Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Рассмотрим функциональный ряд$\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x)=u_{1} (x)+u_{2} (x)+u_{3} (x)+...$, члены которого являются функциями одной независимой переменной х. Сумма первых n членов ряда $S_{n} (x)=u_{1} (x)+u_{2} (x)+...+u_{n} (x)$ является частичной суммой данного функционального ряда. Общий член $u_{n} (x)$ есть функция от х, определённая в некоторой области. Рассмотрим функциональный ряд в точке $x=x_{0} $. Если соответствующий числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x_{0})$сходится, т.е. существует предел частичных сумм этого ряда$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} (x_{0})=S(x_{0})$(где $S(x_{0})

Определение 2

Областью сходимости функционального ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x)$ называется множество всех таких значений х, при которых функциональный ряд сходится. Область сходимости, состоящая из всех точек сходимости, обозначается $D(x)$. Отметим, что $D(x)\subset $R.

Функциональный ряд сходится в области $D(x)$, если для любого $x\in D(x)$ он сходится как числовой ряд, при этом его сумма будет некоторой функцией $S(x)$. Это так называемая предельная функция последовательности $\left\{S{}_{n} (x)\right\}$: $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} (x)=S(x)$.

Как находить область сходимости функционального ряда $D(x)$? Можно использовать признак, аналогичный признаку Даламбера. Для ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x)$ составляем $u_{n+1} (x)$ и рассматриваем предел при фиксированном х: $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left|\frac{u_{n+1} (x)}{u_{n} (x)} \right|=\left|l(x)\right|$. Тогда $D(x)$ является решением неравенства $\left|l(x)\right|

Пример 1

Найти область сходимости ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{x^{n} }{n} \, $.

Решение. Обозначим $u_{n} (x)=\frac{x^{n} }{n} $, $u_{n+1} (x)=\frac{x^{n+1} }{n+1} $. Составим и вычислим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left|\frac{u_{n+1} (x)}{u_{n} (x)} \right|=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left|\frac{x^{n+1} \cdot n}{x^{n} \cdot (n+1)} \right|=\left|x\right|$, тогда область сходимости ряда определяется неравенством $\left|x\right|

если $x=1$, $u_{n} (1)=\frac{1}{n} $, то получается расходящийся ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n} \, $;

если $x=-1$, $u_{n} (-1)=\frac{(-1)^{n} }{n} $, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} }{n} \, \, $ сходится условно (по признаку Лейбница).

Таким образом, область сходимости $D(x)$ ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{x^{n} }{n} \, $имеет вид:$-1\le x

Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $, у которого интервал сходимости $(-R;\, R)$, тогда сумма степенного ряда $S(x)$ определена для всех $x\in (-R;R)$ и можно записать равенство $S(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $.

Свойство 1. Степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $ сходится абсолютно в любом промежутке $\, \, \subset \, (-R;R)$, лежащем в интервале сходимости, причём сумма степенного ряда $S(x)$ является непрерывной функцией при всех $x\in $.

Свойство 2. Если отрезок $\, \, \subset \, (-R;R)$, то степенной ряд можнопочленно интегрировать от a до b, т.е. если

$S(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} =a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +...$, то

$\int \limits _{a}^{b}S(x)\, {\rm d}x =\sum \limits _{n=0}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}a_{n} x^{n} \, {\rm d}x=\int \limits _{a}^{b}a_{0} {\rm d}x +\int \limits _{a}^{b}a_{1} x\, {\rm d}x +...+\int \limits _{a}^{b}a_{n} x^{n} \, {\rm d}x +...$.

При этом радиус сходимости не меняется:

где $a"_{n} =\frac{a_{n} }{n+1} $ - коэффициенты проинтегрированного ряда.

Свойство 3. Сумма степенного ряда есть функция, имеющая внутри интервала сходимости производные любого порядка. Производные от суммы степенного ряда будут суммами рядов, полученных из данного степенного ряда почленным дифференцированием соответствующее число раз, причём радиусы сходимости таких рядов будут те же, что и у исходного ряда.

