Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Третий признак равенства треугольников по трем сторонам формулируется в виде теоремы.

Теорема : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. рассмотримΔABC и ΔA 1 B 1 C 1 у которых AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 . Докажем, что ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Пусть ABC и A 1 B 1 C 1 – треугольники, у которых AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Наложим ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместиласьA 1 , а вершины B и B 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 В 1 . Возможны три случая: 1) луч С 1 С проходит внутри угла А 1 С 1 В 1 (рис. а)); 2)луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. б)); луч С 1 С проходит вне угла А 1 С 1 В 1 (рис. в)). Рассмотрим первый случай. Так как по условию теоремы стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники А 1 С 1 С и В 1 С 1 С - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4, поэтому ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 С 1 B 1 . Итак, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 . Следовательно, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 равны по первому признаку равенства треугольников.

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1

Доказать: ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Доказательство. Наложим ∆ABC на ∆A 1 B 1 C 1 так, чтобы A →A 1 , а B → B 1 , а С и С 1 оказались по разные стороны от прямой A 1 В 1 . Рассмотрим случай. луч С 1 С проходит внутри ÐА 1 С 1 В 1 (рис. а)).

АС=A 1 C 1 , ВС=В 1 С 1 ═> ΔА 1 С 1 С и ΔВ 1 С 1 С - равноб. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (по св-ву углов равноб. Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 С 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = ÐС 1 ═>

ΔABC=ΔА 1 В 1 С 1 по первому признаку равенства треугольников.

2.Ромб. Определение, свойства, признаки.

Ромб является разновидностью четырехугольника.

Определение : Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке изображён параллелограмм ABCD у которого AB=BC=CD=DA. По определению этот параллелограмм – ромб. АС и ВD – диагонали ромба. Поскольку ромб – параллелограмм, для него справедливы все свойства и признаки параллелограмма.

Свойства :

1) В ромбе противоположные углы равны (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. (BО=ОD, AО=ОC)

3) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся его углы пополам. (АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО) (особое свойство)

4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 0 (ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0)

признаками ромба:

1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб

2) Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм ромб.

3) если в параллелограмме все стороны равны, то он является ромбом.

Запись на доске.

Свойства :

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD2) BО=ОD, AО=ОC

3) АС DВ, ‌‌ÐАBО=ÐОВС, ÐADО=ÐОDC, ‌‌ÐBСО=ÐDСО, ÐDАО=ÐВАО

4) ÐA+ÐВ= ÐС+ÐD=ÐВ+ÐC=ÐА+ÐD=180 0

Обратные утверждения являются признаками ромба:

1 ) Если ABСD – парал-м, и АС DВ, то – ABСD - ромб.

2) Если ABСD – парал-м, и АС и DВ - биссектрисы, то – ABСD - ромб.

3) Если ABСD – парал-м, и АС=DВ и BC=AD, то – ABСD - ромб.

Задача.

>>Геометрия: Третий признак равенства треугольников. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Третий признак равенства треугольников.

Цели урока:

• Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Признаки равенства треугольников”; выработка основных навыков.
• Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
• Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

• Формировать навыки в построении треугольников с помощью масштабной линейки, транспортира и чертежного треугольника.
• Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

1. Из истории математики.
2. Признаки равенства треугольников.
3. Актуализация опорных знаний.
4. Прямоугольные треугольники.

Из истории математики.
Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса.

Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa, означающего тянущаяся под чем либо, стягивающая. Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок.

Термин катет происходит от греческого слова «катетос », которое означало отвес, перпендикуляр. В средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века.

Евклид употребляет выражения:

«стороны, заключающие прямой угол», - для катетов;

«сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы.

Для начала нам необходимо освежить в памяти предыдущие признаки равенства треугольников. И так начнем с первого.

1-ый признак равенства треугольников.

1) по двум сторонам и углу между ними

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 угол A равен углу А 1 , АВ равно А 1 В 1, АС равно А 1 С 1 . Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы угол A совместился с углом A 1 . Так как АВ=А 1 В 1 , а АС=А 1 С 1 , то B совпадёт с В 1 , а C совпадёт с С 1. Значит, треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

2) по стороне и прилежащим к ней углам

Доказательство:

ПустьАВС и А 1 В 1 С 1 - два треугольника, у которых АВ равно А 1 В 1, угол А равен углу А 1 , и угол В равен углу В 1 . Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы AB совпало с A 1 B 1. Так как ∠ВАС =∠В 1 А 1 С 1 и ∠АВС=∠А 1 В 1 С 1 , то луч АС совпадёт с А 1 С 1 , а ВС совпадёт с В 1 С 1 . Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С 1. Значит, треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

3) по трём сторонам

Доказательство :

Рассмотрим треугольники ABC и A l B l C 1, у которых АВ=А 1 В 1 , BC = B l C 1 СА=С 1 А 1. Докажем, что ΔАВС =ΔA 1 B 1 C 1 .

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A 1 , вершина В — с вершиной В 1 , а вершины С и С 1 , оказались по разные стороны от прямой А 1 В 1 . Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С 1 С про-ходит внутри угла А 1 С 1 В 1 . Так как по условию теоремы стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники A 1 C 1 C и В 1 С 1 С — равнобедренные . По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

2) Луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , C 1 BC - равнобедренный , ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

3) Луч C 1 C проходит вне угла А 1 С 1 В 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

Итак, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ∠C=∠C 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по
первому признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

2. Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и A n провести прямую и к ней параллельные через точки A 1 - A n -1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство. AB=CD

1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB 2 B 1 A 1 и CD 2 D 1 C 1 . Согласно свойству параллелограмма : AB 2 = A 1 B 1 и CD 2 = C 1 D 1 .

