” означает, что производные вычислены при уже известных значениях гармонических коэффициентах, амплитуды и частоты.

Пример. Допустим, что в уже рассмотренной выше системе стабилизации угла тангажа самолета рулевой привод нелинейный и его структурная схема имеет вид, показанный на рис. 7.6.

Рис.6 Схема нелинейного рулевого привода

Зададим следующие параметры нелинейности скоростной характеристикм рулевого привода: b = 0.12, k 1 = tg =c/b = 6.7. Коэффициенты гармонической линеаризации этой нелинейности определяются выражениями

Заменив в схеме нелинейную характеристику гармоническим коэффициентом, получим передаточную функцию рулевого привода

Подставим эту передаточную функцию в структурную схему системы стабилизации угла тангажа и определим передаточную функцию замкнутой системы

В характеристическом уравнении замкнутой системы сделаем замену s = j и выделим вещественную и мнимую части.

Из второго уравнения системы получим выражение для частоты: , и подставив его в первое уравнение, после преобразований получим

Подставив сюда ранее определенные выражения для коэффициентов характеристического уравнения, можно получить квадратное уравнение относительно гармонического коэффициента, решив которое, найдем

По этим значениям можно вычислить для двух случаев все коэффициенты характеристического уравнения и определить частоты, соответствующие каждому значению q(А). Получим:

Оба значения гармонического коэффициента и соответствующие частоты вещественны и положительны. Следовательно, в системе существуют два предельных цикла. Значения амплитуды предельного цикла определяются численно путем подбора такого значения при котором формула для коэффициента гармонической линеаризации дает значение, равное ранее вычисленному. В рассматриваемом случае получим

Теперь оценим устойчивость предельных циклов. Используем неравенство, полученное из критерия Михайлова, для чего определим

Производная от коэффициента гармонической линеаризации, входящая в полученные выражения, вычисляется по формуле

Расчеты по выше приведенным формулам показывают, что первый предельный цикл не устойчив и возникает он при (0) 0.1166(6.7 0 ). Если начальное отклонение меньше указанного, то процесс на входе нелинейного элемента затухает (рис.7. 7) и система устойчива.

Если начальное значение угла тангажа больше указанного, то процессы сходятся ко второму предельному циклу, который устойчив и, таким образом в системе возникают автоколебания (рис. 8).

Рис. 8

Путем моделирования определено, что область притяжения устойчивого предельного цикла лежит приблизительно в пределах (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).

Общий метод линеаризации

В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения ᴇᴦο обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X1 и X2, а внешнее возмущение – через F(t).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида

Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.

Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х1, которое обозначим Х10. В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х1 будет иметь значения где обозначает отклонение переменной X 1 от установившегося значения Х10.

Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем˸ а также .

Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.

Установившееся состояние звена определяется значениями Х10, Х20 и F0. Тогда уравнение (2.1) должна быть записано для установившего состояния в виде

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

где D – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных .

В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в данном уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях˸

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют из себянекоторые постоянные коэффициенты в том случае, в случае если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

Общий метод линеаризации - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Общий метод линеаризации" 2015, 2017-2018.

В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения его обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X1 и X2, а внешнее возмущение – через F(t).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида

Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем: а также .

Установившееся состояние звена определяется значениями Х10, Х20 и F0. Тогда уравнение (2.1) может быть записано для установившего состояния в виде

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в этом уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях:

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют собой некоторые постоянные коэффициенты в том случае, если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

Получение уравнения (2.4) является целью проделанной линеаризации. В теории автоматического регулирования принято записывать уравнения всех звеньев так, чтобы в левой части уравнения была выходная величина, а все остальные члены переносятся в правую часть. При этом все члены уравнения делятся на коэффициент при выходной величине. В результате уравнение (2.4) принимает вид

где введены следующие обозначения

Кроме того, для удобства принято все дифференциальные уравнения записывать в операторной форме с обозначениями

И т.д. (2.7)

Тогда дифференциальное уравнение (2.5) запишется в виде

Эту запись будем называть стандартной формой записи уравнения динамики звена.

Коэффициенты Т1 и Т2 имеют размерность времени – секунды. Это вытекает из того, что все слагаемые в уравнении (2.8) должны иметь одинаковую размерность, а например, размерность (или px2) отличается от размерности х2 на секунду в минус первой степени (). Поэтому коэффициенты Т1 и Т2 называют постоянными времени .