Если $S(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +...+a_{n} x^{n} +...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\, a_{n} \cdot x^{n} $,то $S"(x)=a_{1} +2a_{2} x+...+na_{n} x^{n-1} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, n\cdot a_{n} \cdot x^{n-1} $,$S""(x)=2a_{2} +6a_{3} x+...+n(n-1)a_{n} x^{n-2} +...=\sum \limits _{n=2}^{\infty }\, n\cdot (n-1)\cdot a_{n} \cdot x^{n-2} $, ... , и т.д.

Примеры

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }n!\; x^{n} $ сходится только в точке $x=0$, во всех остальных точках ряд расходится. $V:\left\{0\right\}.$

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n} }{n!} $ сходится во всех точках оси, $V=R$.

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} x^{n} }{n} $ сходится в области $V=(-1,\, 1]$.

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+\cos x} $ расходится во всех точках оси $V=$$\emptyset$.

Элементы семантической структуры

Семантическая структура предложения.

(этот вопрос – на самостоятельное изучение!)

Этот тип анализа связывает смысловую организацию предложения с его формальной организацией. Это направление выдвинуло понятие семантической структуры предложения (прежде всего – Н.Ю. Шведова).

Структурная схема имеет свою семантику, которая создается формальными значениями компонентов, правилами их лексического наполнения и отношением компонентов друг к другу (в неоднокомпонентных схемах).

Языковое значение построенного по тому или другому образцу конкретного предложения формируется взаимным действием семантики этого образца и лексической семантики тех слов, которые заняли позиции его компонентов: Ученик пишет; ребенок радуется при общей семантике МСС («отношение между субъектом и его предикативным признаком – действием или процессуальным состоянием») в первом случает представлено значение «отношение между субъектом и его конкретным действием», во втором случае – «отношение между субъектом и его эмоциональным состоянием».

Функциональные ряды вида где (коэффициенты ряда) и (центр ряда) – постоянные, переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимости степенного ряда (с центром), то легко найдем и область сходимости исходного ряда Поэтому впредь, если не оговорено противное, будем рассматривать степенные ряды вида.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке то он сходится абсолютно и в интервале На любом отрезке указанный ряд сходится равномерно.

Доказательство. Поскольку ряд сходится, то его общий член поэтому последовательность ограничена, т.е. существует постоянная такая, что

Пусть теперь. Тогда будем иметь

Поскольку геометрическая прогрессия сходится (), то по первой теореме сравнения сходится и ряд Первая часть теоремы доказана.

Так как по доказанному ряд сходится и он мажорирует при (см.) ряд, то по теореме Вейерштрасса последний ряд сходится равномерно при Теорема полностью доказана.

Из теоремы Абеля вытекает, что мы можем расширять интервал до тех пор пока не настанет момент, когда в точке ряд будет расходиться (или такой момент вообще не настанет, т.е.). Тогда указанный интервал будет областью сходимости ряда Таким образом, любой степенной ряд имеет в качестве области сходимости не произвольное множество, а именно интервал. Дадим более точное определение интервала сходимости.

Определение 2. Число называется радиусом сходимости ряда, если внутри интервала этот ряд сходится абсолютно , а вне отрезка он расходится. При этом интервал называется интервалом сходимости ряда.

Заметим, что при указанный степенной ряд сходится только в точке а при он сходится при всех действительных Следующие примеры показывают, что эти случаи не исключаются: Примером ряда с ненулевым конечным радиусом сходимости может служить геометрическая прогрессия Заметим также, что на границе интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, ряд сходится условно в точке и расходится в точке

Из свойств равномерно сходящихся функциональных рядов (теоремы 1-3) легко выводятся следующие свойства степенных рядов.

Теорема 4. Пусть – радиус сходимости степенного ряда. Тогда имеют место следующие высказывания:

1. Сумма данного степенного ряда непрерывна в интервале сходимости;

2. Если – радиус сходимости степенного ряда, то ряд из производных будет иметь тот же радиус сходимости Отсюда вытекает, что степенной ряд можно дифференцировать сколько угодно раз (т.е. его сумма бесконечно дифференцируема в интервале сходимости), причем имеет место равенство

3. Степенной ряд можно интегрировать на любом отрезке лежащем внутри его интервала сходимости, т.е.

