Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.

От размышлений о вечном до теории вероятностей

Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.

Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.

Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.

Что такое случайность

Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.

Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.

Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…

Вероятность случайного события

Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.

Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).

В теории вероятностей отличают:

• достоверное событие гарантированно происходит в результате опыта Р(Ω) = 1;
• невозможное событие никогда не может произойти Р(Ø) = 0;
• случайное событие лежит между достоверным и невозможным, то есть вероятность его появления возможна, но не гарантирована (вероятность случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).

Отношения между событиями

Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.

По отношению друг к другу события могут быть:

• Равновозможными.
• Совместимыми.
• Несовместимыми.
• Противоположными (взаимоисключающими).
• Зависимыми.

Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .

Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.

Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.

Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.

Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.

Отношения между событиями. Примеры

На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.

Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.

Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.

Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.

Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.

Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:

• Достоверное событие. В исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как событие «достать шар с цифрой 1» - случайное.
• Невозможное событие. В исп. №1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар» невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0.
• Равновозможные события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой 3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар с цифрой 2» имеют разную вероятность.
• Совместимые события. Два раза подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости - это совместимые события.
• Несовместимые события. В том же исп. №1 события «достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть совмещены в одном и том же опыте.
• Противоположные события. Наиболее яркий пример этого - подбрасывание монет, когда вытягивание орла равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей - это всегда 1 (полная группа).
• Зависимые события . Так, в исп. №1 можно задаться целью извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).

Формула вероятности события

Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.

С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».

Итак, формула вероятности события:

Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Расчет вероятности события. Пример

Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.

На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:

• A - выпадение красного шара. Красных шаров 3, а всего вариантов 6. Это простейший пример, в котором вероятность события равна Р(А)=3/6=0,5.
• B - выпадение четного числа. Всего четных чисел 3 (2,4,6), а общее количество возможных числовых вариантов - 6. Вероятность этого события равна Р(B)=3/6=0,5.
• C - выпадение числа, большего, чем 2. Всего таких вариантов 4 (3,4,5,6) из общего количества возможных исходов 6. Вероятность события С равна Р(С)=4/6=0,67.

Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.

Несовместные события

Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.

Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.

Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.

В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий

Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:

Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.

Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.

Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятность произведения несовместных событий

Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:

Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна

То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.

Совместные события

События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.

Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.

Вероятность суммы совместных событий. Пример

Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):

Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".

Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.

Геометрия вероятности для наглядности

Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.

Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.

Зависимые события

Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.

Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.

Пример расчета вероятности зависимых событий

Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.

На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:

1. Бубновая.
2. Другой масти.

Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:

Р A (В) =8/35=0,23

Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:

Р A (В) =9/35=0,26.

Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.

Умножение зависимых событий

Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:

Р(А) = 9/36=1/4

Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.

Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):

Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)

Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:

9/36*8/35=0,0571, или 5,7%

И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:

27/36*9/35=0,19, или 19%

Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.

Полная вероятность события

Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:

Взгляд в будущее

Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.

Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.

Классическое и статистическое определение вероятности

Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера.

Количественной мерой возможности наступления события является вероятность . Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами , или случаями . При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн », т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.

Исход называется благоприятствующим событию А , если появление этого случая влечет за собой появление события А .

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов , т.е.

где Р(А) – вероятность события А ; m – число случаев благоприятствующих событию А ; n – общее число случаев.

Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – «появление четного числа очков» – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем

Р(А) = = . ◄

Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

0 ≤ Р (А ) ≤ 1.

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.

Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.

Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определениевероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

,

(1.2)

где Р * (А) – статистическая вероятность события А ; w(A) – относительная частота события А ; m – число испытаний, в которых появилось событие А ; n – общее число испытаний.

В отличие от математической вероятности Р(А) , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р * (А) является характеристикой опытной , экспериментальной . Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива , т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1 ), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы g , найдем

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Возникновение теории относится к середине XVII века и связано с именем Гюйгенса, Паскаля, Ферма, Я. Бернулли.

Неразложимые исходы,..., некоторого эксперимента будем называть элементарными событиями, а их совокупность

(конечным) пространством элементарных событий, или пространством исходов.

Пример 21. а) При подбрасывании игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести точек:

б) Подбрасываем монету два раза подряд, тогда

где Г - "герб", Р - "решетка" и общее число исходов

в) Подбрасываем монету до первого появления "герба", тогда

В этом случае называется дискретным пространством элементарных событий.

Обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в результате испытания, а тем, принадлежит ли исход тому или иному подмножеству всех исходов. Все те подмножества, для которых по условиям эксперимента возможен ответ одного из двух типов: "исход " или "исход ", будем называть событиями.