Коэффициент k1 имеет размерность выходной величины, деленную на размерность входной. Он называется коэффициентом передачи звена. Для звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, используются также следующие термины: коэффициент усиления – для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; передаточное число – для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. п.

Коэффициент передачи характеризует статические свойства звена, так как в установившемся состоянии . Следовательно, он определяет крутизну статической характеристики при малых отклонениях. Если изобразить всю реальную статическую характеристику звена , то линеаризация дает или . Коэффициент передачи k1 будет представлять собой тангенс угла наклона касательной в той точке C (см. рис. 2.3), от которой отсчитываются малые отклонения х1 и х2.

Из рисунка видно, что проделанная выше линеаризация уравнения справедлива для процессов регулирования, захватывающих такой участок характеристики АВ, на котором касательная мало отличается от самой кривой.

Кроме того, отсюда вытекает другой, графический способ линеаризации. Если известна статическая характеристика и точка C, определяющая установившееся состояние, около которого происходит процесс регулирования, то коэффициент передачи в уравнении звена определяется графически из чертежа по зависимости k1 = tg c учетом масштабов чертежа и размерности x2. Во многих случаях графический метод линеаризации оказывается более удобным и быстрее приводит к цели.

Размерность коэффициента k2 равна размерности коэффициента передачи k1, умноженной на время. Поэтому часто уравнение (2.8) записывают в виде

где – постоянная времени.

Постоянные времени Т1, Т2 и Т3 определяют динамические свойства звена. Этот вопрос будет рассмотрен подробно ниже.

Коэффициент k3 представляет собой коэффициент передачи по внешнему возмущению.

В качестве примера линеаризации рассмотрим электрический двигатель, управляемый со стороны цепи возбуждения (рис. 2.4).

Для нахождения дифференциального уравнения, связывающего приращение скорости с приращением напряжения на обмотке возбуждения, запишем закон равновесия электродвижущих сил (эдс) в цепи возбуждения, закон равновесия эдс в цепи якоря и закон равновесия моментов на валу двигателя:

Во втором уравнении для упрощения опущен член, соответствующий эдс самоиндукции в цепи якоря.

В этих формулах RВ и RЯ – сопротивления цепи возбуждения и цепи якоря; ІВ и ІЯ – токи в этих цепях; UВ и UЯ – напряжения, приложенные к этим цепям; wВ – число витков обмотки возбуждения; Ф – магнитный поток; Ω – угловая скорость вращения вала двигателя; М – момент сопротивления от внешних сил; J – приведенный момент инерции двигателя; СЕ и
СМ – коэффициенты пропорциональности.

Допустим, что до появления приращения напряжения, приложенного к обмотке возбуждения, существовал установившийся режим, для которого уравнения (2.10) запишутся следующим образом:

Если теперь напряжение возбуждения получит приращение UВ = UВ0 + ΔUВ, то все переменные, определяющие состояние системы, также получат приращения. В результате будем иметь: ІВ = ІВ0 + ΔІВ; Ф = Ф0 + ΔФ; IЯ = IЯ0 + ΔІЯ; Ω = Ω0 + ΔΩ.

Подставляем эти значения в (2.10), отбрасываем малые высшего порядка и получаем:

Вычитая из уравнений (2.12) уравнения (2.11), получим систему уравнений для отклонений:

В этих уравнениях введен коэффициент пропорциональности между приращением потока и приращением тока возбуждения определяемый из кривой намагничивания электродвигателя (рис. 2.5).

Совместное решение системы (2.13) даёт

где коэффициент передачи, ,

электромагнитная постоянная времени цепи возбуждения, с,

где LB = a wB – динамический коэффициент самоиндукции цепи возбуждения; электромагнитная постоянная времени двигателя, с,

Из выражений (2.15) – (2.17) видно, что рассматриваемая система является по существу нелинейной, так как коэффициент передачи и «постоянные» времени, на самом деле – не постоянны. Их можно считать постоянными только приближенно для какого-то определенного режима при условии малости отклонений всех переменных от установившихся значений.

Интересным является частный случай, когда в установившемся режиме UB0 = 0; ІB0 = 0; Ф0 = 0 и Ω0 = 0. Тогда формула (2.14) приобретает вид

В этом случае статическая характеристика будет связывать приращение ускорения двигателя и приращение напряжения в цепи возбуждения.

