Практикум_решение заданий с2 по математике. Решение заданий С2 по математике

Решение задания С 2 по математике.

C2 ЕГЭ по математике.


Основанием пирамиды служит квадрат,
две боковые грани этой пирамиды перпендикулярны к плоскости её основания,
две другие её боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы,
каждый из которых равен 30 градусов.
Высота пирамиды равна sqrt(2).
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение C2 ЕГЭ по математике.


C2 ЕГЭ по математике.


Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тнгенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение C2 ЕГЭ по математике.




Пусть AB=10 и C1D1 = 24 - хорды, по которым сечение пересекает основания цилиндра. Плоскости оснований параллельны, значит, AB и C1D1 тоже параллельны.

Опустив перпендикуляры из точек C1 и D1 к плоскости OAB, получим отрезок CD, равный C1D1. Пусть K, L и L1 - середины хорд AB, CD и C1D1 соответственно.

Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания цилиндра будет равен углу L1KL. Его тангенс мы найдём из прямоугольного треугольника L1LK: tg(L1KL) = LL1/LK.

LL1 = образующей цилиндра = 21
LK = LO+OK.

Из прямоугольного треугольника CLO:
LO = sqrt(CO^2-CL^2) = sqrt(13^2-12^2) = 5

Из прямоугольного треугольника AKO:
OK = sqrt(AO^2-AK^2) = sqrt(13^2-5^2) = 12

Tg(L1KL) = LL1/LK = 21/17

Задание С2 Условие:

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
сторона основания AB=√3, боковое ребро SA = √7. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCS.

Решение:

Заметим, что AD параллельно BC, а значит, и всей плоскости BCS.
Это значит, что все точки прямой AD равноудалены от плоскости BCS.

Пусть SH — высота треугольника BCS, SO — перпендикуляр, опущенный из точки S к плоскости основания пирамиды, при этом точка O принадлежит AD. Искомым расстоянием будет длина высоты OM прямоугольного треугольника SOH.

1) Найдём OH из равностороннего треугольника OBC: OH = BC*sqrt(3)/2 = 3/2

2) Найдём SH из прямоугольного треугольника BHS: SH = sqrt(SB^2-BH^2) = sqrt(sqrt(7)^2-(sqrt(3)/2)^2) = 5/2

3) Найдём SO из прямоугольного треугольника SOH: SO = sqrt(SH^2-OH^2) = 4/2

4) Искомое расстояние OM, зная все стороны прямоугольного треугольника SOH, можно, например, найти, записав выражение для его площади двумя разными способами:

S = SO*OH/2 = SH*OM/2,

Откуда OM = SO*OH/SH = 4*3/5 = 6/5

Ответ: 6/5

Задание С2 Условие:

В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ= 5 корней из 3, SC= 13.
Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.

Решение:

1. Поскольку SABC - правильная пирамида, то ABC - равносторонний треугольник, а остальные грани - равные между собой равнобедренные треугольники.
То есть все стороны основания равны 5*sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.

2. Пусть D - середина BC, E - середина AS, SH - высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, Ep - высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.

3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.

4. Поскольку пирамида правильная, точка H - это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH=2*AD).

5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH=AD*2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(13^2-5^2) = 12.

6. Треугольники AEp и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и Ap = AH/2, и Ep = SH/2.

7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDp (нас как раз интересует угол EDp).
Ep = SH/2 = 6;
Dp = AD*2/3 = 5;

Тангенс угла EDp = Ep/Dp = 6/5,
Угол EDp = arctg(6/5)

Ответ:

Задание С2 Условие:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из катетов лежит в плоскости a, а другой образует с ней угол 45 градусов. Найдите угол между гипотенузой данного треугольника и данной плоскостью.

Решение:

Треугольник ABC, угол C - прямой, BC принадлежит плоскости.
AC = BC = x, AB = x*sqrt(2)
Опустим перпендикуляр AA1 к плоскости a.

Искомый угол - угол A1BA.

