Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Измерение отрезков

Ответы к стр. 83

367. Точка С A и B . Длина отрезка AC равна 8 см, длина отрезка CB AC . Найдите длину отрезка AB .

1) 8 + 3 = 11 (см) – длина отрезка СВ
2) 8 + 11 = 19 (см) – длина отрезка АВ
О т в е т: отрезок АВ 19 см.

368. Точка A расположена на прямой между точками B и C . Длина отрезка CB на 3 см больше длины отрезка AC . Найдите длину отрезка AB .

Точка А делит отрезок ВС на отрезок ВА и отрезок АС . Тогда длина отрезка АВ = ВС – АС . Но длина отрезка СВ = АС + 3 (см). Подставляем в первое выражение длину отрезка СВ из второго выражение: АВ = ВС – АС = (АС + 3) – АС = АС + 3 – АС = 3 (см).
О т в е т: отрезок АВ 3 см.

369. На прямой даны точки A , B и C , причем AB = 6 см, AC = 13 см. Найдите длину отрезка BC , если:
а) точки B и C лежат по одну сторону от точки A ;
б) точки B и C лежат по разные стороны от точки A .

а) Получается отрезок АС , разделённый точкой В на отрезки АВ и ВС . Тогда длина отрезка ВС = АС – АВ = 13 – 6 = 7 (см).
О т в е т: отрезок ВС 7 см.

б) Получается отрезок ВС , разделённый точкой А на отрезки ВА и АС . Тогда длина отрезка ВС = ВА + АС = 6 + 13 = 19 (см).
О т в е т: отрезок ВС 19 см.

370. На прямой даны три точки A , B и C , причем AB = 13 см, AC = 4 см. Найдите длину отрезка BC . (Задача имеет два решения.)

Так как АВ > АС В не может делить отрезок АС на отрезки АВ и ВС , поскольку отрезок АВ АС .

1) Точка С делит отрезок АВ на отрезки АС и СВ . Тогда длина отрезка ВС = АВ – АС = 13 – 4 = 9 (см).
О т в е т: отрезок ВС 9 см.

2) Точка А делит отрезок СВ на отрезки СА и АВ . Тогда длина отрезка ВС = СА + АВ = 4 + 13 = 17 (см).
О т в е т: отрезок ВС 17 см.

371. На прямой даны три точки A , B и C , причем AB = 83 см, AC = 97 см. Найдите длину отрезка BC . Сколько решений имеет задача?

Так как АС > АВ , то возможно 2 решения: точка С не может делить отрезок АВ на отрезки АС и СВ , поскольку отрезок АС будет больше исходного отрезка АВ .

1) Точка В делит отрезок АС на отрезки АВ и ВС . Тогда длина отрезка ВС = АС – АВ = 97 – 83 = 14 (см).
О т в е т: отрезок ВС 14 см.

2) Точка А делит отрезок ВС на отрезки ВА и АС . Тогда длина отрезка ВС = ВА + АС = 83 + 97 = 180 (см).
О т в е т: отрезок ВС 180 см.

372. На луче AM отложили отрезки AB и AC , AC = 89 см. Найдите длину отрезка BC , если:
а) AB на 15 см длиннее AC ;
б) AB на 15 см короче AC .

а) В этом случае точка С лежит между точками А и В и делит отрезок АВ на отрезки АС и СВ , поскольку исходный отрезок АВ не может быть меньше отрезка АС . Тогда:
1) АВ = АС + 15 = 89 + 15 = 104 (см)
2) ВС = АВ – АС = 104 – 89 = 15 (см)
О т в е т: отрезок ВС 15 см.

б) В этом случае точка В лежит между точками А и С и делит отрезок АС на отрезки АВ и ВС , поскольку исходный отрезок АС не может быть меньше отрезка АВ. Тогда:
1) АВ = АС – 15 = 89 – 15 = 74 (см)
2) ВС = АС – АВ = 89 – 74 = 15 (см)
О т в е т: отрезок ВС 15 см.