Контрольные вопросы

1. Опишите линейные и нелинейные САР.

2. Дайте понятие линеаризации и объясните ее необходимость.

3. Изложите общий метод линеаризации.

4. Какова стандартная форма записи дифференциальных уравнений?

Обсудим еще раз выбор масштаба для представления этих данных в графическом виде (см. рис.30). Максимальная метка °С, соответствующая оси температур Х, очень неплохо укладывается на 40 клетках, что соответствует очень удобному разделению по 10 клеток на кажые 50°С. А сколько надо дополнительных рисок? В этом случае предлагаю расставить их через 2 клетки, что придаст простоту определения координаты, так как интервал между такими рисками будет соответствовать 10°С, что очень удобно.

А вот на оси Y я расставил риски через 5 клеток на кажые 500 Ом сопротивления, что привело к неполному использованию площади бумаги. Но, посудите сами, если разделить ось по 6 или 7 клеток, было бы неудобно находить координату, а если по 8 клеток, то максимальная риска, соответствующая 2000 Ом, не поместилась бы на оси.

Теперь надо обсудить вид теоретической кривой. Откроем методические указания по выполнению лабораторных работ на странице 28 и найдем фомулу 3, описывающую зависимость сопротивления полупроводника от темепературы ,

где – ширина запрещенной зоны, – постоянная Больцмана, – некоторая константа, имеющая размерность сопротивления, и, наконец, температура , выраженная в Кельвинах. Начнем оформлять новую таблицу. Во-первых, температуру переведем в Кельвины. Во-вторых, поставим себе задачу не только нарисовать новый график , но и найти с помощью графика ширину запрещенной зоны. Для этого прологарифмируем экспоненциальную зависимость и получим

Обозначим , , и . Тогда получим линейную зависимость ,

которую мы и будем изображать на графике. Данные, соответствующие значениям и , запишем в таблицу 9.

Таблица 9. Пересчет данных таблицы 8.

номер точки
T, K
1/T , 10 –3 K –1	3,34	3,19	3,00	2,83	2,68	2,54	2,42	2,31	2,21	2,11
lnR , Ом	7,62	7,51	7,25	7,06	6,99	6,74	6,61	6,56	6,36	6,34

Если по данным таблицы 9 построить график зависимости на рис.31, то все экспериментальные точки займут совсем немного места на листе при большом пустом пространстве. Почему так получилось? Потому что по осям Х и Y метки расставлены начиная от 0, хотя значения, например, начинаются только со значения . Обязательно ли делать начальную метку равную 0? Ответ на этот вопрос зависит от поставленных задач. В примере с маятником Обербека (см. рис.28) было очень важным найти пересечение оси Х теоретической прямой в точке с координатой Y=0, что соответствовало значению . А в этой задаче надо найти только ширину запрещенной зоны, которая связана с постоянной , соответствующая коэффициенту наклона прямой на рис.31, поэтому совсем не обязательно расставлять метки на осях, начиная с 0.

Изучая данные из табл.9 и подбирая удобный масштаб, можно с уверенностью сказать, что ориентацию миллиметровой бумаги нужно изменить, как показано на рис.32. Самостоятельно изучите выбранный масштаб и убедитесь в том, что он очень удобен для работы с графиком. На теоретической прямой (проведенной на глаз наилучшим способом между экспериментальными точками) поставим две точки А и В с координатами и . Коэффициент наклона выразим через координаты этих точек по формуле

И, наконец, вычисляем ширину запрещенной зоны

Методом парных точек рассчитаем этот же коэффициент и его погрешность , для этого рассмотрим пары точек из таблицы 9:

1–4, 2–5, 3–6, 4–7, 5–8, 6–9 и 7–10.

Рассчитаем для этих пар точек коэффициенты наклона прямых, которые проходят через них

Среднее значение

Теперь рассчитаем ширину запрещенной зоны и ее погрешность .

Таким образом мы пришли к ответу

эВ

Самостоятельная работа.

Предлагаю вам проделать самостоятельные рассчеты, построения и обработку графиков в следующей виртуальной лабораторной работе под кодовым названием "Определить жесткость пружины". Но поднимем планку Эксперимента на более высокий уровень: надо не просто получить число, но сравнить два метода измерения жесткости пружины – статический и динамический.

Кратко рассмотрим эти методы.

Статический метод.