Угол A1CA равен 45 градусов, угол AA1C - прямой. AA1 = AC*sin(45 градусов) = x/sqrt(2).

sin(A1BA) = AA1/AB = (x/sqrt(2))/(x*sqrt(2)) = 1/2

Угол A1BA = arcsin(1/2) = 30 градусов.

МОУ «СОШ № 34 с углубленным изучением художественно-эстетических предметов»

«Школьник - школьнику»

В.В. Леваков

Решение заданий С2

ЕГЭ по математике

координатно-

векторным методом

Вячеслав Леваков

Решение заданий С2

ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

МОУ «СОШ № 34 с УИП»

ЕЩЕ ОДИН ШАГ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ!

Серия «Школьник - школьнику»

В.В. Леваков

Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом. Методические рекомендации.

Представленный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

© Все права защищены.

Автор выражает огромную благодарность своим учителям математики Айвазян Карене Арташовне, Беляковой Елене Анатольене, Хренниковой Наталье Игоревне, которые сыграли большую роль в формировании его знаний умений и навыков при изучении предмета. Отдельные слова благодарности – Ларисе Анатольевне Денисовой, председателю методического объединения учителей математики Заводского района г. Саратова, которая приняла участие в составлении данной брошюры.

Уважаемый читатель!

Если у ученика 11 класса имеются серьезные проблемы с пониманием

определений, с чтением или построением сложного стереометрического

рисунка, если ему никак не удается подобрать необходимые дополнительные

построения, мне кажется, что стоит заняться изучением координатно-

векторного метода. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи,

когда до ЕГЭ остается всего лишь 2-3 месяца. Данный курс не претендует на

научность, а является своеобразным методическим пособием при подготовки

к ЕГЭ для выпускника, нацеленного на высокий балл при сдаче экзамена.

Курс является кратким, в нем рассмотрены лишь наиболее часто

встречающиеся типы заданий, как в сборниках, так и в контрольно-

измерительных материалах.

Алгебра - не что иное как записанная в символах геометрия, а геометрия - это просто алгебра, воплощенная в фигурах.

Софий Жермен (1776-1831)

§1. Основные понятия.

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку - аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ей методом.

Метод координат - весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве.

Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Существует множество систем координат: аффинная,

полярная, биполярная, коническая, параболическая, проективная,

сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них - прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и будем пользоваться для решения задач нашего курса.

Данный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

o Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.

o Находим координаты необходимых для нас точек.

o Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.o Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

Для начала разбора метода координат для стереометрических задач рассмотрим что же представляет собой прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве –

совокупность точки О (называемой началом координат ), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямыхOx, Oy иOz (называемыхосями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат ), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. ПлоскостихОу, уОz иzOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых еёкоординатами .

Перед решением стереометрических задач координатно-векторным методом стоит запомнить следующие формулы:

1. Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

Где d=AB, A(x1 ; y1 ; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 )

2. Нахождение координаты серединыС(x; y; z) отрезкаАВ,

A(x1 ; y1 ; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 )

3. Нахождение косинуса, а, следовательно, и самого угла, между двумя векторами, заданными своими координатами.

где а {x 1 ;y 1 ;z 1 },b {x 2 ;y 2 ;z 2 }.

4. Координаты x, y, z точкиМ , которая делит отрезок,

ограниченный точками (,,) и(,,), в отношении, определяется по формулам

Для решения задач необходимо научиться находить координаты вершин основных многогранников при помещении их в прямоугольную систему координат.

Ниже представлены координаты вершин некоторых многогранников , помещенных в систему координат.

1. Единичный куб A...D1

Координаты вершин:

А (0,0,0), А1 (0,0,1), В(1,0,0), В1 (1,0,1), D(0 ,1 ,0), D1 (0,1,1), С(1,1,0),

С1 (1,1,1).

2. Правильная треугольная призма A…C1 ,все ребра, которой равны 1.