373. Объясните на примере, как измерить длину отрезка с точностью до 1 см.

Если приложить шкалу сантиметровой линейки к отрезку АВ так, что отметка «0» совпадёт с точкой А , то окажется, что точка В не совпадает с делением шкалы на отметке «6» или «7». При этом величины 6 см и 7 см отличаются от АВ не более чем на 1 см и называются приближёнными значениями длины АВ с точностью до 1 см.

а) длина отрезка АВ равна 6 см с недостатком с точностью до 1 см;
б) длина отрезка АВ равна 7 см с избытком с точностью до 1 см;
в) длина отрезка АВ равна 7 см с округлением с точностью до 1 см, поскольку точка В находится ближе к отметке «7», а не «6».

374. Измерьте длину и ширину тетради с точностью до 1 см:
а) с недостатком; б) с избытком; в) с округлением.

а) длина 20 см, ширина 16 см;
б) длина 21 см, ширина 17 см;
в) длина 21 см, ширина 17 см.

375. Отметьте в тетради две точки. Определите на глаз расстояние между ними. Начертите отрезок с концами в этих точках и измерьте приближенно его длину.

AB ≈ 7 см.

376. С помощью линейки измерьте отрезки, изображенные на рисунке 53, с точностью до 1 см:
а) с недостатком; б) с избытком; в) с округлением.

Лекция 10. Длина отрезка и её измерение.

Понятие длины отрезка и ее измерения используется во многих областях деятельности человека и научных исследованиях. Поэтому рассмотрим эту величину более детально.

Определение. Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка, так, что: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

Процесс измерения длины отрезков выглядит так. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок е и принимают его за единицу длины. На отрезке а, длину которого измеряют, от одного из его концов откладывают последовательно отрезки, равные е, до тек пор, пока это возможно. Если отрезки, равные е, отложились n раз и конец последнего отрезка совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n и пишут а = n е. Если же отрезки, равные е, отложились n раз, и еще остался остаток, меньший е, то на нем откладывают отрезки, равные е1 = 110 е. Если они отложились ровно n1раз, то тогда а = n, n1 е, и значение длины отрезка есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок е1 отложился n1 раз и остался еще остаток, меньший е1, то на нем откладывают отрезки, равные е2= 1100е1. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь. Таким образом, при выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действующим числом. Вполне очевидно, что верно и обратное: если дано положительное действительное число, то всегда можно построить отрезок, численное значение которого выражается этим действительным числом.

Нетрудно доказать следующие свойства длин отрезков.

1. При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действительным числом и для каждого положительного действительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом.

2. Если два отрезка равны, то и численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин отрезков равны, то и равны сами отрезки, т.е. а = в mе (а) = mе (в).

3. Если данный отрезок равен сумме нескольких отрезков, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков слагаемых и, обратно, если численное значение длины отрезка равно сумме численных значений отрезков слагаемых, то и сам отрезок равен сумме этих отрезков, т.е. с = а + в mе (с) = mе (а) + mе (в).

4. Если длины отрезков а и в таковы, что в = х ∙ а, где х – положительное действительное число и длина отрезка а измерена при помощи единицы измерения е, то, чтобы найти численное значение отрезка в при единице измерения е, достаточно число х умножить на численное значение длины отрезка а при единице измерения е, т.е. в = х а mе (в) = х mе (а).

5. При замене единицы измерения длины численное значение длины отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица измерения длины отрезка меньше (больше) старой. Из других свойств длины отрезков отметим следующие.

6.а > в mе (а) >mе (в);

7.с = а - в mе (с) = mе (а) - mе (в);

8.х = а: в х = mе (а) : mе (в).

Все эти свойства позволяют сравнение длин отрезков и действия над ними сводить к сравнению и действием над соответствующими числовыми значениями длин этих отрезков. На практике, сравнивая длины отрезков и выполняя действия над длинами отрезков, теоретические положения, сформулированные выше, используются неявно.

