Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Рис. 4.17 Рис. 4.18

Если плоскость задана пересекающимися прямыми (рис. 4.17), то решение задачи сводится к проведению через точку А пары прямых, параллельных заданным.

Если плоскость задана следами (4.18), то построение может быть выполнено по следующему алгоритму:

1. Через точку А проводим, например, горизонталь искомой плоскости Q, параллельную горизонталям заданной плоскости Р.

2. Через эту горизонталь проводим искомую плоскость параллельно заданной. Фронтальный след Q V проводим через фронтальную проекцию п" фронтального следа горизонтали параллельно следу P V ; горизонтальный след Q H - через точку Q Х параллельно следу Р Н .

Задача 2. Через точку А (а, а" ) провести плоскость Q , перпендикулярную к прямой (рис. 4.19).

а) Требуется показать искомую плоскость пересекающимися прямыми. В этом случае наиболее просто построить плоскость Q главными линиями — горизонталью и фронталью, проходящими через точку А (а, а") .

Рис. 4.19 Рис. 4.20

б) Требуется показать искомую плоскость следами. Построение может быть выполнено по следующему алгоритму. Через точку А проводим горизонталь плоскости Q перпендикулярно к отрезку ВС. Затем через эту горизонталь проводим искомую плоскость перпендикулярно к прямой ВС. Фронтальный след Q V проводим через фронтальную проекцию п" фронтального следа горизонтали перпендикулярно b"с′ ; горизонтальный след Q H — через точку Q Х перпендикулярно к bс.

Задача 3 . Через точку А (а, а") провести плоскость Q, перпендикулярную к заданной плоскости Р и проходящую через точку схода следов Q Х на оси X (рис. 4.20).

Известно, что плоскость Q будет перпендикулярна к заданной плоскости Р, если она проходит через перпендикуляр к ней или перпендикулярно к линии, лежащей в плоскости Р.

На рис. 4.20 решение задачи выполнено по плану, использующему первое из этих условий:

1. Через заданную точку А проведен перпендикуляр к плоскости Р (am+P H , a′m′+P V ).

2. Через этот перпендикуляр и заданную точку Q X проведена искомая плоскость Q . При этом след Q Н проведен через горизонтальную проекцию т горизонтального следа перпендикуляра и точку Q X ; след Q V — через фронтальную проекцию п′ фронтального следа перпендикуляра и точку Q X .

Искомую плоскость можно было бы построить и пересекающимися прямыми, если через точку Q X провести какую-либо прямую, имеющую общую точку с перпендикуляром.

Задача 4. Через точку А (а, а" )провести прямую, перпендикулярную к прямой ВС.

Искомый перпендикуляр лежит в плоскости, перпендикулярной к заданной прямой ВС.

Поэтому задача может быть решена по следующему алгоритму:

1. Через точку А проводим плоскость Q , перпендикулярную к прямой ВС.

2. Определяем точку К (k, k") пересечения прямой ВС с плоскостью Q при помощи горизонтально-проецирующей плоскости S .

3. Соединяем точки А и К .

На эпюре, решая задачу по этому алгоритму, можно плоскость показать двумя пересекающимися главными линиями (h×f ) (рис. 4.21) или следами (рис. 4.22).

Рис. 4.21 Рис. 4.22

Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей ABC и DEF .

Эту задачу можно решать с использованием задачи на пересечение прямой с плоскостью. На рис. 4.23 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF . Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DF и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника ABC .

Например, чтобы найти точку М пересечения стороны DF с плоскостью ABC , через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р ABC по прямой I II df и 12 m искомой точки М . Затем находят фронтальную проекцию m " точки М . Точку N пересечения прямой EF с плоскостью ABC находят, используя фронтально-проецирующую плоскость Q , которая пересекается с плоскостью треугольника ABC по прямой III IV . На пересечении горизонтальных проекций ef и 34 получают горизонтальную проекцию n искомой точки N .

Соединив попарно точки m " и n ", m и n , получают проекции линии пересечения MN плоскостей ABC и DEF .

Видимость частей отрезков плоскостей устанавливается способом конкурирующих точек.

