К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.

Натуральные числа — это положительные целые числа.

К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)

Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел .

К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).

Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .

Арифметические действия с целыми числами

Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.

Сложение целых чисел

Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:

(+11) + (+9) = +20

Вычитание целых чисел

Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:

(-7) + (+8) = +1

Умножение целых чисел

Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+ », если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «− », если исходные числа были с разными знаками:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел :

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:

Знак произведения будет «+ », если количество множителей с отрицательным знаком четное и «− », если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление целых чисел

Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+ », а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «− ».

(-25) : (+5) = -5

Свойства сложения и умножения целых чисел

Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :

1. a + b = b + a - переместительное свойство сложения;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - сочетательное свойство сложения;
3. a \cdot b = b \cdot a - переместительное свойство умножения;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) - сочетательное свойства умножения;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c - распределительное свойство умножения.

Сложение целых чисел

Последовательность шагов при этом следующая:

1. слагаемые размещаются в разрядных сетках в прямых кодах;

2. отрицательное слагаемое (или слагаемые) преобразуется в обратный или дополнительный код (в зависимости от того, в какой форме выполняет операции АЛУ);

3. слагаемые складываются по правилам сложения двоичных чисел. При этом знаковые разряды участвуют в вычислениях наряду с числовыми;

4. единица переноса из знакового разряда (если таковая возникнет) отбрасывается при сложении в дополнительном коде или прибавляется к младшему числовому разряду при сложении в обратном коде;

5. если результат положителен – он представлен в прямом коде и не требует никаких преобразований. Если результат отрицателен, то он представлен в обратном или дополнительном коде в зависимости от того, в каком коде происходило сложение. Результат в таком случае преобразуется в прямой код.

Пример 1 . Сложить в обратном коде числа –34 и +15. Разрядная сетка – 8 бит.

3. складываем слагаемые:

Таким образом, получено число –10011 2 . Для проверки правильности результата представим его в десятичной системе счисления. Имеем: -10011 2 = -19, что соответствует правильному результату.

Пример 2 . Сложить в обратном коде

1. преобразуем слагаемые в прямые коды и разместим их в разрядных сетках:

Таким образом, получено число –110001 2 . Для проверки правильности результата представим его в десятичной системе счисления. Имеем: -110001 2 = -49, что соответствует правильному результату.

Пример 3 . Сложить в дополнительном коде числа –34 и -15. Разрядная сетка – 8 бит.

Первый этап совпадает с предыдущим примером.

Преобразуем слагаемые в дополнительный код. Для этого воспользуемся обратными кодами из примера 2:

Образовалась единица переноса из знакового разряда. Однако, поскольку сложение выполняется в дополнительном коде, единица переноса из знакового разряда теряется.

Таким образом, мы получили результат сложения в дополнительном коде. Поскольку он отрицателен, преобразуем его в прямой код. Тогда имеем:

Анализ показывает, что результат положительный, что противоречит исходным данным: складывались два отрицательных числа. Это свидетельствует о переполнении (overflow) разрядной сетки.

Таким образом, формальным признаком переполнения разрядной сетки при выполнении операции сложения является то, что знак результата отличается от знаков слагаемых. Такая ситуация может возникнуть только при сложении чисел с одинаковыми знаками. С подобными ситуациями при сложении целых чисел самостоятельно компьютер не справляется, требуется вмешательство программиста.

В этой статье мы детально разберемся с тем, как выполняется сложение целых чисел . Сначала сформируем общее представление о сложении целых чисел, и посмотрим, что представляет собой сложение целых чисел на координатной прямой. Эти знания помогут нам сформулировать правила сложения положительных, отрицательных, а также целых чисел с разными знаками. Здесь же мы подробно разберем применение правил сложения при решении примеров и научимся выполнять проверку полученных результатов. В заключение статьи мы поговорим о сложении трех и большего количества целых чисел.

Навигация по странице.

Общее представление о сложении целых чисел

Приведем примеры сложения целых противоположных чисел. Сумма чисел −5 и 5 равна нулю, сумма 901+(−901) равна нулю, результатом сложения целых противоположных чисел 1 567 893 и −1 567 893 также является нуль.

Сложение произвольного целого числа и нуля

Давайте воспользуемся координатной прямой, чтобы понять, что представляет собой результат сложения двух целых чисел, одно из которых равно нулю.

