Этапы решения задачи на построение
Решение задач на построение состоит не только в том, чтобы проделать соответствующие построения, но и описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений.
Этапы решения задачи на построение
Анализ
На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру.Построение
1. перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;
2. непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.
Доказательство
После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи.Основные задачи на построение
Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b, с.
Построение:
1) Проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку А.2) Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром А и радиусом а. Пусть В — точка ее пересечения с прямой.
3) Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b — окружность из центра А. Пусть С — точка пересечения этих окружностей.
Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.
Задача 2. Построить угол, равный данному.
Построение:
1) Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла.2) Проведем луч с началом в точке О.
3) Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О. Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим М.
4) Опишем окружность с центром М и радиусом ВС. Точка К пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла.
∠ВАС=∠КОМ т.к.
Δ ABC = Δ ОКМ (третий признак равенства треугольников).
Задача 3. Построить биссектрису данного угла А.
Построение:
1) Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла.
2) Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от А.
3) Проведем луч AD. Луч AD делит угол А пополам.
∠ВАD=∠DAC т.к. Δ ABD = Δ ACD (третий признак равенства треугольников).
Задача 4. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ.
Построение:
1) Из точки А проводим окружность, радиус которой больше половины отрезка АВ.
2) Из точки В проводим окружность того же радиуса, что и из точки А.
3) Окружности пересекутся между собой в точках С и D. Прямая CD - искомый перпендикуляр.
CD перпендикулярна АВ и АО=ОВ, т.к. из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В, а следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
Задача 5. Разделить данный отрезок пополам.
Построение проводится также как и в задаче 4.Задача 6. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а.
1 случай: данная точка О лежит на данной прямой а.
Построение:
1) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках А и В.2) Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. С и D — точки их пересечения.
3) Проведем прямую CO. Получаем ОС ⊥ AB.
ОС ⊥ AB, т.к. Δ АСВ — равнобедренный (СА = СВ). Отрезок СО - медиана этого треугольника (АО=ОВ), а следовательно, и высота.
2 случай: данная точка О не лежит на данной прямой а.
1) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую а в точках А и В.
2) Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Точки О и С — точки их пересечения.
3) Проводим прямую ОС. ОС ⊥ AB.
ОС ⊥ AB, т.к.
точки О и С равноудалены от концов отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
УПРАЖНЕНИЯ
1. а) При помощи циркуля и линейки разделите отрезок на 4 равные отрезка.б) При помощи циркуля и линейки разделите угол на 4 равных угла.
Решение:
а) Дано: отрезок АВ
1. Из точки А проведем окружность, радиусом, большим 0,5АВ.
2. Из точки В проведем окружность с тем же радиусом.
3. Через точки пересечения окружностей проведем прямую, точка О - точка пересечения этой прямой и отрезка АВ. АО=ОВ.
4. Из точки А проведем окружность радиусом, большим 0,5АО.
5. Из точки О проведем окружность с тем же радиусом.
6. Через точки пересечения окружностей проведем прямую, точка О1 - точка пересечения этой прямой и отрезка АО. АО1=О1О.
7. Аналогично разделим отрезок ОВ на два равных: ОО2=О2В.
Доказательство:
Отрезок АВ разделен на четыре равных отрезка, т.к. АО=ОВ и АО1=О1О, и ОО2=О2В.
2. а) По катету и прилежащему к нему острому углу при помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник.
б) По гипотенузе и острому углу при помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник.
Решение:
а)
2. Из точки В построим прямую, перпендикулярную прямой.
3. Из точки В построим угол, равный углу О.
4. Сторона угла пересекает построенный перпендикуляр в точке С.
АВС - искомый треугольник.
Доказательство:
В треугольнике АВС угол В - прямой, сторона АВ=а, угол САВ равен углу О. Искомый и построенный треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
3. а) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне. Заданные стороны возьмите произвольно.
б)
При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к этому основанию.
Решение:
а) Т.к. в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то построение треугольника сводится к построению по трем сторонам.
1. На прямой отметим точку А и от точки А отложим отрезок, равный отрезку а, отметим точку В.
2. Раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра В, и раствором циркуля, равным b — окружность из центра А. Пусть С — точка пересечения этих окружностей.
Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, b, т.е. треугольник АВС - равнобедренный и равен искомому по трем сторонам.
б) Постройте прямоугольник по двум сторонам. Заданные отрезки возьмите произвольно.