В примере 21 б) множество = {ГГ, ГР, РГ} является событием, состоящим в том, что выпадает по крайней мере один "герб". Событие состоит из трех элементарных исходов пространства, поэтому

Суммой двух событий и называется событие, состоящее в выполнении события или события.

Произведением событий и называется событие, состоящее в совместном исполнении события и события.

Противоположным по отношению к событию называется событие, состоящее в непоявлении и, значит, дополняющее его до.

Множество называется достоверным событием, пустое множество - невозможным.

Если каждое появление события сопровождается появлением, то пишут и говорят, что предшествует или влечет за собой.

События и называются равносильными, если и.

Определение. Вероятностью события называется число, равное отношению числа элементарных исходов, составляющих событие, к числу всех элементарных исходов

Случай равновозможных событий, (называется "классическим", поэтому и вероятность

называется "классической".

Элементарные события (исходы опыта), входящие в событие, называются "благоприятными".

Свойства классической вероятности:

Если (и - несовместные события).

Пример 22 (задача Гюйгенса). В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?

Решение 1 (традиционное). В данном случае испытание = {вынимание 3 шаров}, а событие - благоприятствующее одному из спорящих:

= {достать ровно один белый шар}.

Поскольку порядок вынимания трех шаров не важен, то

Один белый шар можно достать в случаев, а два черных - , и тогда по основному правилу комбинаторики. Отсюда а по пятому свойству вероятности Следовательно,

Решение 2. Составим вероятностное дерево исходов:

Пример 23. Рассмотрим копилку, в которой осталось четыре монеты - три по 2 руб. и одна в 5 руб. Извлекаем две монеты.

Решение. а) Два последовательных извлечения (с возвращением) могут привести к следующим исходам:

Какова вероятность каждого из этих исходов?

В таблице показаны все шестнадцать возможных случаев.

Следовательно,

К тем же результатам ведет и следующее дерево:

б) Два последовательных извлечения (без повторения) могут привести к следующим трем исходам:

В таблице покажем все возможные исходы:

Следовательно,

К тем же результатам ведет и соответствующее дерево:

Пример 24 (задача де Мере). Двое играют в "орлянку" до пяти побед. Игра прекращена, когда первый выиграл четыре партии, а второй - три. Как в этом случае следует поделить первоначальную ставку?

Решение. Пусть событие = {выиграть приз первым игроком}. Тогда вероятностное дерево выигрыша для первого игрока следующее:

Отсюда, и три части ставки следует отдать первому игроку, а второму - одну часть.

Покажем эффективность решения вероятностных задач с помощью графов и на следующем примере, который мы рассматривали в §1 (пример 2).

Пример 25. Является ли выбор с помощью "считалки" справедливым?

Решение. Составим вероятностное дерево исходов:

и, следовательно, при игре в "считалки" выгодней стоять вторым.

В последнем решении использованы интерпретации на графах теорем сложения и умножения вероятностей:

и в частности

Если и - несовместные события

и, если и - независимые события.

Статическая вероятность

Классическое определение при рассмотрении сложных проблем наталкивается на трудности непреодолимого характера. В частности, в некоторых случаях выявить равновозможные случаи может быть невозможно. Даже в случае с монеткой, как известно существует явно не равновероятная возможность выпадения "ребра", которую из теоретических соображений оценить невозможно (можно только сказать, что оно маловероятно и то это соображение скорее практическое). Поэтому еще на заре становления теории вероятностей было предложено альтернативное "частотное" определение вероятности. А именно, формально вероятность можно определить как предел частоты наблюдений события A, предполагая однородность наблюдений (то есть одинаковость всех условий наблюдения) и их независимость друг от друга:

где - количество наблюдений, а - количество наступлений события.

Несмотря на то, что данное определение скорее указывает на способ оценки неизвестной вероятности - путем большого количества однородных и независимых наблюдений - тем не менее в таком определении отражено содержание понятия вероятности. А именно, если событию приписывается некоторая вероятность, как объективная мера его возможности, то это означает, что при фиксированных условиях и многократном повторении мы должны получить частоту его появления, близкую к (тем более близкую, чем больше наблюдений). Собственно, в этом заключается исходный смысл понятия вероятности. В основе лежит объективистский взгляд на явления природы. Ниже будут рассмотрены так называемые законы больших чисел, которые дают теоретическую основу (в рамках излагаемого ниже современного аксиоматического подхода) в том числе для частотной оценки вероятности.