Прибавление к нулю произвольного целого числа a означает перемещение из начала отсчета на расстояние a единичных отрезков. Таким образом, мы оказываемся в точке с координатой a . Следовательно, результатом сложения нуля и произвольного целого числа является прибавляемое целое число.

С другой стороны, прибавление к произвольному целому числу нуля означает переместиться из точки, координату которой задает данное целое число, на расстояние нуль. Иными словами, мы останемся в исходной точке. Следовательно, результатом сложения произвольного целого числа и нуля является данное целое число.

Итак, сумма двух целых чисел, одно из которых есть нуль, равна другому целому числу . В частности, нуль плюс нуль есть нуль.

Приведем несколько примеров. Сумма целых чисел 78 и 0 равна 78 ; результат сложения нуля и −903 равен −903 ; также 0+0=0 .

Проверка результата сложения

После того, как выполнено сложение двух целых чисел, полезно проверить полученный результат. Нам уже известно, что для проверки результата сложения двух натуральных чисел нужно от полученной суммы отнять любое из слагаемых, при этом должно получиться другое слагаемое. Проверка результата сложения целых чисел выполняется аналогично. Но вычитание целых чисел сводится к прибавлению к уменьшаемому числа, противоположного вычитаемому. Таким образом, чтобы проверить результат сложения двух целых чисел, нужно к полученной сумме прибавить число, противоположное любому из слагаемых, при этом должно получиться другое слагаемое.

Разберемся на примерах с проверкой результата сложения двух целых чисел.

Пример.

При сложении двух целых чисел 13 и −9 было получено число 4 , выполните проверку результата.

Решение.

Прибавим к полученной сумме 4 число −13 , противоположное слагаемому 13 , и посмотрим, получится ли другое слагаемое −9 .

Итак, вычислим сумму 4+(−13) . Это сумма целых чисел с противоположными знаками. Модули слагаемых равны 4 и 13 соответственно. Слагаемое, модуль которого больше, имеет знак минус, который мы и запоминаем. Теперь вычитаем из большего модуля вычитаем меньший: 13−4=9 . Осталось перед полученным числом поставить запомненный знак минус, имеем −9 .

При проверке мы получили число, равное другому слагаемому, следовательно, исходная сумма была вычислена правильно. −19 . Так как мы получили число, равное другому слагаемому, то сложение чисел −35 и −19 было выполнено верно.

Сложение трех и большего количества целых чисел

До этого момента мы говорили о сложении двух целых чисел. Иными словами, мы рассматривали суммы, состоящие из двух слагаемых. Однако сочетательное свойство сложения целых чисел позволяет нам однозначно определить сумму трех, четырех и большего количества целых чисел.

На основании свойств сложения целых чисел мы можем утверждать, что сумма трех, четырех и так далее чисел не зависит от способа расстановки скобок, указывающих порядок выполнения действий, а также от порядка следования слагаемых в сумме. Эти утверждения мы обосновывали, когда говорили о сложении трех и большего количества натуральных чисел . Для целых чисел все рассуждения полностью совпадают, и мы не будем повторяться.0+(−101) +(−17)+5 . После этого, расставив скобки любым допустимым способом, мы все равно получим число −113 .

Ответ:

5+(−17)+0+(−101)=−113 .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

• Отработка правил сложения целых чисел использование сложения целых чисел для вычисления сумм, содержащих большое количество слагаемых.
• Развитие познавательного интереса к математике.

Ход урока

1. Повторение правил сложения целых чисел.
2. Отработка правил в решении занимательных заданий.
3. Самопроверка.
4. Проверочная работа.
5. Вычисление сумм, содержащих более чем два слагаемых, являющихся целыми числами.
6. Применение вычислений сумм целых чисел в более трудных случаях.

1. Повторение правил сложения целых чисел.

