Бином ньютона и его применение. Разложение бинома используя значения факториала. Полное число подмножеств
3) Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2 m , т.е.
4) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, т.е.
4. Примеры и задачи на бином Ньютона.
Задача 1. В разложении коэффициент пятого члена относится к коэффициенту третьего члена, как 7: 2. Найти тот член этого разложения, который содержит х в первой степени.
Решение. Биномиальный коэффициент пятого члена равен , коэффициент третьего члена равен . Тогда, по условию,
отсюда n = 9.
Пусть теперь номер члена, содержащего х в первой степени, равен k + 1. Тогда
По условию, показатель степени х должен быть равен 1. Значит, , отсюда k = 3.
Итак, член, содержащий х в первой степени, есть четвертым членом разложения и равен .
Задача 2. В разложении биномиальный коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго. Найти свободный член.
Решение. Коэффициент третьего члена будет , а коэффициент второго - . По условию . Решая уравнение , получаем n = 11 (отрицательное значение отбрасываем). Находим свободный член:
Чтобы x был в нулевой степени, нужно чтобы , т.е. k = 3. Итак, свободный член равен .
Задача 3. Найти все рациональные члены разложения , не выписывая члены иррациональные.
Решение. Напишем общий член разложения данного бинома:
Рациональными члены будут тогда, когда будет целым числом. Выясним, при каких n это выражение будет целым.
Чтобы для n получались целые значения, нужно придавать значения m , кратные пяти, но при этом такие, чтобы число n не выходило из интервала 0 и 20. Такие значения для m будут: -10; -5; 0; 5, а соответствующие числа для n : 20, 14, 8, 2. Искомые члены будут:
Задача 4. Дано многочлен
x (2 - 3 х ) 5 + x 3 (1 + 2 x 2) 7 - х 4 (3 + 2 х 3) 9 .
Найти коэффициент члена, содержащего х 5 , если выполнить указанные действия.
Решение. В разложении х (2 - 3 х ) 5 член, содержащий х 5 , равен xT 4+1 , где - пятый член разложения бинома (2 - 3 х ) 5:
В разложении х 3 (1 + 2 х 2) 7 член, содержащий х 5 , равен x 3 T 1+1 , где T 1+1 - второй член разложения бинома (1 + 2 х 2) 7:
Разложение х 4 (1 + 2 х 3) 9 не содержит х 5 .
Итак, коэффициент члена (данного многочлена), содержащего х 5 , равен 824.
Задача 5. Многочлен х ⁴ - 3 x ³ + x ² + 1 разложить по убывающим степеням х + 1.
Решение. Заменив х на (х + 1) -1, получим
х ⁴ - 3 x ³ + x ² + 1 = [(х + 1) - 1]⁴ - 3[(х + 1) - 1]³ + [(х + 1) - 1]² + 1.
Если теперь раскрыть по формуле бинома Ньютона выражение [(х + 1) - 1] k , где k = 2, 3, 4, рассматривая х + 1 как один член, то после приведения подобных членов получим (х + 1)⁴ - 7(х + 1)³ + 16(х + 1)² - 15(х + 1) + 6.
Задача 6. Сколько рациональных членов содержится в разложении
Решение. Имеем:
Так как для рациональности члена показатели и должны быть целыми числами, то число n должно быть кратно 3 и 2, т.е. кратно 6. Но 0 ≤ n ≤ 100 и числа n , кратные шести, будут 0, 6, 12,..., 96. Подсчитаем число m их, получим: 96 = 0 + 6(m - 1), 6(m - 1) = 96, m - 1 = 16, m = 17.
5. Историческая справка о биноме Ньютона. Разложение выражения (a + b )ⁿ в ряд для целых значений n было известно грекам лишь для случая n = 2. Обобщение для любого целого n было сделано среднеазиатскими математиками Омаром Хайямом и ал-Каши. Ал-Каши пользуется биномом для приближенного вычисления корня любой степени из целого числа; с этой целью он составил таблицу биномиальных коэффициентов.
Эта таблица носит название треугольника Паскаля. В Западной Европе она впервые была опубликована в руководствах по арифметике Апиануса в 1527 г. и Штифеля в 1544 г. В 1556 г. Тарталья также опубликовал таблицу биномиальных коэффициентов, причем объявил ее своим изобретением. В 1631 г. исследованием таблицы занимался Аутред, изобретатель логарифмической линейки; несколько позже, в 1654 г., была опубликована работа Паскаля.
В 1676 г. формулу бинома распространил на отрицательные и дробные показатели И. Ньютон, хотя не дал ее доказательства. Последнее было дано Маклореном для рациональных значений п, Эйлером в 1774 г. для дробных показателей. Наконец, в 1825 г. великий норвежский математик Нильс Гендрик Абель (1802-1829) доказал теорему бинома для любого комплексного числа n .