Координаты вершин:

А (0,0,0),А 1 (0,0,1),В(1,0,0),В1 (1,0,1), С(0,5;√ ,0),С1 (0,5;√ ,1).

3. Правильная шестиугольная призма A...F1 , все ребра которой равны 1.

Координаты вершин:

А (0,0,0),А 1 (0,0,1),В(1,0,0),В1 (1,0,1), С(1,5;√ ,0),С1 (1,5;√ ,1), D(1,√ (1,√ Е(0,√ , (0,√ , F(-05, √ 0),

(-05, √ 1).

4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.

Координаты вершин:

А (0,0,0),В(1,0,0),С(0,5;√ ,0), D(0,5,

5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.

Примеры решения задач С 2 на ЕГЭ по математике.

Задача С2 относится к задачам повышенного уровня сложности с развернутым ответом.

При выполнении задачи в бланке ответов № 2 должно быть записано полное обоснованное решение и ответ. Требуется, чтобы сделанные выкладки были последовательны и логичны, ключевые моменты решения обоснованы, а математические термины и символы использованы корректно. Задача С2 является стереометрической задачей средней сложности, посильной для большинства успевающих выпускников. Полное правильное решение задачи С2 оценивается 2 баллами.

Оценка выполнения задач второй части проводится экспертами на основе специально разработанной системы критериев, базирующейся на следующих требованиях. Метод и форма записи решения могут быть произвольными, но решение должно быть математически грамотным, полным и обоснованным. При этом оцениваются продвижения выпускника в решении задачи. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, допущенных или рекомендованных Министерством образования и науки РФ.

Построить чертеж, соответствующий условию (по возможности, наиболее наглядный),

Дать характеристику фигуре, вспомнить определение, свойства, признаки,

Определить зависимости между элементами,

Рассуждать от вопроса задачи, постепенно используя данные условия.

В последние годы при решении задач С2 часто требуется найти расстояние:

От точки до прямой;

От точки до плоскости;

Между скрещивающимися прямыми, или найти угол между:

Прямой и плоскостью;

Плоскостями.

Нахождение расстояний при решении задач С2

    DEF А1В1С1 D 1 E 1 F стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 1, найти расстояние от точки В до прямой F 1 E 1.

Решение.

Точка В лежит на прямой АВ, АВ║D 1 Е 1 . Расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра. Построим его.

Т.к. призма прямая, ВD (DD 1 Е 1), DD 1 D 1 Е 1 , тогда ВD 1 D 1 Е 1 , значит, искомое расстояние от точки В до прямой D 1 Е 1 равно отрезку ВD 1.

Рассмотрим Δ АD Е, ∟D = 90º, D Е = 4, ВЕ = 8 (в правильном 6-угольнике главная диагональ равна удвоенной стороне) ВD =

Из прямоугольного Δ АDD 1 по теореме Пифагора ВD 1 = 7.

    В правильной 6-угольной призме АВС DEF А1В1С1 D 1 E 1 F стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 3, найти расстояние от точки В до прямой С 1 D 1.

В правильной 6-угольной призме в основаниях лежат правильные 6-угольники, сторона равна 4, боковые ребра перпендикулярны основаниям, основания параллельны.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Проведем плоскость через точку В и прямую С 1 D 1, В сечении призмы плоскостью мы получим равнобедренную трапецию ВС 1 D 1 Е, высота этой трапеции С 1 К – искомое расстояние.

Из Δ ВС 1 С ВС 1 = 5

Рассмотрим Δ ВС 1 К, ∟К = 90º,

Ответ:

3. Длина ребра куба АС 1 равна 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АСД 1 .

АС 1 – куб, значит, все грани квадраты со стороной 1.

Плоскость АСD 1 – правильный треугольник со стороной

Искомое расстояние – это высота пирамиды ВАСD 1 , опущенная из точки В на плоскость АD С 1 = d .

Найдем объем этой пирамиды двумя способами.

,
или

Ответ:

    В правильной 3-угольной пирамиде сторона основания равна 12см. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен π/3.