Работаем под девизом: "Дорогу осилит идущий, а математику - мыслящий"

Вспомним, какие числа называются целыми. (слайд 1, 2)

Чтобы голова побыстрее включилась в работу, продолжите-ка последовательность целых чисел:

1. -11; -9; -7; -5;:
2. 7; 2; -3; -8; :

Вопрос классу: Кто хочет хорошо научиться складывать целые числа? Поднимите руку. Я думаю, что убеждать вас в том, что нужно знать элементарную математику, это все равно, что доказывать вам, что глаза нужны для зрения, а уши для слуха. А что нужно знать в первую очередь, чтобы хорошо складывать целые числа? Правильно, правила. Итак, повторим их в виде небольшого теста(слайд 3, 4). Таблица с критериями отметок (слайд 5). Разбираются подробно ответы на вопросы 2,4,6,8.

2. Отработка правил в решении занимательных заданий.

А сейчас проверим, знает ли Витя Верхоглядкин эти правила.

На доске решение Вити Верхоглядкина:

1. -4 +(-5) = -9;
2. 9 +(-11) = 2;
3. -10 + 4 = -14;
4. -6 +(-3) = 9;
5. -7 + 7 =0;
6. 13 +(-7) = -6;
7. 14 +(-15) = -1;
8. 13 +(-16) = 3;
9. 0 +(-3) = -3;
10. -11 + 17 = -6.

Еще одно задание: Вставить пропущенное число:

1. -7 + * = -4;
2. -7 + * = -10;
3. 7 + * = 4;
4. * + 8 = -1;
5. * + (-8) = -17;
6. * + (-8) = 1.

Итак, еще раз повторим правила. Я читаю начало правила, а вы дополняете.

• Сумма двух отрицательных чисел, есть число:.
• Соответствующие натуральные числа при этом надо:.
• Сумма двух чисел разных знаков может быть и: и:, это зависит от того, какое слагаемое:
• Соответствующие натуральные числа при этом надо:

Просто всем на удивление выполняем мы сложение.

3. Самопроверка. (слайд 6). На слайде появляются примеры один за другим, дети называют сначала знак суммы. Последний одиннадцатый пример дан для того, чтобы ученики вспомнили, что слагаемые здесь могут быть и положительными и отрицательными, поэтому знак определить нельзя. Этот пример убирается. Затем один из детей называет знак каждой суммы сверху вниз, а потом другой - снизу вверх. Затем дети выполняют самостоятельно сложение. Через две минуты один ученик называет ответ, на слайде появляется этот ответ и т. д.

4. Проверочная работа. (слайд 7) Примеры появляются один за другим примерно через 10 секунд. Потом еще дается секунд 15 на проверку всех примеров.

1 упражнение. Ладошки сомкнуты перед грудью, представляем, что это нуль. Наклоняем ладошки в ту сторону, где расположены положительные числа, потом в противоположную, где отрицательные.

2 упражнение. Голова вверх, вниз, потом вправо влево.

3 упражнение для глаз. Глаза вправо, влево, вверх, вниз.

5. Вычисление сумм, содержащих более чем два слагаемых, являющихся целыми числами.

На центральной доске пример -10 + 2 + (-5) + (-8) + 12 = :

Как удобнее выполнить сложение в этом случае? Дети предлагают сложить сначала положительные слагаемые, потом отрицательные. Выполняется задание из рабочей тетради со страницы 41 №104.

Далее идет работа с карточками. Каждый ребенок имеет набор карточек, размером 1 см на 1 см, на которых написаны числа от -15 до +15. Детям надо выложить пример, состоящий из трех слагаемых, чтобы сумма равнялась -15.

6. Применение вычислений сумм целых чисел в более трудных случаях.

Домашнее задание Вити Верхоглядкина.

Однажды учитель задал Вите задание: найти сумму всех целых чисел от -499 до 501. Витя пытался находить ее тем способом, которым на уроке находили сумму нескольких слагаемых, но решение его затянулось. Тогда он пригласил на помощь маму и папу. Они поняли, что здесь должен применяться какой-то особый прием решения. На подскажете ли вы, ребята, как можно вычислить эту сумму более быстрым способом. Решение примера разбирается на доске, после того, как кто-то из учеников предложит способ решения.