Доказательство , например, первого свойства будет таким. Пусть произвольная точка интервала сходимости . Окружим эту точку симметричным отрезком По теореме Абеля ряд сходится равномерно на отрезке, поэтому его сумма непрерывна на указанном отрезке, а значит, непрерывна, в частности, и в точке Свойство 1 доказано. Аналогично доказываются и остальные свойства нашей теоремы.

Теперь займемся вычислением радиуса сходимости степенного ряда по его коэффициентам.

Теорема 4. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:

а) существует (конечный или бесконечный) предел

б) существует (конечный или бесконечный) предел (при этом предполагается, существует номер такой, что).

Тогда число радиус сходимости ряда.

Доказательство проведем для случая а). Применим к модульному ряду признак Коши: По указанному признаку ряд сходится абсолютно, если число т.е. если Если же т.е. если то указанный ряд расходится. Следовательно, радиус сходимости ряда. Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема 1-4 практически без изменения формулировок переносятся и на степенные ряды вида (с небольшой поправкой, что в этом случае областью сходимости является интервал).

Пример 1. Найти область сходимости ряда (задача 10, Т.Р., Кузнецов Л.А.)

Решение. Применим аналог а) теоремы Коши: радиус сходимости данного ряда. Значит, ряд сходится абсолютно в области

Исследуем сходимость ряда на концах интервала. Имеем

расходится, т.к.

расходится, т.к.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является интервал.

Определение . Функциональный ряд вида

где … – действительные числа, называется степенным рядом.

Областью абсолютной сходимости ряда является интервал , где число R – радиус сходимости.

Пусть степенной ряд имеет радиус сходимости R > 0. Тогда справедливы следующие положения:

1. Сумма ряда является непрерывной функцией от x во всем интервале сходимости .

2. Ряд равномерно сходится на любом отрезке , где .

3. Ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку , лежащему внутри интервала .

4. Ряд можно почленно дифференцировать в любой точке сколь угодно раз.

Примечания:

1. При почленном интегрировании или дифференцировании степенного ряда получаются новые степенные ряды, при этом их радиус сходимости остается тот же.

2. Радиус сходимости степенного ряда можно найти по одной из формул:

, (10)

(11)

при условии, что указанные пределы существуют, – коэффициент ряда.

Задача 17.31

Найти сумму ряда .

Решение:

I способ . Найдем интервал сходимости ряда:

, , .

Упростим рациональную дробь , .

Тогда ряд может быть представлен разностью двух рядов:

Сходимость каждого из них остается та же (убедитесь в этом самостоятельно). Поэтому равенство имеет место. Обозначим суммы рядов соответственно и , а искомую сумму – через , .

Найдем сумму первого ряда:

Дифференцируя почленно ряд внутри интервала сходимости , получим: ; представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем .

При прогрессия сходится, , , и сумма равна: ; . Теперь, интегрируя на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости , получим:

.

Найдем сумму второго ряда:

Выполним преобразование:

Обозначим сумму ряда, стоящего в скобках, через и продифференцируем в интервале :

– это тоже геометрическая прогрессия.

, , ;

.

Итак, сумма исходного ряда равна:

или
для .

II способ . Не повторяя подробностей I способа, связанных с интервалом сходимости данного ряда, предлагаем II вариант решения задачи. Обозначим сумму ряда через : .

Умножим на данный ряд: . Продифференцируем дважды полученный ряд:

,

Представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем , тогда . Проинтегрируем на отрезке :

Интегрируя по частям, получим:

для .

Задача 18.31

Найти сумму ряда .

Решение:

Данный ряд сходится в интервале (убедитесь в этом самостоятельно). Перепишем его, представив в виде суммы трех рядов:

Это возможно, так как каждый из рядов имеет одну и ту же область сходимости – интервал . Обозначим суммы трех рядов соответственно через , , , а искомую сумму – через .

как сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем

Выполним преобразование:

Обозначим через сумму ряда .

Интегрируя почленно этот ряд на отрезке внутри интервала сходимости , получим:

Чтобы найти , надо продифференцировать дробь :

.

Следовательно, .