Положим в формуле бинома Ньютона :
Эту формулу удобно применять для приближенных вычислений при малых значениях x ().
Пример 1 . Используя формулу бинома Ньютона, вычислить с точностью до .
По приведенной выше формуле имеем:
Оценим третье слагаемое в этой сумме.
остальные слагаемые еще меньше. Поэтому все слагаемые, начиная с третьего, можно отбросить. Тогда
Пример 2 . Вычислить с точностью до 0,01.
Оценим третье слагаемое:
Оценим четвертое слагаемое:
Значит все слагаемые, начиная с четвертого, можно отбросить. Получим
2.1.14. Контрольные вопросы и упражнения
1. Выборка, среди элементов которой нет одинаковых, а порядок записи элементов важен, является ______________________ .
2. Выборка, среди элементов которой нет одинаковых, а порядок записи элементов безразличен, является ________________________ .
3. Количество размещений с повторениями из n элементов по r
__________ = ________________________ .
4. Количество сочетаний из n элементов по r элементов определяется по формуле
____________ = ________________________ .
5. Сформулируйте основные правила комбинаторики.
6. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для письма, если имеется 5 конвертов и 4 марки?
7. Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр {1,2,3,4,5,6,7,8,9}?
8. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (все полосы горизонтальные), если имеются ткани пяти различных цветов?
9. Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 7 футбольных команд, если известно, что все команды набрали различное количество очков?
10. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек, если имеется 7 бегунов?
11. Сколькими способами можно разложить 12 различных предметов по четырем различным ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось по три предмета?
12. Сколькими способами можно разложить 6 одинаковых шаров по четырем различным ящикам?
13. Запишите разложение бинома .
14. Докажите свойство симметрии биномиальных коэффициентов, сравнив формулы для и .
15. Найдите максимальный числовой коэффициент в разложении бинома .
16. Пользуясь формулой бинома Ньютона, вычислите с точностью до .
Группы подстановок
Понятие группы
Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце VIII века. Она дала мощные средства для исследования алгебраических уравнений, геометрических преобразований, а также для решения ряда задач топологии и теории чисел. Специалисты, занимающиеся обработкой информации, используют методы теории групп при кодировании и декодировании информации.
Мы рассмотрим лишь небольшую часть теории групп и некоторые ее приложения. Наша первая задача – выяснить, что же такое группа.
Для этого сначала определим понятие бинарной алгебраической операции .
Бинарная операция на множестве – это соответствие, при котором каждой упорядоченной паре элементов данного множества отвечает однозначно определенный элемент того же множества. Так, действие сложения есть бинарная операция на множестве целых чисел; в самом деле, если r и s – любые два целых числа, то тоже является целым числом.
Определение 1. Непустое множество G с заданной на нем бинарной алгебраической операцией Ä называется группой , если:
1) операция Ä ассоциативна;
2) существует единичный элемент такой, что для каждого выполняется условие: ;
3) для каждого существует обратный элемент такой, что .
Эти три условия, необходимые для того, чтобы множество G с заданной на нем операцией Ä являлось группой, называются аксиомами группы .
Пример 1. Рассмотрим в качестве множества G множество всех целых чисел Z , а в качестве бинарной операции – сложение.
Проверим для пары (Z , +) аксиомы группы.
1) Ассоциативность. Сложение чисел ассоциативно: для любых Z , ;
2) Единичный элемент: нуль является единичным элементом для рассматриваемого множества относительно операции сложения, так как для каждого Z выполняется условие: ;
3) Обратный элемент: для каждого Z существует элемент –x , такой, что .
Итак, проверка показывает, что (Z , +) – группа.
Пример 2. Рассмотрим то же множество Z , но теперь с операцией умножения, т.е. рассмотрим пару (Z , ·). Проверим аксиомы группы.
1) Ассоциативность. Умножение чисел ассоциативно: для любых Z , ;
2) Единичный элемент: число 1 является единичным элементом рассматриваемого множества относительно операции умножения, т.е. для каждого Z выполняется условие: ;
3) Обратный элемент. Так как аксиома должна выполняться для любого элемента множества Z , то попытаемся найти обратный элемент для числа 2, т.е. нужно найти Z , такой что или . Такого целого числа не существует, таким образом, множество целых чисел, с заданной на нем операцией умножения, не является группой.
Определение 2. Множество называется подгруппой группы G , если оно замкнуто относительно операции Ä, , и для каждого обратный элемент .
Группа подстановок
Пусть множество X состоит из n элементов , расположенных в произвольном, но фиксированном порядке.
Биекция называется подстановкой .
В случаях, когда природа элементов не имеет значения, удобно обращать внимание только на индексы и считать, что мы имеем дело с множеством . Следовательно,
.
