Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. В качестве примера рассмотрим график функции, которая на промежутках и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке не является непрерывной. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, – это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.

Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.

Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция
у = |log 2 x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.

Рассмотрим построение графиков с помощью производной.

Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.

Решение.

1) Эта функция определена при всех х € R.

2) Найдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. Производная равна f "(x) = 3x 2 – 4x + 1. Найдем стационарные точки:
3x 2 – 4x + 1 = 0, откуда х 1 = 1/3, х 2 = 1.

Для определения знака производной разложим квадратные трехчлен 3x 2 – 4x + 1 на множители:
f "(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Следовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производная положительна; значит, функция возрастает на этих промежутках.

Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Точка х 1 = 1/3 является точкой максимума, так как справа от этой точки функция убывает, а слева – возрастает. В этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Точкой минимума является точка х 2 = 1, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равняется f (1) = 0.

3) При построение графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(0) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:

x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.

4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.

Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.

Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определения;

2) производную;

3) стационарные точки;

4) промежутки возрастания и убывания;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и – при необходимости – еще несколько точек графика.

Если же мы сталкиваемся с четной или нечетной функцией, то для построения ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Например, анализируя функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данная функция нечетная: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). Выполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х > 0 относительно начала координат.

Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.

Также отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнуться с необходимостью исследования функции не на всей области определения, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 на отрезке [-1; 2].

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f"(x)

Определение:

x 0 называется критической точкой функции f(x), если

1) x 0 – внутренняя точка области определения f(x) ;

2) f"(x 0)=0 или f"(x 0) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x 0 – точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x 0 производная функции меняет знак, то x 0 – точка экстремума функции f(x).

Примеры экстремумов:

Схема исследования функции.

1. Найти область определения функции.
2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.
4. Найти производную функции и ее критические точки.
5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке .

1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;
2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;
3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Задачи и тесты по теме "Применение производной к исследованию функций"

• Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы - Производная 10 класс

  Уроков: 3 Заданий: 10 Тестов: 1

• Производная и первообразная

  Заданий: 3

• Определение производной - Производная 10 класс

  Уроков: 4 Заданий: 9 Тестов: 1

• Применение производной для отыскания наибольших и наименьших величин - Производная 10 класс

  Уроков: 2 Заданий: 9 Тестов: 1

• Наибольшее и наименьшее значение функций - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике

  Заданий: 5

Проработав данную тему, Вы должны научиться применять производную для исследования функций на монотонность и экстремумы, для нахождения наибольших и наименьших значений функций. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах. Обратите внимание, что решение всегда начинается с нахождения области определения исследуемой функции.

Примеры.

1. Найти промежутки убывания и возрастания функции

Решение:

4)

(для определения знаков производной использовали метод интервалов)

Ответ: при функция убывает, при функция возрастает.

2. Исследовать функцию f(x)=x 3 -3x 2 +4 с помощью производной и построить ее график.

Решение:

4)

x=0 – точка максимума, x=2 – точка минимума.

5) f(0)=4; f(2)=0

Используя результаты исследования, строим график функции: f(x)=x 3 -3x 2 +4

Осипцова Галина Петровна

Место работы, должность:

МБОУ "Средняя общеобразовательная школа №12" города Выборга, учитель математики.

Ленинградская область

Характеристики урока (занятия)

Уровень образования:

Среднее (полное) общее образование

Целевая аудитория:

Учитель (преподаватель)

Класс(ы):

Предмет(ы):

Алгебра

Предмет(ы):

Математика

Цель урока:

Сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков.

Развивать логическое мышление, умение анализировать, умение ставить проблему, решать ее.

Воспитывать желание высказывать свое мнение.

Тип урока:

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Учеников в классе:

Используемые учебники и учебные пособия:

УМК: С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин

Используемая методическая литература:

М.К. Потапов, А.В.Шевкин "Алгебра и начала математического анализа, 10". Книга для учителя. М: "Просвещение" 2010.

Используемое оборудование:

Компьютер, документ камера, таблица с алгоритмом исследования функции, карточки с заданиями.

Краткое описание:

1. Системно-деятельностный подход при построении урока алгебры и начал анализа в 11 классе.

Урок алгебры и начал анализа в 11 классе

(УМК: С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин)

Тема урока : «Применение производной к построению графиков функций»

Основные цели урока:

сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков;

развивать умение ставить проблему, решать ее, логическое мышление, умение анализировать;

воспитывать желание высказывать свое мнение.

Оборудование и раздаточный материал: компьютер, документ камера, таблица с алгоритмом исследования функции, карточки с заданиями.

Ход урока

Мотивация учебной деятельности.

Здравствуйте, ребята.

Что нового вы узнали на предыдущих уроках? (как с помощью производной найти критические точки, промежутки возрастания, убывания функции, ее экстремумы, наибольшее (наименьшее) значение).

На этом уроке мы продолжим исследовать функции с помощью производной.

Актуализация знаний.

На экране вы видите график функции y = f (x):

Какие свойства функции можно определить по графику? Назовите их.