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равно­возможных исходов опыта в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р - первая буква французского слова probabilite - вероятность). В соответствии с определением
(1.2.1)
где - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Вероятность события имеет следующие свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице. Обозначим достоверное событие буквой . Для достоверного события , поэтому
(1.2.2)
2. Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим невозможное событие буквой . Для невозможного события , поэтому
(1.2.3)
3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы. Поскольку для случайного события выполняются неравенства , или , то
(1.2.4)
4. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам
(1.2.5)
Это следует из соотношений (1.2.2) -(1.2.4).

Пример 1. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из ко­торых 4 красных и 6 голубых. из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение . Событие "извлеченный шар оказался голубым" обозначим буквой А. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой (1.2.1) получаем

Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинако­вых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того,что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим через А событие "число на взятой карточке кратно 5". В данном испытании имеется 30 равновозможных элементар­ных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

Пример 3. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоя­щего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

Решение. В этом испытании всего 6 2 = 36 равновозможных элемен­тарных исходов. Событию В благоприятствуют 4 исхода: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому

Пример 4 . Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

Решение. Обозначим буквой С событие "выбранное число является простым". В данном случае n = 10, m = 4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность

Пример 5. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

Решение. Обозначим буквой D событие "на верхней стороне каж­дой монеты оказалась цифра". В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запись (Г, Ц) озна­чает, что на первой монете герб, на второй - цифра). Событию D благо­приятствует один элементарный исход (Ц, Ц). Поскольку m = 1, n = 4 , то

Пример 6. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном дву­значном числе цифры одинаковы?

Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m = 9, n = 90, то
,
где А -событие "число с одинаковыми цифрами".

Пример 7. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч ?

Решение . В слове дuфференцuал 12 букв, из них 5 гласных и 7 со­гласных. Буквы ч в этом слове нет. Обозначим события: А - "гласная буква", В - "согласная буква", С - "буква ч ". Число благоприятствующих элементарных исходов: -для события А, - для события В, - для события С. Поскольку n = 12 , то
, и .

Пример 8. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается чис­ло очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Решение. Обозначим это событие буквой А. Событюо А благопри­ятствуют 6 элементарных исходов: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n=6 2 =36. Значит, искомая вероятность

Пример 9. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Решение. Из условия задачи следует, что всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет n = 300. Из них m = 60 благоприятствуют наступлению указанного со­бытия. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5k, где k -натураль­ное число, причем , откуда . Следовательно,
, где А - событие "страница" имеет порядковый номер, кратный 5".

Пример 10 . Подбрасываются два игральных кубика, подсчитыва­ется сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее -получить в сумме 7 или 8?

Решение . Обозначим события: А - "выпало 7 очков", В - "выпало 8 очков". Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 6), (2; 5),(3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а событию В - 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всех равновозможных элементарных исходов n = 6 2 = 36. Значит, и .

Итак, Р(А)>Р(В), то есть получить в сумме 7 очков - более вероятное собы­тие, чем получить в сумме 8 очков.

Задачи

1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Како­ва вероятность того, что это число кратно 3?
2. В урне a красных и b голубых шаров, одинаковых по размерам и весу. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется голубым?
3. Наудачу· выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем зо?
4. В урне а голубых и b красных шаров, одинаковых по размерам и весу. Из этой урны извлекают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что второй шар также красный.
5. Наудачу выбрано наryральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число является простым?
6. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 9 или 10 оч­ков?
7. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее - получить в сумме 11 (событие А) или 12 очков (событие В)?

Ответы

1. 1/3. 2 . b /(a +b ). 3 . 0,2. 4 . (b -1)/(a +b -1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - вероятность получить в сумме 9 очков; p 2 = 27/216 - вероятность получить в сумме 10 очков; p 2 > p 1 7 . Р(А) = 27/216, Р(В) = 25/216, Р(А) > Р(В).

Вопросы

1. Что называют вероятностью события?
2. Чему равна вероятность достоверного события?
3. Чему равна вероятность невозможного события?
4. В каких пределах заключена вероятность случайного события?
5. В каких пределах заключена вероятность любого события?
6. Какое определение вероятности называют классическим?

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ГИМНАЗИЯ № 6

на тему «Классическое определение вероятности».

Выполнила ученица 8 «Б» класса

Климантова Александра.

Учитель по математике: Виденькина В. А.

Воронеж, 2008

Во многих играх используют игральный кубик. У кубика 6 граней, на каждой грани отмечено различное количество точек—от 1 до 6. Играющий бросает кубик и смотрит, сколько точек имеется на выпавшей грани (на той грани, которая располагается сверху). Довольно часто точки на грани кубика заменяют соответствующим числом и тогда говорят о выпадении 1, 2 или 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат—исходом испытания или элементарным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие:

1. событие А—выпадает цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;
2. событие В—выпадает цифра 7, 8 или 9;
3. событие С—выпадает цифра 1.

Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно наступит. Вообще, событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием .

Событие В, предсказанное во втором случае, никогда не наступит, это просто невозможно. Вообще, событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием .

А событие С, предсказанное в третьем случае, наступит или не наступит? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может как наступить, так и не наступить, называют случайным событием .

Думая про наступление достоверного события, мы слово «вероятно» использовать, скорее всего, не будем. Например, если сегодня среда, то завтра четверг, это—достоверное событие. Мы в среду не станем говорить: «Вероятно, завтра четверг», мы скажем коротко и ясно: «Завтра четверг». Правда, если мы склонны к красивым фразам, то можем сказать так: «Со стопроцентной вероятностью утверждаю, что завтра четверг». Напротив, если сегодня среда, то наступление назавтра пятницы—невозможное событие. Оценивая это событие в среду, мы можем сказать так: «Уверен, что завтра не пятница». Или так: «Невероятно, что завтра пятница». Ну а если мы склонны к красивым фразам, то можем сказать так: «Вероятность того, что завтра пятница, равна нулю». Итак, достоверное событие—это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью (т. е. наступающее в 10 случаях из 10, в 100 случаях из 100 и т. д.). Невозможное событие—это событие, не наступающее при данных условиях никогда, событие с нулевой вероятностью .

Но, к сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни так четко и ясно: это будет всегда (достоверное событие), этого не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых более вероятны, другие менее вероятны. Обычно люди используют слова «более вероятно» или «менее вероятно», как говорится, по наитию, опираясь на то, что называют здравым смыслом. Но очень часто такие оценки оказываются недостаточными, поскольку бывает важно знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.

Первые шаги в этом направлении мы уже сделали. Мы говорили, что вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная , а вероятность наступления невозможного события—как нулевая . Учитывая, что 100 % равно 1, люди договорились о следующем:

1. вероятность достоверного события считается равной 1;
2. вероятность невозможного события считается равной 0.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно , значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности. Этим занимается раздел математики, который так и называется-теория вероятностей .

Математика имеет дело с моделью некоторого явления окружающей нас действительности. Из всех моделей, используемых в теории вероятностей, мы ограничимся самой простой.

Классическая вероятностная схема

Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует:

1) найти число N всех возможных исходов данного опыта;

2) принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;

3) найти количество N(А) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;

4) найти частное ; оно и будет равно вероятности события А.

Принято вероятность события А обозначать: Р(А). Объяснение такого обозначения очень простое: слово «вероятность» по-французски-probabilite , по-английски-probability .В обозначении используется первая буква слова.

Используя это обозначение, вероятность события А по классической схеме можно найти с помощью формулы

Р(А)=.

Часто все пункты приведенной классической вероятностной схемы выражают одной довольно длинной фразой.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех равновозможных между собой исходов этого испытания.

Пример 1 . Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадет: а) 4; б) 5; в) четное число очков; г) число очков, большее 4; д) число очков, не кратное трем.

Решение . Всего имеется N=6 возможных исходов: выпадение грани куба с числом очков, равным 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Мы считаем, что ни один из них не имеет никаких преимуществ перед другими, т. е. принимаем предположение о равновероятности этих исходов.

а) Ровно в одном из исходов произойдет интересующее нас событие А-выпадение числа 4. Значит, N(A)=1 и

P (A )= =.

б) Решение и ответ такие же, как и в предыдущем пункте.

в) Интересующее нас событие В произойдёт ровно в трёх случаях, когда выпадает число очков 2, 4 или 6. Значит,

N (B )=3 и P (B )==.

г) Интересующее нас событие С произойдет ровно в двух случаях, когда выпадет число очков 5 или 6. Значит,

N (C ) =2 и Р(С)=.

д) Из шести возможных выпавших чисел четыре (1, 2, 4 и 5) не кратны трем, а остальные два (3 и 6) делятся на три. Значит, интересующее нас событие наступает ровно в четырех из шести возможных и равновероятных между собой и равновероятных между собой исходах опыта. Поэтому в ответе получается .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ; д).

Реальный игральный кубик вполне может отличаться от идеального (модельного) кубика, поэтому для описания его поведения требуется более точная и детальная модель, учитывающая преимущества одной грани перед другой, возможное наличие магнитов и т. п. Но «дьявол кроется в деталях», а большая точность ведет, как правило, к большей сложности, и получение ответа становится проблемой. Мы же ограничиваемся рассмотрением простейшей вероятностной модели, где все возможные исходы равновероятны.

Замечание 1 . Рассмотрим еще пример. Был задан вопрос: «Какова вероятность выпадения тройки при одном бросании кубика?» Ученик ответил так: «Вероятность равна 0, 5». И объяснил свой ответ: «Тройка или выпадет, или нет. Значит, всего есть два исхода и ровно в одном наступает интересующее нас событие. По классической вероятностной схеме получаем ответ 0, 5». Есть в этом рассуждении ошибка? На первый взгляд-нет. Однако она все же есть, причем в принципиальном моменте. Да, действительно, тройка или выпадет, или нет, т. е. при таком определении исхода бросания N=2. Правда и то, что N(A)=1 и уж, разумеется, верно, что =0, 5, т. е. три пункта вероятностной схемы учтены, а вот выполнение пункта 2) вызывает сомнения. Конечно, с чисто юридической точки зрения, мы имеем право считать, что выпадение тройки равновероятно ее невыпадению. Но вот можем ли мы так считать, не нарушая свои же естественные предположения об «одинаковости» граней? Конечно, нет! Здесь мы имеем дело с правильным рассуждением внутри некоторой модели. Только вот сама эта модель «неправильная», не соответствующая реальному явлению.

Замечание 2 . Рассуждая о вероятности, не упускайте из виду следующее важное обстоятельство. Если мы говорим, что при бросании кубика вероятность выпадения одного очка равна , это совсем не значит, что, кинув кубик 6 раз, вы получите одно очко ровно один раз, бросив кубик 12 раз, вы получите одно очко ровно два раза, бросив кубик 18 раз, вы получите одно очко ровно три раза и т. д. Слово вероятно носит предположительный характер. Мы предполагаем, что скорее всего может произойти. Вероятно, если мы бросим кубик 600 раз, одно очко выпадет 100 раз или около 100.

Теория вероятностей возникла в XVII веке при анализе различных азартных игр. Неудивительно поэтому, что первые примеры носят игровой характер. От примеров с игральными кубиками перейдем к случайному вытаскиванию игральных карт из колоды.

Пример 2 . Из колоды в 36 карт случайным образом одновременно вытаскивают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них нет пиковой дамы?

Решение . У нас имеется множество из 36 элементов. Мы производим выбор трех элементов, порядок которых не важен. Значит, возможно получение N=C исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. предположим, что все эти исходы равновероятны.

Осталось вычислить нужную вероятность по классическому определению:

А чему равна вероятность того, что среди выбранных трех карт есть пиковая дама? Число всех таких исходов нетрудно посчитать, надо просто из всех исходов N вычесть все те исходы, в которых дамы пик нет, т. е. вычесть найденное в примере 3 число N(A). Затем эту разность N—N(A) в соответствии с классической вероятностной схемой следует поделить на N. Вот что получим:

Мы видим, что между вероятностями двух событий имеется определенная связь. Если событие А заключается в отсутствии дамы пик, а событие В состоит в ее наличии среди выбранных трех карт, то

Р(В)= 1—Р(А),

Р(А)+Р(В)=1.

К сожалению, в равенстве Р(А)+Р(В)=1 нет никакой информации о связи событий А и В между собой; эту связь нам приходится держать в уме. Удобнее было бы заранее дать событию В название и обозначение, явно указывающие на его связь с А.

Определение 1 . Событие В называют противоположным событию А и обозначают В=Ā, если событие В происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

Т еорема 1 . Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: Р(Ā)= 1—Р(А). В самом деле,

На практике вычисляют то, что проще найти: или Р(А), или Р(Ā). После этого пользуются формулой из теоремы и находят, соответственно, или Р(Ā)= 1—Р(А), или Р(А)= 1—Р(Ā).

Часто используется способ решения той или иной задачи «перебором случаев», когда условия задачи разбиваются на взаимоисключающие друг друга случаи, каждый из которых рассматривается отдельно. Например, «направо пойдешь—коня потеряешь, прямо пойдешь—задачу по теории вероятности решать будешь, налево пойдешь—…». Или при построении графика функции у=│х+1│—│2х—5│расматривают случаи х

Пример 3 . Из 50 точек 17 закрашены в синий цвет, а 13—в оранжевый цвет. Найти вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется закрашенной.

Решение . Всего закрашено 30 точек из 50. Значит, вероятность равна = 0,6.

Ответ: 0,6.

Рассмотрим, однако, этот простой пример более внимательно. Пусть событие А состоит в том, что выбранная точка—синяя, а событие В состоит в том, что выбранная точка—оранжевая. По условию, события А и В не могут произойти одновременно.

Обозначим буквой С интересующее нас событие. Событие С наступает тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В . Ясно, что N(C)= N(A)+N(B).

Поделим обе части этого равенства на N—число всех возможных исходов данного опыта; получим

Мы на простом примере разобрали важную и часто встречающуюся ситуацию. Для нее есть специальное название.

Определение 2 . События А и В называют несовместными , если они не могут происходить одновременно.

Теорема 2 . Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

При переводе этой теоремы на математический язык, возникает необходимость как-то назвать и обозначить событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из двух данных событий А и В. Такое событие называют суммой событий А и В и обозначают А+В.

Если А и В несовместны, то Р(А+В)= Р(А)+Р(В).

В самом деле,

Несовместность событий А и В удобно иллюстрировать рисунком. Если все исходы опыта—некоторое множество точек на рисунке, то события А и В—это некоторые подмножества данного множества . Несовместность А и В означает, что эти два подмножества не пересекаются между собой. Типичный пример несовместных событий—любое событие А и противоположное событие Ā.

Разумеется, указанная теорема верна и для трех, и для четырех, и для любого конечного числа попарно несовместных событий. Вероятность суммы любого числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Это важное утверждение как раз и соответствует способу решения задач «перебором случаев».

Между событиями, происходящими в результате некоторого опыта, и между вероятностями этих событий могут быть какие-то соотношения, зависимости, связи и т. п. Например, события можно «складывать», а вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В заключение обсудим следующий принципиальный вопрос: можно ли доказать , что вероятность выпадения «решки» при одном бросании монеты равна

Ответ отрицательный. Вообще говоря, сам вопрос не корректен, неясен точный смысл слова «доказать». Ведь доказываем мы что-либо всегда в рамках некоторой модели , в которой уже известны правила, законы, аксиомы, формулы, теоремы и т. п. Если речь идет о воображаемой, «идеальной» монете, то потому-то она и считается идеальной, что, по определению , вероятность выпадения «решки» равна вероятности выпадения «орла». А, в принципе, можно рассмотреть модель, в которой вероятность выпадения «решки» в два раза больше вероятности выпадения «орла» или в три раза меньше и т. п. Тогда возникает вопрос: по какой причине из различных возможных моделей бросания монеты мы выбираем ту, в которой оба исхода бросания равновероятны между собой?

Совсем лобовой ответ таков: «А нам так проще, понятнее и естественнее!» Но есть и более содержательные аргументы. Они приходят из практики. В подавляющем большинстве учебников по теории вероятностей приводят примеры французского естествоиспытателя Ж. Бюффона (XVIII в.) и английского математика-статистика К. Пирсона (конец XIX в.), которые бросали монету, соответственно, 4040 и 24000 раз и подсчитывали число выпадений «орла» или «решки». У них «решка» выпала, соответственно, 1992 и 11998 раз. Если подсчитать частоту выпадения «решки», то получится = =0,493069… у Бюффона и = 0,4995 у Пирсона. Возникает естественное предположение , что при неограниченном увеличении числа бросаний монеты частота выпадения «решки», как и частота выпадения «орла», все больше и больше будет приближаться к 0,5. Именно это предположение, основанное на практических данных, является основой выбора в пользу модели с равновероятными исходами.

Сейчас можно подвести итоги. Основное понятие—вероятность случайного события , подсчет которой производится в рамках простейшей модели—классической вероятностной схемы . Важное значение и в теории, и в практике имеет понятие противоположного события и формула Р(Ā)= 1—Р(А) для нахождения вероятности такого события.

Наконец, мы познакомились с несовместными событиями и с формулами.

Р(А+В)= Р(А)+Р(В),

Р(А+В+С)= Р(А)+Р(В)+Р(С),

позволяющими находить вероятности суммы таких событий.

Список литературы

1.События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп. параграфы к курсу алгебры 7—9 кл. общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.—4-е изд.—М.: Мнемозина, 2006.—112 с.: ил.

2.Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк «Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей».—Москва, «Просвещение», 2006.