Решение:
а) Если известны диагональ и сторона прямоугольника, то можно построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
1. На прямой m отметим точку А и отложим отрезок AD, равный отрезку а.
2. Из точки А проведем окружность радиусом, равным отрезку d.
3. Из точки D построим прямую l, перпендикулярную прямой m.
4. Прямая l и окружность, построенная из точки А пересекаются в точке С.
5. Из точки D проведем окружность, радиусом d.
6. Из точки А проведем окружность радиусом СD.
7. Окружности пересекаются в точке В.
ABCD - прямоугольник.
Доказательство:
АВСD - параллелограмм (из равенства треугольников ABD и АCD: АВ=CD и AB||CD).
А т.к диагонали параллелограмма равны: АС=BD по построению, то он является прямоугольником.
5. а) Разделите данный отрезок на три равные отрезка.
б)
Разделите данный отрезок на пять равных отрезков.
Решение:
а)
1. Из точки А проведем луч и отметим на нем с помощью циркуля три равных отрезка: АА1, А1А2, А2А3.
2. Соединим точки А3 и В.
3. На отрезке А3В возьмет произвольно точку О и построим через эту точку перпендикуляр m к прямой А3В.
4. Из точки А2 проведем прямую, перпендикулярную прямой m. В2 - точка пересечения этой прямой и отрезка АВ.
5. Из точки А1 проведем прямую, перпендикулярную прямой m. В1 - точка пересечения этой прямой и отрезка АВ.
АВ1=В1В2=В2В.
Доказательство:
Т.к. перпендикуляры к одной прямой параллельны между собой, то по обобщенной теореме Фалеса АВ1=В1В2=В2В.
6. а) При помощи циркуля и линейки провести касательную к окружности с заданным центром из точки, которая лежит не на окружности.
б) При помощи циркуля и линейки постройте центр заданной окружности.
Решение:
а) Т.к. касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то нам необходимо построить прямоугольный треугольник, зная гипотенузу и то, что прямой угол лежит на окружности. Если около этого треугольника описать окружность, то ее радиус равен половине гипотенузы.
Пусть О - центр окружности, А - данная точка.
1. Проведем отрезок ОА.
2. Найдем его середину К: ОК=КА.
3. Из точки К построим окружность радиусом ОК.
4. Окружности с центрами О и К пересекаются в точке В.
5. Проведем прямую АВ.
Прямая АВ является касательной к окружности.
Доказательство:
Треугольник ОАВ - прямоугольный (гипотенуза равна диаметру) по построению, а т.к. ОВ - радиус и сторона АВ перпендикулярна стороне АВ, то АВ - касательная.
7. а) При помощи циркуля и линейки постройте равнобедренную трапецию по двум основаниям и и диагонали.
б) При помощи циркуля и линейки п остройте равнобедренную трапецию по двум основаниям и боковой стороне.
Решение:
а)
1. На прямой m отложим отрезок AD, равный b.
2. От точки D на прямой m отложим отрезок DK, равный а.
3. Из точек А и К как центров проведем окружности радиуса d, отметим точку пересечения этих окружностей С.
2. От точки А на прямой m отложим отрезок АМ, равный а.
3. Из точек M и D как центров проведем окружности радиуса d, отметим точку пересечения этих окружностей B.
ABCD - равнобедренная трапеция.
Доказательство:
ВСKD - параллелограмм по построению, следовательно, ВС=DK и BC||DK.
Треугольники MBA и KCD равны по построению, следовательно AB=CD.
8. а) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным проекциям катетов на гипотенузу.
б) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным катету и его проекции на гипотенузу.
Решение:
а) Искомый треугольник - прямоугольный, т.к. известны проекции катетов a и b на гипотенузу, то гипотенуза равна a+b. Третья вершина треугольника лежит на описанной около этого треугольника окружности (R=(a+b)/2) и высоте, проведенной из точки пересечения проекций к гипотенузе.
1. На прямой m отложим отрезок АК, равный отрезку а.
2. От точки К на прямой m отложим отрезок КВ, равный отрезку b.
3. Найдем середину О отрезка АВ.
4. Проведем окружность с центром в точке О и радиусом АО.
4. Из точки К построим прямую, перпендикулярную прямой m/
АСВ - искомый прямоугольный треугольник.
Доказательство:
Треугольник АСВ - прямоугольный, т.к. Точка С лежит на окружности, диаметром которой является гипотенуза треугольника. Также точка С лежит на высоте проведенной к гипотенузе, причем проекции равны отрезкам a и b по построению.