Построение плоскости р, перпендикулярной к плоскости а, может быть произведено двумя путями: I) плоскость р проводится через прямую, перпендикулярную к плоскости а; 2) плоскость р проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в плоскости а или параллельной этой плоскости. Для получения единственного решения требуются дополнительные условия. На рисунке 148 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником CDE. Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую АВ. Следовательно, искомая плоскость определяется прямой АВ и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра к плоскости CDE в ней взяты фронтам CN и горизонталь СМ: если В"F" ± C"N" и В"Г 1 СМ\ то BFX плоскости CDF. Образованная пересекающимися прямыми АВ и BF плоскость перпендикулярна к плоскости CDE, гак как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. Может ли перпендикулярность одноименных следов плоскостей служить признаком перпендикулярности самих плоскостей? К очевидным случаям, когда это так, относится также взаимная перпендикулярность двух горизонтально-проецирующих плоскостей, у которых горизонтальные следы взаимно перпендикулярны. Также это имеет место при взаимной перпендикулярности фронтальных следов фронтально-проецирующих плоскостей; эти плоскости взаимно перпендикулярны. Рассмотрим (рисунок 149) горизонтально-проецирующую плоскость р, перпендикулярную к плоскости общего положения а. Если плоскость р перпендикулярна к плоскости я, и к плоскости а, то р 1как к линии пересечения плоскости а и плоскости я,. Отсюда h"0a 1р и, следовательно, h"0u 1 р", как к одной из прямых в плоскости р. Итак, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения и горизонтально-проецирующей соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей. Очевидно, перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей. Но если одноименные следы двух гыоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то сами плоскости не перпендикулярны между собой, так как здссь не соблюдается ни одно из условий, изложенных в начале этою параграфа. Вопросы для самопроверки 1. Как задается плоскость ма чертеже? 2. Что такое след плоскости на плоскости проекций? 3. Где располагаются фронтальная проекция горизонтального следа и горизонтальная проекция фронтального следа плоскости? Л. Как определяется на чертеже, принадлежит ли прямая данной плоскости? 5. Как построить на чертеже точку, принадлежащую данной плоскости? 6. Как располагается в системе nt, я? и 713 плоскость общего положения? 7. Что такое фронтально-проецирующая, горизонтально-проецирующая и про-фильно-проецирующая плоскости? 8. Как изображается на чертеже фрошально-проецирующая плоскость, проведенная через прямую общего положения? 9. Какое взаимное положение могут занимать две плоскости? 10. Каков признак параллельности двух плоскостей? 11. Как взаимно располагаются одноименные следы двух параллельных между собой плоскостей? 12. Как установить взаимное положение прямой и плоскости? 13. В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух плоскостей? 14. В чем заключается в общем случае способ построения точки пересечения прямой с плоскостью? 15. Как определить «видимость» при пересечении прямой с плоскостью? 16. Чем определяется взаимная параллельность двук плоскостей? 17. Как провести через точку плоскость, параллельную заданной плоскости? 18. Как располагается проекция перпендикуляра к плоскости? 19. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?

В рамках этой темы необходимо уметь:

• 1. Задавать плоскость, перпендикулярную к прямой.
• 2. Задавать прямую, перпендикулярную к плоскости.

При решении этих взаимосвязанных задач важно понимать, как должны быть направлены проекции перпендикуляра по отношению к проекциям плоскости. Для уяснения этого решим задачи А и Б.

Задача А

Условие. Через точку А, взятую на прямой гп, провести плоскость, перпендикулярную к этой прямой.

Решение. Известно, что плоскость перпендикулярна прямой, сели две прямые, расположенные в этой плоскости, перпендикулярны заданной прямой.

Поэтому в нашем случае через точку А достаточно провести две прямые, каждая из которых была бы перпендикулярна т. Тогда эти прямые в паре определят искомую плоскость.

Пусть одной из прямых, определяющих эту плоскость, станет горизонталь. Ее фронтальная проекция 1ъ пройдет горизонтально (рис. 4.7), а горизонтальная проекция h| - под прямым углом к m 1 (на основании теоремы о проекциях прямого угла).

Второй прямой, определяющей искомую плоскость, будет фронталь. Ес горизонтальная проекция f| пройдет горизонтально.

а фронтальная проекция f2 - иод прямым углом к mi (на основании той же теоремы).

Рис. 4.7

Таким образом, задача решена. Анализируя ее, мы можем заметить, что по отношению к построенной плоскости (f х h) заданная прямая m является перпендикуляром. Отсюда следует важный практический вывод:

горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна проходить под прямым углом к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - под прямым углом к фронтальной проекции фронтали.