Примеры.

1. 12 м < 12,3 м, так как 12 < 12,3.

2. 8,8 см + 3,4 см = (8,8 + 3,4) см = 12,2 см.

3. 18 ∙ 3 дм = (18 ∙ 3) дм = 54 дм.

Приводим несколько типичных задач.

Задача 1. Постройте отрезок, длина которого 3,2Е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е увеличить в 3 раза?

Решение. Построим произвольный отрезок и будем считать его единичным. Затем построим прямую, отметим на ней точку А и отложим от нее 3 отрезка, длины которых равны Е. Получим отрезок АВ, длина которого 3Е. Чтобы получить отрезок длиной 3,2Е, надо ввести новую единицу длины. Для этого единичный отрезок надо разбить либо на 20 равных частей, либо на 5, поскольку 0,2 = 15. Если от точки В отложить отрезок, равный 15 единичного, то длина отрезка АС будет равна 3,2Е.

Чтобы выполнить второе требование задачи, воспользуемся свойством 3, согласно которому при увеличении единицы длины в 3 раза численное значение длины данного отрезка уменьшается в 3 раза. Разделим 3,2 на 3, получим: 3,2: 3 = 3 15: 3 = 1615 = 1115.

Таким образом, при единице длины 3Е численное значение длины построенного отрезка АС будет равно 1115.

Задача 2. Начертите два отрезка: длина первого – 8 см, а другой – в 2 раза длиннее. Чему равна длина второго отрезка?

Решение. 1 способ. Строят отрезок 6 см, а затем на луче ОА последовательно откладывают 2 равных отрезка длиной 6 см. Полученный отрезок ОА является искомым, его длина: 2 ∙ 6 (см) = 12 (см). 2 способ. Находят длину второго отрезка: 2 ∙ 6 (см) = 12 (см), а затем строят два отрезка: один – длиной 6 см, а другой – длиной 12 (см).

Задача 3. Отрезок длиной 18 см разделите на две равные части. Решение. Поскольку не выделена операция деления длины отрезка на натуральное число, то мы воспользуется тем, что деление на натуральное число равносильно умножению ее на дробь 1n. В связи с этим получаем: 18 (см) : 2 = 18 см ∙ 12 = 8 ∙12 см = 9 см. Ответ: 9 см.

В заключение приводим таблицу мер длины. 1 сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм); 1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см); 1 метр (м) = 10 дециметрам (дм) = 100 сантиметрам (см); 1 километр (км) = 1000 метрам (м).

Понятие длины отрезка и ее измерения были уже использованы неоднократно, в частности, когда рассматривали натуральное число как меру величины. В этом пункте мы только обобщим представле­ния о длине отрезка как геометрической величине.

В геометрии длина - это величина, характеризующая протяженность отрезка, а также других линий (ломаной, кривой). В нашем курсе будет рассмотрено только понятие длины отрезка. При его определении будем использовать введенное в теме 18 понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Длиной отрезка называется положительная величина, обладающая следующими свойствами: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

Эти свойства длины отрезка используются при ее измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно иметь единицу длины. В геометрии такой единицей является длина произвольного отрезка.

Как показано в теме 18, результатом измерения длины отрезка является положительное действительное число - его называют численным значением длины отрезка при выбранной единице длины или мерой длины данного отрезка. Если обозначить длину отрезка буквой X, единицу длины - Е, а получаемое при измерении действительное число - буквой а, то можно записать: а=m Е (Х) или Х = а∙Е.

Получаемое при измерении длины отрезка положительное действительное число должно удовлетворять ряду требований:

1. Если два отрезка равны, то численные значения их длин тоже равны.

2. Если отрезок х состоит из отрезков х 1 и х 2 , то численное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков х 1 и х 2 .

3. При замене единицы длины численное значение длины данного отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

4. Численное значение длины единичного отрезка равно единице.