9. а) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным гипотенузе и острому углу, синус которого равен 4/5.
б) При помощи циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник по заданным высоте, опущенной на гипотенузу и острому углу, синус которого равен 4/5.
Решение:
а) Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, следовательно, если разбить гипотенузу на пять равных отрезков, то катет равен четырем из них. Найдем второй катет: пусть первый катет - 4х, гипотенуза - 5х, то по теореме Пифагора прилежащий катет равен 3х.
Построение сводится к построению треугольника по трем сторонам.
1. На прямой m отложим отрезок АС, равный а.
2. Проведем произвольный луч из точки А, отметим на нем пять равных отрезков: АА1, А1А2, А2А3, А3А4, А4А5. Соединим точки А5 и С, проведем параллельные прямые к прямой А5С через точки А3 и А4, они пересекут отрезок АС в точках С3 и С4.
3. Из точки А проведем окружность радиусом АС3, из точки С проведем окружность радиусом АС4.
4. Точка В - точка пересечения окружностей.
АВС - искомый прямоугольный треугольник.
Доказательство:
Построенный треугольник равен искомому по трем сторонам.
Решение задачи на построение обычно включает четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый из них в отдельности.
1. Анализ. На этом этапе осуществляется поиск решения задачи. Его конечная цель - установление последовательности, алгоритма, состоящего из основных или элементарных построений, приводящих к построению искомой фигуры. Как и решение геометрической задачи на вычисление и доказательство, поиск такого алгоритма сопровождается чертежом, иллюстрацией, помогающими установить связи и зависимости между данными и искомыми фигурами.
2. Построение. Этот этап решения представляет собой непосредственную реализацию на чертеже найденного алгоритма с помощью выбранных инструментов построения.
3. Доказательство. Его цель - доказательство того, что построенная на предыдущем этапе фигура действительно искомая, т.е. удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.
4. Исследование. Этот этап решения состоит в выяснении того, всегда ли задача имеет решение; если не всегда, то при каких конкретных данных и сколько именно решений она имеет. При этом разными считаются решения, дающие неравные фигуры (или если и равные, то различно расположенные относительно фигуры, с которой связывалось построение).
Проиллюстрируем эти этапы на конкретном примере.
Задача. Построить параллелограмм по основанию а, высоте h и одной из диагоналей d.
Согласно условию, данными являются отрезки, представляющие основание, высоту и диагональ параллелограмма (рис. 155). Все эти фигуры считаются уже построенными, и поэтому объяснение не требуется.
1.Анализ. Выполним чертеж-иллюстрацию, считая, что искомый параллелограмм АВСD уже построен (рис. 156). Отмечаем на чертеже данные элементы: ВС = а, ВН = h a
Устанавливаем связи и зависимости между элементами параллелограмма. Отмечаем, что противоположные стороны АD
и ВС
лежат на 
параллельных прямых расстояние между которыми равно высоте к.
Поэтому можно построить треугольник АВD
и затем достроить его до параллелограмма АВСD.
Получим следующий алгоритм построения искомой фигуры:
1) Строим параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h друг от друга.
2) На прямой МK откладываем отрезок АD = а.
3) Из точки D, как из центра, радиусом d проводим окружность и находим точку В ее пересечения с прямой РQ.
4) На луче ВQ откладываем отрезок ВС = а.
5) Строим отрезки АВ и СD.
Доказательство. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Его противоположные стороны АD и ВС параллельны, так как лежат на параллельных прямых МК и РQ. Эти же стороны равны по построению: АD = ВС = а. Значит, АВСD - параллелограмм, у которого АD = а, ВD = d, а высота равна h а , так как расстояние между параллельными прямыми МK и Q равно h a (по построению). Следовательно, АВСD - искомый параллелограмм.
4.Исследование. Проверим возможность построения параллелограмма АВСD непосредственно по шагам алгоритма построения.
1) Параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h а всегда можно построить, и притом единственным образом.
2) Построить отрезок АD - а на прямой МK также всегда можно, и притом единственным образом.
3) Окружность, проведенная из центра D радиусом А, будет иметь общие точки с прямой РQ только тогда, когда d > h а. Если d = h а, то получится одна общая точка В, если же d > h а, то две общие точки В и В".
4,5) Эти построения всегда однозначно выполнимы. Таким образом, решение возможно, если d ³ h а. Если d ³ h а, то задача имеет единственное решение, если же d > h а, то два решения.
Упражнения
1. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по известным трем сторонам. Всегда ли такое построение возможно?