Задача Б

Условия. Опустить перпендикуляр из точки В на плоскость DEF (с определением его видимости но отношению к плоскости).

Рис. 4.8а - графические условия задачи

Рис. 4.86

Рис. 4.8в - определение основания и натуральной величины перпендикуляра

Решение. Вначале вычертим проекции DEF и В (рис. 4.8а).

Приступив к решению задачи, выделим в ней три

характерных этапа:

• 1. Построение направлений для проекций перпендикуляра.
• 2. Построение основания перпендикуляра (точки его пересечения с плоскостью).
• 3. Определение натуральной величины перпендикуляра.

Выполним эти построения. Сначала наметим направление

проекций перпендикуляра. Для этого предварительно в плоскости DEF нужно провести горизонталь h и фронталь f, которые являются ориентирами для его проекций.

Теперь найдем основание перпендикуляра как точку пересечения полученной прямой с плоскостью DEF. Эта задача нам уже знакома (см. п. 3.3.4). В рассмотренном примере искомая точка К лежит за пределами треугольника, ограничивающего плоскость (рис. 4.8в). Она расположена на прямой 2-3, которая, по построению, принадлежит плоскости DEF. Значит, ей принадлежит и точка К. Если проекции перпендикуляра частично или полностью заслоняются проекциями треугольника DEF, то дополнительно необходимо определить видимость перпендикуляра но отношению к плоскости.

Натуральная величина перпендикуляра ВК может быть найдена любым из методов, рассмотренных ранее в и. 2.2. На рисунке 4.8в для этой цели использован метод прямоугольного треугольника.

Отметим, что данная задача зачастую формулируется как определение расстояния от точки В до плоскости треугольника DEF.

Из геометрии известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости. Пусть требуется (рис. 126) через точку D провести прямую, параллельную плоскости треугольника ABC. В плоскости треугольника лежат все три его стороны. Линию DE проводим так, чтобы она оказалась параллельной одной из сторон треугольника, например стороне АВ. Для этого, как известно, необходимо, чтобы было выдержано следующее условие: D 2 Е 2 ||А 2 В 2 и D 1 E 1 ||A 1 B 1 . Если требуется через точку D провести горизонталь, параллельную плоскости ABC, то предварительно в плоскости треугольника строят проекции горизонтали AF, а затем через точку проводят требуемую горизонталь DG||AF.

TBegin-->TEnd-->

Прежде чем рассматривать прямые, перпендикулярные плоскости, надо ознакомиться с проецированием прямого угла. Оказывается, что прямой угол проецируется без искажения, если одна его сторона параллельна данной плоскости, а другая не перпендикулярна ей (рис. 127, а). Докажем эту теорему; для этого изобразим прямой угол, составленный прямой а и горизонталью h, и его горизонтальную проекцию h 1 Хa 1 . Обратим внимание на плоскость а, она горизонтально-проецирующая, так как проходит через горизонтально-проецирующую прямую АА 1 . Сторона h угла по заданию параллельна плоскости П 1 и перпендикулярна прямой а. Одновременно прямая h перпендикулярна линии АА 1 , также принадлежащей плоскости а; значит, она перпендикулярна и самой плоскости а. Горизонтальная проекция h 1 параллельна горизонтали h, следовательно она тоже перпендикулярна плоскости а. Но тогда она перпендикулярна и прямой а 1 , принадлежащей этой плоскости. Итак, h 1 _|_a 1 , т. е. прямой угол спроецировался на плоскость без искажения, что и требовалось доказать.

На комплексном чертеже (рис. 127, б) горизонтальные проекции прямых составят прямой угол h1_|_ а1, фронтальные проекции h 2 и а 2 в данном случае образуют тупой угол. На фронтальную плоскость проекций П3 прямой угол спроецируется в виде прямого угла в том случае, когда одна из его сторон / будет являться фронталью.