Обозначим - множество всех подстановок на A . Очевидно, что .
На множестве будем рассматривать операцию перемножения (композиции) подстановок и :
Для любого .
Эта операция обладает свойствами:
1) - выполняется свойство ассоциативности;
2) существует подстановка , для которой для каждого - выполняется аксиома существования единичного элемента;
3) для любого существует такое, что - выполняется аксиома существования обратного элемента.
Следовательно, множество образует группу относительно операции перемножения перестановок. Отметим, что эта операция не является коммутативной, то есть , например,
,
.
Рассмотрим произвольную подстановку . Элемент такой, что будем называть стационарным относительно подстановки . Пусть - все нестационарные элементы подстановки , причем, , где k – наименьшее из всех возможных. Такая подстановка называется циклом длины k и записывается в виде .
Пример 1. Пусть .
Стационарный элемент . Подстановка является циклом длины и может быть записана в виде .
Пример 2. Пусть .
Подстановка p не является циклом, но может быть представлена в виде композиции двух циклов:
причем эти циклы являются непересекающимися, т.е. не имеют общих нестационарных элементов.
Теорема 1. Любая подстановка может быть представлена в виде композиции непересекающихся циклов длины :
.
Доказательство теоремы дает процедуру построения циклов.
Найдем в A наименьший нестационарный относительно элемент , т.е. и для каждого выполняется условие: если , то . (Если такого элемента не существует, то является тождественной подстановкой () и ее можно рассматривать как пустое произведение циклов).
Будем строить образы элемента , до тех пор, пока не получим при наименьшем из возможных k (). Тогда подстановка
определяет цикл длины k внутри подстановки . Если все нестационарные элементы подстановки содержатся в , то . В противном случае найдем - наименьший из нестационарных элементов подстановки , не входящий в цикл . Строим цикл
Очевидно, что и - непересекающиеся. Если все нестационарные элементы исчерпаны, то , в противном случае повторяем процесс, пока каждый нестационарный элемент не войдет в какой-либо цикл. В конечном итоге получим .
Пример . Представить в виде композиции циклов подстановку
.
Значит ;
Значит ;
Стационарный элемент.
Следовательно, .
Определение. Порядком подстановки называется наименьшее натуральное число p такое, что .
Теорема 2. Порядок подстановки равен наименьшему общему кратному порядков циклов в ее разложении на непересекающиеся циклы.
В качестве упражнения предлагается провести доказательство теоремы самостоятельно.
Изоморфизм групп
Определение. Группы и называются изоморфными , если существует биекция , сохраняющая групповую операцию, т.е.
для всех .
Пример. Пусть - группа преобразований правильного треугольника в себя , где - тождественное преобразо-вание, - поворот вокруг точки O на 120°, - поворот вокруг точки O на 240°, - отражение относительно осей симметрии I, II, III соответственно (рис. 2.3).
2
Рис. 2.3. Преобразование правильного треугольника
В качестве группы рассмотрим группу подстановок на множестве вершин треугольника , где
Легко убедиться, что биекция группы на группу является изоморфизмом .
Будем называть порядком конечной группы количество ее элементов . при
Решение задачи провести самостоятельно.
Самосовмещения фигур
Обширный и очень важный класс разнообразных групп как конечных, так и бесконечных составляют группы “самосовмещений” геометрических фигур. Под самосовмещением данной геометрической фигуры F понимают такое перемещение фигуры F (в пространстве или на плоскости), которое переводит F в самое себя, т.е. совмещает фигуру F с самой собой.
Мы уже познакомились с одной из простейших групп самосовмещений, а именно с группой поворотов правильного треугольника на плоскости и показали, что она изоморфна некоторой подгруппе группы подстановок . Аналогичным образом можно построить группы самосовмещений других геометрических фигур и показать их изоморфизм с подгруппой группы .
Задача ; оси III - ; оси IV - .
Таким образом, мы получили группу подстановок, изоморфную группе самосовмещений квадрата:
2.2.5. Контрольные вопросы и упражнения
1. Что такое группа?
2. Дано множество . Проверить, является ли данное мно-жество группой относительно операции умножения.
3. Что такое подгруппа?
4. Привести пример подстановки, которая является полным циклом.
5. Объяснить процедуру разложения подстановки в произведение независимых циклов.
6. Чему равен порядок подстановки ?
7. Какие группы называются изоморфными?
8. Приведите примеры самосовмещений геометрических фигур.
Наука и жизнь // Иллюстрации
Блез Паскаль (1623- 1662).
Исаак Ньютон (1643-1727).
Треугольник Паскаля.