2. ΔABB 2 =ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB 1 и DD 1 прямой BD.

3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB 2 = CD 2 как соответственные элементы в равных треугольниках.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1

Видеоурок «Третий признак равенства треугольников» содержит доказательство теоремы, представляющей собой признак равенства двух треугольников по трем сторонам. Данная теорема является важной частью геометрии. Она часто используется для решения практических задач. Ее доказательство базируется на известных уже ученикам признаках равенства треугольников.

Доказательство данной теоремы сложое, поэтому для улучшения качества обучения, формирования умения доказывать геометрические утверждения желательно использовать данное наглядное пособие, которое поможет сконцентрировать внимание учеников на изучаемом материале. Также оно при помощи анимации, наглядной демонстрации построений и доказательства дает возможность улучшить качество обучения.

В начале урока демонстрируется название темы и формулируется теорема о том, что треугольники равны в случае, если все стороны одного треугольника попарно равны всем сторонам второго треугольника. Текст теоремы демонстрируется на экране и может быть записан учениками в тетрадь. Далее рассматривается доказательство данной теоремы.

Для доказательства теоремы строятся треугольники ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 . Из условия теоремы следует, что стороны попарно равны, то есть АВ=А 1 В 1 , ВС=В 1 С 1 и АС=А 1 С 1 . В начале доказательства демонстрируется наложение треугольника ΔАВС на ΔА 1 В 1 С 1 так, чтобы вершины А и А 1 , а также В и В 1 данных треугольников совместились. При этом вершины С и С 1 должны располагаться по разные стороны от наложенных сторон АВ и А 1 В 1 . При данном построении возможно несколько вариантов расположения элементов треугольников:

1. Луч С 1 С лежит внутри угла ∠А 1 С 1 В 1 .
2. Луч С 1 С совпадает с одной из сторон угла ∠А 1 С 1 В 1 .
3. Луч С 1 С лежит вне угла ∠А 1 С 1 В 1.

Каждый случай необходимо рассматривать отдельно, так как доказательство не может быть одинаковым для всех данных случаев. В первом случае рассматривается два треугольника, образованных в результате построения. Так как по условию в данных треугольниках стороны АС=А 1 С 1 , а ВС=В 1 С 1 , то получившиеся треугольники ΔВ 1 С 1 С и ΔА 1 С 1 Сравнобедренные. Используя изученное свойство равнобедренных треугольников, мы можем утверждать, что углы ∠1 и ∠2 равны между собой, а также ∠3 и ∠4 равны. Так как данные углы равны, то и в сумме ∠1 и ∠3, а также ∠2 и ∠4 также будут давать равные углы. Поэтому углы ∠С и ∠С 1 равны. Доказав данный факт, мы можем заново рассмотреть треугольники ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 , в которых стороны ВС=В 1 С 1 и АС=А 1 С 1 по условию теоремы, и доказано, что углы между ними ∠С и ∠С 1 также равны. Соответственно, данные треугольники будут равны по первому признаку равенства треугольников, который уже известен ученикам.

Во втором случае при наложении треугольников точки С и С 1 легли на одну прямую, проходящую через точку В(В 1). В сумме двух треугольников ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 получился треугольник ΔСАС 1 , в котором две стороны АС=А 1 С 1 по условию теоремы являются равными. Соответственно, данный треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике при равных сторонах лежат равные углы, поэтому можно утверждать, что углы ∠С=∠С 1 . Также из условия теоремы следует, что стороны ВС и В 1 С 1 равны между собой, поэтому ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 с учетом изложенных фактов равны между собой по первому признаку равенства треугольников.

Доказательство в третьем случае, аналогично первым двум, использует первый признак равенства треугольников. Построенная наложением треугольников геометрическая фигура при соединении отрезком вершин С и С 1 преобразуется в треугольник ΔВ 1 С 1 С. Данный треугольник является равнобедренным, так как его стороны В 1 С 1 и В 1 С по условию равны. А при равных сторонах в равнобедренном треугольнике углы ∠С и ∠С 1 также равны. Так как по условию теоремы равны стороны АС=А 1 С 1 , то углы при них в равнобедренном треугольнике ΔАСС 1 также равны. С учетом того, что углы ∠С и ∠С 1 равны, и углы ∠DCAи ∠DC 1 A равны между собой, то и углы ∠АСВ и ∠АС 1 В также равны. Учитывая данный факт, для доказательства равенства треугольников ΔАВС и ΔА 1 В 1 С 1 можно использовать первый признак равенства треугольников, так как две стороны у данных треугольников равны по условия, а равенство углов между ними доказано в ходе рассуждений.

В конце видеоурока демонстрируется важное приложение третьего признака равенства треугольников - жесткость данной геометрической фигуры. На примере разъясняется, что значит данное утверждение. В качестве примера гибкой конструкции приводятся две рейки, соединенные гвоздем. Данные рейки могут быть раздвинуты и сдвинуты под любым углом. Если же к рейкам прикрепить еще одну, соединенную концами с имеющимися рейками, то мы получим жесткую конструкцию, в которой невозможно поменять угол между рейками. Получение треугольника с данными сторонами и другими углами невозможно. Это следствие теоремы имеет важное практическое значение. На экране изображаются инженерные конструкции, в которых применяется данное свойство треугольников.

Видеоурок «Третий признак равенства треугольников» облегчает учителю подачу нового материала на уроке геометрии по данной теме. Также видеоурок может с успехом использоваться для дистанционного обучения математике, поможет разобраться в сложностях доказательства ученикам самостоятельно.