Если подвесить к закрепленной вертикальной пружине груз массой , то пружина растянется на согласно закону Гука, где – длина растянутой пружины, а – длина нерастянутой пружины (начальная длина).

Примечание: закон Гука говорит о пропорциональности силы упругости пружины абсолютному удлинению , т.е. , где – коэффициент упругости (или жесткость) пружины.

В состоянии равновесия сила тяжести груза уравновесится силой упругости и мы можем написать . Раскроем скобки и увидим зависимость длины пружины от массы груза

Если сделать замену переменных , то получится уравнение прямой . Не надо делать линеаризацию!

Итак, перед вами стоит задача обработать данные из таблицы 10, которые были занесены туда юным Экспериментатором (ему надоело бросать кирпичи с крыши девятиэтажного дома). Для опытов он запасся набором грузов, нашел десяток-другой разных пружин и, подвешивая грузы разных масс, замерял длину растянутой пружины с помощью миллиметровой линейки.

Задание 1.

1. Выберите номер пружины из таблицы 10.

2. Составьте свою таблицу из двух столбцов. В первый столбец занесите силу тяжести , где – масса груза (в кг), м/с 2 . Во второй столбец перенесите значения длин выбранной пружины (в метрах). Предусмотрите ячейки для средних значений и .

Таблица 10.


m, г	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см
	11,8	15,4	17,6	19,4	13,2	15,4	19,6	21,4	11,2
	12,3	16,5	18,3	21,5	14,3	16,5	21,3	22,4	11,7
	13,6	17,6	19,3	21,6	14,8	16,5	22,1	22,6	12,7
	14,1	18,2	21,5	22,1	15,6	17,3	21,5	23,7	13,1
	16,6	22,3	22,5	24,9	17,6	19,9	23,9	25,5	15,4
	21,6	25,6	27,4	29,5	21,4	23,8	27,7	29,9	18,3
	22,5	26,4	28,8	31,4	22,6	24,2	28,8	32,1	19,6
	23,3	27,9	29,4	31,7	23,8	25,6	29,5	31,7	22,1
	26,2	32,1	32,0	34,3	25,5	27,9	31,9	33,6	22,2
	27,8	31,4	33,7	35,3	27,6	29,1	33,2	35,3	23,1

Таблица 10 (продолжение)


m, г	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см
	15,1	17,1	19,3	11,4	15,3	19,0	10,8	15,2	19,1
	15,6	17,7	19,7	11,6	15,6	19,6	11,5	15,3	19,3
	16,7	18,5	21,2	12,0	16,1	20,4	12,3	16,3	20,2
	17,3	19,3	21,4	12,5	16,5	20,7	12,4	16,7	20,4
	19,4	21,1	23,5	14,9	18,9	22,4	14,2	18,0	21,8
	22,3	24,6	26,3	17,4	21,4	25,8	16,5	20,7	24,4
	23,5	25,6	27,0	18,2	22,3	26,1	17,2	21,6	25,7
	24,4	26,1	28,5	19,4	23,3	27,0	18,4	22,0	26,4
	26,4	28,5	31,1	20,3	24,5	28,6	19,3	23,5	27,3
	27,0	29,0	31,4	21,9	25,8	29,9	20,7	24,7	28,5

3. Возьмите лист миллиметровой бумаги, нанесите на ней оси координат. В соответствии с данными выберите оптимальный масштаб и постройте график зависимости силы тяжести от длины пружины , откладывая значения вдоль оси Х, а величины вдоль оси Y.

4. Составьте 7 пар точек: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Методом парных точек рассчитайте 7 коэффициентов наклона по формуле

И т.д.

5. Найдите среднее значение , что соответствует среднему значению коэффициента упругости пружины .

6. Найдите среднеквадратичное отклонение , доверительный интервал , (т.к. получено 7 значений ). Представьте результат в виде

Дополнительное задание (необязательное)

7. Рассчитайте начальную длину пружины. Для этого получите выражение для коэффициента из уравнения равновесия и подставьте в него средние значения

8. Рассчитайте доверительный интервал для коэффициента

9. Учитывая, что , рассчитайте начальную длину пружины и доверительный интервал для нее

Динамический метод

Подвесим груз массы к закрепленной вертикальной пружине жесткости и толкнем его легонько вниз. Начнутся гармонические колебания, период которых равен (см. , стр 76). Выразим массу груза через период колебаний