TBegin-->
TEnd-->

Из геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, принадлежащим этой плоскости. Такими прямыми могут быть выбраны горизонталь и фронталь плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - фронтальной проекции фронтали данной плоскости. Применим это положение для того, чтобы восставить перпендикуляр к плоскости треугольника ABC (рис. 128, а). Через точку А 2 A 1 проведем горизонталь h 2 h 1 , через точку С 2 С 1 проведем фронталь f 1 f 2 ; эти прямые пересекутся между собой в точке N 2 N 1 . Проекции перпендикуляра MN должны пройти: M 2 N 2 _|_ f 2 . M 1 N 1 _|_ h 1 Зная направление соответствующих проекций горизонтали и фронтали, можно провести проекции перпендикуляра из любой точки плоскости ABC. Решение упрощается, если плоскость задана следами kxl (рис. 128, б).

След k является нулевой фронталью, а след l - нулевой горизонталью. Ими можно воспользоваться для построения проекций перпендикуляра MN; фронтальная проекция M 2 N 2 перпендикуляра должна быть перпендикулярна фронтальной проекции k 2 фронтального следа плоскости k, горизонтальная проекция M 1 N 1 перпендикуляра должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции l 1 горизонтального следа l плоскости. Точка N выбрана нами на фронтальном следе k; ее можно было взять на горизонтальном следе l или в другом месте плоскости.

rn
Для примера решим две задачи.

Задача 1 . Определить проекции расстояния от точки А до плоскости треугольника BCD.

Как известно, расстояние от точки до плоскости измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Для того чтобы опустить перпендикуляр, надо провести горизонталь и фронталь плоскости (рис. 129). Горизонталью h плоскости в этом примере является сторона треугольника BD, так как фронтальная ее проекция горизонтальна (перпендикулярна линиям связи). Остается провести фронталь BE (f); ее горизонтальная проекция B 1 E 1 должна быть параллельна воображаемой оси проекций х 12 ; фронтальную проекцию строим с помощью точки Е. Из фронтальной проекции А 3 точки А опускаем перпендикуляр на фронтальную проекцию В 2 Е 2 фронтали BE, а из горизонтальной проекции А 1 - на горизонтальную проекцию B 1 D 1 горизонтали BD. Теперь надо найти основание перпендикуляра - точку О. Для этого проводим горизонтально-проецирующую плоскость сигма _|_ П 1 находим линию пересечения MN, фронтальную проекцию O 2 точки О, а по ней и горизонтальную проекцию О 1 .

Задача решена: A 2 O 2 и А1O1 - проекции искомого расстояния. Отрезок АО видимый при проецировании на плоскости П2 и П1.

TBegin-->TEnd-->

Задача 2 . Через точку А провести плоскость р, перпендикулярную к плоскости a (BCD).

Из геометрии известно, что если плоскость проходит через прямую, которая перпендикулярна другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Воспользуемся предыдущим чертежом, на котором первая часть новой задачи решена - проведен перпендикуляр АО=а (рис. 130). Теперь достаточно провести через точку А любую прямую b. При этом образуется плоскость b_|_ а. Построенная плоскость для наглядности оттенена с помощью точек. Как видно, эта задача имеет множество решений.

Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости, и рассмотрим свойства проекций такой прямой.

На рис. 185 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми AN и AM, причем AN является горизонталью, а AM - фронтальна этой плоскости. Прямая АВ, изображенная на том же чертеже, перпендикулярна к АN и к AM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости.

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой-либо прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или профильной прямой плоскости. Поэтому, желая построить перпендикуляр к плоскости, берут в общем случае две такие прямые (например, горизонталь и фронталь, как это показано на рис. 185).

Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости.

Очевидно, в случае, когда плоскость выражена следами (рис. 186), мы получаем следующий вывод: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу плоскости.

Итак, если в системе π 1 , π 2 горизонтальная проекция прямой перпендикулярна к горизонтальному следу и фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то в случае плоскостей общего положения (рис. 186), а также горизонталъно- и фронталъно-проецирующих прямая перпендикулярна к плоскости . Но для профильно-проеци- рующей плоскости может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя

проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно-проецйрующей плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить, будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость,

Очевидно (рис. 187), горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости сливается с горизонтальной проекцией линии ската, проведенной в плоскости через основание перпендикуляра.

На рис. 186 из точки А проведен перпендикуляр к пл. α (А"С"⊥ f" 0α , А"С"⊥h" 0α) и показано построение точки Е, в которой перпендикуляр АС пересекает пл. α. Построение выполнено с помощью горизонтально-проецирующей пл. β, проведенной через перпендикуляр АЕ.

На рис. 188 показано построение перпендикуляра к плоскости, определяемой треугольником АВС. Перпендикуляр проведен через точку А.

