Как решать неравенства с одной переменной. Неравенства с одной переменной
УРОК: «РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Предмет:
Алгебра
Тема:
Решение неравенств с одной переменной
Цели урока:
Образовательные:
организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению таких понятий как решение неравенств с одной переменной, равносильное неравенство, решить неравенство; проверить умение учащихся применять полученные знания и навыки на прошлых уроках для решения поставленных задач на данном уроке.
Воспитательные:
развивать интерес к математике путем использования в практике ИКТ; воспитывать познавательные потребности учащихся; формировать такие личные качества как ответственность, настойчивость в достижении цели, самостоятельность.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания (Актуализация опорных знаний)
1. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков: а) (1;8) и (5;10); б) (-4;4) и [-6;6]; в) (5;+∞) и [-∞;4]
Ответ: а) (1;5); б) (-4;4); в) пересечений нет
2. Запишите промежутки, изображенные на рисунке:
2) 
3) 
Ответ: 1) (2; 6); б) (-1;7]; в) .
Пример3 , решим неравенство 3(х-1)<-4+3х.
Раскроем скобки в левой части неравенства: 3х-3<-4+3х.
Перенесем с противоположными знаками слагаемое 3х из правой части в левую, а слагаемое -3 из левой части в правую и приведем подобные члены: 3х-3х<-4+3,
Как видим, данное числовое неравенство не является верным ни при каких значениях х. Значит, наше неравенство с одной переменной не имеет решения.
Тренажер
Решите неравенство и отметьте его решение:
f) 7x-2,4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Ответ: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).
IV. Выводы
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный. В остальных случаях он остается прежний.
V. Итоговое тестирование
1) Решением неравенства с одной переменной называется…
а) значение переменной, которое обращает его в верное неравенство;
б) значение переменной, которое обращает его в верное числовое
неравенство;
в) переменная, которая обращает его в верное числовое неравенство.
2) Какие из чисел являются решением неравенства 8+5у>21+6у:
а) 2 и 5 б) -1 и 8 в) -12 и 1 г) -15 и -30 ?
3) Укажите множество решений неравенства 4(х+1)>20:
а) (- ∞; 4); б) (4; +∞); в) " title="Rendered by QuickLaTeX.com">
можно изобразить так:
1) Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
2) Если число перед иксом не равно нулю (a-c≠0), обе части неравенства делим на a-c.
Если a-c>0, знак неравенства не изменяется:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Если a-c<0, знак неравенства изменяется на противоположный:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Если a-c=0, то это — частный случай. Частные случаи решения линейных неравенств рассмотрим отдельно.
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Это — линейное неравенство. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как , 10 на числовой прямой отмечаем выколотой точкой. , на минус бесконечность. 
Так как неравенство строгое и точка выколотая, 10 записываем в ответ с круглой скобкой.
Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 10>
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как неравенство нестрогое, -2,3 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка от -2,3 идёт вправо, на плюс бесконечность. 
Так как неравенство строгое и точка закрашенная, -2,3 в ответ записываем с квадратной скобкой.
Это — линейное неравенство. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком.
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Поскольку 3>0, знак неравенства при этом не изменяется:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Так как неравенство строгое, x=2/3 на числовой прямой изображаем выколотой точкой.
Так как неравенство строгое и точка выколотая, в ответ 2/3 записываем с круглой скобкой.
С одной переменной: что такое равносильные неравенства; какие преобразования неравенств являются равносильными, а какие - нет. Эти вопросы мы обсуждали в курсе алгебры, начиная с 8-го класса, да и в настоящем учебнике о них уже шла речь, например, при решении показательных и логарифмических неравенств. Мы снова возвращаемся к этим вопросам потому, что завершая изучение школьного курса алгебры, целесообразно как бы заново переосмыслить общие идеи и методы.
1. Равносильность неравенств
Напомним, что решением неравенства а(х) > п(х) называют всякое значение переменной х, которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство. Иногда используют термин частное решение. Множество всех частных решений неравенства называют общим решением, но чаще употребляют термин решение. Таким образом, термин решение используют в трех смыслах: и как общее решение, и как частное решение, и как процесс, но обычно по смыслу бывает ясно, о чем идет речь.
Определение 1. Два неравенства с одной переменной f(x)>g(x)и p(х)> h(x) называют равносильными, если их решения (т.е. множества частных решений) совпадают.
Вы, конечно, понимаете, что использование в определении знака > непринципиально. Можно и в этом определении, и во всех утверждениях, имеющихся в данном параграфе, использовать любой другой знак неравенства, как строгого, так и нестрогого.
Определение 2. Если решение неравенства
содержится в решении неравенства
то неравенство (2) называют следствием неравенства (1)
Например, неравенство х 2 >9 является следствием неравенства 2х>6. В самом деле, преобразовав первое неравенство к виду х 2 -9 >0и далее к виду (х-3)(х+3) >0 и применив метод интервалов (рис. 245), получаем, что решением неравенства служит объединение двух открытых лучей: 
Решение второго неравенства 2х>6 имеет вид х>3, т.е. представляет собой открытый луч Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.
Любопытно, что ситуация изменится радикальным образом, если в обоих неравенствах изменить знак неравенства. Неравенство 2х < 6 будет следствием неравенства x 2 < 9. В самом деле, решением первого неравенства служит открытый луч . Преобразовав второе неравенство к виду х r - 9 <0 и далее к виду (х-3)(х+3) <06 применив метод интервалов (см. рис. 245), получаем, что решением неравенства служит интервал (-3, 3). Решение второго неравенства является частью решения первого неравенства, а потому первое неравенство - следствие второго.