Ответ: 1) D(f) = R;

2) функция непрерывна

3) Функция возрастает на отрезке [-2; 0,5] и на промежутке и на , а, значит, f "(x) < 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

точки максимума функции:x точки минимума: x = -2 x = 3;

4)наибольшее значение функции не существует, наименьшее равно-2 при = 3;

E(f) = [-2; +∞).

Как найти точки экстремумов функции? (Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «-», то данная точка является точкой максимума, если же производная при переходе через критическую точку меняет знак с

«-»на «+», то данная точка является точкой минимума, если производная при переходе через критическую точку знак не меняет, то данная критическая точка не является точкой экстремума.

− Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции у = f (x ), заданной аналитически.

Учащиеся формулируют, на экране последовательно открываются шаги алгоритма.

Алгоритм.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки.

4. Отметить на числовой прямой область определения и критические точки. Пользуясь обобщенным методом интервалов, определить знаки производной на полученных промежутках.

5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

А теперь исследуйте функцию f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Учитель записывает на доске под диктовку учащихся. Учащиеся работают в тетрадях.

1. D(f) = R, f(x) непрерывна на D(f).

   Функция ни четная, ни нечетная, непериодическая.

Точки пересечения

с осью х: (0; 0) и (-3; 0), т. к.

f(x) = 0, т. е. ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

⅓x (x² + 6 x + 9) = 0

⅓x (х + 3)² = 0

с осью у: (0; 0).

Производная функции: f "(x) = x² + 4х + 3, D(f "(x)) =R

критические точки: f "(x) = 0 при х = -3, х = -1.

Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки производной на полученных промежутках:

f "(x) > 0 на (-∞; -3) и на (-1; +∞); f "(x) < 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

fmax = 0 при х = -3, fmin = -4 при х = -1

4) Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Что вы повторили?

Как вы думаете, какое следующее задание я вам предложу?

Итак, вы провели исследование функции. А теперь вам надо, используя результаты исследования, построить график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Возникнут ли у вас затруднения?

3. Выявление затруднений, проблемы

Учитель предлагает нескольким учащимся озвучить затруднения.

Какое задание вы должны были выполнить? (Используя данные исследования, построить график функции).

Почему у вас возникли затруднения? (Не знаем способа построения графиков по данным исследования функции).

Что вы используете для исследования функции? (Производную).

4. Построение проекта выхода из затруднения .

Сформулируйте цель вашей деятельности. (Узнать способ построения графика, используя исследование функций с помощью производной).

Сформулируйте тему урока. (Применение производной для построения графиков функций).

Тема урока открывается на доске.

Итак, у вас возникло затруднение при построении графика функции. Что вы раньше использовали для построения графиков функций? (таблицы с некоторыми точками, принадлежащими графику).

Но часто точки не дают объективной картинки графика. И теперь, зная алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу? (нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по таблице построить график).

5. Реализация построенного проекта

На доске открывается пустая таблица:

Вы исследовали функцию f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Перечислите шаги, которые вы выполняли при исследовании функции.(По ходу заполняется таблица)

Результаты, полученные в таблице, переносим на координатную плоскость.

Что еще можно сделать, чтобы более точно построить график? (Можно найти несколько дополнительных точек, принадлежащих графику функции).

На доске появляется график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Вы построили график функции.

Как вы это сделали? (Мы создали алгоритм построения графика). (Еще раз проговариваем этапы исследования функции и построения ее графика).

Алгоритм построения графика с помощью производной..

1. D (f), непрерывность f(x);
2. f "(x);
3. f "(x) =0, f "(x) не существует;

дополнительные точки;

6. Первичное закрепление приобретенных знаний.

Что теперь необходимо сделать? (надо научиться использовать алгоритм для построения графиков).

Постройте теперь график функции. f (x ) = х + .

Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные работают в тетрадях.

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞), f(x) непрерывна на D (f).
2. Производная функции:f "(x) = 1 - 4/ x².

   D(f ") = (-∞; 0) U (0; + ∞).

Критические точки: = 0 при х = 2 и х = -2, точек, в которых f"() не существует - нет.

5. Дополнительные точки:

6. График функции:

Попытайтесь изобразить график самостоятельно.

На экране появляется график для проверки.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять построенный алгоритм.

	Вариант 1. Исследовать функцию и построить ее график Вариант 2. По частично проведенному исследованию построить график функции

Учащиеся выполняют задание самостоятельно, после выполнения работы учащиеся сопоставляют свои работы с подробным образцом:

Вариант 1 .

1) D (f) = R , функция непрерывна.

2) y | = 3x 2 - 6x

3) 3x 2 - 6x = 0; D (f | ) = R

х 1 = 0; х 2 = 2

¦ / (х )

Вариант 2.

1) D (f) = R , функция непрерывна.

2) y ¢ = 6x 2 - 6

3) 6x 2 - 6 = 0; D (f | ) = R

х 1 = − 1; х 2 = 1

− У кого задание вызвало затруднение?

− На каком шаге алгоритма?

− В чем причина возникшего затруднения?

− У кого задание выполнено правильно?

8. Включение в систему знаний и повторение.

Давайте теперь посмотрим, в каких заданиях ЕГЭ можно применить полученные знания.

Решите задачи:

1. Найдите множество значений функции .

2. При каких значениях параметра р уравнение = p имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?

1) Ответ: (− ¥; − 4] U }