Так как фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна быть перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, то в плоскости через точку А проведены фронталь с проекциями A"D" и A"D" и горизонталь А"Е", А"Е", Конечно, эти прямые не обязательно проводить именно через точку А.

Далее проведены проекции перпендикуляра: M"N"⊥A"D", M"N"⊥А"Е". Почему проекции на рис. 188 на участках A"N" и А"М" показаны штриховыми линиями? Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником АВС, а не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед плоскостью, частично за ней.

На рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой ВС. На рис. 189 плоскость выражена следами. Построение начато с проведения через точку А горизонтали искомой плоскости: так как горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен к В"С", то и горизонтальная проекция горизонтали должна быть перпендикулярна к В"С". Поэтому A"N"⊥В"С". Проекция A"N"||оси х, как это должно быть у горизонтали. Затем проведен через точку N"(N" - фронтальная проекция фронтального следа горизонтали AN) след f" 0α ⊥В"С", получена точка Х α и проведен след h" 0α ||A"N" (h" 0α ⊥В"С").

На рис. 190 плоскость определена ее фронталью AM и горизонталью AN. Эти прямые перпендикулярны к ВС (А"М"⊥В"С", A"N"⊥В"С"); определяемая ими плоскость перпендикулярна к ВС.

Так как перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к каждой прямой, проведенной в этой плоскости, то, научившись проводить плоскость перпендикулярно к прямой, можно воспользоваться этим для проведения перпендикуляра из некоторой точки А к прямой общего положения ВС. Очевидно, можно наметить следую-щий план построения проекций искомой прямой:

1) через точку А провести плоскость (назовем ее γ), перпендикулярную к ВС;

2) определить точку К пересечения прямой ВС с пл. γ;

3) соединить точки А и К отрезком прямой линии.

Прямые АК и ВС взаимно перпендикулярны.

Пример построения дан на рис. 191. Через точку А проведена плоскость (γ), перпендикулярная к ВС. Это сделано при помощи фронтали, фронтальная проекция A"F" которой проведена перпендикулярно к фронтальной проекции В"С", и горизонтали, горизонтальная проекция которой перпендикулярна к В"С".

Затем найдена точка К, в которой прямая ВС пересекает пл. γ. Для этого через прямую ВС проведена горизонтально-проецируюгцая плоскость β (на чертеже она задана только горизонтальным следом (β"). Пл. β пересекает пл. γ по прямой с проекциями 1"2" и 1"2". В пересечении этой прямой с прямой ВС получается точка К. Прямая АК является искомым перпендикуляром к ВС. Действительно, прямая АК пересекает прямую ВС и находится в пл. γ, перпендикулярной к прямой ВС; следовательно, АК⊥ВС.

В § 15 было показано (рис. 92), как можно провести перпендикуляр из точки на прямую. Но там это было выполнено при помощи введения в систему π 1 , π 2 дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы π 3 , π 1 , в которой пл. π 3 проводится параллельно заданной прямой. Рекомендуем сравнить построения, данные на рис. 92 и 191.

На рис. 192 изображены плоскость общего положения - α, проходящая через точку А, и перпендикуляр AM к этой плоркости, продолженный до пересечения с пл. π 1 в точке В".

Угол φ 1 между пл. α, и пл.π 1 и угол φ между прямой AM и пл. π 1 являются острыми углами прямоугольного треугольника В"AM", и, следовательно, φ 1 +φ=90°. Аналогично, если пл.α составляет с пл. π 2 угол σ 2 , а прямая AM, перпендикулярная к α, составляет с пл. π 2 угол σ, то σ 2 +σ=90°. Из этого, прежде всего, следует, что плоскость общего положения, которая должна составлять с пл.π 1 угол φ 1 , а с пл. π 2 угол σ 2 , может быть построена, лишь если 180° > φ 1 +σ 2 >90°.

Действительно, складывая почленно φ 1 + φ=90° и σ 2 +σ=90°, получим φ 1 +σ 2 +φ+σ=180°, т. е. φ 1 +σ 2 90°. Если взять φ 1 +σ 2 =90°, то получится профильно-проецирующая плоскость, а если взять φ 1 +σ 2 =180°, то получится профильная плоскость, т.е. в обоих этих случаях плоскость не общего положения, а частного.