Сегодня, как и лет тридцать-сорок назад, абитуриенты на вступительных экзаменах в вуз традиционно опасаются вытянуть билет с вопросом о биноме Ньютона. (Автор формулы - великий английский физик, математик, астроном и философ сэр Исаак Ньютон.) Дело не только в том, что формула кажется сложной. Изучение её то включали в программу средней школы, то выводили за рамки основного курса, но в серьёзных вузах экзаменаторы спрашивали и продолжают спрашивать о биноме Ньютона.
На самом деле бояться тут особенно нечего. Бином Ньютона - формула разложения произвольной натуральной степени двучлена \((a+b)^n \) в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» \((a+b)^2 \) и «куба суммы» \((a+b)^3 \), но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона:
\[ (a+b)^n = a^n + \frac{n}{1!}a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \ldots + b^n. \]
В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:
\[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где k - порядковый номер слагаемого в многочлене.
Напомним, что факториал - произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть \(1*2*3*\ldots*n \) - обозначается n!, например, \(4! = 1*2*3*4 = 24 \).
Запомнить формулу действительно непросто. Но попытаемся её проанализировать. Видно, что в любом многочлене присутствуют a n и b n с коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена (a+b), причём сумма степеней всегда равна n. Например, в выражении \[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] сумма степеней сомножителей во всех членах равна трём (3, 2+1, 1+2, 3). То же самое справедливо и для любой другой степени. Вопрос лишь в том, какие коэффициенты следует ставить при членах.
Видимо, для того чтобы облегчить труд школяров и студентов, великий французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов - «треугольник Паскаля».
Строится он следующим образом.В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению \((a+b)^0, \) поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень:\((a+b)^1 = a+b. \) Идём дальше. Стороны треугольника образуют единицы, а между ними - сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:
\[ a^2 + 2ab + b^2. \]
Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними - суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.
Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени:
\[ (a + b)^6 = a^6+6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6. \]
Всё очень несложно и запоминается на всю жизнь. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав на черновике треугольник Паскаля, тоже намного проще.
Некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.
учитель математики МОУ «СОШ №36», г. Ангарск
Бином Ньютона – одна из тем, рассмотрение которых способствует глубинному пониманию учащимися на только комбинаторных понятий, но и формул сокращенного умножения. В данной статье представлен один из вариантов лекции для старшеклассников по теме «Бином Ньютона».
Тема: «Бином Ньютона»
План лекции 1. Понятие бинома Ньютона
2. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов
3. Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»
4. Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)
Литература
1. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. : Учеб. пособие. Санкт-Петербург, 1995. – с.84.
2. Супрун задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998. – 108с.
Понятие бинома Ньютона
Биномом Ньютона называют разложение вида:
Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного.
Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.
Компоненты формулы «бином Ньютона»:
ü правая часть формулы – разложение бинома;
ü – биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).
Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.
Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:
Альтернатива треугольнику Паскаля:
1) перемножить почленно четыре скобки:
2) вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:
ü общий член разложения бинома n-й степени: ,
где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения.
– 2 –
Свойства бинома и биномиальных коэффициентов
1.
2..gif" width="64" height="25">-й член разложения:
Сумма показателей степеней a и b : https://pandia.ru/text/78/392/images/image013_7.gif" width="92" height="29 src="> (правило симметрии)
5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна
Доказательство
Пусть , тогда:
o левая часть равна ;
o правая часть равна
6. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна
7..gif" width="84 height=45" height="45">
– 3 –
Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»
К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:
1. Найти член (номер члена) разложения бинома
2. Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)
3. Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома
и другие.
Продемонстрируем на примерах (их решение несложное, поэтому большинство предлагаем решить самостоятельно).
Пример 1
Разложить по формуле бином
Решение – самостоятельно
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знакочередование!
Пример 2
Найти шестой член разложения
Решение – самостоятельно
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знак!
Лучше начинать рассуждения со следующего: https://pandia.ru/text/78/392/images/image029_2.gif" width="95" height="29 src=">
Решение – самостоятельно
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на то, что эти члены равноотстоят от конца, поэтому их биномиальные коэффициенты будут равны.
НЕ ЗАБУДЬТЕ в процессе решения проводить преобразования степеней с одинаковыми основаниями (то есть упрощать).
Пример 4
В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х
Так как в разложении мы ищем член не содержащий х , то
– 4 –
Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона
(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)
К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.
Пример 5
Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли :
Доказательство
Так как , то
Переформулируем требование: Доказать, что https://pandia.ru/text/78/392/images/image041_0.gif" width="88" height="25 src=">
Так как , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда:
Это означает, что
Пример 6
Доказать, что
Доказательство – самостоятельно
(Подсказка: используйте неравенство Бернулли)
Пример 7
Доказать, что при любом натуральном n число делится на 9
Доказательство
Начнем рассматривать бином в общем виде: