Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y) . Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.

Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.

Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).

Пример 1.

Построить график уравнения x 2 – 9y 2 = 0.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.

Ответ: рисунок 1.

Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.

Первое уравнение равносильно системе

{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).

То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).

Пример 2.

Построить график уравнения |y| = 2 + x.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе

{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.

Строим множество точек.

Ответ: рисунок 2.

Пример 3.

Построить график уравнения |y – x| = 1.

Решение.

Если y ≥ x, то y = x + 1, если y ≤ x, то y = x – 1.

Ответ: рисунок 3.

При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей , основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.

Пример 4.

Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.

Решение.

В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.

1) В первой координатной четверти x ≥ 0 и y ≥ 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:

2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.

2) Во второй четверти, где x < 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) В третьей четверти x < 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) В четвертой четверти, при x ≥ 0, а y < 0 получим, что x = 1.

График данного уравнения будем строить по четвертям.

Ответ: рисунок 4.

Пример 5.

Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.

Решение.

Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.

Ответ: рисунок 5.

На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами .

Графиком неравенства с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.

Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными :

1. Записать уравнение, соответствующее неравенству.
2. Построить график уравнения из пункта 1.
3. Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
4. Изобразить графически множество всех решений неравенства.

Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.

Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.

1) ax + bx + c ≥ 0. Рисунок 6 .

2) |x| ≤ a, a > 0. Рисунок 7 .

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Рисунок 8 .

4) y ≥ x 2 . Рисунок 9.

5) xy ≤ 1. Рисунок 10.

Если у вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после того, как . Для дальнейшей работы с преподавателем у вас будет возможность выбрать подходящий для вас

Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

X| + |y| = 1 | x| + |y| = 1 При х 0 и у 0 и у > 0 х + у = 1, т. е. у = - х + 1 0 и у > 0 х + у = 1, т. е. у = - х + 1"> 0 и у > 0 х + у = 1, т. е. у = - х + 1"> 0 и у > 0 х + у = 1, т. е. у = - х + 1" title="x| + |y| = 1 | x| + |y| = 1 При х 0 и у 0 и у > 0 х + у = 1, т. е. у = - х + 1"> title="x| + |y| = 1 | x| + |y| = 1 При х 0 и у 0 и у > 0 х + у = 1, т. е. у = - х + 1">

П р и м е р 1. Выясним, какое множество точек координатной плоскости задаётся неравенством у > x. x."> x."> x." title="П р и м е р 1. Выясним, какое множество точек координатной плоскости задаётся неравенством у > x."> title="П р и м е р 1. Выясним, какое множество точек координатной плоскости задаётся неравенством у > x.">

П р и м е р 2. Построим множество точек координатной плоскости, которое задаётся системой неравенств у

П р и м е р 3. Изобразим на координатной плоскости множество точек, задаваемое системой трех неравенств x 0, y 0, y - x + 2. Первыми двумя неравенствами системы задается первый координатный угол В нем заштрихуем ту область, которая расположена ниже прямой у = - х +2. Получили треугольник вместе с его границами

У -x + 4, у х – 4, у 1/4х + 2. х у у = -х у = х - 4 У = ¼ + 2 2

З а д а н и е 4. Покажите штриховкой часть координатной плоскости, которая расположена ниже каждой из прямых х + 3у = 15 и 2х + у = 12, ограничена горизонталями у = 0 и у = 5, а также вертикалями х = 0 и х = 5. Задайте это множество точек системой неравенств. х +3у = 15 х у 2х + у = 12 У = 0 У = 5 х = 0 х = 5 х + 3у 15 2х + у 12 у 0 у 5 х 0 х 5

З а д а н и е 5. Какое множество точек координатной плоскости задается условием: а) х 2 + у 2 1; б) х 2 + у 2 9; в) х 2 + у 2 1, x 2 + y 2 9 ? х у 1 1 х у

П р и м е р 2. Построим график уравнения у = x 2 – 2| x |. если х 0, то у = x 2 – 2 x ; если х

П р и м е р 3. Построим график уравнения у =||| x 2 | –2| -2|. -Построим «основной» график, т. е. график уравнения у = |х| -Подвинем построенный график на 2 единицы вниз; получится график уравнения у = |х|-2 -Часть графика, расположенную ниже оси х, заменим ее «зеркальным отражением», т. е. заменим ее линией, симметричной относительно оси х; получится график уравнения у = ||х|-2| -Сдвинем построенный в п. 3 график на 2 единицы вниз; получится график уравнения у = ||х|-2|-2 -Часть графика, расположенную ниже оси х, отобразим, симметрично относительно этой оси; получим график уравнения у = |||х|-2|-2|

З а д а н и е 1. Постройте график уравнения: а) y = |2x – 4|; в) y = |x 2 – x – 2|; б) y = |x 2 – 3|; г) y =. х у х у

Y = |x 2 – x – 2|; х у 1/ /4

У-х-2х=-х 3 1 б) y = x 2 + 3|x|;при х у=х²-3х при х0 |x|=х, =>" title="З а д а н и е 2. Постройте график уравнения: а) y = |x| -2x; в) y = (5 - |x|)(|x| + 1); б) y = x 2 + 3|x|; г) y = (5 - |x|)(x + 1). х у а) y = |x| -2x; при х у=-х-2х=-3х при х0 |x|=х, =>у-х-2х=-х 3 1 б) y = x 2 + 3|x|;при х у=х²-3х при х0 |x|=х, =>" class="link_thumb"> 33 З а д а н и е 2. Постройте график уравнения: а) y = |x| -2x; в) y = (5 - |x|)(|x| + 1); б) y = x 2 + 3|x|; г) y = (5 - |x|)(x + 1). х у а) y = |x| -2x; при х у=-х-2х=-3х при х0 |x|=х, =>у-х-2х=-х 3 1 б) y = x 2 + 3|x|;при х у=х²-3х при х0 |x|=х, =>у= х²+3х х у 3-3 у-х-2х=-х 3 1 б) y = x 2 + 3|x|;при х у=х²-3х при х0 |x|=х, =>"> у-х-2х=-х 3 1 б) y = x 2 + 3|x|;при х у=х²-3х при х0 |x|=х, =>у= х²+3х х у 3-3"> у-х-2х=-х 3 1 б) y = x 2 + 3|x|;при х у=х²-3х при х0 |x|=х, =>" title="З а д а н и е 2. Постройте график уравнения: а) y = |x| -2x; в) y = (5 - |x|)(|x| + 1); б) y = x 2 + 3|x|; г) y = (5 - |x|)(x + 1). х у а) y = |x| -2x; при х у=-х-2х=-3х при х0 |x|=х, =>у-х-2х=-х 3 1 б) y = x 2 + 3|x|;при х у=х²-3х при х0 |x|=х, =>"> title="З а д а н и е 2. Постройте график уравнения: а) y = |x| -2x; в) y = (5 - |x|)(|x| + 1); б) y = x 2 + 3|x|; г) y = (5 - |x|)(x + 1). х у а) y = |x| -2x; при х у=-х-2х=-3х при х0 |x|=х, =>у-х-2х=-х 3 1 б) y = x 2 + 3|x|;при х у=х²-3х при х0 |x|=х, =>">

В) y = (5 - |x|)(|x| + 1) = -|x| ² +4 |x|+5 = -х ² + 4 |x| + 5 х у г) y = (5 - |x|)(x + 1)=-|x| · х + 4|x| +5; при х

З а д а н и е 3. Постройте график уравнения: а) y = || x | -3|; б) y = ||| x | - 3| - 3|. х у

З а д а н и е 1: Возьмите полоску бумаги шириной 5 см и длиной около 20 см. Сложите её «гармошкой» и нарисуйте какой-нибудь рисунок, касающийся линии сгиба (рис. 10, а). Вырежьте фигуру, оставляя участки на линиях сгиба неразрезанными, разверните полученную «гармошку». Если ленту предварительно сложить вдвое вдоль, а затем «гармошкой», то получится лента, симметричная относительно горизонтальной оси (рис 11)

А эта лента не совсем обычная. У неё нет вертикальных осей симметрии. Такие ленты вырезаются не ножницами, а ножом или лезвием: бумага «наворачивается» на линейку или другую жесткую основу поперёк, с двух сторон на ней рисуется одинаковый рисунок, и бумага прорезается до основы. Таким образом, четные и нечетные слои вырезаются отдельно

Пусть мы вырезали не симметричный трафарет (рис. 13, а) передвинем трафарет вправо на расстояние, равное ширине трафарета (такое преобразование называют параллельным переносом). Получим бордюр, показанный на рисунке 13, б. Отражаясь симметрично относительно вертикальной оси, трафарет даст бордюр, показанный на рисунке 13, в. Если трафарет поворачивать вокруг точки О (центра симметрии) на 180 0, то бордюр уже будет иным (рис 13, г). Отражением относительно горизонтальной оси и последующим переносом трафарета получим ещё один орнамент (рис. 13, д). Рис 13

З а д а н и е 2: Возьмите трафарет, симметричный относительно вертикальной оси, например, такой, как на рисунке 14. Сколько различных бордюров можно получить с его помощью? Какие преобразования дают одинаковые бордюры? Объясните, почему так получается. Вырежьте трафарет и изобразите эти бордюры. Определите, сколько разных бордюров получится из трафарета, симметричного относительно горизонтальной оси (рис. 15). Какие преобразования дают одинаковый результат? Почему? Мы можем взять и трафарет, рисунок которого совпадает сам с собой при повороте его на вокруг центра (точки, лежащий внутри рисунка), например такой как на рисунке 16. Рис 14 Рис 15 Рис 16 З а д а н и е 3: Нарисуйте различные бордюры с его помощью. Совпадают ли результаты каких-либо преобразований?

И последний вид трафарета – трафарет, имеющий две оси симметрии – вертикальную и горизонтальную (рис. 17). Рис 17 - Сколько различных бордюров можно составить из трафарета, изображенного на рис. 17? Почему? Итак, мы рассмотрели пять видов трафаретов. Их схематично можно изобразить так, как на рисунке 18, а-д. рис18

На Руси издревле старались украсить терема, церкви. Они придумывали удивительно замысловатые орнаменты, в основном цветочные. В XVII в. русский зодчий Степан Иванов создал свой орнамент, который назвал «Павлинье око», так как он был похож на рисунок пера павлиньего хвоста.

Нарисуйте какие-нибудь бордюры, используя в качестве трафарета буквы русского или латинского алфавита. 2. Итоги занятия. -Ещё раз напомним, какие преобразования мы использовали для создания линейных орнаментов – бордюров: 1) параллельный перенос (рис 22, а); 2) зеркальная симметрия: а) с вертикальной осью (рис. 22, б); б) с горизонтальной осью (рис. 22, в); 3) поворотная (центральная) симметрия (рис. 22, г). Вдумайтесь в названия этих преобразований и объясните их.

Вы, конечно, знаете, что такое паркет. Обычно, паркет выкладывают из дощечек, имеющих форму прямоугольника, и чаще всего «ёлочкой». Но составление паркета может быть и искусством. Им в совершенстве владели крепостные мастера, создававшие паркеты во дворцах царей и вельмож

Изображен паркет из правильных треугольников, переходящий в паркет из правильных шестиугольников. Выложить паркет можно и из нескольких видов правильных многоугольников. Например, паркет на рисунке 24 составлен из правильных треугольников, четырехугольников и шестиугольников. В каждой вершине сходятся треугольник, два квадрата и шестиугольник.

З а д а н и е 1: Из каких фигур составлен паркет, изображенный на рисунке 25? Какие фигуры сходятся в каждой его вершине? Вырежьте из цветной бумаги необходимые фигуры и выложите их на столе в виде такого паркета. З а д а н и е 2: Из правильных восьмиугольников и квадратов можно сложить паркет так, как показано на рисунке 26. Найдите величину угла правильного восьмиугольника. Рис. 25Рис. 26

Но не только правильные многоугольники могут служить для составления паркета. З а д а н и е 3: Вырежьте из бумаги 20 одинаковых произвольных треугольников. Выложите из них паркет. Всегда ли это можно сделать? Почему? З а д а н и е 4: Вырежьте из бумаги 10 одинаковых четырехугольников произвольного вида и выложите из них паркет. Объясните, почему это можно сделать. В этом вам поможет рисунок 27. Рис. 27

Рис. 28 З а д а н и е 5: Начертите в тетради паркеты из элементов изображенных на рисунке 28. З а д а н и е 6: Рассмотрите внимательно паркеты, изображенные на рисунке 29, они созданы вашими сверстниками. Попробуйте выделить элемент одного из паркетов и нарисовать его.

Построить орнамент можно с использованием трафарета. Для этого положим на лист бумаги линейку, приложим к ней трафарет и обведем контур отверстия карандашом (рис. 31). Линейка задает нам линию сдвига. Сдвинем трафарет вдоль линейки и вновь обведем контур отверстия. Рис. 31 З а д а н и е 1. Орнамент, изображенный на рисунке 32, построен с помощью трафарета буквы «ж» параллельным переносом вдоль вертикальной прямой на 1 см. Возьмите какой-нибудь трафарет и постройте с его помощью свой орнамент Рис. 32

З а д а н и е 2.Рисовать орнаменты очень удобно на клетчатой бумаге. Перенесите рисунок 33 в тетрадь и продолжите построение орнамента. Раскрасьте повторяющийся элемент орнамента. На отрезке, какой длины сдвигается этот элемент? З а д а н и е 3.Нарисуйте от руки орнамент, который получается при параллельном переносе элемента (рис. 34) вдоль вертикальной прямой. Рис.33 Рис. 34

З а д а н и е 4. Орнамент на рисунке 35– часть украшения деревенской избы. Изобразите повторяющийся элемент этого орнамента. З а д а н и е 5. Элементы древних орнаментов можно встретить и в произведениях современных мастеров, например на решетке одного из московских мостов (рис. 36) Рис. 35 Рис. 36

З а д а н и е 6. Постройте орнамент по следующему алгоритму: 1. перенесите четырехугольник в тетрадь (рис. 37); 2. нарисуйте второй четырехугольник, полученный сдвигом первого на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх; 3. нарисуйте третий четырехугольник, полученный сдвигом второго на 2 клетки вправо и 2 клетки вниз; 4. последовательно повторите пункты 2 и 3. Раскрасьте получившийся орнамент. Рис. 37 З а д а н и е 7. Орнамент в задании 6 получается с помощью двух параллельных переносов. Придумайте и постройте свой орнамент, который также получается с помощью двух параллельных переносов.

Цели урока: повторить и закрепить правила записи различных неравенств и правила, как показывать значения неравенств на координатной прямой и плоскости; объяснить правила записи и значение модульных неравенств; рассказать о создателе координатной плоскости – Рене Декарте. В течение урока развивать у учащихся навык значения любого неравенства переносить на координатную плоскость.
Ход урока:
1. Организационный момент. (2 мин.)
2. Самостоятельная работа. (8 мин.)
1) На координатной прямой показать значения неравенств:

2) На координатной плоскости показать значения неравенств:

Один из учеников данную самостоятельную работу выполняет на закрывающейся доске. После истечения времени, учитель и учащиеся проверяют правильность заданий на доске, а потом все проверяют свое решение.

3. Вводная лекция. (5 мин.)
Говоря о координатной плоскости и работая с ней обязательно надо знать о ее основателе Рене Декарте.
Родившись в дворянской семье, Декарт получил хорошее образование. В 1606 году отец отправил его в иезуитскую коллегию Ла Флеш. Учитывая не очень крепкое здоровье Декарта, ему делали некоторые послабления в строгом режиме этого учебного заведения, напр., разрешали вставать позже других. Приобретя в коллегии немало познаний, Декарт в то же время проникся антипатией к схоластической философии, которую он сохранил на всю свою жизнь.
После окончания коллегии Декарт продолжил образование. В 1616 в университете Пуатье он получил степень бакалавра права. В 1617 Декарт поступает на службу в армию и много путешествует по Европе.
1619 год в научном отношении оказался ключевым для Декарта. Именно в это время, как он сам писал в дневнике, ему открылись основания новой «удивительнейшей науки». Скорее всего, Декарт имел в виду открытие универсального научного метода, который он впоследствии плодотворно применял в самых разных дисциплинах.
Значение работ Декарта в математике и физике
Естественнонаучные достижения Декарта родились как «побочный продукт» разрабатываемого им единого метода единой науки. Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z...), коэффициентов (a, b, c...), обозначение степеней (a2, x-1...).
Декарт является одним из авторов теории уравнений: им сформулировано правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости, т. е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций этого рода. Он указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах (а также указал решение с помощью циркуля и линейки, если это уравнение приводимо).
Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разрабатывал одновременно с П. Ферма), позволявшей алгебраизировать эту науку с помощью метода координат. Предложенная им система координат получила его имя. В работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. Переменная трактуется им двояко: как отрезок переменной длины и постоянного направления (текущая координата точки, описывающей своим движением кривую) и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок. В область изучения геометрии Декарт включил «геометрические» линии (позднее названные Лейбницем алгебраическими) - линии, описываемые при движении шарнирными механизмами. Трансцендентные кривые (сам Декарт называет их «механическими») он исключил из своей геометрии. В связи с исследованиями линз (см. ниже) в «Геометрии» излагаются способы построения нормалей и касательных к плоским кривым.
«Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа. Действительные числа Декарт фактически трактовал как отношение любого отрезка к единичному (хотя саму формулировку дал позднее И. Ньютон). У Декарта много и других открытий в различных областях науки.

«Координатная прямая» - Скала Динозавр. На уроках какого предмета вы встречались с координатной прямой? Что напоминает вам координатная прямая? Что называется координатами точки на плоскости? Что такое координатная прямая? Оренбургский государственный степной заповедник создан в 1989 году. Координаты на прямой и плоскости.

«Прямоугольная система координат» - Две взаимно перпендикулярные прямые, Алгоритм отыскания координаты точки М (x1, y1), заданной в прямоугольной системе координат. Название; Обозначение. Единицей длины. Однозначно определяет положение каждой точки на плоскости. Тема: Прямоугольная система координат на плоскости. Делит плоскость на четыре части.

«Системы координат» - Системы координат. Аффинная (косоугольная) система координат. Мировые линии наблюдателей Риндлера (голубые дуги гипербол) в декартовых координатах. Точка в цилиндрических координатах. Полярная система координат. Прямоугольная (Декартова) система координат. В элементарной геометрии координаты - величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве.

«Координатная плоскость с координатами» - Карточка 2. Сколько га вспахал третий? 4. 24 человека за 6 дней пропололи участок клубники. 5. Решите уравнение: 0,9(4у-2)=0,5(3у-4)+4,4. 5.Решите уравнение: 0,2(5у-2)=0,3(2у-1)-0,9. 2.Найдите площадь прямоугольника, ширина которого 5,5м, а длина на 1,5 больше ширины. 2.Три тракториста вспахали 405 га земли.

«Координаты на плоскости» - Отметим на координатной плоскости т.А(3;5), В(-2;8), С(-4;-3), Е(5;-5). Цели: 8,150. Ход урока. Вычислите: Система координат. Через отмеченные точки проведём прямые, параллельные осям. Игра Морской Бой. Х - абсцисса У - ордината. Рене Декарт Готфрид Вильгельм Лейбниц. Постройте треугольник. Алгоритм построения: Построим координатную плоскость.

«Декартовы координаты» - Декарт. Линия времени. Декарт впервые ввёл координатную систему. Определение координат точек. Система географических координат. Гиппарх. Путешествие на остров "Координат". Координатная система нашла свое применение во многих сферах жизнедеятельности человека. Рене Декарт (1596-1650). Определение координат острова.

Всего в теме 19 презентаций