Доказано, что положительное действительное число, являющееся мерой длины заданного отрезка, всегда существует и единственно. Доказано также, что для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Заметим, что часто, ради краткости речи, численное значение длины отрезка называют просто длиной. Например, в задании «Найдите длину данного отрезка» под словом «длина» подразумевается числен­ное значение длины отрезка. Не менее часто допускают и другую вольность - говорят: «Измерь отрезок» вместо «Измерь длину отрезка».

Задача. Построить отрезок, длина которого 3,2Е. Каким будет численное значение длины этого отрезка, если единицу длины Е увеличить в 3 раза?

Решение. Построим произвольный отрезок и будем считать его единичным. Затем построим прямую, отметим на ней точку А и отложим от нее 3 отрезка, длины которых равны Е. Получим отрезок АВ, длина которого 3Е (рис. 1).

Чтобы получить отрезок длиной 3,2Е, надо ввести новую единицу длины. Для этого единичный отрезок надо разбить либо на 10 равных частей, либо на 5, поскольку 0,2 = . Если от точки В отложить отрезок, равный единичного, то длина отрезка АС будет равна 3,2Е.

Чтобы выполнить второе требование за­дачи, воспользуемся свойством 3, согласно которому при увеличении единицы длины в 3 раза численное значение длины данного отрезка уменьшается в 3 раза. Разделим 3,2 на 3, получим:

3,2: 3 == 3 : 3 = = 1 . Таким образом, при единице длины 3Е численное значение длины построенного отрезка АС будет равно 1 .

ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ

16. Заполните пропуски.

1) Точка и отрезок являются примерами геометрических фигур.
2) Измерить отрезок означает подсчитать, сколько единых отрезков в нем помещается.
3) Если на отрезке АВ ометить точку С, то длинна отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС +СВ
4) Два отрезка называют равными, если они совпадают при наложении .
5) Равные отрезки имеют равные длины.
6) Расстоянием между точками А и В называют длину отрезка АВ.

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ

17. Обозначьте отрезки, изображенные на рисунке, и измерьте их длины.

18. Проведите все возможные отрезки с концами в точках A, B, C и D. Запишите обозначения всех проведенных отрезков.

AB, ВC, СD, АD, АС, ВD

19. Запишите все отрезки, изображенные на рисунке.

20. Начертите отрезки СК и АD так, чтобы СК=4 см 6 мм, АD=2 см 5 мм.

21. Начертите отрезок ВЕ, длина которого равна 5 см 3 мм. Отметьте на нем точку А так, чтобы ВА = 3 см 8 мм. Какова длина отрезка АЕ?

АЕ=ВЕ-ВА= 5 см 3 мм - 3см 8мм = 1 см 5мм

22. Выразите данную величину в указанных единицах измерения.

23. Запишите звенья ломаной и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

24. Отметьте точку В, расположенную на 6 клеток левее и на 1 клетку ниже точки А; точку С, расположенную на 3 клетки правее и на 3 клетки ниже точки В; точку D, расположенную на 7 клеток правее и на 2 клетки выше точки С. Соедините последовательно отрезками точки А, В, С и D.

Образовалась ломаная АВСD, состоящая из 3 звеньев.

25. Вычислите длину ломаной, изображенной на рисунке.

а) 5*36 = 180 мм
б) 3*28 = 84 мм
в) 10*10+15*4 = 160 мм

26. Постройте ломаную DСЕК так, чтобы DС=18 мм, СЕ=37 мм, ЕК=26 мм. Вычислите длину ломаной.

27. Известно, что АС=17 см, ВD=9см, ВС=3 см. Вычислите длину отрезка АD.

28. Известно, что МК=KN=NP=PR=RT=3 см. Какие еще равные отрезки есть на этом рисунке? Найдите их длины.

29. На прямой отметили точки так, что расстояние между двумя любыми соседними точками равно 4 см, а между крайними точками - 36 см. Сколько точек отмечено?

30. Начертите, не отрывая карандаша от бумаги, фигуры, изображенные на рисунке. По каждой линии можно проводить карандашом только один раз.