Теперь найдем :

Вынесем за скобки:

Обозначим через сумму ряда, стоящего в скобках. Тогда

В этих скобках стоит ряд, сумма которого найдена: . Получаем: .

Но , . Тогда сумма исходного ряда

Итак, для .

Ряд Тейлора

Определение . Ряд

называется рядом Тейлора по степеням для функции .

Функция может быть разложена в ряд Тейлора, если в рассматриваемой точке она имеет производные всех порядков и если остаточный член в точке при стремится к нулю. При ряд Тейлора называют иногда рядом Маклорена.

Теорема

Если функция разлагается в степенной ряд, то для неё этот ряд единственный и является рядом Тейлора.

Примечание . Находя последовательно производные функции и их значения в точке , можно записать ряд Тейлора. Но при этом исследование остаточного члена представляет большие трудности. Поэтому часто идут другим путем: пользуются готовыми разложениями основных элементарных функций в степенные ряды в комбинациях с правилами сложения, вычитания, умножения рядов и теоремами об их интегрировании и дифференцировании, как это, например, было показано в задачах 17.31 и 18.31.

Задача 19.31

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням .

Решение:

х 0 = 0. Воспользуемся примечанием. Так как

то функция упрощается, если применить метод неопределенных коэффициентов:

.

Сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем равна: . В нашем случае . – радиус сходимости этого ряда. Слагаемое ,

Складывая ряды, получим: или , где – общая область сходимости. целиком лежит в области сходимости ряда .

Чтобы вычислить данный интеграл с точностью до 0,001, надо взять в полученном ряде два его члена (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).

Таким образом,

Вопросы для самопроверки

Числовые ряды

1. Дайте определения сходящихся и расходящихся рядов.

2. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

3. Сформулируйте достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: сравнение рядов с положительными членами; признак Даламбера; радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.

4. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов.

5. Сформулируйте признак Лейбница.

Функциональные ряды

6. Дайте определение области сходимости функционального ряда.

7. Какой ряд называется равномерно сходящимся?

8. Сформулируйте признак Вейерштрасса.

9. Условия разложимости функции в ряд Тейлора.

10. Сформулируйте теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.

11. Изложите метод приближенного вычисления определенных интегралов с помощью рядов.

1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1989. – 736 с.

2. Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисления /Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1984. – 432 с.

3. Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1983. – 176 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. – М.: Наука, 1985. – 576 с.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – М.: Физматгиз, 1962. – 808 с.

6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966. – 460 с.

7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (ТР). – М.: Высшая школа, 1983. – 174 с.

8. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2 /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

9. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1986. – 544 с.

Учебное издание

Бородин Николай Павлович

Жернова Варвара Викторовна

Шуметова Людмила Викторовна

Шоркин Владимир Сергеевич

РЯДЫ

Учебно-методическое пособие

Редактор Т.Д. Васильева

Технический редактор Т.П. Прокудина

Орловский государственный технический университет

Лицензия ИД № 00670 от 05.01.2000

Подписано к печати 26.08.2004 г. Формат 60 x 84 1/16.

Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,9. Усл. печ. л. 2,4. Тираж 500 экз.

Заказ №____

Отпечатано с готового оригинал-макета

на полиграфической базе ОрелГТУ,

302030, г. Орел, ул. Московская, 65.

Рассмотрим функциональный ряд$\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x)=u_{1} (x)+u_{2} (x)+u_{3} (x)+...$, члены которого являются функциями одной независимой переменной х. Сумма первых n членов ряда $S_{n} (x)=u_{1} (x)+u_{2} (x)+...+u_{n} (x)$ является частичной суммой данного функционального ряда. Общий член $u_{n} (x)$ есть функция от х, определённая в некоторой области. Рассмотрим функциональный ряд в точке $x=x_{0} $. Если соответствующий числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x_{0})$сходится, т.е. существует предел частичных сумм этого ряда$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} (x_{0})=S(x_{0})$(где $S(x_{0})

Определение 2

Областью сходимости функционального ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x)$ называется множество всех таких значений х, при которых функциональный ряд сходится. Область сходимости, состоящая из всех точек сходимости, обозначается $D(x)$. Отметим, что $D(x)\subset $R.