Решение.

Т.к. пирамида SABCD правильная, в основании лежит правильный треугольник АВС, АВ = 12см, высота SO пирамиды проектируется в центр основания. Боковые грани – равные равнобедренные треугольники, образующие равные двугранные углы при основании.

Построим линейный угол двугранного угла при основании. Проведем ВК АС,

SK AC , тогда ∟SKB линейный угол двугранного угла при основании пирамиды,

∟SKB = π/3 . ОК – радиус вписанной окружности в правильный Δ АВС,

ОК =
.

Плоскость SKO перпендикулярна плоскости ASB , т.к. она проходит через две прямые, SK и КВ, перпендикулярные прямой АС, лежащей в плоскостиASB .

Построим линейный угол двугранного угла между плоскостями СДВ и АВС. Проведем ДК перпендикулярно ВС, к – середина СВ (Δ СD В равнобедренный с основанием СВ), тогда КА перпендикулярно СВ (Δ САВ равнобедренный с основанием СВ), ∟АКD – линейный угол двугранного угла.

В плоскости АКD проведем КМ перпендикулярно АD , КМ – искомое расстояние от D А до СВ.

Т.к. Δ САВ = Δ СD В по трем сторонам, АК = D К. т.е. Δ АD К равнобедренный с основанием АD , значит, КМ – высота и медиана Δ АD К.

АМ = МD = 3см, (из Δ АСК)

Из Δ АМК .

Название: ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2.

Пособия по математике серии «ЕГЭ 2011. Математика» ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи С2.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по стереометрии.


СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 3
Диагностическая работа. 5
Решения задач 1.1-1.3 диагностической работы. 11
Тренировочная работа 1. Угол между прямыми. 14
Решения задач 2.1-2.3 диагностической работы. 17
Тренировочная работа 2. Угол между прямой и плоскостью. 19
Решения задач 3.1-3.3 диагностической работы. 22
Тренировочная работа 3. Угол между двумя плоскостями. 24
Решения задач 4.1-4.3 диагностической работы. 27
Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой. 29
Решения задач 5.1-5.3 диагностической работы. 32
Тренировочная работа 5. Расстояние от точки до плоскости. 35
Решения задач 6.1-6.3 диагностической работы. 38
Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми. 40
Диагностическая работа 1. 43
Диагностическая работа 2. 49
Диагностическая работа 3. 55
Ответы . 61


Введение
.
Данное пособие предназначено для подготовки к выполнению задания С2 ЕГЭ по математике. Его целями являются:
- показ примерной тематики и уровня трудности геометрических задач, включенных в содержание ЕГЭ;
- проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их готовность к сдаче ЕГЭ;
- развитие представлений учащихся об основных геометрических фигурах и их свойствах, формирование навыков работы с рисунком, умений проводить дополнительные построения;
- повышение вычислительной культуры учащихся.

Пособие содержит задачи на нахождение углов между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями; нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя прямыми. Наличие рисунков помогает лучше понять условия задач, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, провести дополнительные построения и вычисления.

Для решения предлагаемых задач требуются знание определений тригонометрических функций, формул для нахождения элементов треугольника, теоремы Пифагора, теоремы косинусов, умение проводить дополнительные построения, владение координатным и векторным методами геометрии.
Каждая задача оценивается исходя из двух баллов. Один балл начисляется за правильное построение или описание искомого угла или расстояния. Также один балл начисляется за правильно проведенные вычисления и правильный ответ.

Вначале предлагается диагностическая работа на нахождение углов и расстояний для различных многогранников. Для тех, кто хочет проверить правильность решения предложенных задач или убедиться в верности полученного ответа, приводятся решения задач, как правило, двумя различными способами и даются ответы. Затем, для закрепления рассмотренных методов решения задач, предлагаются тренировочные работы на нахождение углов и расстояний для каждого из рассмотренных в диагностической работе видов фигур.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Смирнов В.А. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.