2. Даны отрезок p , два угла . Всегда ли можно построить треугольник, у которого сторона равна р, а прилежащие к ней углы равны .
3. Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, у которого известны его стороны а и b.
4. Пользуясь только циркулем и линейкой, постройте:
а) прямоугольник по диагонали и одной из сторон;
б) квадрат со стороной р;
в) квадрат, диагональ которого задана.
5. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех данных точках, не лежащих на одной прямой?
6. Постройте параллелограмм, если известны его диагонали и угол между ними.
7. Сколько параллелограммов можно построить, если известны две его соседние стороны? Ответ обоснуйте.
8. С помощью циркуля и линейки постройте ромб по:
б)известной стороне и одному из углов при его вершине;
в)углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла;
г)стороне и диагонали.
9. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
10 .По каким данным можно построить равнобедренный треугольник? Во всех возможных случаях выполните построения.
«Построение многоугольников» - Деление на четыре равные части. Деление на 7 равных частей. Великий и непредсказуемый Пифагор. Деление на 6 равных частей. Карл Гаусс, учащийся первого курса Геттингенского университета, решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более двух с лишним тысяч лет. Интегрированный урок: геометрия и черчение.
«Площадь параллелограмма» - Геометрия 8 класс. Площадь. Построить высоты параллелограмма. Свойства площадей. Найти площадь параллелограмма. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, составляют угол 450. Составить формулы площади параллелограмма. Найдите остальные углы. Что вы замечаете? Найдите площадь параллелограмма.
«Построение графиков» - По рисунку «считываем» ответ. Для I четверти система примет вид: Решение. Сколько решений имеет уравнение. Построить на плоскости множество точек заданных уравнением: 4 решения, если. Цель элективного курса. Содержание. Построить графики функций, сжатием вдоль оси ординат. Построим граничные линии. Метод областей при решении задач с параметрами.
«Четырехугольники» - Проверка теоретических знаний заполните таблицу. Прямоугольник. Защита презентаций. учитель математики Попова Галина Анатольевна. Трапеция. Содержание. Квадрат. Проверочный тест. Выбрать капитана. Кроссворд. Четырехугольники: Решите тест, ответы запишите в таблицу. А. Нивен. Установите взаимосвязь по свойствам между данными четырехугольниками:
«Признаки параллелограмма» - Признаки параллелограмма. 3 признак параллелограмма. Является ли четырёхугольник параллелограммом? 1 признак параллелограмма. 2 признак параллелограмма.
«Геометрия параллелограмм 8 класс» - Дано: АВСD - параллелограмм. Продолжите предложение: При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей… Доказательство: рассмотрим? АВС и?ADC, Накрест лежащие углы равны. Построение параллелограмма. Сумма односторонних углов. Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Этапы решения задачи на построение
Решение задачи на построение обычно включает четыре этапа:
анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый из них в отдельности.
1. Анализ. На этом этапе осуществляется поиск решения задачи. Его конечная цель - установление последовательности, алгоритма, состоящего из основных или элементарных построений, приводящих к построению искомой фигуры. Как и решение геометрической задачи на вычисление и доказательство, поиск такого алгоритма сопровождается чертежом, иллюстрацией, помогающими установить связи и зависимости между данными и искомыми фигурами.
2. Построение. Этот этап решения представляет собой непосредственную реализацию на чертеже найденного алгоритма с помощью выбранных инструментов построения.
3. Доказательство. Его цель - доказательство того, что построенная на предыдущем этапе фигура действительно искомая, т.е. удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.
4. Исследование. Этот этап решения состоит в выяснении того, всегда ли задача имеет решение; если не всегда, то при каких конкретных данных и сколько именно решений она имеет. При этом разными считаются решения, дающие неравные фигуры (или если и равные, то различно расположенные относительно фигуры, с которой связывалось построение).
Проиллюстрируем эти этапы на конкретном примере.
Задача. Построить параллелограмм по основанию а, высоте h и одной из диагоналей d .
Согласно условию, данными являются отрезки, представляющие основание, высоту и диагональ параллелограмма (рис.). Все эти фигуры считаются уже построенными, и поэтому объяснение не требуется.
1. Анализ . Выполним чертеж-иллюстрацию, считая, что искомый параллелограмм АВСD уже построен (рис.). Отмечаем на чертеже данные элементы: ВС = а , ВН = h, DВ=d.