Конспект урока математики для 6 класса по теме "Сложение целых чисел"

Предмет: математика
Класс: 6 класс
Продолжительность урока: 45 минут

Тема: Сложение целых чисел (первый урок в теме «Сложение целых чисел»)

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом
Форма урока: комбинированный
Цель урока: вывести совместно с учащимися правила сложения целых чисел.
Задачи урока:
Образовательные
- формирование знаний по теме урока;
- формирование умения складывать целые числа.
Развивающие
- развитие внимания;
- формирование умения делать вывод.
Воспитательные
- воспитание интереса к предмету.
Формы работы на уроке: коллективная, индивидуальная.
Методы работы на уроке: дидактическая игра, проблемно – поисковая задача.
Используемые технологии: проблемное обучение, здоровьесберегающие технологии.
Ожидаемые результаты:
1. Учащиеся научатся применять правила сложения целых чисел при решении задач;
2. Учащиеся анализируют, сопоставляют, логически мыслят, обобщают;
3. Учащиеся умеют слушать и слышать друг друга;
4. Учащиеся, выступающие с защитой решений, демонстрируют владение математическим языком, знание текущего учебного материала.

Ход урока:
1. Организационный момент
Проверка готовности к уроку.
Приветствие.
2. Актуализация знаний
1) (двое учеников работают за доской, остальные - в тетрадях) Записать числа под диктовку: - 15, + 10, - 3, 2, - 7, 0, - 4, 9, + 7, - 10.
2) Работа с классом:
Назовите:
- отрицательные числа;
- натуральные числа;
- положительные числа;
- целые числа.
Выделите квадратиком противоположные числа, обведите в кружочек – наименьшее целое число, в треугольник – наибольшее целое число.
Найдите для каждого числа его модуль. Вычислите сумму модулей.
Целеполагание: Послушайте четверостишие и попробуйте определить цель нашего урока:
Числа отрицательные новые для нас
Лишь совсем недавно изучил наш класс,
Сразу поприбавилось нам теперь мороки:
Изучить все правила сложения на уроке!!!

Ответ учащихся: Мы будем учиться складывать отрицательные и положительные числа.
3. Объяснение нового материала
На доске записаны примеры:
(+ 25) + (- 35) =
(- 17) + (- 24) =
(- 18) + (+ 12) =
Давайте предположим, какие в них будут ответы?
Учитель: Молодцы!!!Предположения сделаны, теперь проведем исследование и выясним какие ответы верные, а также попробуем сформулировать правила сложения целых чисел. Для этого порешаем задачи о деньгах:
На счете мобильного телефона было 0 рублей 0 копеек.
1. На счет положили 33 рублей, а потом ещё 45 рублей. Сколько денег на счете?
2. Со счета мобильного телефона потратили 83 рубля, а потом ещё 36 рублей. Сколько денег на счете?
3. На счет положили 50 рублей, а потратили 35 рублей. Сколько денег на счете?
4. На счет положили 14 рублей, а потратили 36 рублей. Сколько денег на счете?
(по ходу решения задач оформляем таблицу)
Доход/расход Доход/расход Итого
+ 33 + 45 + 78
- 83 - 36 - 119
+ 50 - 35 + 15
+ 14 - 36 - 22

Решив задачи 1 и 2, учащиеся пытаются сформулировать правила сложения целых чисел с одинаковыми знаками.
Решив задачи 3 и 4, учащиеся пытаются сформулировать правила, сложения целых чисел с разными знаками.
(все формулировки проверяем по учебнику)

Физкультминутка:
В понедельник я купался, (Изображаем плавание.)
А во вторник - рисовал. (Изображаем рисование.)
В среду долго умывался, (Умываемся.)
А в четверг в футбол играл. (Бег на месте.)
В пятницу я прыгал, бегал, (Прыгаем.)
Очень долго танцевал. (Кружимся на месте.)
А в субботу, воскресенье (Хлопки в ладоши.)
Целый день я отдыхал. (Дети садятся на корточки, руки под щеку - засыпают.)

4. Первичное закрепление изученного материала.
Укажите стрелкой знак суммы:
(+3) + (+7)
(- 3) + (- 7) -
(- 3) + (+ 7)
(+ 48) + (- 25)
(+3) + (- 7) +
(- 48) + (- 25)
(+48) + (+25)
(- 48) + (+ 25)

5. Закрепление нового материала.
№ 236, 237, 240, 241.
6. Домашнее задание.
№ 242, учить правила сложения целых чисел.
Рефлексия. А тема нашего урока нужна в повседневной жизни? Что мы сегодня научились делать?
Спасибо, дети, за урок!!!