Функциональный ряд сходится в области $D(x)$, если для любого $x\in D(x)$ он сходится как числовой ряд, при этом его сумма будет некоторой функцией $S(x)$. Это так называемая предельная функция последовательности $\left\{S{}_{n} (x)\right\}$: $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} (x)=S(x)$.

Как находить область сходимости функционального ряда $D(x)$? Можно использовать признак, аналогичный признаку Даламбера. Для ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} (x)$ составляем $u_{n+1} (x)$ и рассматриваем предел при фиксированном х: $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left|\frac{u_{n+1} (x)}{u_{n} (x)} \right|=\left|l(x)\right|$. Тогда $D(x)$ является решением неравенства $\left|l(x)\right|

Пример 1

Найти область сходимости ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{x^{n} }{n} \, $.

Решение. Обозначим $u_{n} (x)=\frac{x^{n} }{n} $, $u_{n+1} (x)=\frac{x^{n+1} }{n+1} $. Составим и вычислим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left|\frac{u_{n+1} (x)}{u_{n} (x)} \right|=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left|\frac{x^{n+1} \cdot n}{x^{n} \cdot (n+1)} \right|=\left|x\right|$, тогда область сходимости ряда определяется неравенством $\left|x\right|

если $x=1$, $u_{n} (1)=\frac{1}{n} $, то получается расходящийся ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n} \, $;

если $x=-1$, $u_{n} (-1)=\frac{(-1)^{n} }{n} $, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} }{n} \, \, $ сходится условно (по признаку Лейбница).

Таким образом, область сходимости $D(x)$ ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{x^{n} }{n} \, $имеет вид:$-1\le x

Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $, у которого интервал сходимости $(-R;\, R)$, тогда сумма степенного ряда $S(x)$ определена для всех $x\in (-R;R)$ и можно записать равенство $S(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $.

Свойство 1. Степенной ряд $\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} $ сходится абсолютно в любом промежутке $\, \, \subset \, (-R;R)$, лежащем в интервале сходимости, причём сумма степенного ряда $S(x)$ является непрерывной функцией при всех $x\in $.

Свойство 2. Если отрезок $\, \, \subset \, (-R;R)$, то степенной ряд можнопочленно интегрировать от a до b, т.е. если

$S(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n} x^{n} =a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +...$, то

$\int \limits _{a}^{b}S(x)\, {\rm d}x =\sum \limits _{n=0}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}a_{n} x^{n} \, {\rm d}x=\int \limits _{a}^{b}a_{0} {\rm d}x +\int \limits _{a}^{b}a_{1} x\, {\rm d}x +...+\int \limits _{a}^{b}a_{n} x^{n} \, {\rm d}x +...$.

При этом радиус сходимости не меняется:

где $a"_{n} =\frac{a_{n} }{n+1} $ - коэффициенты проинтегрированного ряда.

Свойство 3. Сумма степенного ряда есть функция, имеющая внутри интервала сходимости производные любого порядка. Производные от суммы степенного ряда будут суммами рядов, полученных из данного степенного ряда почленным дифференцированием соответствующее число раз, причём радиусы сходимости таких рядов будут те же, что и у исходного ряда.

Если $S(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +...+a_{n} x^{n} +...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\, a_{n} \cdot x^{n} $,то $S"(x)=a_{1} +2a_{2} x+...+na_{n} x^{n-1} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, n\cdot a_{n} \cdot x^{n-1} $,$S""(x)=2a_{2} +6a_{3} x+...+n(n-1)a_{n} x^{n-2} +...=\sum \limits _{n=2}^{\infty }\, n\cdot (n-1)\cdot a_{n} \cdot x^{n-2} $, ... , и т.д.

Примеры

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }n!\; x^{n} $ сходится только в точке $x=0$, во всех остальных точках ряд расходится. $V:\left\{0\right\}.$

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n} }{n!} $ сходится во всех точках оси, $V=R$.

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} x^{n} }{n} $ сходится в области $V=(-1,\, 1]$.

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+\cos x} $ расходится во всех точках оси $V=$$\emptyset$.