Устанавливаем связи и зависимости между элементами параллелограмма. Отмечаем, что противоположные стороны АВ и DС лежат на параллельных прямых, расстояние между которыми равно высоте h . Поэтому можно построить треугольник АВD и затем достроить его до параллелограмма АВСD. Получим следующий алгоритм построения искомой фигуры:
1) Строим параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h друг от друга.
2) На прямой МК откладываем отрезок АD = а.
3) Из точки D, как из центра, радиусом d проводим окружность и находим точку В ее пересечения с прямой РQ.
4) На луче ВQ откладываем отрезок ВС = а.
5) Строим отрезки АВ и СD.
2. Построение . Все этапы алгоритма построения выполняем циркулем и линейкой непосредственно на чертеже с использованием заданных элементов (рис. 157).
3. Доказательство. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Его противоположные стороны АD и ВС параллельны, так как лежат на параллельных прямых МК и РQ. Эти же стороны равны по построению:
АD = ВС = а. Значит, АВСD - параллелограмм, у которого АD = а, ВD = d , а высота равна h, так как расстояние между параллельными прямыми МК и РQ равно h (по построению). Следовательно, АВСD - искомый параллелограмм.
4. Исследование. Проверим возможность построения параллелограмма АВСD непосредственно по шагам алгоритма построения.
1) Параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h всегда можно построить, и притом единственным образом.
2) Построить отрезок АD = а на прямой МК также всегда можно, и притом единственным образом.
3) Окружность, проведенная из центра D радиусом d, будет иметь общие точки с прямой РQ только тогда, когда d ≥ h . Если d = h , то получится одна общая точка В, если же d > h, то две общие точки В и В".
5) Эти построения всегда однозначно выполнимы. Таким образом, решение возможно, если d ≥ h . Если d = h , то задача имеет единственное решение, если же d > h , то два решения.
Упражнения
1. Постройте с помощью циркуля и линейки треугольник по известным трем сторонам. Всегда ли такое построение возможно?
2. Даны отрезок р, два угла α и β. Всегда ли можно построить треугольник, у которого сторона равна р, а прилежащие к ней углы равны α и β.
3. Постройте с помощью циркуля и линейки прямоугольник, у которого известны его стороны а и в.
4. Пользуясь только циркулем и линейкой, постройте:
а) прямоугольник по диагонали и одной из сторон;
б) квадрат со стороной р;
в) квадрат, диагональ которого задана.
5. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех данных точках, не лежащих на одной прямой?
6. Постройте параллелограмм, если известны его диагонали и угол между ними.
7. Сколько параллелограммов можно построить, если известны две его соседние стороны? Ответ обоснуйте.
8. С помощью циркуля и линейки постройте ромб по:
а) известным диагоналям;
б) известной стороне и одному из углов при его вершине;
в) углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла;
г) стороне и диагонали.
9. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
10. По каким данным можно построить равнобедренный треугольник? Во всех возможных случаях выполните построения.
3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
Пусть на плоскости (в пространстве) задана фигура F. Поставим в соответствие каждой точке данной фигуры F единственную точку плоскости (пространства). Получим новую фигуру F". В этом случае говорят, что фигура F" получена преобразованием фигуры F. При этом фигура F" является образом фигуры F для данного преобразования, а фигуры F – прообразом фигуры F". Существует несколько видов преобразований: симметрия относительно точки (центральная симметрия) , симметрия относительно прямой (осевая симметрия), симметрия относительно плоскости, гомотетия и др.
Симметрия относительно точки. Пусть О – фиксированная точка и Х – произвольная точка. Точка Х " называется симметричной точке Х относительно точки О, если точки Х, О, Х" лежат на одной прямой и ОХ = О Х ". Точка, симметричная точке Х ", есть точка Х. Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х", симметричную Х относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О.
Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то фигура называется центрально-симметричной относительно точки О, а точка О – ее центром симметрии. Примеры – параллелограмм, окружность, куб, сфера, параллелепипед.
Пусть m – фиксированная прямая и Х – произвольная точка. Точка Х " называется симметричной точке Х относительно прямой m, если прямая ХХ" перпендикулярна прямой m и ОХ = О Х ", где точка О – точка пересечения прямых ХХ" и m. Точка, симметричная точке Х, лежащей на прямой m, есть сама точка Х. Точка, симметричная точке Х ", есть точка Х. Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х", симметричную Х относительно данной прямой m, называется преобразованием симметрии относительно прямой m. Прямая m называется осью симметрии.
Гомотетия . Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведем через произвольную точку Х фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ", равный k∙ОХ, где k – положительное число. Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка Х переходит в такую точку Х", что ОХ = k∙ОХ", называется гомотетией относительно центра О, число k называется коэффициентом гомотетии. Фигуры F и F" называются гомотетичными.
Движение – преобразование фигуры F в фигуру F", при котором сохраняется расстояние между точками, т.е. движение переводит любые две точки Х и Y фигуры F в точки Х " и Y" фигуры F" так, что ХY = Х "Y".
Преобразование симметрии относительно точки является движением (центральная симметрия) .
Преобразование симметрии относительно прямой является движением(осевая симметрия) .
Преобразование симметрии относительно плоскости является движением.
Основные выводы
Рассмотрев материал данного параграфа, выяснили, что построение геометрических фигур с заданными свойствами при помощи циркуля и линейки осуществляется по определенным правилам. Прежде всего, надо знать, какие построения можно выполнять с помощью линейки, не имеющей делений, и с помощью циркуля. Эти построения называют основными. Кроме того, надо уметь решать элементарные задачи на построение, т.е. уметь строить: отрезок, равный данному; угол, равный данному; середину отрезка; биссектрису угла; прямую, перпендикулярную данной прямой, и проходящую через данную точку.
Процесс решения более сложных задач на построение разбивается на 4 этапа и основывается на умении решать элементарные задачи.
Построить прямую, касающуюся этой окружности в данной точке.
466. Построить треугольник по трем его медианам.
467. Построить треугольник по двум данным углам при основании и данному его периметру.
468. Построить треугольник по основанию с, медиане ш„высоте й,.
469. Построить равнобедренный треугольник по высоте (й,), опущенной на основание, и высоте (й,), опущенной на боковую сторону.
470. Построить треугольник АВС, если известны угол С, высота й, и периметр-его 2р.
471. Построить треугольник по углу А, высоте й, и биссектрисе того же угла 1,.
472. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и радиусу вписанного круга.
473. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по сумме гипотенузы с высотой, опущенной на нее.
474. Построить параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углу между ними.
475. Построить параллелограмм по данному его углу и диагоналям (И, и И,).
476. Построить параллелограмм по основанию, высоте и тупому углу между диагоналями, обращенному к основанию.
477. Построить параллелограмм по его двум" высотам (й~ и й,) и острому углу.
478. Построить ромб по углу, образованному диагональю со стороной, и по сумме (ш) его диагоналей.
479. Построить трапецию, если даны: большее основание (а), средняя линия (Ь), углы а и б при меньшем основанни.
480. Из данного треугольника прямыми, параллельными большей стороне, вырезать трапецию та«, чтобы средняя линия ее равнялась отрезку и, а высота - отрезку Ь,
481. Построить квадрат по разности (т) между диагональю и стороной.
1П. Задачи на доказательство
482. Дан ромб. Построены биссектрисы его внешних углов до взаимного пересечения. Определить вид образовавшегося четырехугольника и доказать, что его периметр вдвое больше суммы диагоналей ромба.
483. Доказать, что если биссектрисы углов при основа
нии равностороннего треугольника продолжить до взаим
ного пересечения и из середины полученных отрезков восставить к ним перпендикуляры, то основание треугольника рассечется этими перпендикулярами на 3 равные части.
484. В треугольнике АВС сторона ВС продолжена эа точку С. Проведены биссектрисы углов АСР и АВС. Доказать, что угол Е, образовавшийся при пересечении биссектрис, равен половине угла А.
485. В треугольнике АВС на большей стороне АВ отложен отрезок ВР = ВС. Доказать, что СР разделит угол С на два угла, из которых один равен полусумме углов ВАС и АСВ, а другой - их полуразности.
486. Доказать, что сумма расстояний от какой-нибудь точки М, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. д 487. На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что разность расстояний этой точки до боковых сторон равна высоте треугольника, опущенной на боковую сторону.
488. В параллелограмме АВСР точка М - середина ВС, а У - середина СР. Доказать, что прямые АМ и АУ делят диагональ ВР на 3 равные части.
489. Доказать, что биссектрисы внешних углов параллелограмма при пересечейии образуют прямоугольник, диагональ которого равна сумме двух соседних сторон параллелограмма.
490. Доказать, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон параллелограмма.
491.. Диагонали параллелограмма АВСР пересекаются в точке О. Доказать, что точки пересечения биссектрис каждого иэ треугольников АВО, ВСО, СРО, РАО служат вершинами ромба.
